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线面垂直、面面垂直的性质


2.3.3-2.3.4直线与平面、 直线与平面、 直线与平面 平面与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质

复习引入
问题:若一条直线与一个平面垂直, 问题:若一条直线与一个平面垂直, 则可得到什么结论? 则可得到什么结论?若两条直线与 同一个平面垂直呢? 同一个平面垂直呢?

a⊥ ⊥ 已知: 已知: ⊥平面α,b⊥平面α,

求证:a∥b. 求证: ∥ . a b b'

(反证法 反证法) 反证法

α

cO

β
垂直于同一个平面的两条直线平行. 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行

理论迁移 例 1: 请在下面的横线上填上适当的条 件,使结论成立。

a ⊥ m, a ⊥ n
b⊥m,b⊥n

①m与n相交 ,则 a∥b , ②m与n异面 ③m与n不平行

变式1 变式1

m,n是两条相交直线,a,b是 m,n是两条相交直线,a,b是 是两条相交直线

与m,n都垂直的直线,直线k与a,b都 m,n都垂直的直线,直线k a,b都 都垂直的直线 相交,求证: 相交,求证:m与a,b所成的角相等。 a,b所成的角相等。 所成的角相等 变式2 变式 求证: 求证:两条平行线和同一个平面所 成角相等。 成角相等。

练习:如图,已知ABCD是矩形,SA⊥平 练习:如图,已知ABCD是矩形,SA⊥平 ABCD是矩形 ABCD, SC上一点 上一点. 面ABCD,E是SC上一点. 求证:BE不可能垂直于平面SCD. 不可能垂直于平面SCD 求证:BE不可能垂直于平面SCD.

在黑板面α上画出与地面 垂 在黑板面 上画出与地面β垂 上画出与地面 直的直线,观察你画出的直线, 直的直线,观察你画出的直线, 说说有什么特征? 说说有什么特征?

面面垂直的性质
面面垂直性质定理: 面面垂直性质定理: 两个平面垂直, 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线 的直线与另一个平面垂直。 的直线与另一个平面垂直。
β a l α A

α ⊥β α ∩ β = l a ⊥α aβ
a⊥l

面面垂直线面垂直 面面垂直

例1 PB丄平面ABC,平面PAB丄平面PAC. 求证:△ABC是直角三角形。
P

B

C

A

例2 CA 已知α ⊥ β,α ∩ β = l, α 且CA ⊥ l于A
DB β 且DB ⊥ l于B,

1)若AC=3,BD=12,AB=4,求 1)若AC=3,BD=12,AB=4,求CD 2)若CD与 所成角分别为45 45゜ 2)若CD与 α,β 所成角分别为45゜和 30゜ CD与AB的长度比 的长度比。 30゜,求CD与AB的长度比。
α
C

A

B D

β

练习一: 练习一: 1 已知平面α,β,α⊥β,直线a满足a⊥β, 的位置关系. aα,试判断直线a与平面α的位置关系. 2 已知直线a,b和平面α ,且a丄b,a丄α,求 已知直线a,b和平面 b,a丄 a,b 位置关系? b和平面α的 位置关系? 直线a// 3 设平面α ⊥β, ∩ β = AB,直线a//α, α

a⊥ AB,判断直线a与平面β 具有什么位
置关系? 置关系?

对于三个平面α α⊥γ, 4 对于三个平面α、β、γ,若α⊥γ, β⊥γ, 那么直线l与平面γ β⊥γ,α ∩ β = l ,那么直线l与平面γ 的位置关系如何?为什么? 的位置关系如何?为什么?
β l α γ

面面垂直性质 β 证法1: 证法 :设 α ∩ γ = n , ∩ γ = m , 内作直线a 在α内作直线 ⊥n 内作直线 内作直线b⊥ 在β内作直线 ⊥m 内作直线 α ⊥γ α ∩ γ = n a ⊥γ a α
a⊥n 同理b ⊥ γ

b β

l a n α



b // a a α b α



γ

m

b β b // l α ∩ β = l b⊥γ

b // α

l ⊥ γ

线面平行判定

线面平行性质

思考:还可以怎样作辅助线? 还可以怎样作辅助线?
β 证法2: 证法 :设 α ∩ γ = n , ∩ γ = m , 内任取一点A(不在m,n上), 在γ内任取一点 (不在 内任取一点 上
内过A点作直线 在γ内过 点作直线 a ⊥n, 内过 内过A点作直线 ⊥ 在γ内过 点作直线 b⊥m, 内过
l β a γ m b A n α

α ⊥γ α ∩ γ = n
a⊥n

a ⊥α l α

a⊥l 同理 b ⊥ l a∩b = A

l ⊥γ

对于三个平面α α⊥γ, 4 对于三个平面α、β、γ,若α⊥γ, β⊥γ, 那么直线l与平面γ β⊥γ,α ∩ β = l ,那么直线l与平面γ 的位置关系如何? 的位置关系如何?
β

l⊥γ

l α γ

变式: 变式: 求证: 求证:三个两两垂直的平面的 交线也两两垂直。 交线也两两垂直。

练习二 正方体AC 与异面直线AC,A1D都 正方体 1中,EF与异面直线 与异面直线 都 垂直相交,交点分别为E,F, 垂直相交,交点分别为 , 求证: 求证:EF//BD1。


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