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江苏省2012届高三数学二轮专题训练:解答题(77)


江苏省 2012 届高三数学二轮专题训练:解答题(77)

本大题共 6 小题, 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。
1.(本小题满分 14 分) 已知向量 a ? (4,5cos ? ), b ? (3, ?4 tan ? ), ? ? (0, (1) | a ? b | (2) cos(? ?

?
2

r />
), a ? b ,求:

?
4

) 的值。

B1
2. (本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AB=AC=5,BB1=BC=6,D,E 分别是 AA1 和 B1C 的中点 (1) 求证:DE∥平面 ABC; (2) 求三棱锥 E-BCD 的体积。

A1

C1 D E A

B
3. (本小题满分 14 分) 现有一张长为 80cm,宽为 60cm 的长方形铁皮 ABCD,准备用它做成一只 C 无盖长方体铁皮盒,要求材料利用率为 100%,不考虑焊接处损失。如图, 若长方形 ABCD 的一个角剪下一块铁皮,作为铁皮盒的底面,用余下材料剪拼后作为铁皮盒 的侧面,设长方体的底面边长为 x (cm),高为 y (cm),体积为 V (cm3) (1) 求出 x 与 y 的关系式; (2) 求该铁皮盒体积 V 的最大值;

D

C

4. (本小题满分 16分) 平面直角坐标系 xoy 中, 直线 x ? y ? 1 ? 0 截以原点 O 为圆心的圆所得的弦长为 6

A

B

(1)求圆 O 的方程; (2)若直线 l 与圆 O 切于第一象限,且与坐标轴交于 D,E,当 DE 长最小时,求直线 l 的方 程; (3)设 M,P 是圆 O 上任意两点,点 M 关于x轴的对称点为 N,若直线 MP、NP 分别交于 x轴于点 (m,0)和(n,0) ,问mn是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明 理由。

5. (本小题满分 16分) 已知函数 f ( x) ? (ax2 ? x)e x ,其中e是自然数的底数, a ? R 。 (1) 当 a ? 0 时,解不等式 f ( x) ? 0 ; (2) 若 f ( x ) 在[-1,1]上是单调增函数,求 a 的取值范围; (3) 当 a ? 0 时,求整数k的所有值,使方程 f ( x) ? x ? 2 在[k,k+1]上有解。

6. (本小题满分 16分) 设 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 Sn , 已 知 Sn?1 ? pSn ? q( p, q 为 常 数 , n ? N ) ,eg
*

a1 ? 2, a2 ? 1, a3 ? q ? 3 p
(1) 求p,q的值; (2) 求数列 {an } 的通项公式;

(3) 是否存在正整数m,n,使

Sn ? m 2m 成立?若存在,求出所有符合条件的 ? m Sn?1 ? m 2 ? 1

有序实数对(m,n) ;若不存在,说明理由。

1.⑴因为 a ? b ,所以 4 ? 3 ? 5cos ? ? ? ?4 tan ? ? ? 0 ,………………………2 分 解得 sin ? ? 所以 cos ? ?

3 π ,又因为 ? ? (0 , ) ,………………………………………4 分 5 2

4 sin ? 3 , tan ? ? ? , ………………………………………6 分 5 cos ? 4

所以 a ? b = (7 , 1) ,因此 | a ? b |? 72 ? 12 ? 5 2 .………………………8 分
π? π π ? ⑵ cos ? ? ? ? ? cos ? cos ? sin ? sin …………………………………12 分 4? 4 4 ?
? 4 2 3 2 2 ? ? ? ? .…………………………………………………14 分 5 2 5 2 10

2.⑴取 BC 中点 G,连接 AG,EG, 因为 E 是 B 1C 的中点,所以 EG∥ BB1 , 1 且 EG ? BB1 . 2 由直棱柱知, AA1 ∥ ? BB1 ,而 D 是 AA1 的中点, 所以 EG ∥ ? AD ,…………………………4 分 所以四边形 EGAD 是平行四边形, 所以 ED ∥ AG ,又 DE ? 平面 ABC ,

B1

A1 C1

E B
G C

D

A

(第 16 题)

AG ? 平面ABC

所以 DE ∥平面 ABC . ………………………7 分 ⑵因为 AD ∥ BB1 ,所以 AD ∥平面 BCE , 所以 VE ? BCD ? VD? BCE ? VA? BCE ? VE ? ABC ,………………………………………10 分 由⑴知, DE ∥平面 ABC , 1 1 1 所以 VE ? ABC ? VD? ABC ? AD ? BC ? AG ? ? 3 ? 6 ? 4 ? 12 .…………………14 分 3 2 6 3.⑴由题意得 x2 ? 4 xy ? 4800 ,

4800 ? x2 , 0 ? x ? 60 . ……………………………………………6 分 4x 4800 ? x2 1 ⑵铁皮盒体积 V ( x) ? x2 y ? x2 ? ? x3 ? 1200x ,………………10 分 4x 4 3 ……………………………12 分 V / ( x) ? ? x2 ? 1200 ,令 V / ( x) ? 0 ,得 x ? 40 , 4
即y? 因为 x ? (0, 40) , V / ( x) ? 0 , V ( x) 是增函数;
x ? (40,60) , V ?( x) ? 0 , V ( x) 是减函数, 1 所以 V ( x) ? ? x3 ? 1200x ,在 x ? 40 时取得极大值,也是最大值,其值为 32000cm3 . 4 答:该铁皮盒体积 V 的最大值是 32000cm3 . ……………………14 分 1 4.⑴因为 O 点到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 , ………………………2 分 2

2 故圆 O 的方程为 x ? y ? 2 . ………………4 分 x y ⑵设直线 l 的方程为 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,即 bx ? ay ? ab ? 0 , a b ab 1 1 1 ? 2 ,即 2 ? 2 ? , ……………6 分 由直线 l 与圆 O 相切,得 2 2 a b 2 a ?b 1 1 DE 2 ? a2 ? b2 ? 2(a2 ? b2 )( 2 ? 2 ) ≥ 8 , a b 当且仅当 a ? b ? 2 时取等号,此时直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 .………10 分
2 2

所以圆 O 的半径为 (

1

)2 ? (

6 2 ) ? 2, 2

⑶设 M ( x1 , y1 ) , P( x2 , y2 ) ,则 N ( x1 , ? y1 ) , x12 ? y12 ? 2 , x22 ? y22 ? 2 , x y ? x2 y1 x y ? x2 y1 , 0) , m ? 1 2 直线 MP 与 x 轴交点 ( 1 2 , y2 ? y1 y2 ? y1 x y ? x2 y1 x y ? x2 y1 , 0) , n ? 1 2 直线 NP 与 x 轴交点 ( 1 2 , …………………14 分 y2 ? y1 y2 ? y1
mn ? x1 y2 ? x2 y1 x1 y2 ? x2 y1 x12 y2 2 ? x2 2 y12 (2 ? y12 ) y2 2 ? (2 ? y2 2 ) y12 ? ? ?2, y2 ? y1 y2 ? y1 y2 2 ? y12 y2 2 ? y12

故 mn 为定值 2. 5.⑴因为 e x ? 0 ,所以不等式 f ( x) ? 0 即为 ax 2 ? x ? 0 ,

…………………16 分

1 又因为 a ? 0 ,所以不等式可化为 x( x ? ) ? 0 , a

1 所以不等式 f ( x) ? 0 的解集为 (0, ? ) .………………………………………4 分 a
⑵ f ?( x) ? (2ax ? 1)e x ? (ax2 ? x)e x ? [ax2 ? (2a ? 1) x ? 1]e x ,
1] 上恒成立,当且仅当 x ? ?1 时 ①当 a ? 0 时, f ?( x) ? ( x ? 1)e x , f ?( x) ≥ 0 在 [ ?1,

取等号,故 a ? 0 符合要求;………………………………………………………6 分 ②当 a ? 0 时,令 g ( x) ? ax2 ? (2a ? 1) x ? 1 ,因为 ? ? (2a ? 1)2 ? 4a ? 4a2 ? 1 ? 0 , 所以 g ( x) ? 0 有两个不相等的实数根 x1 , x 2 ,不妨设 x1 ? x2 , 因此 f ( x) 有极大值又有极小值.
1) 内有极值点, 若 a ? 0 ,因为 g (?1) ? g (0) ? ?a ? 0 ,所以 f ( x) 在 ( ?1,

故 f ( x) 在 ? ?1, 1? 上不单调.………………………………………………………8 分 若 a ? 0 ,可知 x1 ? 0 ? x2 ,
1] 上单调,因为 g (0) ? 1 ? 0 , 因为 g ( x) 的图象开口向下,要使 f ( x) 在 [ ?1,

? g (1) ≥ 0, ?3a ? 2 ≥ 0, 2 必须满足 ? 即? 所以 ? ≤ a ? 0 . 3 ? g (?1) ≥ 0. ??a ≥ 0.

2 综上可知, a 的取值范围是 [? ,0] .………………………………………10 分 3
⑶当 a ? 0 时, 方程即为 xe x ? x ? 2 ,由于 e x ? 0 ,所以 x ? 0 不是方程的解, 2 2 所以原方程等价于 e x ? ? 1 ? 0 ,令 h( x) ? e x ? ? 1 , x x 因为 h?( x) ? ex ?

2 ? 0 对于 x ? ? ??,0? x2

? 0, ??? 恒成立,

所以 h( x) 在 ? ??,0 ? 和 ? 0, ?? ? 内是单调增函数,……………………………13 分

1 又 h(1) ? e ? 3 ? 0 , h(2) ? e2 ? 2 ? 0 , h(?3) ? e?3 ? ? 0 , h(?2) ? e?2 ? 0 , 3
所以方程 f ( x) ? x ? 2 有且只有两个实数根,且分别在区间 ?1, 2? 和 ? ?3, ? 2? 上, 所以整数 k 的所有值为 ??3,1? .………………………………………………………16 分

1 ? ?S2 ? pa1 + q, ?3 ? 2 p + q, ?p ? , 6.⑴由题意,知 ? 即? 解之得 ? 2 …………… 4 分 ?S3 ? pS2 + q, ?3 + q ? 3 p ? 3 p + q, ? q ? 2 . ?

1 ⑵由⑴知, Sn?1 ? Sn ? 2 ,① 2 1 当 n ≥ 2 时, Sn ? Sn?1 ? 2 ,② 2 1 ① ? ②得, an?1 ? an ? n ≥ 2? ,…………………………………………………… 6 分 2

1 1 1 又 a2 ? a1 ,所以 an?1 ? an ? n ? N* ? ,所以 ?an ? 是首项为 2 ,公比为 的等比数列, 2 2 2
所以 an ?

1 2
n?2

.…………………………………………………………………… 8 分

⑶由⑵得, Sn ?

2(1 ?

1 ) m 2n ? 4(1 ? 1 ) ,由 Sn ? m ? 2 ,得 m n 1 Sn ?1 ? m 2 ? 1 2 1? 2

1 )?m 2n (4 ? m) ? 4 2m 2m 2n ? m ,即 n ,……………………… 10 分 ? m 1 2 (4 ? m) ? 2 2 ? 1 2 ? 1 4(1 ? n +1 ) ? m 2 4(1 ?

2 1 ? m ,因为 2m ? 1 ? 0 ,所以 2n (4 ? m) ? 2 , 2 (4 ? m) ? 2 2 ? 1
n

所以 m ? 4 ,且 2 ? 2n (4 ? m) ? 2m+1 + 4 , (?) 因为 m ? N* ,所以 m ? 1 或 2 或 3 .……………………………………………… 12 分 当 m ? 1 时,由 (?) 得, 2 ? 2n ? 3 ? 8 ,所以 n ? 1 ; 当 m ? 2 时,由 (?) 得, 2 ? 2n ? 2 ? 12 ,所以 n ? 1 或 2 ; 当 m ? 3 时,由 (?) 得, 2 ? 2n ? 20 ,所以 n ? 2 或 3 或 4 , 综上可知,存在符合条件的所有有序实数对 ( m, n) 为:
(1,1),(2,1),(2, 2),(3, 2),(3,3),(3, 4) .…………………………………………… 16 分

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