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向量加法运算及其几何意义课时练


向量加法运算及其几何意义课时练
→ → → 1.在四边形 ABCD 中,AC=AB+AD,则( A.ABCD 一定是矩形 B.ABCD 一定是菱形 C.ABCD 一定是正方形 D.ABCD 一定是平行四边形 解析:由向量的平行四边形法则知,ABCD 一定是平行四边形. 答案:D → → → → → 2.向量(AB+MB)+(BO+BC)+OM化简后等于( → A.CB

→ C.AC → B.AB → D.AM ) )

→ → → → → → → → → → → → 解析:(AB+MB)+(BO+BC)+OM=(AB+BC)+(BO+OM+MB)=AC+0=AC,故选 C. 答案:C 3.向量 a、b 皆为非零向量,下列说法不正确的是( )

A.向量 a 与 b 反向,且|a|>|b|,则向量 a+b 与 a 的方向相同 B.向量 a 与 b 反向,且|a|<|b|,则向量 a+b 与 a 的方向相同 C.向量 a 与 b 同向,则向量 a+b 与 a 的方向相同 D.向量 a 与 b 同向,则向量 a+b 与 b 的方向相同 解析:向量 a 与 b 反向,且|a|<|b|,则 a+b 应与 b 方向相同,因此 B 错. 答案:B 4.对任意向量 a、b,在下式中:①a+b=b+a;②(a+b)+c=b+(a+c);③|a+b|= |a|+|b|;④|a+b|≤|a|+|b|,恒成立的有( A.1 个 C.3 个 ) B.2 个 D.4 个

解析:因为向量加法满足交换律,结合律,所以①,②恒成立,|a+b|=|a|+|b|仅有 a 与 b 同向时成立,所以③不恒成立.由向量模的几何定义知④恒成立.故选 C. 答案:C → → → 5.正方形 ABCD 的边长为 1,AB=a,AC=c,BC=b,则|a+b+c|为( A.0 C.3 B. 2 D.2 2 )

解析:|a+b+c|=|2c|=2|c|=2 2.应选 D. 答案:D 6.若 a,b 满足|a|=2,|b|=3,则|a+b|的最大值为__________,最小值为__________. 解析:当 a 与 b 同向时,|a+b|有最大值|a|+|b|=5. 当 a 与 b 反向时,|a+b|有最小值|b|-|a|=1. 答案:5 1

7.当非零向量 a,b 满足__________时,a+b 平分 a 与 b 的夹角. 解析:当以 a,b 为邻边的平行四边形为菱形时,a+b 平分 a 与 b 的夹角,所以应填|a| =|b|. 答案:|a|=|b| 8. 设 a 表示“向东走了 2 km”, b 表示“向南走了 2 km”, c 表示“向西走了 2 km”, d 表示“向北走了 2 km”,则 (1)a+b+c 表示向________走了________km; (2)b+c+d 表示向________走了________km; (3)|a+b|=________,a+b 的方向是________. 解析:(1)如图所示,a+b+c

表示向南走了 2 km. (2)如图(2)所示,b+c+d 表示向西走了 2 km. (3)如图(1)所示,|a+b|= 22+22=2 2,a+b 的方向是东南. 答案:(1)南 2 km (2)西 2 km (3)2 2 东南 9.如图,O 为正六边形 ABCDEF 的中心,作出下列向量:

→ → (1)OA+OC; → → (2)BC+FE; → → (3)OA+FE. 解析:

(1)如图,由正六边形的性质知,OABC 为平行四边形, → → → ∴OA+OC=OB. → → → → (2)由图知,BC=FE=AO=OD, → → → → → ∴BC+FE=AO+OD=AD. → → → → (3)∵OD=FE,OA=DO, → → ∴OA+FE → → → → =OA+OD=DO+OD=0. 10.

→ → 如右图所示,P、Q 是△ABC 的边 BC 上的两点,且BP=QC. → → → → 求证:AB+AC=AP+AQ. → → → 证明:由图可知AB=AP+PB, → → → AC=AQ+QC, → → → → → → ∴AB+AC=AP+AQ+PB+QC. → → ∵BP=QC, → → 又PB与BP模相等,方向相反, → → → → 故PB+QC=PB+BP=0. → → → → ∴AB+AC=AP+AQ.

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→ → → → 1.在 Rt△ABC 中,若∠A=90° ,|AC|=2,|AB|=3,则AC+AB的模等于( A. 13 C.3 → → 解析:由题意知|AB+AC|= 答案:A 2.已知下列各式: → → → ①AB+BC+CA; → → → → ②(AB+MB)+BO+OM; → → → → ③OA+OC+BO+CO; → → → → ④AB+CA+BD+DC. 其中结果为 0 的个数为( A.1 C.3 → → → → → 解析:①AB+BC+CA=AC+CA=0. → → → → → → → → → → ②(AB+MB)+BO+OM=AB+MB+BM=AM+MB=AB≠0. → → → → → → ③OA+OC+BO+CO=OA+BO≠0. → → → → → → → → → ④AB+CA+BD+DC=AB+CA+BC=AC+CA=0. 其中结果为 0 的有两个. 答案:B 3.①如果非零向量 a 与 b 的方向相同或相反,那么,a+b 的方向必与 a、b 之一的方 向相同; → → → ②△ABC 中,必有AB+BC+CA=0; → → → ③若AB+BC+CA=0,则 A、B、C 为一个三角形的三个顶点; ④若 a、b 均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等. 其中真命题的个数为( A.0 C.2 ) B.1 D.3 ) B.2 D.4


)

B.2 2 D.5 |AB|2+|AC|2= 22+32= 13,应选 A.


解析:①不正确,当 a+b=0 时,不成立.②正确,③不正确.当 A、B、C 共线时, 不成立.④不正确.因为|a+b|≤|a|+|b|.应选 B. 答案:B → → → → 4.已知正方形 ABCD 的边长为 1,则|AB+BC+AD+DC|等于________. → → → → → 解析:|AB+BC+AD+DC|=|2AC|=2 2. 答案:2 2 → → → → → 5.如图,在正六边形 ABCDEF 中,AB=a,AF=b,求AC,AD,AE.

解:如下图,连接 FC 交 AD 于点 O,连接 OB,由平面几何知识得四边形 ABOF 和四 边形 ABCO 均为平行四边形.

根据向量的平行四边形法则,有 → → → AO=AB+AF=a+b. → → ∴AD=2AO=2a+2b. → → → 在平行四边形 ABCO 中,AC=AB+AO=a+a+b=2a+b. → → → 而BC=AO=FE=a+b, 由三角形法则得: → → → AE=AF+FE=b+a+b=a+2b.


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