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2015高考二轮数学第6专题(理科)——计数原理、概率与统计


热点重点难点专题透析·数学(理科)

【考情报告】

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年份 题型 考点 小 题 大 题

2012 年 第 2 题:排列与组合 第 15 题:正态分 布、相互独立事件 的概率 第 18 题:与函数的 综合,随机变量的分 布列、期望及方差

2

013 年

2014 年

第 5 题:求古典概型 第 3 题:抽样方法 的概率 第 9 题:二项式展开 第 13 题:二项展开式 式指定项系数 指定项的系数 第 19 题:相互独立事 第 18 题:频率分布直 件的概率、随机变量 方图、样本估计总体 分布列与期望值 (期望、方差)

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【考向预测】 计数原理、概率与统计是高中数学的一个重要学习内 容,也是高考考查的必考重点内容之一.本部分考查的内容 主要有:抽样方法,统计图表(样本频率分布表与直方图、茎 叶图),统计特征数字(平均数、方差、中位数、众数),变量 间的关系、回归分析与独立性检验;两个计数原理、排列组 合的应用;二项展开式通项及二项式系数的性质与计算;随 机事件的概率、古典概型、几何概型;离散型随机变量的分 布列、二项分布、正态分布,离散型随机变量的数学期望与 方差.由于新课标的影响及计数原理、概率与

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统计自身的特征,此类试题的背景与日常生活最贴近, 联系也最为紧密,不管是从内容上,还是从思想方法上,都 体现着应用的观念与意识,考查学生处理数据的能力、处理 或然问题的方法,考查学生对概率事件的识别及概率计算, 以及分类与整合、化归与转化、或然与必然思想的运用,考 查学生的阅读与理解能力、分析问题解决问题的能力. 从近三年新课标高考来看,该部分在高考试卷中一般 是两个小题和一个大题,对这一部分内容的考查注重考查 基础知识和基本方法.预测 2015 年高考对计数原理、概率

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与统计部分的命题题型仍将保持平稳,难度不大.在高 考小题的考查中,抽样方法、几何概型、二项式、排列组合 仍将出现,可能会有频率分布直方图、正态分布、回归分析 或独立性检验的小题;在高考大题的考查中,依然会是多个 概率与统计知识点的综合考查,可能会与分层抽样、样本频 率分布表和直方图、回归分析、独立性检验等知识综合在 一起,或与函数、不等式、线性规划等知识综合考查.

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【问题引领】 1.设随机变量ξ服从正态分布 N(2,σ2),若 P(ξ>c)=a,则 P(ξ>4-c)=( ). A.a B.2a C.1-a D.1-2a 2 【解析】因为正态分布 N(2,σ )的曲线关于直线 x=2 对称,所以 P(ξ>c)=P(ξ<4-c),所以 P(ξ>4-c)=1-P(ξ <4-c)=1-a. 【答案】C

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2.(2014 山东卷)为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿 者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的 分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17], 将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,…,第 五组,如图是根据试验数据制成的频率分布直方图,已知第 一组与第二组共有 20 人,第三组中没有疗效的有 6 人,则第 三组中有疗效的人数为( ).

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A.6 B.8 C.12 D.18

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【解析】由图知,样本总数为 N=0.16+0.24=50,设第三组 中有疗效的人数为 x,则 50 =0.36,解得 x=12,故选 C. 【答案】C 3.(2014 陕西卷)设样本数据 x1,x2,…,x10 的均值和方差分别 为 1 和 4,若 yi=xi+a(a 为非零常数,i=1,2,…,10),则 y1,y2,…,y10 的均值和方差分别为( ). A.1+a,4 B.1+a,4+a C.1,4 D.1,4+a
6+

20

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【解析】由题意得:x1+x2+…+x10=10×1=10, (x1-1)2+(x2-1)2+…+(x10-1)2=10×4=40, 所以 y1,y2,…,y10 的均值和方差分别为:
? 1 +2 +…+ 10 ( 1 +a )+( 2 +a )+…+( 10 +a )

y=

=

10 10 ( 1 + 2 +…+ 10 )+10a 10+10

=

S2= = =

10 10 ? 2 ? 2 ? 2 ( 1 +y ) +( 2 -y ) +…+(10 -y )
2

=

=1+a,

10 2 2 [( 1 +a )-(1+a )] +[( 2 +a )-(1+a )] +…+[( 10 +a )-(1+a )] 10 2 ( 1 -1) +( 2 -1) +…+( 10 -1) 40
2 2

10

=10 =4.

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【答案】A 2 2 2 2 4.点 P 为圆 C1:x +y =9 上任意一点,Q 为圆 C2:x +y =25 上任 意一点,PQ 的中点 N 组成的区域为 M,在 C2 内部任取一点,则 该点落在区域 M 上的概率为( ). A.25 B.5 C.
13 3 13 25 π

D.

3



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【解析 1】设 Q(x0,y0),中点 N(x,y),则 P(2x-x0,2y-y0) 代入 x2+y2=9, 得(2x-x0)2+(2y-y0)2=9,
2 2 化简得(x- 20 )2+(y- 20 )2=4,又0 +0 =25 9

表示以原点为圆心,5 为半径的圆,故易知动点 N 的轨迹 是在以( 20 , 20 )为圆心,2为半径的圆绕原点一周所形成的
3

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图形,即在以原点为圆心,宽度为 3 的圆环带上,即有 x2+y2=r2(1≤r≤4),那么在 C2 内部任取一点落在 M 内的概率 为
16 π-π 3 25 π

=5,故选 B.

【答案】B 5.(2014 浙江卷)在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张, 其余 5 张无奖.将这 8 张奖券分配给 4 个人,每人 2 张,不同 的获奖情况有 种(用数字作答).

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【解析】不同获奖的情况分两种:一种情况是有一人获 2 2 两张奖券,一人获一张奖券,共有C3 A4 种;另一种情况是有 三人各获得一张奖券,共有A3 4 种.故不同的获奖情况共有 2 2 C3 A4 +A3 4 =36+24=60(种). 【答案】60 6.(2014 新课标全国Ⅰ卷)(x-y)(x+y)8 的展开式中 x2y7 的系 数为 .(用数字填写答案)

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7 【解析】(x+y)8 的展开式中 xy7 的系数为C8 =8,x2y6 的 6 系数为C8 =28,故(x-y)(x+y)8 的展开式中 x2y8 的系数为 828=-20. 【答案】-20 7.某高中共有 2000 名学生,采用分层抽样的分法分别在三 个年级的学生中抽取容量为 100 的一个样本,其中在高一、 高二年级中分别抽取 30、30 名学生,则该校高三共有

名学生.

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【解析】由题意可知此样本中含高三年级学生 100(30+30)=40.设该校高三共有 x 人,则 =
40 100 2000

,解得 x=800.

【答案】800

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8.(2014 新课标全国Ⅱ卷)某地区 2007 年至 2013 年农村居 民家庭纯收入 y(单位:千元)的数据如下表: 年份 年份代号 t 人均纯收入 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 1 2 3 4 5 6 7

y

2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9

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(1)求 y 关于 t 的线性回归方程; (2)利用(1)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农 村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区 2015 年 农村居民家庭人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:


^ ∑ (t i - t )(y i -y ) ^ ^? ? =1

?

?

b=

n

i=1

∑ ( - t )

? 2

, a = y- b t .

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【解析】 (1)由所给数据计算得 t =7(1+2+3+4+5+6+7)=4,
? 1 7 =1 7 i=1

? 1

y=7(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3, ∑ (ti-t) =9+4+1+0+1+4+9=28,
2

∑ (ti-)(yi-y)=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×

?

(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14,

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7

^ ∑ ( - )( -y )

?

b=

=1

7

=1

∑ ( - )

2

=28 =0.5,

14

^ ? ^?

a =y- b t =4.3-0.5×4=2.3,


所求回归方程为 y =0.5t+2.3. (2)由(1)知,b=0.5>0,故 2007 年至 2013 年该地区农村 居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加 0.5 千元. 将 2015 年的年份代号 t=9 代入(1)中的回归方程,得

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y =0.5×9+2.3=6.8,

故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元. 9.?开门大吉?是某电视台推出的游戏益智节目.选手面对 1 至 4 号 4 扇大门,依次按响门上的门铃,门铃会播放一段音 乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎),选手 需正确回答出这首歌的名字,方可获得该扇门对应的家庭 梦想基金.正确回答每一扇门后,选手可自由选择带着奖金 离开比赛,还可继续挑战后面的门以获得更多奖金(奖

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金金额累加),但是一旦回答错误,奖金将清零,选手也会离 开比赛.在一次场外调查中,发现参加比赛的选手多数分为 两个年龄段:20~30,30~40(单位:岁),其猜对歌曲名称与否 人数如图所示.

每扇门对应的梦想基金:(单位:元) 第一 第二 第三 第四 扇门 扇门 扇门 扇门 1000 2000 3000 5000

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(1)写出 2×2 列联表,判断是否有 90%的把握认为猜对 歌曲名称与否与年龄有关.说明你的理由. (下面的临界值表供参考)

P(K2≥k) 0.10 k

0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

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(2)若某选手能正确回答第一、二、三、四扇门的概率分别 为 、 、 、 ,正确回答一个问题后,选择继续回答下一个问
5 4 3 4 3 2 1 3 1 2

题的概率是 ,且各个问题回答正确与否互不影响.设该选手 所获梦想基金总数为ξ,求ξ的分布列及数学期望. (参考公式 K =( + )( + )( + )( + ),其中 n=a+b+c+d) 【解析】(1)根据所给的二维条形图得到列联表,
2

( - )

2

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正确 20~30(岁) 30~40(岁) 合计 10 10 20

错误 30 70 100

合计 40 80 120

根据列联表所给的数据代入观测值的公式得到

K=

2

120× (10×70 -10×30 ) 20×100×40×80

2

=3.

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∵3>2.706,∴有 1-0.10=90%的把握认为猜对歌曲名称 与否与年龄有关. (2) ξ 的所有能取值分别为 :0,1000,3000,6000,11000,
则 P(ξ=1000)=5×2=5,
4 1 2 3 3 4 4 1 1 1 1 3

p(ξ=3000)=5×2×4×2=20 , P(ξ=6000)=5×2×4×2×3×2=20 , P(ξ=11000)=5×2×4×2×3×2×3=60 , P(ξ=0)=1-5-20 -20 -60 =60 .
2 3 1 1 23 4 1 3 1 2 1 1 1 2 1 1

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ξ的分布列为: ξ P
0 23 60
23

1000 3000 6000 11000 2 5
2

3 20

1 20
3

1 60
1

∴E(ξ)=0×60 +1000×5+3000×20 +6000×20 +11000×
1 60

≈1333.33.

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【诊断参考】 通过学生完成上述题目,教师从知识和能力两方面对 学生出现的问题给出诊断建议: 1.抽样方法是统计中最基础的内容,也是高考中常会 涉及的考点之一.高考题型既有选择题也有填空题,主要考 查随机抽样方法的判断、分层抽样的计算、样本的抽取. 解答此类问题要熟悉简单随机抽样中随机数表法、分层抽 样法与系统抽样法抽取样本的规则,注意三种基本抽样方 法的区别与联系.

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2.用样本估计总体一般是应用样本频率分布直方图、 茎叶图,求解平均数、方差、中位数、众数等问题.解决该 类问题的关键是正确理解已知数据的含义,掌握图表中各 个量的意义,通过图表对已知数据进行分析.

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3.几何概型是新课标教材中新增的内容,纵观近三年 全国新课标卷来看,虽然没有涉及,但是从其他省市的高考 试题来看该知识点是一个热点 ,多与线性规划、平面几何、 立体几何等知识综合考查.解决此类问题,要注意选择适当 的观察角度,先将基本事件转化为与之对应区域的长度(或 角度、面积、体积),然后再把随机事件 A 转化为与之对应 的长度(或角度、面积、体积),最后利用几何概型的概率公 式计算.

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4.计数问题是高考必考的内容之一,在选择题、填空题、 解答题中均有体现.解决实际计数问题时,要能根据具体问 题的特征,正确选择分类加法计数原理或分步乘法计数原 理,对实际问题进行合理转化,做到不重不漏. 5.二项式定理是每年高考命题的热点,常涉及展开式 中项的系数的求法,也可与其他知识交汇命题,如数列知识、 方程根的个数等.其中运用二项展开式的通项公式是关键, 不仅要注重它的?正用?,而且重视它的?逆用?,有时还 要注意赋值法的使用.

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6.回归分析及独立性检验中的基本思想方法是统计中 的重要思想方法之一,重在考查同学们的数据处理能力和 计算能力.对于变量间的关系,要注意正相关与负相关的概 念,求线性回归直线方程要抓住线性回归直线必过样本中 心点,会根据最小二乘法求其方程;对独立性检验问题,要 理解其基本思想,根据综合的数据能够得到其 2×2 列联表, 然后利用 K2(或χ2)进行独立性检验. 7.从近几年新课卷来看,随机事件及其概率一般不单 独考查,但计数原理、概率与统计交汇、互斥事件、对立事 件、古典概型、几何概型以及两个计数原理与排列组合

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的渗透是命题的热点,重点考查学生分析问题的能力 与数学计算能力,解题的关键是准确理解事件间的关系. 8.离散型随机变量的分布列、均值与方差是高考经常 考查的内容之一,是近几年高考的热点,命题都是以应用题 为背景,常与排列、组合、概率相结合考查,难度适中,出现 的题目大都是解答题,有时也会是选择题、填空题.解答的 关键是明确随机变量的取值及概率的计算,列出分布列.求 出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列 是否正确,要注意利用定义和一些现成的公式计算离散

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型随机变量的均值与方差,譬如利用二项分布、超几何 分布等均值与方差公式,能起到简化运算的作用. 【知识整合】 一、统计与统计案例 1.抽样方法 抽样方法主要有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样 三种,这三种抽样方法各自适用不同特点的总体,但无论哪 种抽样方法,每一个个体被抽到的概率都是相等的,都等于 样本容量和总体容量的比值.解决此类问题的关键是深刻

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理解各种抽样方法的特点和适用范围.如分层抽样适 用于各部分之间具有明显差异的总体. 2.用样本估计总体 用样本估计总体是研究统计问题的一个基本思想方法 , 用样本的频率分布对总体进行估计. (1)频率分布直方图 利用直方图反映样本的频率分布规律,这样的直方图 称为频率分布直方图.画频率分布直方图的一般步骤:

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①计算一组数据中最大值与最小值的差,即求极差;② 确定组距和组数;③将数据分组;④绘制频率分布表;⑤画 频率分布直方图.
(2)茎叶图 当数据只有个位和十位时,用中间的数字表示十位数, 两边的数字表示个位数,它的中间部分像植物的茎,两边部 分像植物茎上长出来的叶子,因此通常把这样的图叫作茎 叶图.用茎叶图表示数据有两个优点:一是统计图上没有原 始数据信息的损失,所有数据信息都可以从茎叶图中得到;

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二是茎叶图中的数据可以随时记录,随时添加,方便记 录与表示. (3)样本的数字特征 ①众数:在样本数据中,频率分布最大值所对应的样本 数据(或出现次数最多的那个数据). ②中位数:样本数据中,将数据按大小排列,位于最中 间的数据.如果数据的个数为偶数,就取正中间两个数据的 平均数作为中位数.

③平均数:样本数据的算术平均数,即x= (x1+x2+…+xn). ④方差与标准差

? 1

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方差:s = [(x1-x) +(x2-x) +…+(xn-x)2].
2 2 2

1

?

?

?



标准差:

s=

1

[(1 -x) + (2 ? x) + … + ( -x) ].

? 2

? 2

? 2

需要注意的是:①现实中总体所包含的个体数往往较 多,总体的平均数与标准差、方差是不知道(或不可求)的, 所以我们通常用样本的平均数与标准差、方差来估计总体 的平均数与标准差、方差. ②平均数反映了数据取值的平均水平,标准差、方差 描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越

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大,数据的离散程度越大,越不稳定;标准差、方差越小, 数据的离散程度越小,越稳定. 3.变量间的关系与回归分析 (1)两个变量的相关性 散点图直观反映了两变量的成对观察值之间存在的某 种关系,利用散点图可以初步判断两个变量之间是否线性 相关.如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线 的附近,我们说变量 x 和 y 具有线性相关关系.在散点图中, 点散布在从左下角到右上角的区域.对于两个变量的这种 相关关系,我们将它称为正相关.在散点图中,点散布在从

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左上角到右下角的区域,两个变量的这种相关关系称 为负相关. (2)两变量相关关系的分析方法与步骤 利用散点图与相关系数是分析两个变量相关关系的常 用方法.对具有相关关系的两个变量进行统计分析时,首先 进行相关性检验,在确认具有线性相关关系后,再求回归直 线方程. (3)最小二乘法求回归直线的方程

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设线性回归方程为 y = b x+ a .其中 b 是回归直线的斜 率, a 是截距,则有:


^ ^







^ ∑ x i y i -nx y ∑ ( -x )( -y ) ^ ^ ? ? =1 =1

? ?



?

?

b=

2 -n ? ∑ x2 i=1

n

=

=1

∑ ( -x )

? 2

, a =y- b x.
? ?

注意:回归直线一定经过样本的中心点(x,y),即,据此 性质可以解决有关的计算问题.

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(4)回归分析 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用 方法. ①相关系数


r=

=1 =1

∑ ( -x )( -y )
? 2 =1 ? 2

?

?

叫作相关系数,当 r>0 时,表明两

∑ ( -x ) ∑ ( -y )

个变量正相关;当 r<0 时,表明两个变量负相关. ②样本相关系数 r 的性质 相关系数用来衡量变量 x 与 y 之间的线性相关程度;

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|r|≤1,且|r|越接近于 1,相关程度越高,|r|越接近于 0,相关程度越低. 4.独立性检验 (1)列联表与 K2(χ2)公式 对于值域分别是{x1,x2}和{y1,y2}的分类变量 X 和 Y,其 样本频数列联表(称为 2×2 列联表)为: y1 y2 总计 x1 a b a+b x2 c d c+d
总计

a+c

b+d

n

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则 K (χ )=( + )( + )( + )( + )(其中 n=a+b+c+d 为 样本容量). (2)独立性检验的一般步骤 利用随机变量、独立性假设来确定是否一定有把握认 为?两个分类变量有关系?的方法称为两个分类变量的独 立性检验.其步骤为:根据样本数据制成 2×2 列联表→根据 公式计算 K2 的值→比较 K2 与临界值的大小关系作出统计推 断.

2

2

( - )

2

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二、随机事件的概率 1.随机事件的概率与性质 (1)两个随机事件之间的关系:①包含关系;②相等关 系;③和事件;④积事件;⑤互斥事件:事件 A 和事件 B 在任 何一次试验中不会同时发生;⑥对立事件:事件 A 和事件 B 在任何一次试验中有且只有一个发生. (2)概率的基本性质:①任何事件 A 的概率都在[0,1]内, 即 0≤P(A)≤1,不可能事件的概率为 0,必然事件的概率为 1;②如果事件 A,B 互斥,则 P(A+B)=P(A)+P(B);③事件 A 与 它的对立事件的概率满足 P(A)+P()=1.

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2.古典概型 (1)古典概型的特征:基本事件发生等可能性和基本事 件的个数有限性. (2)古典概型下的概率公式:P(A)= =
中所含的基本事件数 基本事件数

.

3.几何概型 (1)几何概型的特征:基本事件个数的无限性、每个基 本事件出现的等可能性. (2)几何概型下的概率公式:

P(A)=

构成事件 的区域长度(面积或体积)

事件的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

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4.条件概率 在 A 发生的条件下 B 发生的概率:P(B|A)=
( ) ()

.

5.相互独立事件 (1)设 A,B 为两个事件,如果事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响,则称事件 A,B 相互独立,并把这两个 事件叫作相互独立事件. (2)相互独立事件同时发生的概率的计算公 式:P(AB)=P(A)P(B).

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(3)推广:如果事件 A1,A2,…,An 相互独立,那么这 n 个事 件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积,即 P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An). 6.独立重复试验 一般地,在相同条件下,重复地做 n 次试验,各项试验的 结果相互独立,那么一般称它为 n 次独立重复试验.如果在 一次试验中某事件发生的概率是 p,那么在 n 次独立重复试 验中,这个事件恰好发生 k 次的概率为 k n-k Pn(k)=C p (1 -p ) (k=0,1,2,…,n). 三、两个计数原理、排列组合与二项式定理

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1.两个基本原理 分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别:分类 加法计数原理针对的是?分类?问题,其中各种方法相互独 立,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数 原理针对的是?分步?问题,各个步骤中的方法互相依存, 只有各个步骤都完成才算做完这件事. 2.排列与组合 (1)排列数公式
! A =n(n-1)(n-2)…(n-m+1),A = ,A =n!,0!=1(n ( - )!

∈N*,m∈N*,m≤n).

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(2)组合数公式及性质
! A ( -1)( -2)…( - +1) 0 C =A = , C = , C = 1, C = ! !( - )!

- -1 C ;C +1 =C +C (m,n∈N*,且

m≤n).

(3)处理排列、组合的综合性问题,一般思想方法是先 选元素(组合),后排列.按元素的性质?分类?和按事件发 生的连续过程?分步?是处理排列组合问题的基本方法和 原理. (4)排列组合综合应用问题的常见解法:①特殊元素 (特殊位置)优先安排法;②合理分类与准确分类;③排列组

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合混合问题先选后排法;④相邻问题捆绑法;⑤不相邻 问题插空法;⑥定序问题缩倍法;⑦多排问题一排法;⑧?小 集团?问题先整体后局部法. 3.二项式定理 0 n 1 n-1 2 n-2 2 (1)二项展开式定理:(a+b)n=C a +C a b+C a b +… n-r r n +C a b +…+C b (r=0,1,2,…,n). (2)二项展开式的通项 n (a+b) 展开式共有 n+1 项,其通项公式是 n-r Tr+1=C a ·br(r=0,1,2,…,n).

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(3)二项式系数的性质 0 1 二项式系数是指C ,C ,…,C 这 n+1 个组合数,具有如 下几个性质: ①对称性:与首末两端?等距离?两项的二项式系数相
0 1 等,即C =C ,C =C ,…,C =C ,…. -1 -
2

②最大值:当 n 为偶数时,中间的一项的二项式系数C 取得最大值;当 n 为奇数时,中间的两项的二项式系数
C ,C 相等,且同时取得最大值.
-1 2 +1 2

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③各二项式系数的和: n 0 1 2 C +C +C +…+C + … + C = 2 ; 0 2 2 1 3 2 +1 C +C +…+C +…=C +C +…+C +…=2n-1. n (4)确定(a+b) 的展开式中项的系数的最大值的常用方
法:设第 k+1 项系数最大,由 解. 四、离散型随机变量分布列、期望(均值)与方差 1.离散型随机变量及分布列 (1)随机变量 +1 的系数 ≥ 的系数 来求 +1 的系数 ≥ +2 的系数

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如果随机变量 X 的所有可能的取值都能一一列举出来, 则这样的随机变量 X 叫作离散型随机变量. (2)随机变量的分布列 设离散型随机变量 X 的取值满足: ①X 所有可能取的不同值为 x1,x2,…,xn; ②X 取每一个值 xi(i=1,2,…,n)的概率 p(x=xi)=pi,则 下表称为离散型随机变量 X 的概率分布或称为离散型随机 变量 X 的分布列,简称 X 的分布列. X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn

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根据概率的性质,离散型随机变量的分布列具有如下 两个性质: ①pi≥0,i=1,2,…,n;②p1+p2+…+pi+…+pn=1. 2.离散型随机变量的期望值(均值)、方差及计算性质 (1)若离散型随机变量ξ的分布列为 ξ x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn …

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ξ的数学期望 E(ξ)=x1p1+x2p2+…+xnpn+…,它反映了离散 型随机变量取值的平均水平. ξ的方差为 D(ξ)=(x1-E(ξ))2·p1+(x2-E(ξ))2·p2+… +(xn-E(ξ))2·pn+…,它反映了离散型随机变量取值的稳定 程度. (2)计算性质:E(aξ+b)=aE(ξ)+b,D(aξ+b)=a2D(ξ). 3.常见离散型随机变量的分布
(1)两点分布 分布列为(其中 0<p<1)

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X P E(X)=p,D(X)=p(1-p).

0 1-p

1

p

(2)二项分布 在 n 次独立重复试验中,事件 A 发生的次数 X 是一个 随机变量,其所有可能取的值为 0,1,2,3,…,n,并且 k n-k P(X=k)=C p q (其中 k=0,1,2,…,n,q=1-p).这样的随机变 量 X 服从参数 n 和 p 的二项分布,记为 X~B(n,p).E(X)=np,D(X)=np(1-p).

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(3)超几何分布 一般地,设有总数为 N 件的两类物品,其中一类有 M 件, 从所有物品中任取 n 件(n≤N),这 n 件中所含这类物品件数 X 是一个离散型随机变量,它取值为 m 时的概率为

P(X=m)=

C C

-

- C

(0≤m≤l,l 为 n 和 M 中较小的一个).这样的

离散型随机变量 X 服从参数为 N,M,n 的超几何分 布.E(X)= .


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五、正态分布 1.正态曲线 如果随机变量ξ的概率密度函数为

f(x)=

1 2πσ

e

2 ( - ) 2 2

,x∈(-∞,+∞), 式中的实数μ ,σ(σ>0)

是参数,则称ξ服从参数为μ,σ的正态分布,用ξ~N(μ, σ2)表示.f(x)的图象称为正态曲线.

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2.正态曲线的性质 正态分布也是日常生活中一种常见的分布,正态曲线 (如图)有六个性质: ①曲线位于 x 轴上方,与 x 轴不相交. ②曲线是单峰的,它关于直线 x=μ对称.

③曲线在 x=μ处达到峰值

1

.



④曲线与 x 轴之间的面积为 1. ⑤当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿 x 轴平移.

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⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越 ?高瘦?,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越?矮胖?, 表示总体的分布越分散.
【考点聚焦】 热点一:对抽样方法的理解与应用 高考对随机抽样的考查常以实际应用为背景命题,考 查分层抽样与系统抽样的理解与计算,考查样本的抽取,多 以选择题、填空题的形式出现,有时也会在解答题中出现, 难度不大.

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(2014 天津卷)某大学为了解在校本科生对参加 某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校 四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查. 已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数 之比为 4∶5∶5∶6,则应从一年级本科生中抽取 名学生.

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【分析】根据该校一年级、二年级、三年级、四年级 的本科生人数之比为 4∶5∶5∶6,可设该校一年级、 二年级、 三年级、四年级的本科生人数分别为 4x、5x、5x、6x,再根 据分层抽样比计算出应从一年级本科生中抽取的人数. 【解析】根据分层抽样的规则,应从一年级本科生中抽 取的人数为4 +5 +5 +6 ×4x=60(名). 【答案】60
300

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【归纳拓展】1.分层抽样是等比例抽样,在分层抽样中, 如果各层的容量分别是 a1,a2,…,an,抽取的样本容量为 b, 则第 i 层抽取的样本数目是
1 + 2 +…+

×ai.分层抽样中常

涉及的问题有:求 ai、求 b、求总体数 N、求各层中抽取的 个体数等. 2.在系统抽样中,若总体数为 N,样本容量为 n,且 为整


数.则将总体分为 n 组,然后按照一定的规律每组中取一个, 相邻两个个体的编号相隔 .


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3.不论用哪种抽样方法,都是按事先确定的规则,从容 量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本.抽取样本时,每一个 个体被抽取的概率 P= ,这是随机抽样的一个重要特点(随


机抽样的等概率性). 变式训练 1 将某班的 60 名学生编号为:01,02,…,60, 采用系统抽样方法抽取一个容量为 5 的样本,且随机抽得的 一个号码为 04,则剩下的四个号码依次是

.

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【解析】 由已知条件知系统抽样的间隔为 5 =12,又随机 抽得的一个号码为 04,所以剩下的四个号码依次为 4+1× 12,4+2×12,4+3×12,4+3×12,4+4×12,即为 16,28,40,52. 【答案】16,28,40,52

60

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热点二:数字特征与统计图表 统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科,它 可以帮我们从数据中提取有用信息,并为制定决策提供依 据.这就决定了数字特征与统计图表在高考题中的地位.

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某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出 8 名 学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分 100 分)的茎叶 图如图所示,其中甲班学生成绩的平均分是 86,乙班学生成 绩的中位数是 83,则 x+y 的值为( A.9 B.10 C.11 D.13 ).

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【分析】利用平均数求出 x 的值,中位数求出 y 的值, 解答即可. 【解析】由茎叶图可知甲班学生的总分为 70×2+80× 4+90×2+(8+9+6+5+x+2+6+4)=680+x, 因为甲班学生的平均分是 86,所以 86×8=680+x,解得 x=8. 由茎叶图知乙班的中位数为 80+y,根据题意可得
1 2

(81+80+y)=83,y=5,所以 x+y=13. 【答案】D

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【归纳拓展】1.众数、中位数、平均数都是描述数据 的?集中趋势?的特征数,而标准差与方差都是用来描述一 组数据波动情况的特征数,常用来比较两组数据的波动大 小.方差、标准差越大,数据波动越大;方差、标准差越小, 数据波动越小. 2.茎叶图是统计中重要的图表之一,它将统计中的每 个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分中,用茎叶图表示 数据有两个优点:①统计图上没有原始数据信息的损失,所 有数据信息都可以从茎叶图中得到;②茎叶图中的数据可 以随时记录,随时添加,方便记录和表示.

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变式训练 2 在一次演讲比赛中,6 位评委对一名选手 打分的茎叶图如图所示,若去掉一个最高分和一个最低分, 得到一组数据,在如图所示的程序框图中,x 是这 4 个数据 的平均数,则输出的 v 的值为

.

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【解析】由程序框图知:算法的功能是求数据 78,80,82,84 的方差.

∵x= ∴
2

? 78+80+82+84 4
2

=81,
2 2 2

s =4[(78-81) +(80-81) +(82-81) +(84-81) ]=
【答案】5

1

9+1+1+9 4

=5.

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热点三:用样本估计总体 用样本来估计总体是统计思想方法的核心,是高考中 常会考查的内容之一.在抽取的样本具有代表性的前提下, 可以通过样本的数据特征来对总体的数据特征进行估计. 高考中常常考查频率分布直方图的基本知识,同时考查借 助频率分布直方图估计总体的概率分布和总体的特征数, 具体问题中要能够根据公式求解数据的均值、方差、众数 和中位数.

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(2014 江苏卷)为了了解一片经济林的生长情况, 随机抽测了其中的 60 株树木的底部周长(单位:cm),所得数 据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在 抽测的 60 株树木中,有 株树木的底部周长小于 100 cm.

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【分析】根据频率分布直方图,将底部周长小于 100 cm 的各段的频率相加,再由频数=样本容量×频率可得. 【解析】由题意知,在抽测的 60 株树木中,底部周长小 于 100 cm 的株数为(0.015+0.025)×10×60=24. 【答案】24 【归纳拓展】1.用样本的频率分布估计总体的分布 (1)频率分布直方图中横坐标表示组距,纵坐标表示 频率=组距×
频率 组距 频率 组距

,

;

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(2)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为 1. 2.茎叶图比频率分布直方图更为直观地描述出各个数 据,茎叶图中数据枝干越集中往往方差就越小,枝干越分散 方差越大 3.用样本的数字特征估计总体的数字特征 在估计总体时,可以利用平均数和标准差,平均数对数 据有?取齐?的作用,代表了一组数据的数值平均水平.在 频率分布直方图中,平均数是直方图的平衡点.样本方差描 述了一组数据围绕平均数波动的大小.

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众数为最高矩形中点的横坐标. 中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直 线与横轴交点的横坐标. 变式训练 3 (2014 新课标全国Ⅱ卷)某市为了考核甲、 乙两部门的工作情况,随机访问了 50 位市民.根据这 50 位 市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高), 绘制茎叶图如下:

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甲部门

乙部门

3 59 4 4 0448 12245667778 97 5 9 97665332110 6 011234688 988777665555 7 00113449 54443332100 6655200 8 123345 632220 9 011456 10 000

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(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数; (2)分别估计该市的市民对甲、 乙两部门的评分高于 90 的概率; (3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评 价.

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【解析】(1)由所给茎叶图知,将 50 位市民对甲部门的 评分由小到大排序,排在第 25,26 位的是 75,75,故样本的中 位数为 75,所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计 值是 75. 50 位市民对乙部门的评分由小到大排序,排在第 25,26 位的是 66,68,故样本中位数为
66+68 2

=67,所以该市的市民对

乙部门评分的中位数的估计值是 67.

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(2)由所给茎叶图知,50 位市民对甲、乙部门的评分高 于 90 的比率分别为50 =0.1,50 =0.16,故该市的市民对甲、乙 部门的评分高于 90 的概率的估计值分别为 0.1,0.16. (3)由所给茎叶图知,市民对甲部门的评分的中位数高 于对乙部门的评分的中位数,而且由茎叶图可以大致看出 对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差 , 说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致,对乙部 门的评价较低、评价差异较大.(注:考生利用其他统计量进 行分析,结论合理的同样给分.)
5 8

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热点四:变量间的相关关系与回归分析 变量间的相关关系是对具有相关关系的两个变量进行 统计分析的一种常用方法,回归直线方程是基本和重要的 统计模型,在现实生活中具有很强的实际意义.因此,在以 两个变量间的关系为考点命制试题备受高考命题者所青睐 . 课标高考对变量间的相关关系的考查常以图、表的形式为 载体,以现实生活中的例子为依托,重在考查对一些实际问 题进行理性分析或对给出的公式及数据的应用及处理能 力.

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(2014 重庆卷)已知变量 x 与 y 正相关,且由观测 数据算得样本平均数x=3,y=3.5,则由该观测的数据算得的 线性回归方程可能是(
^ ^ ? ?

).

A. y =0.4x+2.3 B. y =2x-2.4 C. y =-2x+9.5 D. y =-0.3x+4.4
^ ^

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【分析】由于变量 x 与 y 正相关,所以线性回归直线的 斜率大于 0,又线性回归直线过样本中心点,只需要再代入 线性回归直线方程验证即可. 【解析】由于变量 x 与 y 正相关,所以线性回归直线


y =bx+a 中的斜率 b>0,据此可排除 C、D; 将x=3,y=3.5,代入 A 中,有 0.4x+2.3=0.4×
? ? ? ?

3+2.3=3.5=y,所以 A 可能;

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将x=3,y=3.5,代入 B 中,有 2x-2.4=2×3-2.4=3.6≠y, 所以 B 不可能. 综上所述,选 A. 【答案】A

?

?

?

?

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【归纳拓展】一般情况下,求回归直线方程务必要注意 线性回归直线方程过定点(x,y).由于回归方程将部分观测 值所反映的规律性进行了延伸,因此它在情况预测、资料补 充等方面有着广泛的应用.利用回归方程进行预测,把 自变量 x 代入回归方程对因变量进行估计,即可对个体 值进行估计.
? ?

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变式训练 4 某种产品的广告支出费 x 与销售额 y(单 位:百万元)之间有如下对应数据:

x y

2 30

4 40


5 60

6 50

8 70

根据上表可得回归方程 y =bx+a 中的 b 为 6.5,据此模 型预报广告费用为 10 百万元时销售额为( A.65.5 百万元 B.72.0 百万元 ).

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【解析】 根据题意x=


? 2+4+5+6+8 5

=5,y=

? 30+40+60+50+70 5

=50,

所以 50=6.5×5+a,解得 a=17.5,即线性回归直线方程为 y =6.5x+17.5,将 x=10 代入得 y =6.5×10+17.5=82.5. 【答案】C


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热点五:独立性检验 从近几年的高考试题来看,高考对此独立性检验的考 查有加强的趋势,借助解决一些简单的实际问题来考查独 立性检验的统计思想.在高考中多以选择题、填空题的形式 出现,也有以解答题的形式出现.

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通过随机询问 200 名性别不同的大学生是否爱 好?踢毽子运动?,计算得到统计量 K2 的观测值 k≈4.892, 参照附表,得到的正确结论是( ). 附表

P(K2≥k) 0.10 k
2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

A.在犯错误的概率不超过 5%的前提下,认为?爱好该 项运动与性别有关?

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B.在犯错误的概率不超过 5%的前提下,认为 ?爱好该项 运动与性别无关? C.在 97.5%以上的把握认为 ?爱好该项运动与性别有关? D.有 97.5%以上的把握认为 ?爱好该项运动与性别有关?

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【分析】根据独立性检验的方法,将计算的结果与有关 临界值表相比较. 【解析】因此 K2≈4.892>3.841,从临界表中可以看出 判断出错的可能性为 0.050. 【答案】A 【归纳拓展】独立性检验仅限于 2×2 的列联表,收集 数据是解题的关键.在利用统计变量 K2(χ2)进行独立性检 验时,应该注意数值的准确代入和正确计算,最后把计算的 结果与有关临界值相比较.注意认定可能性的百分率是 1-P(K2>k)的大小.

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变式训练 5 随着工业化以及城市车辆的增加,城市的 空气污染越来越严重,空气质量指数 API 一直居高不下,对 人体的呼吸系统造成了严重的影响.现调查了某市 500 名 居民的工作场所和呼吸系统健康情况,得到列联表如下:
室外工作 有呼吸系统疾病 无呼吸系统疾病 合计 200 150 100 室内工作 合计

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(1)补全 2×2 列联表; (2)你是否有 95%的把握认为感染呼吸系统疾病与工作 场所有关; (3)现采用分层抽样从室内工作的居民中抽取一个容 量为 6 的样本,将该样本看成一个总体,从中随机抽取两人, 求两人都有呼吸系统疾病的概率. 参考公式与临界值表:K =
2

( - )

2

( + )( + )( + )( + )

.

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P(K2≥k) k

0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828

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【解析】(1)列联表如下: 室外工 室内工 作 作 有呼吸系统 150 200 疾病 无呼吸系统 50 100 疾病 合计 200 300

合计 350 150 500

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(2)通过计算 K =

2

500× (150×100 -200×50 ) 350×150×200×300

2

≈3.968 可知,有

95%的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关. (3)采用分层抽样从室内工作的居民中抽取 6 名,有呼 吸系统疾病的抽 4 人,记为 A、B、C、D,无呼吸系统疾病的 抽 2 人,记为 E、F.从中抽两人, 有:AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF,共 15 种抽法, ?从中随机地抽取两人,两人都有呼吸系统疾病? 有:AB,AC,AD,BC,BD,CD,共 6 种,因此所求两人都有呼吸系 统疾病的概率 P=15 =5.
6 2

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热点六:两个计数原理、排列与组合 高考中对于计数问题的考查形式不一,可以单独考查, 可以与排列、组合问题综合考查,也可以与概率问题综合考 查,求解此类试题的关键是理顺计数应用问题的思路:排组 分清,加乘明确,分类相加,分步相乘.主要题型有选数字、 选样品、选代表、人或物的排列组合问题、几何计数问题 等. (2014 四川卷)六个人从左至右排成一行,最左端 只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有 ( ).

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【分析】本题六个人的排法与顺序有关,且由于最左端 只能排甲或乙,因此可先分两种情况:一种是最左端排甲, 另一种是最左端排乙,然后由分类计数原理求解. 【解析】最左端排甲有A5 5 种不同的排法,最左端排乙有 5 4 4A4 4 种不同的排法,所以共有A 5 +4A 4 =216(种)不同的排法. 【答案】B 【归纳拓展】1.求解计数问题要从?分析??分辨? ?分类??分步?的角度入手.?分析?就是找出题目的条 件、结论.哪些是?元素?,哪些是?位置?;?分辨?

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就是辨别是排列还是组合,对某些元素的位置有无限 制等;?分类?就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成 互相排斥的几类,然后逐类解决;?分步?就是把问题化成 几个互相联系的步骤,而每一步都是简单的排列组合问题, 然后逐步解决. 2.求计数问题,还要注意以下途径: (1)以元素为主体,即先满足特殊元素的要求,再考虑 其他元素; (2)以位置为主体,即先满足特殊位置的要求,再考虑 其他位置;

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(3)先不考虑附加条件,计算出所有的个数,再减去不 符合要求的个数. 变式训练 6 某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(每地 1 人),其中甲和乙不能同时去,甲和 丙只能同去或同时不去,则不同的选派方案共有( )种. A.150 B.300 C.600 D.900

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【解析】某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个 边远地区支教(每地 1 人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能 同去或同不去,可以分情况讨论: 2 ①甲、丙同去,则乙不去,有C5 ·A4 4 =240 种选法; 3 ②甲、丙同不去,乙去,有C5 ·A4 4 =240 种选法; ③甲、乙、丙都不去,有A4 5 =120 种选法, 因此共有 240+240+120=600 种不同的选派方案. 【答案】C

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热点七:二项式定理及应用 高考对于二项式的考查重点是二项式定理的展开式及 通项公式、二项式系数及特定项的系数、二项式性质、二 项式定理的应用,题型多为选择题、填空题,难度为中低等. 10 7 (2014 新课标全国Ⅱ卷)(x+a) 的展开式中,x 的 系数为 15,则 a= .(用数字填写答案)

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【分析】 根据展开式中 x 的系数这一项,由通项公式 Tr+1 列出等式,解方程即可. 3 3 【解析】展开式中 x7 的系数为C10 a =15, 即 a3=8,解得 a=2. 【答案】2 【归纳拓展】1.在应用二项展开式(a+b)n 的通项公式 n-r r Tr+1=C a b (r=0,1,2,…,n)时,要注意以下几点: (1)它表示二项展开式的任意项,只要 n 与 r 确定,该项 就随之确定;
1 1 1

7

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(2)Tr+1 是展开式中的第 r+1 项,而不是第 r 项; (3)公式中 a,b 的指数和为 n,且 a,b 不能随便颠倒位 置; (4)要将通项中的系数和字母分离开,以便解决问题; n (5)对二项式展开式(a-b) 的通项公式还要注意符号. 2.在二项式定理的应用中,?赋值法?是一种重要的思 想方法,是处理组合数问题、系数问题的经典方法. 变式训练 7 已知关于 x 的二项式( + 3 )n 展开式的二
x

项式系数之和为 32,常数项为 80,则 a 的值为( A.1 B.±1 C.2 D.±2

).

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【解析】因为二项式( x+ 3 )n 展开式的二项式系数之




和为 32,所以 2 =32,即
5 5

n

n=5,C5 (

) ( 3 ) =a


5-r



r

r

2- 6 C5

5 5

,由

3 = 0,得 r=3,所以 a3C5 =80,解得 a=2. 2 6

【答案】C

热点重点难点专题透析·数学(理科)

热点八:古典概型 古典概型基本应用是高考的重点内容之一,可在选择 题与填空题中单独考查,也可在解答题中与统计等其他相 关知识综合考查.考查以基本概念、基本运算为主,难度不 大.预测 2015 年高考古典概型仍然是考查的热点,同时应注 意古典概型与统计结合命题.求解古典概型问题的关键是 正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数.在 求基本事件的个数时,要准确理解基本事件的构成,这样才 能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基本事件总 数的求法的一致性.

热点重点难点专题透析·数学(理科)

(2014 广东卷)从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取 七个不同的数,则这七个数的中位数是 6 的概率 为

.

热点重点难点专题透析·数学(理科)

【分析】由于是从十个数字中任意取七个不同的数,因 此此概率模型是古典概型.要使抽取的七个数的中位数是 6, 必须在比 6 小的数字中取三个,比 6 大的数字中取三个,然 后由排列组合知识再根据古典概型的概率公式计算. 【解析】上述十个数中比 6 小的数字有六个,比 6 大的 数字有三个,要使得所选的七个数的中位数为 6,则应该 在比 6 小的数字中取三个,比 6 大的数字中取三个,因 此所求事件的概率为 P= C 7 =6.
10 3 C3 6 C3 1

【答案】6

1

热点重点难点专题透析·数学(理科)

【归纳拓展】弄清每一次试验的意义及每个基本事件 的含义是解决古典概型概率计算问题的前提,正确把握各 个事件的相互关系是解决问题的重要方面,判断一次试验 中的基本事件,一定要从其可能性入手,加以区分.而一个 试验是否是古典概型要看其是否满足有限性和等可能性. 变式训练 8 甲和乙等五名志愿者被随机地分到 A、 B、 C、D 四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者,则 甲和乙不在同一岗位服务的概率为

.

热点重点难点专题透析·数学(理科)

【解析】(法一)根据甲、乙不在同一岗位服务分三类: 一是甲与除乙外的某一位志愿者一起去同一个岗位服务, 1 4 共有C3 A4 种不同的分配方法;二是乙与除甲外的某一位志 1 4 愿者一起去同一个岗位服务,共有C3 A4 种不同的分配方法; 2 4 三是甲与乙都一个人去某一岗位服务,共有C3 A4 种不同的 分配方法.而甲和乙等五名志愿者被随机分到 A、B、C、D 四个不同的岗位服务,每个岗位至少一名的分配方法共有 2 4 C5 A4 . 故所求的概率为 P=
4 1 4 2 4 C1 3 A 4 +C 3 A 4 +C 3 A 4 4 C2 5A4

=10 .

9

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(法二)因为事件?甲、乙不在同一岗位服务?的对立 事件是?甲、乙在同一岗位服务?,?甲、乙在同一岗位服 务? 分配方法共有A4 4 ,而甲和乙等五名志愿者被随机分到 A、 B、C、D 四个不同的岗位服务,每个岗位至少一名的分配方 2 4 法共有C5 A4 ,所以?甲、乙在同一岗位服务?的概率为 =

= ,故所求的概率为 1-=10 . C 2 A 4 10
5 4

A4 4

1

9

【答案】10

9

热点重点难点专题透析·数学(理科)

热点九:几何概型 几何概型是一个新课标新增的知识点,它与古典概型 一样,也是高考考查的重点内容之一.从近几年高考试题来 看,主要以选择题或填空题的形式呈现,多为单独考查,有 时会与线性规划、定积分等知识综合考查,难度较低.利用 几何概型求概率时,关键是试验的全部结果构成的区域和 事件发生的区域的寻找,有时需要设出变量,在坐标系中表 示所需要的区域.

热点重点难点专题透析·数学(理科)

≤ 0, (2014 湖北卷)由不等式组 ≥ 0, 确定的平 --2 ≤ 0 + ≤ 1, 面区域记为Ω1,不等式组 确定的平面区域记为 + ≥ -2 Ω2,在Ω1 中随机取一点,则该点恰好在Ω2 内的概率为 ( ). A.8 B.4 C.4 D.8
1 1 3 7

热点重点难点专题透析·数学(理科)

【分析】由于是在所给矩形区域内随机地选一地点,所 以它符合几何概型的两个基本特征.解答时,可先用二元一 次不等式表示平面区域的面积,然后再由几何概型的概率 计算公式求解. ≤ 0, 【解析】如图所示,不等式组 ≥ 0, 确定的平面区 --2 ≤ 0 + ≤ 1, 域Ω1 为三角形 AOB,而平面区域Ω1 与不等式组 + ≥ -2 确定的平面区域Ω2 的公共部分为四边形 DBOC.

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= 0, 由 得 A(0,2); --2 = 0 由 + = -2, --2 = 0 + = 1, 由 得 C(0,1); = 0 + = 1, 1 3 由 得 D(-2,2); --2 = 0 得 B(-2,0);

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易得 S△AOB=2×|BO|·|AO|=2×2×2=2,

1

1

S△ADC=2×|AC|·|xD|=2×1×2=4, S 四边形 BOCD=S△AOB-S△ADC=2-4=4,
由几何概型公式知,该点落在Ω2 内的概率为
1 7

1

1

1 1

P=

四边形 △

= 2 =8.

7 4

7

【答案】D

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【归纳拓展】长度、面积和体积是几何概型中的三种 基本度量,在解题时要准确把握,要把问题向它们作合理转 化,要注意古典概型与几何概型的区别(基本事件的有限性 与无限性),正确选用不同的概型解题.

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变式训练 9 (2014 辽宁卷)正方形的四个顶点 A(-1,-1),B(1,-1),C(1,1),D(-1,1)分别在抛物线 y=-x2 和 y=x2 上,如图所示.若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中, 则质点落在阴影区域的概率是

.

热点重点难点专题透析·数学(理科)

【解析】由几何概型可知若将一个质点随机投入正方 形 ABCD 中,则质点落在阴影区域的概率为

P=

2 -1

1

1- 2 )d 2×2 2 3

= .
3

2

【答案】

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热点十:条件概率 条件概率虽然在高考中考查得比较少,但从近几年开 始增多,复习中注意抓住对实际问题的分析,关键在于识别 概率类型. 从 1,2,3,4,5,6,7,8,9 中不放回地依次取 2 个数, 事件 A= ?第一次取到的是奇数? ,B= ?第二次取到的是奇数? , 则 P(B|A)=( ). A.5 B.10 C.5 D.2
1 3 2 1

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【分析】根据条件概率公式,先计算 P(AB)、P(A),再利 用 P(B|A)=
( ) ( )

即可获解.
C1 5 5 C2 5 10 5 C9 9 C 9 36 18

【解析】由题意得 P(A)= 1 = ,P(AB)= 2 = = , 故 P(B|A)= () = =2. 【归纳拓展】条件概率公式揭示了条件概率 P(A|B)与 事件概率 P(B)、P(AB)三者之间的关系.下列两种情况可利 用条件概率公式:一种情况是已知 P(B)和 P(AB)时去求出 P(A|B);另一种情况是已知 P(B)和 P(A|B)时去求出 P(AB).
( )
5 18 5 9

1

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对于后一种情况,为了方便也常将条件概率公式改写 为如下的乘法公式:若 P(A)>0,有 P(AB)=P(A)P(B|A).

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变式训练 10 如图,EFGH 是以 O 为圆心,1 为半径的圆 的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内,用 A 表示事 件?豆子落在正方形 EFGH 内?,B 表示事件?豆子落在扇形 OHE(阴影部分)内?,则 (1)P(A)= ;(2)P(B|A)=

.

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【解析】(1)由题意可得,事件 A 发生的概率

P(A)=

正方形 圆 △ 圆

=

2× 2 2

π×12 π

= .

(2)事件 AB 表示?豆子落在△EOH 内?,则

P(AB)=

=

1 ×12 2 π×12

=

1



.
1 2π 2 π

故 P(B|A)= 【答案】
2 π

( ) ( ) 1 4

=

=4.

1

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热点十一:随机变量的分布列、期望与方差 随机变量的分布列、期望与方差是高考中的重点,年年 必考,以考生比较熟悉的实际应用问题为背景,综合排列组 合、概率公式、互斥事件、独立事件以及统计等基础知识, 考查对随机变量的识别及概率计算的能力,考查运用概率 知识解决实际问题的能力,解答时要注意分类与整合、转化 与化归思想的运用.题型主要以解答题的形式呈现,但也有 时会以小题出现,难度中等.

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(2014 天津卷)某大学志愿者协会有 6 名男同 学,4 名女同学.在这 10 名同学中,3 名同学来自数学学院, 其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学,到希望小学进行支 教活动(每位同学被选到的可能性相同). (1)求选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率; (2)设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数,求随机变 量 X 的分布列和数学期望.

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【分析】(1)根据题意,选出的 3 名同学与顺序无关,是 一个组合计数问题,也是一个古典概型的概率计算问题.由 于选出的 3 名同学是来自互不相同的学院,因此在计算基本 事件数时要分两类,一类是 3 人中有 1 人来自数学学院,其 余 2 人来自物理、化学等七个学院;另一类是 3 人中全来自 物理、化学等七个学院. (2)根据题意,由于女同学有 4 人,所以选出的女同学的 人数 X 可能取值为 0、1、2、3,然后分别求出相应的概率, 列出分布列,再根据数学期望的公式计算随机变量 X 的数学 期望值.

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【解析】(1)设?选出的 3 名同学是来自互不相同的学 院?为事件 A, 则 P(A)=
0 2 3 C1 3 ·C 7 +C 3 ·C 7 49

C3 10

=60 ,
49

所以选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率为60 . (2)随机变量 X 的所有可能值为 0,1,2,3.

P(X=k)=

C 4 ·C 6 C3 10

3 -

(k=0,1,2,3),

所以随机变量 X 的分布列是

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X P

0 1 6

1 2 3 1 3 1 2 10 30
1 1 3

随机变量 X 的数学期望 E(X)=0×6+1×2+2×10 +3×

= . 30 5

1

6

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【归纳拓展】求随机变量的数学期望和方差的关键是 正确求出随机变量的分布列,若随机变量服从二项分布或 两点分布,则可直接使用公式求解.

变式训练 11 为了解甲、乙两个班级某次考试的数学 成绩(单位:分),从甲、乙两个班级中分别随机抽取 5 名学 生的成绩作样本,其样本的茎叶图如图所示.规定:成绩不 低于 120 分时为优秀成绩.

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(1)从甲班的样本中有放回地随机抽取 2 个数据,求其 中只有 1 个优秀成绩的概率; (2)从甲、乙两个班级的样本中分别抽取 2 名同学的成 绩,记获优秀成绩的人数为 X,求 X 的分布列和数学期望 E(X).

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【解析】(1)设事件 A 表示?从甲班的样本中有放回地 随机抽取 2 个数据其中只有一个优秀成绩?,
1 则 P(A)=C2 ×5×5=25 . 2 3 12

(2)X 的所有可能取值为 0,1,2,3,

P(X=0)= P(X=1)= P(X=2)=

2 C2 3 ·C 4

C2 5 ·C 5

2 =100 =50 ,

18

9

1 1 1 2 C2 3 ·C 4 +C 3 ·C 2 ·C 4 2 C2 5 ·C 5

=100 =25 , =100 =10 ,
30 3

48

12

1 1 2 2 C1 3 ·C 2 ·C 4 +C 2 ·C 4 2 C2 5 ·C 5

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P(X=3)=

1 1 C2 2 ·C 1 ·C 4 2 C2 5 ·C 5

=100 =25 , X 0 1 2 3
9 12 3 1 P 50 25 10 25

4

1

∴X 的分布列为:

∴X 的数学期望为 E(X)=0×50 +1×25 +2×10 +3×25 =5.

9

12

3

1

6

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热点十二:事件的独立性、独立重复试验与二项分布 二项分布是一种重要的概率分布,在实际生活中应用 广泛.事件的独立性、独立重复试验与二项分布是高考考查 的热点之一,考查的题型既有小题也有大题.在小题中,侧 重于考查事件相互独立性的概率;在解答题中,一般会综合 事件的相互独立、互斥或对立、二项分布等知识进行考查.

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(2014 辽宁卷)一家面包房根据以往某种面包的 销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.

将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的 销售量相互独立. (1)求在未来连续 3 天里,有连续 2 天的日销售量都不 低于 100 个且另 1 天的日销售量低于 50 个的概率;

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(2)用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天 数,求随机变量 X 的分布列,期望 E(X)及方差 D(X).

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【分析】 (1)设 A1 表示事件 ?日销售量不低于 100 个? ,A2 表示事件?日销售量低于 50 个?,B 表示事件?在未来连续 3 天里有连续 2 天日销售量不低于 100 个且另 1 天销售量低 于 50 个?.因此根据落入各组的频率视为概率及频率直方 图易得 P(A1)、P(A2),再由事件的独立性可求出 P(B);(2)由 题意可知,X~B(3,0.6),可直接由二项分布的期望和方差公 式求解. 【解析】 (1)设 A1 表示事件 ?日销售量不低于 100 个? ,A2 表示事件?日销售量低于 50 个?,B 表示事件?在

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未来连续 3 天里有连续 2 天日销售量不低于 100 个且 另 1 天销售量低于 50 个?.因此, P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6, P(A2)=0.003×50=0.15, P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108. (2)X 可能取的值为 0,1,2,3,相应的概率分别为 0 P(X=0)=C3 ·(1-0.6)3=0.064, 2 1 P(X=1)=C3 ·0.6(1-0.6) =0.288, 2 P(X=2)=C3 ·0.62(1-0.6)=0.432, 3 P(X=3)=C3 ·0.63=0.216.

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X 的分布列为 X P

0

1

2

3

0.064 0.288 0.432 0.216

因为 X~B(3,0.6),所以期望 E(X)=3×0.6=1.8,方 差 D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72. 【归纳拓展】计算二项分布的概率分布列时,要注意 以下几点:(1)分清楚在独立重复试验中,总共进行了多少 次重复试验,即先确定 n 的值,然后确定在一次试验中某事

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件 A 发生的概率是多少,即确定 p 的值,最后再确定某 事件 A 发生了多少次,即确定 k 的值.(2)准确算出每一种情 况下,某事件 A 发生的概率.(3)算出的结果要验证是否符合 离散型概率分布列的两个基本性质. 变式训练 12 为迎接 2013 年?两会?(全国人大 3 月 5 日—3 月 18 日、 全国政协 3 月 3 日—3 月 14 日)的胜利召 开,某机构举办猜奖活动,参与者需先后回答两道选择题, 问题 A 有四个选项,问题 B 有五个选项,但都只有一个选项 是正确的,正确回答问题 A 可获奖金 m 元,正确回答问题 B 可获奖金 n 元.活动规定:参与者可任意选择回答问题的顺

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序,如果第一个问题回答错误,则该参与者猜奖活动中 止.假设一个参与者在回答问题前,对这两个问题都很陌生 , 试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望 值较大.

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【解析】(1)该参与者随机猜对问题 A 的概率 P1= ,
4

1

随机猜对问题 B 的概率 P2=5. 回答问题的顺序有两种,分别讨论如下: ①先回答问题 A,再回答问题 B,参与者获奖金额 X 的可 能取值为 0,m,m+n, 则 P(X=0)=1-P1= ,
4 3 1 4 1 1

1

P(X=m)=P1(1-P2)=4×5=5, P(X=m+n)=P1P2=4×5=20 .
1 1

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数学期望 E(X)=0× +m× +(m+n)× = + .
4 5 2 4 20

3

1

1



②先回答问题 B,再回答问题 A,参与者获奖金额 Y 的可 能取值为 0,n,m+n,
则 P(Y=0)=1-P2= ,
5 4 1 3 3

P(Y=n)=P2(1-P1)=5×4=20 , P(Y=m+n)=P2P1=5×4=20 .
数学期望 E(Y)=0×5+n×20 +(m+n)×20 =20 + 5 .
4 3 1 1 1 1

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E(X)-E(Y)=( 4 +20 )-(20 +5 )=
3 4







4 -3 20

.

于是,当 > 时,E(X)>E(Y),即先回答问题 A,再回答问 题 B,参与者获奖金额的期望值较大; 当 = 时,E(X)=E(Y),无论是先回答问题 A,再回答问题
4 3

B,还是先回答问题 B,再回答问题 A,参与者获奖金额的期望
值相等; 当 <4时,E(X)<E(Y),即先回答问题 B,再回答问题 A,参 与者获奖金额的期望值较大.
3

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热点十三:正态分布 正态分布是自然界中最常见的一种分布,许多现象都 近似地服从正态分布(如长度测量误差、正常生产条件下各 种产品的质量指标等),也是高中阶段唯一连续型随机变量 的分布,这个考点虽然不是高考的重点,但在近几年新课标 高考中也有出现,其中数值计算是考查的一个热点.

热点重点难点专题透析·数学(理科)

某校在模块考试中约有 1000 人参加考试,其数 学考试成绩ξ~N(90,a2)(a>0,试卷满分 150 分),统计结果 显示数学考试成绩在 70 分到 110 分之间的人数约为总人数 的 ,则此次数学考试成绩不低于 110 分的学生人数约为
5 3

(

). A.600 B.400 C.300 D.200

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【分析】根据正态分布曲线的对称性,先求出此次数学 考试成绩不低于 110 分的概率,然后用概率的意义计算出此 次数学考试成绩不低于 110 分的学生人数. 2 【解析】 根据数学考试成绩ξ~N(90,a )(a>0,试卷满分 150 分),可知正态分布曲线关于直线 x=90 对称,而
70+110 2

=90,又由数学考试成绩在 70 分到 110 分之间的人数
3 3

约为总人数的5,知 P(70<ξ<110)=5,所以 P(ξ≥110)=P(ξ ≤70), 所以,P(ξ≥110)=2[1-P(70<ξ<110)]=2(1-5)=5.
1 1 3 1

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故此次数学考试成绩不低于 110 分的学生人数约为 1000×5=200. 【答案】D
1

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【归纳拓展】正态曲线是?钟形曲线?,具有很好的对 称性.正态分布问题求解的切入点是充分利用正态分布曲 线的图象特征和相关量的统计意义分析思考,把待求区间 内的概率向已知区间内的概率进行转化,在此过程中注意 数形结合思想的运用,记住正态分布的 3σ原则.

变式训练 13 (2014 全国新课标Ⅰ卷)从某企业的某种产品 中抽取 500 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结 果得如下频率分布直方图:

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(1)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数x和样本 方差 s (同一组中的数据用该区间的中点值作代表); (2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值 Z 服从 正态分布 N(μ,σ ),其中μ近似为样本平均数x,σ 近似为
2 2 2

?

?

样本方差 s2. ①利用该正态分布,求 P(187.8<Z<212.2);

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②某用户从该企业购买了 100 件这种产品,记 X 表示这 100 件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件 数,利用①的结果,求 EX.
附: 150≈12.2. 若 Z~N(μ,σ ),则 P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.6826,P(μ-2 σ<Z<μ+2σ)=0.9544.
2

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【解析】(1)抽取产品的质量指标值的样本平均值x和 样本方差 s2 分别为
?

?

x=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210

×0.24+220×0.08+230×0.02=200, s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0× 0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150. (2)①由(1)知,Z~N(200,150),从而 P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200+12.2)=0.6826.

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②由①可知,一件产品的质量指标值位于区间 (187.8,212.2)的概率为 0.6826,依题意知 X~B(100,0.6826),所以 E(X)=100×0.6826=68.26.
限时训练卷(一) 一、选择题 1.样本中共有五个个体,其值分别为 a,0,1,2,3,若该样本 的平均值为 1,则样本方差为( ). A.2 B.2.3 C.3 D.3.5

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【解析】 ∵样本的平均值为 1,∴a+0+1+2+3=5,∴a=-1,

∴s =5×[(-1-1)2+(0-1)2+(1-1)2+(2-1)2+(3-1)2]=2.
【答案】A 2.某大学对 1000 名学生的自主招生水平测试成绩进行统计, 得到样本频率分布直方图(如图),则这名学生在该次自主 招生水平测试中成绩不低于 70 分的学生数是( ).

2

1

A.300 B.400 C.500 D.600

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【解析】该次自主招生水平测试中成绩不低于 70 分的 学生数为 1000×(0.035×10+0.015×10+0.010×10)=600. 【答案】D 3.对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本,当选取简单 随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时, 总体中每个个体被抽中的概率分别为 p1,p2,p3,则( ) A.p1=p2<p3 B.p2=p3<p1 C.p1=p3<p2 D.p1=p2=p3

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【解析】不管是简单随机抽样、系统抽样还是分层抽 样,它们都是等概率抽样,每个个体被抽中的概率均为 ,所


以 p1=p2=p3,即选 D. 【答案】D 4.已知随机变量ξ服从正态分布 N(0,σ2),P(ξ>2)=0.023, 则 P(-2≤ξ≤2)=( ). A.0.954 B.0.977 C.0.488 D.0.477

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【解析】因为正态分布 N(0,σ2)的曲线关于 y 轴对称, 所以 P(ξ>2)=P(ξ<-2),所以 P(-2≤ξ≤ 2)=1-P(ξ>2)-P(ξ<-2)=1-2×0.023=0.954. 【答案】A

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5.根据如下样本数据 x 3 4

5

6

7

8

y

4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 -3.0


得到的回归方程为 y =bx+a,则( A.a>0,b>0 C.a<0,b>0 B.a>0,b<0 D.a<0,b<0

).

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【解析】作出散点图如图: 观察图象可知,回归直线 y =bx+a 的斜率 b<0,截距 a>0. 故 a>0,b<0.故选 B. 【答案】B 6.一项射击实验的标靶为圆形.在子弹命中标靶的前提下, 一次射击能够击中标靶的内接正方形的概率是( ). A.2 B. C.0.2π D.
π 1 3 2 π ^

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【解析】设正方形的边长为 a,则圆的半径为 2 a,所以 圆的面积为2πa ,正方形的面积为 a ,所以一次射击能够击 中标靶的内接正方形的概率是
正 2 圆 π 1
2 2

2

= .

【答案】D 7.4 位同学各自在周六、 周日两天中任选一天参加公益活动, 则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ). A.8 B.8 C.8 D.8
1 3 5 7

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【解析】 每位同学有 2 种选法,基本事件的总数为 24=16, 其中周六、周日中有一天无人参加的基本事件有 2 个,故周 六、周日都有同学参加公益活动的概率为 P=1-16 =8. 【答案】D 8.某单位有 840 名职工,现采用系统抽样方法抽取 42 人做 问卷调查,将 840 人按 1,2,…,840 随机编号,则抽取的 42 人中,编号落入区间[481,720]的人数为( ). A.11 B.12 C.13 D.14
2 7

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【解析】 ∵组距为 42 =20,∴1~20 为第一组,21~40 为第 二组,依此类推,每组抽取一人,又在[481,720]中共有 720-481+1=240 个编号,且有
240 20

840

=12,∴选 B.

【答案】B 9.甲、乙两人进行乒乓球比赛,先赢 3 局者获胜,决出胜负 为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次不同视为不同 情形)共有( ). A.10 种 B.15 种 C.20 种 D.30 种

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【解析】两人比赛局数为 3 局、4 局或 5 局.当局数为 3 时,情况为甲或乙连赢 3 局,共 2 种;当局数为 4 时,若甲胜, 则甲第 4 局胜,且前 3 局胜 2 局,有 3 种情况,同理乙胜也有 3 种情况,共 6 种;当局数为 5 时,前四局甲、乙各胜两局, 2 最后一局赢的人获胜,有 2C4 =12 种情况.故总共有 20 种情 况,选 C. 【答案】C

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二、填空题 10.游客甲、游客乙暑假期间去青岛旅游的概率分别为3、4, 假定他们两人的行动相互不受影响,则暑假期间游客甲、游 客乙两人都不去青岛旅游的概率为
1 1

.

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【解析】分别记甲、乙去青岛旅游为事件 A、B,则

P(A)=3,P(B)=4,由题设可知 A、B 相互独立,故所求的概率 P=P(·)=P()P()=(1-3)(1-4)=2.
【答案】2 11.( - )6 的展开式的常数项为
1 1 1 1 1

1

1

.

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【解析】因为C6 ( 3

) (- ) =(-1)
1
6

6-r

1

r

r

3-2r C6 ,r=0,1,…,6,

3

令 3-2r=0 得 r=2,所以( - ) 的展开式的常数项为
2 (-1) C6 =15. 【答案】15
2

12.随机变量ξ的取值为 0,1,2,若 P(ξ=0)= ,E(ξ)=1,则
5

1

D(ξ)=

.

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【解析】设ξ=1 时的概率为 p,则 E(ξ)=0×5+1×p+2

1

×(1-p-5)=1,解得 p=5,所以 D(ξ)=(0-1)2×5+(1-1)2×
3 5

1

3

1

+(2-1) ×5=5.
【答案】
2 5

2

1 2

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三、解答题 13.某学校的三个学生社团的人数分布如下表(每名学生只 能参加一个社团): 围棋社 舞蹈社 拳击社 男生 女生 5 15 10 30 28

m

学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查,按分层抽 样的方法从三个社团成员中抽取 18 人,结果拳击社被抽出 了 6 人.

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(1)求拳击社团被抽出的 6 人中有 5 人是男生的概率; (2)设拳击社团有 X 名女生被抽出,求 X 的分布列及数学期 望.

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【解析】(1)由于按分层抽样的方法从三个社团成员中 抽取 18 人,拳击社被抽出了 6 人,所以28+ =20+40+28+ ,解 得 m=2. 设 A=?拳击社团被抽出的 6 人中有 5 人是男生?, 则 P(A)=
1 C5 28 C 2

6

18

C6 30

=145 . =145 ;P(X=1)=
92
1 C5 28 C 2

48

(2)由题意可知:X=0,1,2. 则 P(X=0)=
0 C6 28 C 2

C6 30

C6 30

=145 ;P(X=2)=

48

2 C4 28 C 2

C6 30

=29.

1

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则分布列为:

X P

0 1 2 92 48 1 145 145 29
92 48 1 2

所以 E(X)=0×145 +1×145 +2×29=5.

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限时训练卷(二) 一、选择题 1.某校 100 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如 图所示,其中成绩分组区间 是:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],则图中 a 的值为( ). A.0.006 B.0.005 C.0.0045 D.0.0025

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【解析】由题意有 10a+10×0.04+10×0.03+10× 0.02+10a=1,解得 a=0.005. 【答案】B 2.某学生在一门功课的 22 次考试中,所得分数如下茎叶图 所示,则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为 ( ).

A.117 B.118 C.118.5 D.119.5

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【解析】由上图可知,最小值为 56,最大值为 98,故极 差为 42,又从小到大排列,排在第 11,12 位的数为 76,76,所 以中位数为 76,所以极差和中位数之和为 42+76=118,选 B. 【答案】B 3.设随机变量ξ服从正态分布 N(3,4),若 P(ξ <2a-2)=P(ξ>a+2),则 a=( ). A.4 B.3 C.2 D.1

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【解析】 由随机变量ξ服从正态分布 N(3,4),可知正态 曲线的对称轴为直线 x=3,又由 P(ξ<2a-2)=P(ξ>a+2),所 以
2 -2+ +2 2

=3,解得 a=2.

【答案】C

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4.已知 x 与 y 之间的几组数据如下表所示:

x y

0 0


1 2

2 6

3 7

则 y 与 x 的线性回归方程 y =bx+a 必过( A.(1,2) B.(2,6) C.( , ) D.(3,7)
2 4 3 15

).

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【解析】 因为x=


? 0+1+2+3 3 ? 0+2+6+7 15 4

=2,y=

4

= 4 ,所以线性回归

方程 y =bx+a 必过(2, 4 ). 【答案】C 5.在一个装满水的容积为 1 升的容器中有两个相互独立、 自由游弋的草履虫,现在从这个容器中随机取出 0.1 升水, 则在取出的水中发现草履虫的概率为( ). A.0.10 B.0.09 C.0.19 D.0.199

3 15

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【解析】记:A={取出的水中有草履虫 a},B={取出的水 中有草履虫 b},则 P(A)=0.1,P(B)=0.1, 小杯中发现草履虫为事件 A+B,则 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.1+0.1-0.12=0.19. 【答案】C 6.从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A= ?取到的 2 个 数之和为偶数?,事件 B=?取到的 2 个数均为偶数?,则 P(B|A)=( ). A.8 B.4 C.5 D.2
1 1 2 1

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【解析】∵P(A)=

2 C2 3 +C 2 2

C2 5

=5,P(AB)=C 2 =10 ,
5

C2 2

1

∴P(B|A)= () =4.
【答案】B

() 1

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7.如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P,则点 P 恰好取自阴影部分的概率为( ). A.3 B.4 C.5 D.6
1 1 1 1

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【解析】根据积分的应用可知所求阴影部分的面积为
1 0 1

x- )d = ( - 4 )
2 4 0

3

1

2

1

1

=
1

,所以由几何概型公式可得点 P 恰好取自阴影部分的概率为 4 ,故 4 【答案】B 8.将甲、乙两人在内的 7 名医生分成三个医疗小组,一组 3 人,另两组每组各 2 人,则甲、乙不分在同一组的分法有 ( ). A.80 种 B.90 种 C.25 种 D.120 种

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【解析】由题意可得将 7 名医生分成三个医疗小组,一 组 3 人,另两组每组各 2 人,共有
2 2 C3 7C4 C2

A2 2

=105(种)不同的分法,

2 1 2 2 2 3 2 (C 2 C 5 )C 4 C 2 又甲、乙分在同一组的方法共有C2 C5 C2 + =25(种) A2 2

不同的分法,故甲、乙不分在同一组的分法有 105-25=80. 【答案】A

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9.已知 a 为执行如图所示的程序框图输出的结果,则二项式 (a - ) 的展开式中含 x 项的系数是(
6 2

1



).

A.192 B.32 C.96 D.-192

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【解析】由程序框图可知,a 计算的结果依次为 2,-1, ,2,…,呈周期性变化,周期为 3.
2 1

当 i=2011 时运行结束,2011=3×670+1,所以 a=2. 所以(a - ) =(2 - )6,
6

1

1





6-r r r 6-r 3-r Tr+1=C6 (2 ) (- ) =(-1) C6 2 x ,

1

1 令 3-r=2,得 r=1,所以含 x 项的系数是(-1)C6 2 =-192. 【答案】D
2 5

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二、填空题 10.某普通高中有 3000 名学生,高一年级 800 名,男生 500 名,女生 300 名;高二年级 1000 名,男生 600 名,女生 400 名; 高三年级 1200 名,男生 800 名,女生 400 名,现按年级比例 用分层抽样的方法抽取 150 名学生,则在高三年级抽取的女 生人数为

.

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【解析】高三年级应抽取 1200×800+1000 +1200 =60 人, 所以高三女生应抽取 400×
60 1200

150

=20 人.

【答案】20 11.在区间[-5,5]上任取一个数 a,则函数 f(x)=x2-2ax+a+6 有零点的概率为

.

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【解析】 若 f(x)=x2-2ax+a+6=(x-a)2-a2+a+6 没有零点, 2 则-a +a+6>0,解得-2<a<3,则函数 y=f(x)有零点的概率

P=1-

3-(-2) 1 5-(-5) 2

=.
1

【答案】2 12.设(1+2x)20=(a0+a1x+a2x2+… +a9x9+a10x10)·(1+x)10+b0+b1x+b2x2+…+b9x9,则 b0-b1+b2-b3+…

+b8-b9=

.

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【解析】取 x=-1,代入已知等式得 (1-2)20=(a0-a1+a2-…-a9+a10)×(1-1)2+(b0-b1+b2-… -b9), 即 1=0+(b0-b1+b2-…-b9),所以 b0-b1+b2-…b9=1. 【答案】1

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三、解答题 13.甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比 赛,若赛完 5 局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比 赛.假设每局甲获胜的概率为 ,乙获胜的概率为 ,各局比赛
3 3 2 1

结果相互独立. (1)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率; (2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数,求 X 的分布列和均值 (数学期望).

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【解析】 用 A 表示 ?甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛? ,Ak 表示?第 k 局甲获胜?,Bk 表示?第 k 局乙获胜?,则

P(Ak)=3,P(Bk)=3,k=1,2,3,4,5.
(1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(B
1

2

1

)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)=(3) +3×(3) +3×3×
2 3
2

2

2

1

2

2

2

1

( )= .
81

56

(2)X 的可能取值为 2,3,4,5. P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)

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=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)=9, P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)=P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2
)P(B3)=9,
2

5

P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4) =P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)=81 , P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=81 .
故 X 的分布列为
8 10

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X P
5

2 5 9
2

3 2 9
10

4 5 10 8 81 81
8 224

E(X)=2×9+3×9+4×81 +5×81 = 81 .

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一、选择题 1.某学校有男、女学生各 500 名.为了解男、女学生在学习 兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中 抽取 100 名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是( ). A.抽签法 B.随机数法 C.系统抽样法 D.分层抽样法

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【解析】因为对男女进行抽样,个体差异比较大,应采 用分层抽样法,故选 D. 【答案】D 2.从编号为 001,002,…,500 的 500 个产品中用系统抽样的 方法抽取一个样本,已知样本中编号最小的两个编号分别 为 007,032,则样本中最大的编号应该为( ). A.480 B.481 C.482 D.483

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【解析】根据题意可知,抽样间隔为 32-7=25,所以由 7+(k-1)×25≤500,解得 k≤
493 25

+1,可得 k≤20,所以样本中

最大的编号为 7+19×25=482. 【答案】C

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3.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示,若它们的中位数相同, 平均数也相同,则图中的 等于(
1 8

).

A.8 B.9 C. D.1

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【解析】 根据题意可得甲组数据的中位数为 21,则可得 20+n=21,即 n=1,所以乙组数据的平均数为 22,则可得
20+22+28+10+ 4

=22,解得 m=8,所以 =8.



【答案】A

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4.设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有 线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用 最小二乘法建立的回归方程为 y =0.85x-85.71,则下列结论 中不正确 的是( ). ... A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心(x,y) C.若该大学某女生身高增加 1 cm,则其体重约增加 0.85 kg
? ? ^

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D.若该大学某女生身高为 170 cm,则可断定其体重必为 58.79 kg

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【解析】因为回归方程为: y =0.85x-85.71,在 D 项中, 由 x=170 得到 y =58.79,就认为其体重一定为 58.79 kg 是错 误的,应得到的体重约为 58.79 kg 才是对的,所以选 D. 【答案】D




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5.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图② 所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样 的方法抽取 2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中 生近视人数分别为( ).

A.200,20 B.100,20 C.200,10 D.100,10

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【解析】根据图①知该地区中小学生一共有 10000 人, 由于抽取 2 的学生,所以样本容量是 10000×2 =200.由于 高中生近视率为 50 ,所以高中生近视的人数为 2000×2 × 50 =20. 【答案】A 6.从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中,任取 2 个点,则 这 2 个点的距离不小于该正方形边长的概率为( ). A.5 B.5 C.5 D.5
1 2 3 4

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【解析】如图所示,从正方形四个顶点及其中心这 5 个 2 点中,任取 2 个点,共有C5 =10 条线段,A、B、C、D 四点中任 2 意 2 点连线段都不小于该正方形边长,共有C4 =6 条,所以这 2 个点的距离不小于该正方形边长的概率为 P= = .
10 5 6 3

【答案】C

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7.以下四个命题中: ①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每 10 分钟从中 抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样; ②若两个变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值越 接近于 1; ③在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布 N(1,σ2)(σ>0), 若ξ位于区域(0,1)内的概率为 0.4,则ξ位于区域(0,2)内 的概率为 0.8;

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④对分类变量 X 与 Y 的随机变量 K2 的观测值 k 来说,k 越小, 判断?X 与 Y 有关系?的把握越大.其中真命题的序号为 ( ). A.①④ B.②④ C.①③ D.②③

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【解析】①应为系统(等距)抽样;②线性相关系数 r 的 绝对值越接近 1,两变量间线性关系越密切;③变量ξ~N(1, σ2),P(0<ξ<2)=0.8;④随机变量 K2 的观测值 k 越大,判断 ?X 与 Y 有关系?的把握越大. 【答案】D

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8.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变量的关系,随机抽查 52 名中学生,得到统计数据如表 1 至表 4,则与性别有关联的可能性最大的变量是( ). 表1 成绩 不及格 及格 总计 性别 男 女 总计 6 10 16 14 22 36 20 32 52

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表2 视力 性别 男 女 总计

好 4 12 16

差 16 20 36

总计 20 32 52

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表3 智高 偏高 正常 总计 性别 男 女 总计 8 8 16 12 24 36 20 32 52

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表4

阅读量 丰富 不丰富 总计 性别 男 女 总计 A.成绩 14 2 16 6 30 36 20 32 52

B.视力 C.智商 D.阅读量

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【解析】根据独立性检验公式计算可知,阅读量与性别 有关联的可能性较大. 【答案】D 9.某学校周五安排有语文、数学、英语、物理、化学、体 育六节课,要求体育不排在第一节课 ,数学不排在第四节课, 则这天课表的不同排法种数为( ). A.600 B.288 C.480 D.504

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【解析】学校安排六节课程可看做是用 6 个不同的元 素填 6 个空的问题,要求体育不排在第一节课,数学不排在 第四节课的排法可分两类.一类是体育课排在第四节,则满 足了体育课不在第一节,同时满足了数学课不在第四节,排 法种数是A5 5 =120 种;一类是体育课不排第四节,数学课也不 排在第四节,则第四节课只能从语文、英语、物理、化学课 中任取 1 节来安排,有 4 种安排方法,然后安排第一节课,第 一节课可从语文、英语、物理、化学课中剩下的 3 各科目 及数学科目 4 个科目中任选 1 节,有 4 种安排方法,最后剩 余的 4 各科目和 4 节课可全排列有A4 4 =24 种排法,由分步

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计数原理,第二类安排方法共有 4×4×24=384 种,所以 这天课表的不同排法种数为 120+384=504 种. 【答案】D 3 8 2 10.在(1-x) (1+x) 的展开式中,含 x 项的系数是 n,若 (8-nx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则 a0+a1+a2+…+an=( ). A.0 B.1 C.-1 D.157 2 1 1 2 【解析】由题意可得 n=C8 +C3 ·(-1)·C8 +C3 =7,再令 x=1,代入(8-nx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn 得 a0+a1+a2+… +an=(8-7)7=1 【答案】B

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11.袋中有大小相同的编号为 1 到 8 的球各一只,自袋中随 机取出两球,设η为取出两球中的较小编号,若 Pk 表示η取 值为 k(k=1,2,…,7)的概率,则满足 Pk>8的 Pk 个数是( A.5 B.4 C.3 D.2
1

).

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【解析】从编号为 1 到 8 的球随机取出两球,共有 2 C8 =28(种)不同的情况, ∵η为取出两球中的较小编号,Pk 表示η取值为 k(k=1,2,…,7)的概率,

∴ P1=28 >8,P2=28 >8,P3=28 >8,P4=28 >8,P5=28 <8,P6=28 <8,P7=28 <8,
综上所述,满足 Pk> 的 Pk 个数是 4 个.
8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1

【答案】B

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12.一个射箭运动员在练习时只记射中 9 环和 10 环的成绩, 未击中 9 环或 10 环就以 0 环记.该运动员在练习时击中 10 环的概率为 a,击中 9 环的概率为 b,既未击中 9 环也未击中 10 环的概率为 c(a,b,c∈[0,1)),如果已知该运动员一次射 箭击中环数的期望为 9 环,则当 + 取最小值时,c 的值为
9 10 1

(

). A.11 B.11 C.11 D.0
1 2 5

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【解析】由题意可得 10a+9b=9,
10

+ = ( + )(10a+9b)=9(101+ 9 9 9 = 9 即 a=9b 时取等号.
9

1

1 10

1

1

90 10

+ 9 )≥

121 9

,当且仅



90 10

由 10a+9b=9 及 a=9b 得 a= ,b= 所以 c=1-a-b= .
11 11 11

1

1

【答案】A

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二、填空题 13.从总体中随机抽出一个容量为 20 的样本,其数据的分 组及各组的频数如下表,试估计总体的中位数 为 .(结果保留到整数) 分组 频数 [12,16) [16,20) [20,24) [24,28) 4 8 5 3

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【解析】 估计总体的中位数为 14×20 +18×20 +22×20 +26

4

8

5

×20 ≈19.
【答案】19 14.商场经营的某种袋装大米质量(单位:kg)服从正态分布 N(10,0.12),任取一袋大米,质量不足 9.8 kg 的概率为 .(精确到 0.0001) (注:P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<X≤μ+2 σ)=0.9544,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9974.)

3

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【解析】设大米质量为 X,则 X~N(10,0.12),则 P(9.8<X ≤10.2)=0.9544,所以质量不足 9.8 kg 的概率即 P(X≤ 9.8)=

=0.0228. 【答案】0.0228
2

1-0.9544

15.如图,在边长为 e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机 撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为

.

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【解析】因为函数 y=ln x 的图象与函数 y=e 的图象关 于正方形的对角线所在直线 y=x 对称,则图中的两块阴影部 分的面积为 = 2 分的概率 P=e 2 . 【答案】
2 e2 2 1 0

x

e-e )d = 2,

故根据几何概型的概率公式得,该粒黄豆落到阴影部

16.若(ax2+ )6 的展开式中 x3 项的系数为 20,则 a2+b2 的最小 值为

.

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3 6-3 3 12-3r=3,得 r=3,所以C6 a b =20,即 a3b3=1,所以 ab=1,所以 a2+b2≥2ab=2,当且仅当 a=b,且 ab=1 时,等号成立.故 a2+b2 的最小值是 2. 【答案】2

6-r r 12-3r 【解析】因为 Tr+1=C6 (ax2)6-r( )r=C6 a b x ,令



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三、解答题 17.一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片,其中 4 张卡片 上的数字是 1,3 张卡片上的数字是 2,2 张卡片上的数字是 3.从盒中任取 3 张卡片. (1)求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率; (2)X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数,求 X 的分布列与 数学期望. (注:若三个数 a,b,c 满足 a≤b≤c,则称 b 为这三个数的中 位数)

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【解析】(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为

P=

3 C3 4 +C 3

C3 9

=84 .
1 3 C2 4 C 5 +C 4 17

5

(2)X 的所有可能值为 1,2,3,且

P(X=1)=
1 12

C3 9

=42 ,P(X=2)=

3 1 1 2 1 C1 3 C 4 C 2 +C 3 C 6 +C 3 43

C3 9

=84 ,P(X=3)=

1 C2 2 C7

C3 9

=

, 故 X 的分布列为

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1 2 3 17 1 43 P 42 12 84 17 43 1 47 从而 E(X)=1× +2× +3× = .
42 84 12 28

X

18.据 IEC(国际电工委员会)调查显示,小型风力发电项目 投资较少,且开发前景广阔,但受风力自然资源影响,项目 投资存在一定风险.根据测算,风能风区分类标准如下: 风能分类 一类风区 二类风区 平均风速 8.5~10 6.5~8.5 m/s

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假设投资 A 项目的资金为 x(x≥0)万元,投资 B 项目资金为 y(y≥0)万元,调研结果:未来一年内,位于一类风区的 A 项 目获利的可能性为 0.6,亏损 20 的可能性为 0.4;位于二类 风区的 B 项目获利 35 的可能性为 0.6,亏损 10 的可能性是 0.1,不赔不赚的可能性是 0.3. (1)记投资 A,B 项目的利润分别为 X 和 Y,试写出随机变量 X 与 Y 的分布列和期望 E(X),E(Y); (2)某公司计划用不超过 100 万元的资金投资于 A,B 项目, 且公司要求对 A 项目的投资不得低于 B 项目,根据(1)的结

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论和市场调研,试估计一年后两个项目的平均利润之和 z=E(X)+E(Y)的最大值.

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【解析】(1)A 项目投资利润 X 的分布列

X P

0.3x 0.6

-0.2x
0.4

E(X)=0.18x-0.08x=0.1x. B 项目投资利润 Y 的分布列
Y P
0.35y 0.6

-0.1y
0.1

0 0.3

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E(Y)=0.21y-0.01y=0.2y.
+ ≤ 100, (2)由题意可知 x,y 满足的约束条件为 ≥ , ≥ 0, ≥ 0. 由(1)可知,z=E(X)+E(Y)=0.1x+0.2y, 当 x=50,y=50,z 取得最大值 15. 故对 A、 B 项目各投资 50 万元,可使公司获得最大利润, 最大利润是 15 万元.

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19.在一次对某班 42 名学生参加课外篮球、排球兴趣小组 (每人参加且只参加一个兴趣小组)情况调查中,经统计得 到如下 2×2 列联表:(单位:人) 篮球 排球 总计 男同 16 6 22 学 女同 8 12 20 学 总计 24 18 42

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(1)据此判断是否有 95%的把握认为参加 ?篮球小组? 或 ?排 球小组?与性别有关? (2)在统计结果中,如果不考虑性别因素,按分层抽样的方 法从两个兴趣小组中随机抽取 7 名同学进行座谈.已知甲、 乙、丙三人都参加?排球小组?. ①求在甲被抽中的条件下,乙丙也都被抽中的概率; ②设乙、丙两人中被抽中的人数为 X,求 X 的分布列及数学 期望 E(X).

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下面临界值表供参考: 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k

2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
( - )
2

参考公式:K =

2

( + )( + )( + )( + )

.

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【解析】(1)由表中数据得 K2 的观测值

k=

42× (16×12 -8×6) 24×18×20×22

2

= 55 ≈4.582>3.841.

252

所以,据此统计有 95%的把握认为参加?篮球小组?或 ?排球小组?与性别有关. (2)①由题可知在?排球小组?的 18 位同学中,要选取 3 位同学. (法一)令事件 A 为?甲被抽到?;事件 B 为?乙丙被抽 到?,则 P(A∩B)=C 3 ,P(A)=C 3 .
18 18

C3 3

C2 17

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所以

(?) C 3 2 1 3 P(B|A)= () =C 2 =17×16=136 . 17

(法二)令事件 C 为?在甲被抽到的条件下,乙丙也被抽 到?,则 P(C)= 依题意
C2 17 C2 2

=17×16=136 .

2

1

②由题知 X 的可能值为 0,1,2. P(X=0)=C 3 =51 ;P(X=1)=
18

C3 16 35

1 C2 16 C 2

C3 18

=17 ;P(X=2)=

5

2 C1 16 C 2

C3 18

=51 .

1

从而 X 的分布列为:

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X P
35 51

0 35 51
5 17

1 5 17
1 1 51 3

2 1 51

于是 E(X)=0× +1× +2× = .

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20.低碳生活,从?衣食住行?开始.在国内一些网站中出现 了?碳足迹?的应用,人们可以由此计算出自己每天的碳排 放量,如家居用电的二氧化碳排放量(千克)=耗电度数× 0.785,家用天然气的二氧化碳排放量(千克)=天然气使用 立方数×0.19 等.某校开展?节能减排,保护环境,从我做 起!?的活动,该校高一(六)班同学利用假期在东城、西城 两个小区进行了逐户的关于?生活习惯是否符合低碳排放 标准?的调查.生活习惯符合低碳观念的称为?低碳家庭?, 否则称为?非低碳家庭?.经统计,这两类家庭占各自小区 总户数的比例 P 数据如下:

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东城小区 比例 P

低碳 非低碳 西城小区 家庭 家庭 1 1 比例 P 2 2

低碳家庭 非低碳家庭 4 5 1 5

(1)如果在东城、西城两个小区内各随机选择 2 个家庭,求 这 4 个家庭中恰好有 2 个家庭是?低碳家庭?的概率;

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(2)该班同学在东城小区经过大力宣传节能减排的重要意 义,每周?非低碳家庭?中有 20%的家庭能加入到?低碳家 庭?的行列中.宣传两周后随机地从东城小区中任选 5 个家 庭,记 X 表示 5 个家庭中 ?低碳家庭? 的个数,求 E(X)和 D(X).

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【解析】 (1)设事件 ?4 个家庭中恰好有 2 个家庭是 ‘低 碳家庭’?为 A,则有以下三种情况:?低碳家庭?均来自东 城小区,?低碳家庭?分别来自东城、西城两个小区,?低 碳家庭?均来自西城小区. 则 P(A)=2×2×5×5+4×2×2×5×5+2×2×5×5=100 . (2)因为东城小区每周有 20%的人加入?低碳家庭?行 列,经过两周后,非低碳家庭所占的比例为 ×(1-20 )2= ,
2 25 1 8 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 4 4 33

两类家庭占东城小区总家庭数的比例如下:

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东城小区 低碳家庭 非低碳家庭 17 8 P 25 25 由题意,两周后东城小区 5 个家庭中的?低碳家庭? 的个数 X 服从二项分布,即 X~B(5, )
25 17 17 17 17 8 136

∴E(X)=5×25 = 5 ,D(X)=5×25 ×25 =125 .

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21.某电视台举办猜歌曲的娱乐节目:随机播放歌曲片段, 选手猜出歌曲名称可以赢取奖金.曲库中歌曲足够多,不重 复抽取.比赛共分 7 关:前 4 关播放常见歌曲;第 5,6 关播放 常见或罕见歌曲,曲库中常见歌曲与罕见歌曲数量比为 1∶ 4;第 7 关播放罕见歌曲.通过关卡与对应的奖金如下表所示. 选手在通过每一关(最后一关除外)之后可以自主决定退出 比赛或继续闯关;若退出比赛,则可获得已经通过关卡对应 奖金之和;若继续闯关但闯关失败,则不获得任何奖金.

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关卡 关卡 奖金 (元) 1 1000 2 2000 3 3000 4 4000 5 8000 6 12000 7 20000

累计奖金(元) 1000 3000 6000 10000 18000 30000 50000

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(1)选手甲准备参赛,在家进行自我测试:50 首常见歌曲,甲 能猜对 40 首.40 首罕见歌曲,甲只能猜对 2 首.以他猜对常 见歌曲与罕见歌曲的频率为概率. ①若比赛中,甲已顺利通过前 5 关,求他闯过第 6 关的概率; ②在比赛前,甲计划若能通过第 1,2,3 关的任意一关,则继 续;若能通过第 4 关,则退出,求这种情况下甲获得奖金的数 学期望. (2)设选手乙猜对罕见歌曲的概率为 p,且他已经顺利通过 前 6 关,当 p 满足什么条件时,他选择继续闯第 7 关更有利?

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【解析】(1)①他能闯关第 6 关的概率 p=5×50 +5×

1

40 4

= . 40 5 ②设甲获得的奖金为 X 元,其分布列为: X 0 10000 4 4 (5)4 P 1-(5)4 ∴E(X)=0×[1-(5)4]+10000×(5)4=4096.
(2)若他通过前 6 关后退出比赛,可获奖金 30000 元. 设他继续闯第 7 关,可获奖金 Y 元,
4 4

2

1

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则 Y 的分布列为:

Y P ∴E(Y)=50000p,

0 1-p

50000

p

令 50000p>30000,解得 p> ,
5

3

所以,当 p> 时,他选择继续闯关更有利.
5

3

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22.计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站.过 去 50 年的水文资料显示,水库年入流量 X(年入流量:一年内 上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在 40 以上.其 中,不足 80 的年份有 10 年,不低于 80 且不超过 120 的年份 有 35 年,超过 120 的年份有 5 年.将年入流量在以上三段的 频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立. (1)求未来 4 年中,至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率. (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最 多可运行台数受年入流量 X 限制,并有如下关系:

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年入流量 X 发电机最多 可运行台数

40<X<80 80≤X≤120 X>120 1 2 3

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若某台发电机运行,则该台年利润为 5000 万元;若某台发电 机未运行,则该台年亏损 800 万元.欲使水电站年总利润的 均值达到最大,应安装发电机多少台?

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【解析】(1)依题意,p1=P(40<X<80)= =0.2,
50

10

p2=P(80≤X≤120)=50 =0.7, p3=P(X>120)=50 =0.1.
由二项分布得,在未来 4 年中至多有 1 年的年入流量超 4 3 4 0 1 过 120 的概率为 p=C4 (1-p3) +C4 (1-p3) p3=0.9 +4×0.93× 0.1=0.9477. (2)记水电站年总利润为 Y(单位:万元). ①安装 1 台发电机的情形.
5

35

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由于水库年入流量总大于 40,故一台发电机运行的概 率为 1,对应的年利润 Y=5000,E(Y)=5000×1=5000. ②安装 2 台发电机的情形. 依题意,当 40<X<80 时,一台发电机运行,此时 Y=5000800=4200,因此 P(Y=4200)=P(40<X<80)=p1=0.2;当 X≥80 时,两台发电机运行,此时 Y=5000×2=10000,因此 P(Y=10000)=P(X≥80)=p2+p3=0.8.由此得 Y 的分布列如下:

Y P

4200 10000 0.2 0.8

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所以 E(Y)=4200×0.2+10000×0.8=8840. ③安装 3 台发电机的情形. 依题意,当 40<X<80 时,一台发电机运行,此时 Y=5000-1600=3400,因此 P(Y=3400)=P(40<X<80)=p1=0.2;当 80≤X≤120 时,两台发电机运行,此时 Y=5000×2-800=9200, 因此 P(Y=9200)=P(80≤X≤120)=p2=0.7;当 X>120 时,三台 发电机运行,此时 Y=5000×3=15000,因此 P(Y=15000)=P(X>120)=p3=0.1.由此得 Y 的分布列如下:

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1500 0 P 0.2 0.7 0.1

Y 3400 9200

所以 E(Y)=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620. 综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发 电机 2 台.


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