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2014高二数学竞赛


2014----2015 学年靖远一中高二数学竞赛试题
班级___________

一、填空题 1.已知 A={x|x2-4x+3<0,x∈R}, B={x|21-x+a≤0,x2-2(a+7)x+5≤0,x∈R}, 若 A ? B,则实数 a 的取值范围是___________________. 2. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 32 , an ? 1 ? an ? 2n ( n ? N * ) ,则 为 。
an 的最小值 n

3.若某立体的三视图如下,则该立体的体积为________________.
1 2 正视图 1 侧视图 1

1 1 2 俯视图

4. 在椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 中,记左焦点为 F ,右顶点为 A ,短轴上 a2 b2
5 ?1 ,则 ?ABF ? 2

方的端点为 B .若该椭圆的离心率是



x 5.已知 f ( x) 为 R 上增函数,且对任意 x ? R ,都有 f ? ? f ( x) ? 3 ? ? ? 4,

则 f (2) ?



姓名_____________ 二、解答题 1.已知函数 f ( x) ? sin 2 ? x ? 3 sin ? x ? sin(? x ? ) (? ? 0) 的最小正周期 是 .求 f ( x) 在 [ , ] 上的最大值与最小值.
π 2 π π 8 4 π 2

2. 已知三棱锥 S—ABC 的底面是正三角形,A 点在侧面 SBC 上的射 影 H 是Δ SBC 的垂心, 二面角 H—AB—C 的平面角等于 300, SA= 2 3 。 求三棱锥 S—ABC 的体积。

3.有 4 位顾客将各自的帽子随意放在衣帽架上,然后,每人随意 取走一顶帽子, 求(1)4 人拿走的都是自己帽子的概率; (2)恰有 3 人拿的都是自己的帽子的概率; (3)恰有 1 人拿的都是自己的帽子的概率; (4)4 人拿的都不是自己的帽子的概率。

* 4. 已知数列 {log2 (an ? 1)}n ? N ) 为等差数列,且 a1 ? 3, a3 ? 9.

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;
1 1 1 ? ??? ? 1. a ? a a ? a a ? a n ?1 n (Ⅱ)证明 2 1 3 2

一、填空题 【答案】 1. - 4 ≤ a ≤- 1 . 10 2.
31 . 3

3.

2.

4.

?ABF ? 90? .5.

二、解答题 1、 解: f ( x) ?
1 ? cos 2? x 3 3 1 1 ? sin 2? x ? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 2 2 2 2

? 1 ? sin(2? x ? ) ? , 6 2 2? ? ? ,则 ? ? 2 . 由条件知 T ? 2? 2 ? 1 于是 f ( x) ? sin(4 x ? ) ? , 6 2



?

8 4 3 6 1 ? 故 ? sin(4 x ? ) ? 1 , 2 6 ? 1 3 即 1 ? sin(4 x ? ) ? ? . 6 2 2

?x?

?

时, ? 4 x ? ?

?

?

5? , 6

所以, f ( x) 在 x ? 时取最大值 ,在 x ? 时取最小值是1 .
6 4

?

3 2

?

2、解由题设,AH ? 平面 SBC,作 BH ? SC 于 E, 由三垂线定理可知 SC ? AE,SC ? AB,故 SC ? 平面 ABE。 设 S 在平面 ABC 内射影为 O,则 SO ? 平面 ABC, 由三垂线定理的逆定理知,CO ? AB 于 F。 同理,BO ? AC,所以 O 为Δ ABC 垂心。 又因为Δ ABC 是等边三角形,故 O 为Δ ABC 的中心, 从而 SA=SB=SC= 2 3 ,因为 CF ? AB,CF 是 EF 在平面 ABC 上的射影, 又由三垂线定理知, EF ? AB, 所以∠EFC 是二面角 H—AB—C 的平面角, 故∠EFC=300,所以 OC=SCcos600= 2 3 ? ? 3 ,SO= 3 tan600=3,
1 2

又 OC=

9 3 1 3 AB,所以 AB= 3 OC=3。所以 VS—ABC= ? ×32×3= 3 。 4 3 3 4

4、解: (I)设等差数列 {log2 (an ? 1)} 的公差为 d. 由 a1 ? 3, a3 ? 9得2(log2 2 ? d ) ? log2 2 ? log2 8, 即 d=1.
n 所以 log2 (an ? 1) ? 1 ? (n ? 1)? ? n, 即 an ? 2 ? 1.

1 1 1 ? n?1 ? n n (II)因为 an?1 ? an a ? 2 2 , 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? 1 ? 2 ? 3 ??? n an?1 ? an 2 2 2 2 所以 a2 ? a1 a3 ? a2

1 1 1 ? n? 2 ? 1 ? 1 ? 1. 2 ? 2 1 2n 1? 2


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