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带电粒子在磁场中运动的六类高考题型归类解析13-4-15


带电粒子在磁场中运动的六类高考题型归类解析
一、带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动基本问题 粒子在磁场中有 找圆心、画轨迹是解题的基础。带电粒子垂直于磁场进入一匀强磁场后在洛伦兹力作用下必作匀速圆周 运动,抓住运动中的任两点处的速度,分别作出各速度的垂线,则二垂线的交点必为圆心;或者用垂径定理及一 处速度的垂线也可找出圆心;再利用数学知识求出圆周运动的半径及粒子经过的圆心角从而解答物理问题。 由②、③得 ④ ③

(04 天津)钍核

发生衰变生成镭核 和

并放出一个粒子。设该粒子的质量为 间电场时,其速度为 垂直平板电极

、电荷量为 方向进

(3)粒子做圆周运动的回旋周期

q,它进入电势差为 U 的带窄缝的平行平板电极

,经电场加速后,沿 ,当粒子从

入磁感应强度为 B、方向垂直纸面向外的有界匀强磁场, 度方向与 方位的夹角

点离开磁场时,其速 ⑤

,如图所示,整个装置处于真空中。

(1)写出钍核衰变方程; 粒子在磁场中运动时间 ⑥

(2)求粒子在磁场中沿圆弧运动的轨道半径 R;

(3)求粒子在磁场中运动所用时间 。 由⑤、⑥得 ⑦

二、带电粒子在磁场中轨道半径变化问题

导致轨道半径变化的原因有:①带电粒子速度变化导致半径变化。如带电粒子穿过极板速度变化;带电 粒子使空气电离导致速度变化;回旋加速器加速带电粒子等。②磁场变化导致半径变化。如通电导线周围磁场, 不同区域的匀强磁场不同;磁场随时间变化。③动量变化导致半径变化。如粒子裂变,或者与别的粒子碰撞;④

电量变化导致半径变化。如吸收电荷等。总之,由 看 m、v、q、B 中某个量或某两个量的乘积或比值的 变化就会导致带电粒子的轨道半径变化。

解析:(1)钍核衰变方程



(2)设粒子离开电场时速度为

,对加速过程有



(06 年全国 2)如图所示,在 x<0 与 x>0 的区域中,存在磁感应强度大小分别为 B1 与 B2 的匀强磁 场,磁场方向垂直于纸面向里,且 B1>B2。一个带负电的粒子从坐标原点 O 以速度 v 沿 x 轴负方向射出,要使 该粒子经过一段时间后又经过 O 点,B1 与 B2 的比值应满足什么条件?

由①②⑤式可得 B1、B2 应满足的条件

解析:粒子在整个过程中的速度大小恒为 v,交替地在 xy 平面内 B1 与 B2 磁场区域中做匀速圆周运 动,轨迹都是半个圆周。设粒子的质量和电荷量的大小分别为 m 和 q,圆周运动的半径分别为和 r2,有

n=1,2,3,……⑥

三、带电粒子在磁场中运动的临界问题和带电粒子在多磁场中运动问题

r1=



r2=



带电粒子在磁场中运动的临界问题的原因有:粒子运动范围的空间临界问题;磁场所占据范围的空间临 界问题,运动电荷相遇的时空临界问题等。审题时应注意恰好,最大、最多、至少等关键字

分析粒子运动的轨迹。如图所示,在 xy 平面内,粒子先沿半径为 r1 的半圆 C1 运动至 y 轴上离 O 点距 离为 2 r1 的 A 点,接着沿半径为 2 r2 的半圆 D1 运动至 y 轴的 O1 点,O1O 距离

d=2(r2-r1)



(07 全国 1)两平面荧光屏互相垂直放置,在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为 x 轴和 y 轴,交点 O 为原点,如图所示。在 y>0,0<x<a 的区域有垂直于纸面向里的匀强磁场,在 y>0,x>a 的区域有垂直于纸面向 外的匀强磁场,两区域内的磁感应强度大小均为 B。在 O 点处有一小孔,一束质量为 m、带电量为 q(q>0)的粒 子沿 x 轴经小孔射入磁场,最后打在竖直和水平荧光屏上,使荧光屏发亮。入射粒子的速度可取从零到某一最大 值之间的各种数值.已知速度最大的粒子在 0<x<a 的区域中运动的时间与在 x>a 的区域中运动的时间之比为 2: 5,在磁场中运动的总时间为 7T/12,其中 T 为该粒子在磁感应强度为 B 的匀强磁场中作圆周运动的周期。试求两 个荧光屏上亮线的范围(不计重力的影响)。

此后,粒子每经历一次“回旋”(即从 y 轴出发沿半径 r1 的半圆和半径为 r2 的半圆回到原点下方 y 轴),粒子 y 坐标就减小 d。 解析:粒子在磁感应强度为 B 的匀强磁场中运动半径为: 设粒子经过 n 次回旋后与 y 轴交于 On 点。若 OOn 即 nd 满足 nd=2r1 ④ 速度小的粒子将在 x<a 的区域走完半圆,射到竖直屏上。半圆的直径在 y 轴上,半径的范围从 0 到 a, 屏上发亮的范围从 0 到 2a。 ①

则粒子再经过半圆 Cn+1 就能够经过原点,式中 n=1,2,3,……为回旋次数。

轨道半径大于 a 的粒子开始进入右侧磁场,考虑 r=a 的极限情况,这种粒子在右侧的圆轨迹与 x 轴在 D 点相切(虚线),OD=2a,这是水平屏上发亮范围的左边界。 由③④式解得 ⑤



四、带电粒子在有界磁场中的极值问题

寻找产生极值的条件:①直径是圆的最大弦;②同一圆中大弦对应大的圆心角;③由轨迹确定半径的极 值。 速度最大的粒子的轨迹如图中实线所示,它由两段圆弧组成,圆心分别为 C 和 称性可知 在 x=2a 直线上。 ,C 在 y 轴上,有对

设 t1 为粒子在 0<x<a 的区域中运动的时间,t2 为在 x>a 的区域中运动的时间,由题意可知

由此解得:





有一粒子源置于一平面直角坐标原点 O 处,如图所示相同的速率 v0 向第一象限平面内的不同方向发射 电子,已知电子质量为 m,电量为 e。欲使这些电子穿过垂直于纸面、磁感应强度为 B 的匀强磁场后,都能平行 于 x 轴沿+x 方向运动,求该磁场方向和磁场区域的最小面积 s。 ⑤ 解析:由于电子在磁场中作匀速圆周运动的半径 R=mv0/Be 是确定的,设磁场区域足够大,作出电子 可能的运动轨道如图所示,因为电子只能向第一象限平面内发射,所以电子运动的最上面一条轨迹必为圆 O1,它 就是磁场的上边界。其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点 O 为圆心,以 R 为半径的圆弧 O1O2On。由于要求 所有电子均平行于 x 轴向右飞出磁场,故由几何知识有电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。如对图中任一 轨迹圆 O2 而言,要使电子能平行于 x 轴向右飞出磁场,过 O2 作弦的垂线 O2A,则电子必将从点 A 飞出,相当 于将此轨迹的圆心 O2 沿 y 方向平移了半径 R 即为此电子的出场位置。由此可见我们将轨迹的圆心组成的圆弧 O1O2On 沿 y 方向向上平移了半径 R 后所在的位置即为磁场的下边界,图中圆弧 OAP 示。综上所述,要求的磁 场的最小区域为弧 OAP 与弧 OBP 所围。利用正方形 OO1PC 的面积减去扇形 OO1P 的面积即为 OBPC 的面积; 即 R2-πR2/4。根据几何关系有最小磁场区域的面积为 S=2(R2-πR2/4)=(π/2 -1)(mv0/Be)2。

由②③式和对称性可得



所以



即弧长 AP 为 1/4 圆周。因此,圆心

在 x 轴上。

设速度为最大值粒子的轨道半径为 R,有直角

可得

五、带电粒子在复合场中运动问题



复合场包括:磁场和电场,磁场和重力场,或重力场、电场和磁场。有带电粒子的平衡问题,匀变速运 动问题,非匀变速运动问题,在解题过程中始终抓住洛伦兹力不做功这一特点。粒子动能的变化是电场力或重力 做功的结果。

由图可知 OP=2a+R,因此水平荧光屏发亮范围的右边界的坐标

(07 四川)如图所示,在坐标系 Oxy 的第一象限中存在沿 y 轴正方形的匀强电场,场强大小为 E。在 其它象限中存在匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向里。A 是 y 轴上的一点,它到座标原点 O 的距离为 h;C 是 x 轴 上的一点,到 O 点的距离为 l,一质量为 m、电荷量为 q 的带负电的粒子以某一初速度沿 x 轴方向从 A 点进入电 场区域,继而通过 C 点进入大磁场区域,并再次通过 A 点。此时速度方向与 y 轴正方向成锐角。不计重力作用。 试求: (1)粒子经过 C 点时速度的大小合方向; (2)磁感应强度的大小 B。 解析:(1)以 a 表示粒子在电场作用下的加速度,有 ① 加速度沿 y 轴负方向。设粒子从 A 点进入电场时的初速度为 v0,由 A 点

由几何关系得





由⑧⑩⑾式解得

R=



由⑥⑨⑿式得

B=



六、带电粒子在磁场中的周期性和多解问题 多解形成原因:带电粒子的电性不确定形成多解;磁场方向不确定形成多解;临界状态的不唯一形成多 解,在有界磁场中运动时表现出来多解,运动的重复性形成多解,在半径为 r 的圆筒中有沿筒轴线方向的匀强磁 场,磁感应强度为 B;一质量为 m 带电+q 的粒子以速度 V 从筒壁 A 处沿半径方向垂直于磁场射入筒中;若它在 筒中只受洛伦兹力作用且与筒壁发生弹性碰撞,欲使粒子与筒壁连续相碰撞并绕筒壁一周后仍从 A 处射出; 则 B 必须满足什么条件?

运动到 C 点经历的时间为 t,则有 ③

② 带电粒子在磁场中的运动时间分析:由于粒子从 A 处沿半径射入磁场后必作匀速圆周运 动, 要使粒子又从 A 处沿半径方向射向磁场,且粒子与筒壁的碰撞次数未知, 故设粒子与筒壁的碰撞次数为 n(不含返回 A 处并从 A 处射出的一次),

由②③式得

④ 由图可知 其中 n 为大于或等于 2 的整数

设粒子从点进入磁场时的速度为 v,v 垂直于 x 轴的分量 v1= ⑤ 由①④⑤式得

(当 n=1 时即粒子必沿圆 O 的直径作直线运动,表示此时 B=0);

由图知粒子圆周运动的半径 R, v1= = ⑥ 再由粒子在磁场中的运动半径

设粒子经过 C 点时的速度方向与 x 轴的夹角为 α,则有

tanα=



由④⑤⑦式得



可求出



(2)粒子经过 C 点进入磁场后在磁场中作速率为 v 的圆周运动。若圆周的半径 为 R,则有

粒子在磁场中的运动周期为

,粒子每碰撞一次在磁场中转过的角度由图得

,粒子从 A 射入磁场再从 A 沿半径射出磁场的过程中将经过 n+1 段圆弧,故粒子运动的 ⑨ 总时间为: 设圆心为 P,则 PC 必与过 C 点的速度垂且有 = =R。用 β 表示 与 y 轴的夹角, ,将前面 B 代入 T 后与 共同代入前式得。

练习 1.一质量为 m,电量为 q 的负电荷在磁感应强度为 B 的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道 做匀速圆周运动,若磁场方向垂直于它运动的平面,且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍,则负电荷做 圆周运动的角速度可能是( )

参考答案:

1.AC

A.

B.

C.

D.

2.

2.(07 宁夏)在半径为 R 的半圆形区域中有一匀强磁磁场的方向垂直于纸面,磁感应强度为 B。一质量为 m, 带有电量 q 的粒子以一定的速度沿垂直于半圆直径 AD 方向 经 P 点(AP=d)射入磁场(不计重力影响)。 3.

?如果粒子恰好从 A 点射出磁场,求入射粒子的速度。 ?如果粒子经纸面内 Q 点从磁场中射出,出射方向与 半圆在 Q 点切线方向的夹角为 φ(如图)。求入射粒子的速度。 4.

3.(新题)如图以 ab 为边界的二匀强磁场的磁感应强度为 B1=2B2, 现有一质量为 m 带电+q 的粒子从 O 点以初速度 V0 沿垂直于 ab 方向发 射; 在图中作出粒子运动轨迹, 并求出粒子第 6 次穿过直线 ab 所经历的时间、路程及离开点 O 的距离。(粒子重力不计)

5.

4.一质量 m、带电 q 的粒子以速度 V0 从 A 点沿等边三角形 ABC 的 AB 方向射入强度为 B 的垂直于纸面的圆形 匀强磁场区域中,要使该粒子飞出磁场后沿 BC 射出,求圆形磁场区域的最小面积。 5.如图所示真空中宽为 d 的区域内有强度为 B 的匀强磁场方向如图,质量 m 带电-q 的粒子以与 CD 成 θ 角的速 度 V0 垂直射入磁场中;要使粒子必能从 EF 射出则初速度 V0 应满足什么条件?EF 上有粒子射出的区域?


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