当前位置:首页 >> 数学 >>

江西省南昌市三校(南昌一中、南昌十中、南铁一中)联考2015届高三上学期8月月考数学试卷(理科)


江西省南昌市三校(南昌一中、南昌十中、南铁一中) 联考 2015 届高三上学期 8 月月考数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知全集 U 为实数集 R,集合 M={x| 合是( ) <0},N={x||x|≤1},则如图阴影部分表示的集

A.

﹣1,1 1)

B. (﹣3,1

C. (﹣∞,﹣3)∪﹣1,+∞) D. (﹣3,﹣

考点:Venn 图表达集合的关系及运算. 专题:阅读型. 分析:解不等式求得集合 M、N,根据 Venn 图阴影表示集合(CuN)∩M,再进行集合运算. 解答: 解:∵ <0?﹣3<x<1∴M=(﹣3,1) ,

∵|x|≤1?﹣1≤x≤1,∴N=[﹣1,1], ∵阴影部分表示集合(CuN)∩M, ∴阴影部分表示的集合是(﹣3,﹣1) . 故选 D 点评:本题考查 Venn 图表达集合的关系及集合运算. 2.以下判断正确的是( ) A.命题“负数的平方是正数”不是全称命题 3 2 3 2 B.命题“?x∈N,x >x ”的否定是“?x∈N,x <x ” 2 2 C.“a=1”是“函数 f(x)=cos ax﹣sin ax 的最小正周期是 π”的必要不充分条件 2 D.“b=0”是“函数 f(x)=ax +bx+c 是偶函数”的充要条件 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:规律型. 分析:根据含有量词的命题的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 解答: 解:A.命题“负数的平方是正数”是全称命题,∴A 错误. 3 2 3 2 B.命题“?x∈N,x >x ”的否定是“?x∈N,x ≤x ”,∴B 错误. C.f(x)=cos ax﹣sin ax=cos2ax,则函数的正确 T=
2 2

,即 a=±1,

∴“a=1”是“函数 f(x)=cos ax﹣sin ax 的最小正周期是 π”的充分不必要条件.∴C 错误. 2 2 2 D.若函数 f(x)=ax +bx+c 是偶函数,则函数 f(﹣x)=ax ﹣bx+c=ax +bx+c,即﹣b=b, 解得 b=0, 2 ∴“b=0”是“函数 f(x)=ax +bx+c 是偶函数”的充要条件,正确. 故选:D. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断以及含有量词的命题的真假关系, 比较基础.

2

2

3.若 A. B.

且 C.

,则 sin(π﹣α)( D.

)

考点:诱导公式的作用;同角三角函数间的基本关系. 专题:计算题. 分析:已知等式利用诱导公式化简求出 cosα 的值,由 α 的范围,利用同角三角函数间的基 本关系求出 sinα 的值,所求式子利用诱导公式化简后,将 sinα 的值代入计算即可求出值. 解答: 解:∵cos(2π﹣α)=cosα= ∴sinα=﹣ =﹣ , ,α∈(﹣ ,0) ,

则 sin(π﹣α)=sinα=﹣ . 故选 B 点评:此题考查了诱导公式的作用,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握诱导公式是 解本题的关键.

4.若 0<α< =( A. )

,﹣

<β<0,cos(

+α)= ,cos(



)=

,则 cos(α+



B.﹣

C.

D.﹣

考点:三角函数的恒等变换及化简求值. 专题:三角函数的求值. 分析:先利用同角三角函数的基本关系分别求得 sin( 利用 cos(α+ )=cos[( +α)﹣( ,﹣ < = ﹣ ﹣ +α)和 sin( ﹣ )的值,进而

)]通过余弦的两角和公式求得答案.

解答: 解:∵0<α< ∴ < + α< +α)= ,

<β<0, < ﹣ )= =

∴sin(

,sin(

∴cos(α+ sin( 故选 C ﹣

)=cos[( )=

+α)﹣(



)]=cos(

+α)cos(



)+sin(

+α)

点评: 本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值. 关键是根据 cos (α+ ﹣( ﹣ )],巧妙利用两角和公式进行求解.

) =cos[ (

+α)

5.已知函数: ①f(x)=﹣x +2x, ②f(x)=cos( ③f(x)= ) ,
2

.则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是(

)

命题 p:f(x)是奇函数; 命题 q:f(x+1)在(0,1)上是增函数; 命题 r:f( ) ;

命题 s:f(x)的图象关于直线 x=1 对称. A.命题 p、q B.命题 q、s C.命题 r、s

D.命题 p、r

考点:命题的真假判断与应用. 专题:阅读型. 分析:①中函数是二次函数,由二次函数的对称轴是 x=1 且开口向下,即能判出函数是非 奇非偶函数,由函数在(1,+∞)上的单调性可知向左平移 1 个单位后的单调性; ②中的函数经诱导公式化简后变为 ,然后逐一对四个命题进行判断;

③中的函数直接利用奇偶性定义判断奇偶性,求出 f(x+1)可判出 f(x+1)为偶函数,从 而得到在(0,1)上是增函数,利用图象平移判出函数 f(x)的对称轴. 2 解答: 解:①函数 f(x)=﹣x +2x 图象是开口向下的抛物线,对称轴方程是 x=1,所以 该函数不是奇函数;函数 f(x)在 (1,+∞)上为减函数,而函数 f(x+1)的图象是把函数 f(x)的图象左移 1 个单位得到 的,所以函数 f(x+1)在(0,1)上是减函数; ;f(x)的图象关于直线 x=1 对称. ②f(x)=cos( = )= , ,该函数是定义在 R 上的奇函数;f(x+1)

当 x∈(0,1)时, = = > ;当 x=1 时, ,由于

,所以 f(x+1)在(0,1)上是减函数;

,所以 f(x)的图象关于直线 x=1 对称. =f(x) ,所以 f

③f(x)= (x)不是奇函数; f(x+1)=

,在(0,1)上是增函数; ;

因为

是偶函数, 图象关于 x=0 对称, 所以 f (x) 的图象关于直线 x=1 对称.

综上,对三个函数都成立的命题是 r 和 s. 故选 C. 点评:本题考查了命题的真假的判断与应用,考查了复合函数的奇偶性,单调性及对称性, 考查了函数值的计算,解答此题的关键是熟练掌握函数图象的平移,此题是基础题.
﹣x

6.已知曲线 C:y=

(﹣2≤x≤0)与函数 f(x)=loga(﹣x)及函数 g(x)=a (其
2 2

中 a>1)的图象分别交于 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 x1 +x2 的值为( A.16 B.8 C .4 D.2

)

考点:指数函数的图像与性质. 专题:函数的性质及应用. 分析:通过函数与反函数,以及圆关于 y=x 对称,推出 A,B 的坐标关系,然后求出所求表 达式的值. 解答: 解:因为函数 f(x)=loga(﹣x)和 g(x)=a (其中 a>1)是互为反函数,图 象关于 y=﹣x 对称, 又圆也关于 y=﹣x 对称,所以圆 C:x +y =4 与函数 f(x)=loga(﹣x)和 g(x)=a (其 中 a>1)的图象,如图所示 在第二象限的交点分别是 A(x1,y1) 、B(x2,y2) , 满足 y1=﹣x2,y2=﹣x1, 2 2 所以 x1 +x2 =4. 故选:C
2 2
﹣x ﹣x

点评:本题主要考查了反函数的性质,关于直线 y=﹣x 对称,关键是求出点在第二象限, 属于基础题. 7.已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x>0 时不等式 f(x)+xf′(x)<0 成立, 若 a=3 ?f(3 ) ,b=logπ3?f(logπ3) ,c=log3 ?f(log3 ) ,则 a,b,c 大小关系是( A.b>a>c B.a>b>c C.a>c>b D.b>c>a
0.3 0.3

)

考点:利用导数研究函数的单调性;函数单调性的性质. 专题:导数的概念及应用. 分析:由已知中 f(x)+xf′(x) ,结合导数的运算性质(uv)′=u′v+uv′,构造函数 h(x)=xf (x) ,则 h′(x)=f(x)+xf′(x)<0,所以利用 h(x)的单调性问题很容易解决. 解答: 解:令 h(x)=xf(x) , ∵函数 y=f(x)以及函数 y=x 是 R 上的奇函数 ∴h(x)=xf(x)是 R 上的偶函数, 又∵当 x>0 时,h′(x)=f(x)+xf′(x)<0, ∴函数 h(x)在 x∈(0,+∞)时的单调性为单调递减函数; ∴h(x)在 x∈(﹣∞,0)时的单调性为单调递增函数. 若 a=3 ?f(3 ) , 又∵函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(0)=0,从而 h(0)=0 因为 log3 =﹣2,所以 f(log3 )=f(﹣2)=﹣f(2) , 由 0<logπ3<1<3 <3 <2 所以 h(logπ3)>h(3 )>h(2)=f(log3 ) , 即:b>a>c 故选 A 点评:本题考查的考点与方法有:1)所有的基本函数的奇偶性;2)抽象问题具体化的思想 方法,构造函数的思想;3)导数的运算法则: (uv)′=u′v+uv′;4)指对数函数的图象;5) 奇偶函数在对称区间上的单调性: 奇函数在对称区间上的单调性相同; 偶函数在对称区间上
0.3 0.3 0.5 0.3 0.3



的单调性相反;5)奇偶函数的性质:奇×奇=偶;偶×偶=偶;奇×偶=奇(同号得正、异号得 负) ;奇+奇=奇;偶+偶=偶.本题结合已知构造出 h(x)是正确解答的关键所在. 8.函数 f(x)=Asin(ωx+?) (其中 A>0,|?|< =sin2x 的图象,则只需将 f(x)的图象( ) )的图象如图所示,为了得到 g(x)

A.向右平移 C.向左平移

个长度单位 B.向右平移 个长度单位 D.向左平移

个长度单位 个长度单位

考点:由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题:计算题. 分析:利用函数的图象求出 A,T,求出 ω,利用函数的图象经过的特殊点,集合 ? 的范围, 求出 ? 得到函数的解析式,然后推出平移的单位与方向,得到选项. 解答: 解:由图象可知 将 根据|?|< 得到 代入到 f(x)=sin(2x+φ)中得, ,所以函数 f(x)的解析式为 个长度单即可得到 g(x)=sin2x 的图象. ,从而 , . ,

将 f(x)图象右移

故选 A. 点评:本题考查由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,函数 y=Asin(ωx+φ)的图 象变换,考查计算能力. 9.已知函数 f(x)满足:①定义域为 R; ②?x∈R,有 f(x+2)=2f(x) ; ③当 x∈[﹣ 1,1]时, A.20 B.10 ,则方程 f(x)=log4|x|在区间[﹣10,10]内的解个数是( C.11 D.12 )

考点:根的存在性及根的个数判断. 专题:函数的性质及应用. 分析:要判断方程 f(x)=log4|x|在区间[﹣10,10]内的解个数,我们可根据方程根的个数及 相关函数零点个数的关系, 我们可以在同一坐标系中画出函数 f (x) 与函数 y=log4|x|的图象, 利用图象法解答本题. 解答: 解:由已知中函数 f(x)满足: ①定义域为 R;②?x∈R,有 f(x+2)=2f(x) ;

③当 x∈[﹣1,1]时,f(x)=cos

x,

我们可以在同一坐标系中画出满足条件的 函数 f(x)与函数 y=log4|x|的图象: 由图象可得两个函数的图象共有 11 个交点, 则方程 f(x)=log4|x|在区间[﹣10,10]内共有 11 解, 故选 C.

点评: 本题考查的知识点根的存在性及根的个数判断, 其中根据方程根的个数及相关函数零 点个数的关系, 将求方程的根个数的问题转化为求函数零点个数问题是解答本题的关键, 属 于中档题. 10.如图所示,fi(x) (i=1,2,3,4)是定义在[0,1]上的四个函数,其中满足性质:“对 [0,1]中任意的 x1 和 x2,任意 λ∈[0.1],f[λx1+(1﹣λ)x2]≤λf(x1)+(1﹣λ)f(x2)恒成 立”的只有( )

A.f1(x) ,f3(x)

B.f2(x)

C.f2(x) ,f3(x)

D.f4(x)

考点:函数的图象. 专题:函数的性质及应用. 分析:由题设对[0,1]中任意的 x1 和 x2,任意 λ∈[0,1],f[λx1+(1﹣λ)x2]≤λf(x1)+(1 ﹣λ)f(x2)恒成立,知,此函数必不为一凹函数,依据凹函数的图象特征进行判断即可. 解答: 解:由题意,观察四个选项:f1(x)中的图象先降后升是一凸函数,满足要求, f2(x)中的函数是先升后降是一凹函数,不满足要求; f3(x)中的图象直线上升,不是凹函数,满足要求, f4(x)中的函数图象凸、凹函数各一部分.不满足要求;

考察定义:对[0,1]中任意的 x1 和 x2,任意 λ∈[0,1],f[λx1+(1﹣λ)x2]≤λf(x1)+(1﹣λ) f(x2)恒成立知,此函数在[0,1]不是凹函数,由上分析知只有 f1(x) ,f3(x)符合题意. 故选:A. 点评:本题的考点是函数的图象,考查函数图象的变化规律,在本题中给出了一个新定义, 对于新定义的题型,要认真研究其运算特征,充分理解其内涵再依据新规则做题. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.已知 a>0,若 (2x﹣2)dx=3,则 a=3.

考点:定积分. 专题:导数的概念及应用. 分析:根据积分的公式即可得到结论. 解答: 解:
2

(2x﹣2)dx=(x ﹣2x)|

2



即 a ﹣2a﹣3=0,解得 a=3 或 a=﹣1, ∵a>0,∴a=3, 故答案为:3 点评:本题主要考查积分的计算,根据积分的积分公式是解决本题的关键. 12. =2.

考点:弦切互化;同角三角函数基本关系的运用;两角和与差的正弦函数. 分析:把原式中的切转化成弦,再利用和差化积进行化简.化简过程中注意利用 30°、60° 等特殊角. 解答: 解:

=

=

=

=

= =2

故答案为:2 点评:本题考查三角公式的记忆及熟练运用三角公式计算求值.在求三角的问题中,要注意 这样的口决“三看”即(1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化, (2)看名称,把一道 等式尽量化成同一名称或相近的名称, 例如把所有的切都转化为相应的弦, 或把所有的弦转 化为相应的切, (3)看式子,看式子是否满足三角函数的公式.如果满足直接使用,如果不 满足转化一下角或转换一下名称,就可以使用. 13.已知函数 f(x)的定义域是 D,若对于任意 x1,x2∈D,当 x1<x2 时,都有 f(x1)≤f (x2) ,则称函数 f(x)在 D 上为非减函数.设函数 f(x)在[0,1]上为非减函数,且满足 以下三个条件:①f(0)=0; ②f( )= f(x) ; ③f(1﹣x)=1﹣f(x) .则 f( ) = ,f( )= .

考点:函数的值. 专题:新定义;函数的性质及应用. 分析:令 x=1,由条件求得 f(1)=1,f( )= f(1)= ,再由 f( )+f( )=1,由此 求得 f( )的值. 利用条件求得 f( )= ,再令 x= ,由条件求得 f( )≤f( )≤f( )= ) ,即 ,再由 ≤f( )

,可得 f( ≤ ,由此求得 f( )的值.

解答: 解:∵函数 f(x)在[0,1]上为非减函数,且①f(0)=0;③f(1﹣x)+f(x) =1,令 x=1 可得 f(1)=1. 又∵② ,令 x=1,可得 f( )= f(1)= .

再由③可得 f( )+f( )=1,故有 f( )= . 对于② 由此可得 f( = f( )= ,令 x=1 可得 f( )= f(1)= ; )= f( )= 、f( . ,可得 f( )= ,f( )= ,f( ) )= f( )= 、f( )= f(125)= 、f( )

令 x= ,由 f( )= 及② = ,f( )= .

再由 故 f( 故答案为 )= ; , .

, 可得 f (

) ≤f (

) ≤f (

) , 即

≤f (

) ≤



点评:本题主要考查了抽象函数及其应用,以及对新定义的理解,同时考查了计算能力和转 化的思想,属于中档题. 14.设函数 y=f(x)满足对任意的 x∈R,f(x)≥0 且 f (x+1)+f (x)=9.已知当 x∈[0, 1]时,有 f(x)=2﹣|4x﹣2|,则 的值为 .
2 2

考点:函数的值. 专题:函数的性质及应用. 分析: 由条件求得可得 f (x+2) =f (x) , 故函数是周期为 2 的周期函数, 可得 (﹣ ) ,先求得 f( )的值, 根据 f (x+1)+f (x)=9,即可求得 f(﹣ )的值,从而求得
2 2 2 2 2 2

=f

的值.

解答: 解:∵f (x+1)+f (x)=9,即 f (x+1)=9﹣f (x) , 2 2 2 2 2 ∴f (x+2)=9﹣f (x+1) ,化简可得 f (x+2)=9﹣[9﹣f (x)]=f (x) . 再由 函数 y=f(x)满足对任意的 x∈R,f(x)≥0,可得 f(x+2)=f(x) ,故函数是周期为 2 的周期函数. ∴
2

=f(336﹣ )=f(﹣ ) . =9﹣f ( ) ,
2

又 f (﹣ )=9﹣

再由当 x∈[0,1]时,有 f(x)=2﹣|4x﹣2|,可得 f( )=2﹣|4× ﹣2|=2, 故 f (﹣ )=9﹣f ( )=9﹣4=5,故 f(﹣ )= 故 =f(﹣ )= ,
2 2



故答案为 . 点评:本题主要考查了抽象函数的求值,同时考查了函数的周期性,属于中档题. 15.函数 f(x)的定义域为 D,若存在闭区间[m,n]?D,使得函数 f(x)满足:①f(x) 在[m,n]上是单调函数;②f(x)在[m,n]上的值域为[2m,2n],则称区间[m,n]为 y=f(x) 的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有①③④(填上所有正确的序号) 2 ①f(x)=x (x≥0) ; x ②f(x)=e (x∈R) ;

③f(x)= ④f(x)=loga(

(x≥0) ; ) (a>0,a≠1) .

考点:函数的值域;命题的真假判断与应用. 专题:压轴题;新定义;函数的性质及应用. 分析:根据函数中存在“倍值区间”,则:①f(x)在[a,b]内是单调函数;② ,



,对四个函数分别研究,从而确定是否存在“倍值区间”.

解答: 解: 函数中存在“倍值区间”, 则: ①f (x) 在[a, b]内是单调函数; ②




2



①f(x)=x (x≥0) ,若存在“倍值区间”[a,b], 则
2

,∴

,∴



∴f(x)=x (x≥0) ,若存在“倍值区间”[0,2]; x ②f(x)=e (x∈R) ,若存在“倍值区间”[a,b], 则 ,∴
x


x

构建函数 g(x)=e ﹣2x,∴g′(x)=e ﹣2, ∴函数在(﹣∞,ln2)上单调减,在(ln2,+∞)上单调增, ∴函数在 x=ln2 处取得极小值,且为最小值. x ∵g(ln2)=2﹣ln2,∴g(x)>0,∴e ﹣2x=0 无解,故函数不存在“倍值区间”; ③f(x)= (x≥0) ,f′(x)= = ,

当 x∈[0,1]时,f′(x)>0,当 x∈[1,+∞)时,f′(x)<0, 故 f(x)= 在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,+∞)上单调递减,

若存在“倍值区间”[a,b]?[0,1],



,∴

,∴a=0,b=1,即存在“倍值区间”[0,1];

④f(x)=loga(a ﹣ ) (a>0,a≠1) .不妨设 a>1,则函数在定义域内为单调增函数 若存在“倍值区间”[m,n], 则 ,

x







∴m,n 是方程 loga(a ﹣ )=2x 的两个根, ∴m,n 是方程 a ﹣a + =0 的两个根, 由于该方程有两个不等的正根,故存在“倍值区间”[m,n]; 综上知,所给函数中存在“倍值区间”的有①③④. 故答案为:①③④. 点评:本题考查新定义,考查学生分析解决问题的能力,涉及知识点较多,需要谨慎计算. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.已知 p:﹣2≤1﹣ ≤2,q:x ﹣2x+1﹣m ≤0(m>0) .若“非 p”是“非 q”的充分而不
2 2 2x x

x

必要条件,求实数 m 的取值范围. 考点:复合命题的真假. 专题:简易逻辑. 分析:先解出 p,q 下的不等式,再求出非 p,非 q,根据非 p 是非 q 的充分不必要条件即可 得到限制 m 的不等式,解不等式即得 m 的取值范围. 解答: 解:解 得:﹣2≤x≤10,解 x ﹣2x+1﹣m ≤0 得:1﹣m≤x≤1+m;
2 2

∴非 p:x<﹣2,或 x>10; 非 q:x<1﹣m,或 x>1+m; ∵“非 p”是“非 q”的充分而不必要条件,即由非 p 能得到非 q,而由非 q 得不到非 p; ∴1﹣m≥﹣2,且 1+m≤10,解得 m≤3; ∴实数 m 的取值范围为(﹣∞,3]. 点评:考查分式不等式,一元二次不等式的求解,充分条件的概念,必要条件的概念,充分 不必要条件的概念,本题也可借助数轴求解. 17.设 f(x)=6cos x﹣ sin2x, (1)求 f(x)的最大值及最小正周期;
2

(2)若锐角 α 满足 f(α)=3﹣2

,求 tan α 的值.

考点:三角函数的最值;三角函数的周期性及其求法. 专题:计算题. 分析: (I)利用三角函数的二倍角公式及公式 化简

为只含一个角一个函数名的三角函数,利用有界性及周期公式求出最大值最小正周期. (II)列出关于 α 的三角方程,求出 α,求出正切值. 解答: 解: (Ⅰ) = = = 故 f(x)的最大值为 (Ⅱ)由 ;最小正周期 得 ,故

又由 从而

得 .

,故

,解得



点评:本题考查三角函数的二倍角公式、公式 角函数的周期公式、解三角方程.

、三

18.定义在 R 上的单调函数 f(x)满足 f(3)=log23 且对任意 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x) +f(y) . (1)求证 f(x)为奇函数; x x x (2)若 f(k?3 )+f(3 ﹣9 ﹣2)<0 对任意 x∈R 恒成立,求实数 k 的取值范围. 考点:抽象函数及其应用;函数单调性的性质;函数奇偶性的判断. 专题:计算题;证明题. 分析: (1)欲证 f(x)为奇函数即要证对任意 x 都有 f(﹣x)=﹣f(x)成立.在式子 f(x+y) =f(x)+f(y)中,令 y=﹣x 可得 f(0)=f(x)+f(﹣x)于是又提出新的问题,求 f(0) 的值.令 x=y=0 可得 f(0)=f(0)+f(0)即 f(0)=0,f(x)是奇函数得到证明. x x x x x x (2)先将不等关系 f(k?3 )+f(3 ﹣9 ﹣2)<0 转化成 f(k?3 )<f(﹣3 +9 +2) ,再结 合函数的单调性去掉“f”符号,转化为整式不等关系,最后利用分离系数法即可求实数 k 的 取值范围. 解答: 解: (1)证明:f(x+y)=f(x)+f(y) (x,y∈R) ,①

令 x=y=0,代入①式,得 f(0+0)=f(0)+f(0) ,即 f(0)=0. 令 y=﹣x,代入①式,得 f(x﹣x)=f(x)+f(﹣x) ,又 f(0)=0,则有 0=f(x)+f(﹣x) .即 f(﹣x)=﹣f(x)对任意 x∈R 成立,所以 f(x)是奇函数. (2)解:f(3)=log23>0,即 f(3)>f(0) , 又 f(x)在 R 上是单调函数, 所以 f(x)在 R 上是增函数, 又由(1)f(x)是奇函数. f(k?3 )<﹣f(3 ﹣9 ﹣2)=f(﹣3 +9 +2) , x x x k?3 <﹣3 +9 +2, 令 t=3 >0,分离系数得: 问题等价于 ∵
x x x x x x



,对任意 t>0 恒成立. ,

∴ . 点评: 本题主要考查了抽象函数及其应用, 考查分析问题和解决问题的能力, 属于中档题. 说 明:问题(2)本题解法:是根据函数的性质.f(x)是奇函数且在 x∈R 上是增函数,把问 2 题转化成二次函数 f(t)=t ﹣(1+k)t+2 对于任意 t>0 恒成立.对二次函数 f(t)进行研 究求解. ) ,x∈R.

19.已知函数 f(x)=sin(x+

)+cos(x﹣

(1)求 f(x)的最小正周期和最值; (2)已知 cos(β﹣α)= ,cos(β+α)=﹣ , (0<α<β≤ ) ,求证:[f(β)] ﹣2=0.
2

考点:两角和与差的正弦函数;两角和与差的余弦函数;三角函数的周期性及其求法. 专题:计算题;证明题;三角函数的图像与性质. 分析: (1)运用两角和差的正弦和余弦公式,化简 f(x)得到 2sin(x﹣ 和最值; (2)运用两角和差的余弦公式,再相加即得 cosβcosα=0,由 0<α<β≤ f(β) ,即可得证. 解答: (1)解:函数 f(x)=sin(x+ =sinxcos = sinx﹣ +cosxsin cosx﹣ ) , +cosxcos + )+cos(x﹣ ) 得到 β= ,求出 ) ,再求出周期

+sinxsin sinx= sinx﹣ cosx

=2sin(x﹣

∴f(x)的最小正周期为 π,f(x)max=2,f(x)min=﹣2;

(2)证明:cos(β﹣α)=cosβcosα+sinβsinα= , cos(β+α)=cosβcosα﹣sinβsinα=﹣ , 两式相加,得 cosβcosα=0, 又 0<α<β≤ , ,

则 cosα∈(0,1) ,cosβ=0,β= f(β)=2sin
2

=



∴[f(β)] ﹣2=0. 点评:本题主要考查两角和差的三角函数,考查三角函数的周期和最值,属于基础题.

20.已知函数 f(x)=asinx﹣x+b(a,b 均为正常数) ,设函数 f(x)在 x= (1)若对任意的 (2)若函数 f(x)在区间

处有极值.

,不等式 f(x)>sinx+cosx 总成立,求实数 b 的取值范围; 上单调递增,求实数 m 的取值范围.

考点:利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)由 f′(x)在 x= b 大于 g(x)的最大值; (2) ( f x) 在区间 上单调递增, 所以区间 时,f′(x)=0,解得 a 的值,构造函数 g(x) ,b>g(x) ,即

是 g(x)单调递增区间的了集,列出不等式,求出 m 取值范围. 解答: 解: (1) f( ′ x) =acosx﹣1, ∵函数 ( f x) 在 x= 处有极值, ∴ ,

得 a=2, 由( f x) >sinx+cosx 得: 2sinx﹣x+b>sinx+cosx, 即 b>cosx﹣sinx+x, 令g (x) =cosx﹣sinx+x, , g′(x)=﹣sinx﹣cosx+1= 在[0, +1,∵ ,g′(x)≤0,∴g(x)

]上单调递减,∴g(x)的最大值为 g(0)=1,∴b>1; ,解得 ,

(2)f′(x)=2cosx﹣1,令 f′(x)≥0 得,

∵函数 f(x)在区间

上单调递增,∴



得:

,12k≤2m≤6k+2,又

得 m>0,

∴m 的取值范围为(0,2]. 点评:本题考查了极值, 单调性,运用了等价转化思想,余弦函数的单调区间, 属于中档题.

21.已知函数





(Ⅰ)当 a=0 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (Ⅱ)当 a<1 时,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅲ)当 时,函数 f(x)在(0,2]上的最大值为 M,若存在 x∈[1,2],使得 g(x)≥M

成立,求实数 b 的取值范围.

考点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上 某点切线方程. 专题:综合题;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)当 a=0 时求出 f(x) ,f′(x) ,f(1) ,切线斜率 k=f′(1) ,利用点斜式即可求得 切线方程; (Ⅱ)求出导数 f′(x) ,分情况讨论:①a=0 时,解不等式 f′(x)>0,f′(x)<0 即得 f (x)的单调区间;②a≠0 时,解方程 f′(x)=0 得 x=1 或 x= ,按照 1 与 的大小讨论,根 据 f′(x)的符号即可求得其单调区间; (Ⅲ)当 于 时,借助(Ⅱ)问单调性易求得 M,存在 x∈[1,2],使 ,由二次函数的性质可得不等式组,解出即可; ,等价

解答: 解: (Ⅰ)当 a=0 时,f(x)=﹣x+lnx, f(1)=﹣1+ln1=﹣1, ,f'(1)=0.

所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程 y=﹣1. (Ⅱ) ,

①当 a=0 时,解

,得 0<x<1,解

,得 x

>1, 所以函数 f(x)的递增区间为(0,1) ,递减区间为在(1,+∞) ; ②a≠0 时,令 f'(x)=0 得 x=1 或 i)当 0<a<1 时, x (0,1) ) 1 0 ﹣ 减 0 + 增 ,递减区间为 ; ,

,当 x 变化时 f(x) 、f′(x)随 x 的变化情况如下表:

f′(x)+ f(x) 增

函数 f(x)的递增区间为(0,1) , ii)当 a<0 时, ,

在(0,1)上 f'(x)>0,在(1,+∞)上 f'(x)<0, 所以函数 f(x)的递增区间为(0,1) ,递减区间为(1,+∞) ; (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 所以 存在 x∈[1,2],使 , ,即存在 x∈[1,2],使 , , 时,f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,2)上是减函数,

只需函数 g(x)在[1,2]上的最大值大于等于

所以有

,即

,解得:



所以 b 的取值范围是



点评:本题考查利用导数研究函数的单调性、某点处切线方程、在闭区间上的最值等知识, 考查分类讨论思想,考查学生分析解决问题的能力,把存在性问题转化为最值问题是解决 (Ⅲ)问的关键.


相关文章:
江西省南昌市三校(南昌一中、南昌十中、南铁一中)联考2015届高三上学期8月月考数学试卷(理科)
江西省南昌市三校(南昌一中南昌十中南铁一中)联考2015届高三上学期8月月考数学试卷(理科)_数学_高中教育_教育专区。江西省南昌市三校(南昌一中南昌十中、...
江西省南昌市三校(南昌一中、南昌十中、南铁一中)联考2015届高三上学期8月月考数学试卷(理科)
江西省南昌市三校(南昌一中南昌十中南铁一中)联考2015届高三上学期8月月考数学试卷(理科)_数学_高中教育_教育专区。江西省南昌市三校(南昌一中南昌十中、...
江西省南昌市三校(南昌一中、南昌十中、南铁一中)联考2015届高三上学期8月月考数学试卷(文科)
江西省南昌市三校(南昌一中南昌十中南铁一中) 联考 2015 届高三上学期 8 月月考数学试卷(文科)一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分...
江西省南昌市三校(南昌一中、南昌十中、南铁一中)联考2015届高三上学期8月月考数学试卷(文科)
江西省南昌市三校(南昌一中南昌十中南铁一中) 联考 2015 届高三上学期 8 月月考数学试卷(文科)一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分...
江西省南昌市三校(南昌一中,南昌十中,南铁一中)2015届高三8月联考数学(文)试题
江西省南昌市三校(南昌一中,南昌十中,南铁一中)2015届高三8月联考数学(文)试题_高考_高中教育_教育专区。南昌一中、南昌十中、铁路一中三校联考试题 高三文科数学...
江西省南昌市三校(南昌一中,南昌十中,南铁一中)2015届高三8月联考历史试题
江西省南昌市三校(南昌一中,南昌十中,南铁一中)2015届高三8月联考历史试题_高考...受诏赴任,每州不过数十。今则不然,大小之官,悉由吏部,纤介之迹,皆属考功...
江西省南昌市三校(南昌一中,南昌十中,南铁一中)2015届高三8月联考物理试题
江西省南昌市三校(南昌一中,南昌十中,南铁一中)2015届高三8月联考物理试题_高考_高中教育_教育专区。南昌市三校联考(南昌一中,南昌十中,南铁一中)高三试卷 物命题...
江西省南昌市三校(南昌一中,南昌十中,南铁一中)2015届高三8月联考政治试题
江西省南昌市三校(南昌一中,南昌十中,南铁一中)2015届高三8月联考政治试题_高考_高中教育_教育专区。南昌铁一中、南昌一中、南昌十中 2015 届高三政治联考试卷 命题...
江西省南昌市三校((南昌一中,南昌十中,南铁一中)2015届高三上第一次联考 数学理
江西省南昌市三校((南昌一中,南昌十中,南铁一中)2015届高三上第一次联考 数学理_数学_高中教育_教育专区。南昌市三校联考(南昌一中、南昌十中、南铁一中)高三试...
更多相关标签:
南昌市铁一中 | 南昌市十中 | 江西省南昌市 | 江西省南昌市青山湖区 | 江西省南昌市新建县 | 江西省南昌市进贤县 | 江西省南昌市南昌县 | 江西省南昌市天气预报 |