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数论- 高斯函数qwr


高斯函数

1.定义:设 x ? R ,用 ? x? 表示不超过 x 的最大整数。则 y ? ? x? 称为高 斯函数,也叫取整函数。显然, y ? ? x? 的定义域是 R,值域是 Z。 任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和,即
x ? ? x? ? a ? 0 ? a ? 1? ,因此, ? x? ? x ? ? x? ? 1 ,这里, ?

x ? 为 x 的整数部分,

而 y ? ?x? ? x ? ? x? 为 x 的小数部分函数。

2.性质:
x1 ? x2 时,有 ? x1 ? ? ? x2 ? ;

性质 1.函数 y ? ? x? 是一个分段表达的不减的无界函数,即当 性质 2. ?n ? x? ? n ? ? x? ,其中 n ? Z ; 性质 3. x ?1 ? ? x? ? x ? ? x? ?1 ; 性质 4.对于一切实数 x, y 有 ? x? ? ? y? ? ? x ? y? ? ? x? ? ? y? ?1 ; 性质 5.若 x ? 0, y ? 0 ,则 ? xy? ? ? x?? y? ;
x? ?x? ? 性质 6.若 n ? N ,则 ? ? n ? ? ? ;当 n ? 1 时, ? ?? x ?? ? ? ? x? ; n
?

? ?

? ?

? ?

性质

?? ? ? x ? ? 1( x 不是整数时) ? x ? 6. ? ? ? ? 。 ?? ? x ? ( x 是整数时)

请画出图像: y ? ? x? , y ? ?x?

y ? [ x] 是不减函数,即若 x1 ? x 2 则 [ x1 ] ? [ x2 ] ,其图像如图 y ? {x} 是以

1;

1 为周期的周期函数,如图 2.

1

2

高斯函数是非常重要的数学概念。它的定义域是连续的,值 域却是离散的, 高斯函数关联着连续和离散两个方面, 因而有其 独特的性质和广泛的应用。 解决有关高斯函数的问题需要用到多种数学思想方法,其中 较为常见的有分类讨论(例如对区间进行划分) 、命题转换、数 形结合、凑整、估值等等。

? 5 ? 6 x ? 15 x ? 7 例 1、解方程 ? 8 ? ? 5 。 ? ?

5 ? 6 x ? 15 x ? 7 例 1、解方程 ? 。 ? ?? ? 8 ? 5

解:令

15 x ? 7 5n ? 7 ? n ? n ? Z ? ,则 x ? 5 15

,带入原方程整理得:
40

?10n ? 39 ? ?n ? ? 40 ? ?
?

, 由 高 斯 函 数 的 定 义 有 0 ? 10n ? 39 ? n ? 1 , 解 得 :

1 13 ? n ? ,则 n ? 0, n ? 1 。 30 10 若 n ? 0 ,则 x ? 7 ;若 n ? 1 ,则 x ? 4 。 15 5

注:本例中方程为 ?u ? ? v 型的,通常运用高斯函数的定义和性 质并结合换元法求解。

例 2、解方程 ? ?

? x ? 1? ? x ? 1? ?? 。 ? 4 ? ? 2 ? ?



x ? 1? ? x ? 1? 例 2、解方程 ? ? ??? ?。 ? 4 ? ? 2 ?

解 : 由 高 斯 函 数 的 性 质 , 得 : ?1 ?
y1 ?

x ?1 x ?1 , y1 ? ,在同一坐标系中画出二者的图象: 4 2

x ? 1 x ?1 ? ? 1 , 即 ?1 ? x ? 7 , 令 4 2

分析两者在区间 ? ?1,7 ? 内的图象, 显然,当 x ? ? ?1,1? 时,
? x ? 1? ?0 ? ? ? 4 ?

? x ? 1? 而? ? ?1,方程不成立; ? 2 ? ?

? x ? 1? ? x ? 1? x ? 3,5 ? ? 0 ? ? 当 x ??1,3? 时, ? ;当 时, ? ? ? ? ?
? 4 ? ? 2 ?

x ? 1? ? x ? 1? ?? ?1 ; ? ? 4 2 ? ? ? ?

? x ? 1? ? x ? 1? ? 1 当 x ? ?5,7 ? 时, ? 而 ? ? ? ? 2 ,方程不成立。 ? 4 ?
? 2 ?

综上所述,原方程的解是: ? x 1 ? x ? 5? 。

注:本例为 ?u? ? ?v? 型方程。首先由 ?1 ? u ? v ? 1 ,求出 x 的取值区 间。但此条件为原方程

例 3、若 x 为实数,记 ?x? ? x ? ?x?( ?x? 表示不 超 过 x 的 最 大 整 数 ), 解 方 程
1 2006 x ? ?x? ? 2007

例 4、 ?x? 表示不超过 x 的最大整数, 2 x 解方程 ? 2?x? ? 3 ? 0

练习:
7 1. ?x ? 表示不超过 x 的最大整数,解方程 ?2 x? ? ?3x? ? 8 x ? 2

2. ?x? 表示不超过 x 的最大整数,解方程 8?3x? ? 5?2 x? ? 3
3 3 x ? ? x? ? 3 。 3.解方程

4.设 S ? 1 ? 2 ? 3 ? ? 1988 ,求

? ?? ?? ? ?

?

? S ?。


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