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振动磨DEM动力学分析模型


天津大学学报               JOU RNAL O F T IAN J IN U N IV ER S IT Y  V o l. 33 N o. 1 J an.

 第 33 卷 第 1 期 2000 年 1 月
2000

振动磨 D EM 动力学分析模型

闫 民1 , 贾启芬1 , 陈予恕1 ,

郭天德2 , 曹惟庆2
( 1. 天津大学机械学院, 天津 300072; 2. 西安理工大学, 西安 710048)

        摘 要: 运用离散单元法建立振动磨动力学分析模型, 研究了振动磨的动力学特性; 介绍了
D EM 及运用 D EM 建立振动磨动力学分析模型的方法和过程. 该模型可对振动磨的磨管和

磨介的运动进行数字模拟, 可用于对振动磨各种动力特性的定量分析. 关键词: 磨介; 磨管; D EM ; 弹性支承; 振动磨 中图分类号: TH 113   文献标识码: A    文章编号: 049322137 ( 2000) 0120059204

  振动磨为一弹性体与散体相互耦合, 装有非线性 支承, 具有无限自由度的振动系统. 物料的粉碎是通过 磨介之间以及磨介与磨管之间的相互作用来完成的, 而磨介之间的撞击具有不确定性和非线性, 以及磨介 与磨管之间的作用具有随机性. 这样就造成, 一方面研 究振动磨的基本问题在于对磨介运动过程的研究; 另 一方面又由于系统的超多自由度、 非线性碰撞等非线

相互作用状态的数字计算方法 振动磨的磨介一般为 . 球, 这些球的位移是相互独立的, 它们之间通过接触点 相互作用 这种球形磨介的离散特点决定了其运动过 . 程中表现出来的力学复杂性, 因而难以用分析的方法 解决这一问题 在这一问题的分析中, D EM 将磨介的 . 运动看作为一个离散体系的撞击过程, 像有限元那样, 每一个球形磨介被看作一个单元, 但这样的单元是由 球形磨介的半径、 质量以及碰撞行性唯一确定, 在以后 的运动中, 一个单元与其相邻的单元可以接触也可以 分开 单元之间的相互作用力可以根据力和位移的关 . 系求出, 而一个单元的运动则完全根据该单元受的不 平衡力和不平衡力矩的大小按牛顿运动定律确定 这 . 样就确定了各个球形磨介的碰撞力, 并由此模拟了全 体球形磨介以及和磨介相互耦合的磨管的运动过程 . 显然, D EM 数字计算方法引入振动磨的研究具有独 特的好处, 即可使磨介和磨管的运动过程及决定这一 过程的各种参量能够定量地表达出来 .

性因素的存在, 不可能用解析的方法研究振动磨磨介 运动 到目前为止还未见就磨介运动的定量研究[ 1 ] , 因 . 此需要寻求一种研究振动磨的有效途径或方法. 本文 首次 将 离 散 单 元 法 ( d iscrete elem en t m ethod, 简 称 D EM ) 引入振动磨的研究, 运用 D EM 建立了振动磨 动力学模型. 经过分析计算表明, 运用 D EM 研究振动 磨, 不仅可对振动磨磨管和磨介的运动进行数字模拟, 对振动磨各种动力特性进行定量分析, 还可结合动画 技术将磨管和磨介的运动过程及各种特性曲线以动画 的方式展现.

1 离散单元法 (D EM )

  D EM 是 Cunda ll 和 St rack 于 1971 年在研究土壤 状态使用两维盘单元数字模拟方案中首先提出来

  在用 D EM 分析振动磨的研究中, 一般性的研究 对象是振动磨的大数目的球形磨介个体 这意味着, 在 . 模拟计算中为获得有意义的结果, 数目很大的 D EM 磨介在模拟计算时需要很长的时间且对计算机内存和 计算速度要求较高 本文在建立振动磨动力学模型时, . 就是根据振动磨的工作过程通过一定的假设和讨论, 将三维问题转化为二维问题, 即将真实的振动磨由一 薄柱截面替代, 而在这一截面内的球形磨介被一系列 的盘代替, 即在计算中只考虑了 x 2y 平面内的运动 .

Ξ

的[ 1~ 3 ]. 随着数字模拟应用普及和计算机计算速度的 提高, D EM 的应用正从岩石力学延伸到计算机绘画 等各种不同的领域.   D EM 是一种适用于在准静力或动力条件下散体
Ξ 收稿日期: 1999205230; 修回日期: 1999209201.

   基金项目: 河北省博士资金资助项目 (99547009D ) ; 河北省教委博士后资金资助项目 (96114).    作者简介: 闫 民 (1959- ) , 男, 博士后, 副教授.

?60?

天津大学学报  2000 年 第 33 卷 第 1 期    4) 磨介和磨管都是刚性的, 即在受力过程中磨介

2 基本假设
  在运用 D EM 建立振动磨动力学分析模型时, 根 据振动磨的工作过程做了以下假设:   1) 磨管横截面的运动对磨介影响较大, 即在研究 中仅考虑磨介在 x 2y 平面内即在磨管横截面内的运 动, 忽略磨管沿其轴向即 z 轴方向的运动.   2) 设振动磨所使用的磨介有 K 种, 每种磨介的直 径和总质量分别为 Υ 和 M b i , i = 1, 2, …, K , 则球形磨 i 介的当量直径定义为      Υ=
( a ) 横截面轴向图

和磨管的形状不变 .

3 动力学模型
  振动磨开始工作前的静止状态如图 1a 和 b 所示, 其中图 1a 是按照本文的假设, 以球形磨介当量直径的 长度从图 1b 中 ( 虚线位置) 切出的一个薄柱截面, 在这 个截面中未涂黑的球表示磨介, 涂黑的球表示激振器, 从地面到磨管的连线表示弹性支承 此外在图 1 中还 . 标出了部分结构和工作状态尺寸 .
3. 1 坐标系的确定

当磨介种类数 i = 1 时, 磨介的当量直径就等于该种磨 介直径本身.   3) 由磨介当量直径定义引出假定: 磨管轴线方向 的任一长度为当量直径 Υ的薄柱截面内磨介运动, 且
3. 2 磨介的处理

它们对磨管的作用相似. 这意味着任一长度为当量直 径 Υ的薄柱截面与其相邻柱截面内磨介之间在磨管横 截面 ( x 2y 平面) 的相对运动很小以至可忽略其影响 .   设磨管的有效长度为 L , 并将其按磨介的当量直
’      b i = M

径 Υ分段, 其段数为 ( 2)     n T = L Υ 把这样取定的柱截面内的磨介看作数目相同的盘 则 . 每一段柱截面内的磨介数可由下述公式给出. 设每一 ’ 段中的第 i 种磨介的质量为M b i. 式中: K 是磨介的种类数.   设第 i 种磨介的单个质量为 m b i , 则该种磨介在每 一段柱截面的数目     n b i =
M bi      ( i= 1, 2, …, K ) m bi


6

K

M

bi

i= 1

M bi Υ M ? = nT L

Υ i

6
bi

K

M

bi

( 1)

i= 1

  作者所确定的固定坐标系是采用当振动磨即将开 始工作 ( 图 1c 实线位置) 时的位置, 即静平衡位置, 规 定 x 轴过磨管横截面中心水平向右, y 轴过磨管横截 面中心垂直向上, z 轴和磨管轴线重合其方向由 x 轴 和 y 轴按右手法则确定 按这样的规定所建模型的固 . 定坐标系的原点与开始工作时静止状态所截取的磨管 截面中心重合, 如图 1c 所示 .

( b ) 侧视图

( c) D EM 模型图

图 1 振动磨动力学模型图

F ig. 1 D ynam ic ana lytica l m odels on v ibra tion ba ll m ills

  如果取任一柱截面为研究对象, 则该柱截面内的 磨介总数或盘数为      N b =

   ( i= 1, 2, …, K )

( 3)

  图 2 所示为一组球形磨介转化为二维盘的情况, 其中盘 i 和其它盘接触如盘 j、、 和 n. k m   一对相互接触的盘的力学模型 ( 亦称为本构关系) 如图 2 下部所示 它们之间的接触由一对法向和切向 . 的弹簧2阻尼器模拟, 弹性系数和阻尼系数分别为 K n、 K s、 n 和 C s ( 其中下标 s 和 n 表示法向和切向). 在其 C 切向还加了一个摩擦器, 摩擦系数为 Λ 因 D EM 是数 . 值计算, 故以上系数在计算中可为常量也可是随着时 间变化的量 .

( 4)

6

k

nbi

( 5)

i= 1

 天津大学学报  闫 民等: 振动磨 D EM 动力学分析模型

?61? 安装角相同的弹性支承合成为一个弹性支承施加在被 研究柱截面内, 如图 1b 中的弹性支承 1 和 1 ’ 以及 2 和 2’ 被转化为图 1c 中的 A C 和 B D , 与之对应的磨管 另一侧的弹性支承则被转换为图 1cA ’ 和 B ’ . 设磨 C D 管同一侧安装角相同的弹性支承的个数为 n s 个, 它们 的等效轴向、 切向刚度系数和阻尼系数分别为
K nm = n s ?k nm K sm = n s ?k sm

    

C nm = n s ?cnm

( 12)

C sm = n s ?c sn 这样处理后的弹性支承情况如图 1c 所示, 这实际上是 将 4 个空间斜置弹性支承加在了被研究的柱截面上 .

3. 4 磨管的处理
图 2 接触磨介本构关系
F ig. 2 Represen ta tion of a con tact

  在进行 D EM 计算时, 像磨介那样磨管是被看作 一个单元来处理的 但是, 在计算时应考虑磨管是中空 . 的, 且受力较为复杂, 作用其上的力有磨介的作用力、 激振力、 弹性支承的作用力和重力 同时, 注意到磨介 . 的作用力是作用在被研究柱截面上的, 根据本文的假 设, 将其乘以 n T 才能得到了磨介对整个磨管的作用 力, 至于其计算过程则和磨介一样 .   通过以上一系列的处理, 就建立了振动磨的动力 学模型如图 1c.

  在 D EM 计算中其基本运动方程为     m xβi + C ixα+ K ix i = F i      ( i= 1, 2) i β    I i Η+ 述二阶非线性微分方程     xβ+ Α α x=
1
m

( 6)

式中: x i、α K i、 i、 、、 i 和 M 分别为被研究磨介的 x i、 C m I F 的特殊情况, 它可由有限差分法积分求解. α α x ( t+ ? t) - x ( t) ( 9)     xβ= ?t α α x ( t+ ? t) + x ( t) ( 10)     xα = 2 将方程 ( 9) 和 ( 10) 代入方程 ( 8) 就可得到 t 到 t + ? t 区 间对速度可解的简单方程. 对速度积分即可求得位移 ( ( 11)     x ( t+ ? t) = x ( t) + xα t+ ? t) ? t 给出磨介在 x 2y 平面内随时间运动的演变过程.
3. 3 弹性支承的处理[ 4 ]

位移、 速度、 刚度系数、 粘性阻尼系数、 质量、 惯性矩、 外 力和外力矩; 下标 i 为两个相互垂直的轴, i = 1、 S i 2; 为接触点到回转中心的距离分量. 上述两个方程是下 α F (x , x )

用类似方法可求得磨介的角速度和角位移. 对每一个 磨介重复以上计算过程, 所有磨介的位置即被确定, 并

  在研究振动磨的弹性支承时, 一般考虑其轴向和 切向的刚度和阻尼. 如果假设每一个弹性支承都有相 同的性质, 它们的轴向和切向刚度系数和阻尼系数分 别为 k nm 、 sm 和 cnm 、 sm , 则由该文假设略去了磨管轴向 k c ( z 轴) 方向的位移, 即弹性支承在 z 轴方向没有位移 和速度的变化. 在此条件下根据等效原理, 将磨管两侧

6

2

i= 1

( K i x i + C i xα) S i = M   ( i = 1, 2) ( 7) i ( 8)

4 振动磨 D EM 模拟计算过程
  通过上述分析, 振动磨 D EM 模拟计算即可用简 单的概念叙述 在振动磨中的每个磨介通过它的半径、 . 质量、 转动惯量以及碰撞特性唯一确定 对所有的磨 . 介, 那些相互接触的和那些邻近的磨介被保存在一个 称作接触结构体中, 这样要找出和给定磨介只需检查 结构体中的磨介而不必逐一检查 这一过程大大降低 . 了计算机以内存为代价的搜索步骤的数量 一旦两个 . 磨介发生重叠, 它们之间的法向力和切向力即可根据 其重叠的大小和速度确定下来, 对于磨管还需根据弹 性支承的支承点的位移和速度来计算弹性支承的轴向 和切向力以确定其对磨管的作用力 最后, 对作用于被 . 研究磨介或磨管的上述作用力求和就得到作用在其上 的非平衡力, 而由非平衡力就可求得被研究磨介或磨 管的速度和位移 当这一过程被执行, 并按一定时步使 . 这些计算重复一定次数, 振动磨的磨介和磨管的位置 就随之而定, 并给出了磨管和磨介在 x 2y 平面内随时 间运动的演变过程 研究这一过程可见 D EM 模拟计 . 算的特点:   1) 单元的接触力是由力2位移关系来确定的 .

?62?   2) 单元的速度是在单元上合外力已知的情况下根 据牛顿第二定律的积分式来确定的.   图 3 是振动磨 D EM 模拟计算过程示意图. 模拟 计算过程如下:   1) 振动磨开始工作时, 磨管上力的边界条件是激 振力为零, 即此时驱动电机转速为零. 这时磨和磨介在 各自所受的合力作用下处于静力平衡. 显然, 磨管中心 位于坐标原点就是位移的初始边界条件.   2) 在上述状态下, 若给激振器一个角速度 Ξ, 激振 器就产生一个激振力并施于磨管上, 使其原来的平衡 力发生变化. 将此变化了的力及所取计算时步 ? t 代入 运动方程就可根据牛顿第二定律求出磨管的速度和位 移 磨管位置变化如图 1c 虚线部分所示. .
图 3 D EM 模拟计算过程图
F ig. 3 D EM si ula tion process m

天津大学学报  2000 年 第 33 卷 第 1 期 

5 分析讨论
  振动磨 D EM 动力学分析模型的主要特点如下:   1) 可以模拟磨管和磨介的运动, 从而实现对振动 磨管和磨介运动的定量分析 .   2) 模型中考虑了磨介对磨管随时间而变时动载荷 对磨管运动的影响, 同时磨管的运动又作为磨介运动 和动力分析的边界条件, 从而很好地解决了磨介与磨 管运动相互耦合的计算难题 .   3) 磨介和磨管在 x 2y 平面内分析, 而弹性支承在 x 2y 2z 三维空间内分析, 这可大大简化计算和降低计 算规模, 使 D EM 用于振动磨分析可在计算机上实现; 可很方便地考虑弹性支承轴向和切向特性对磨管运动 的影响; 可根据所追求的目标不同将其作为线性和非 线性支承处理, 从而使弹性支承对磨管的作用更为接 近实际情况 . ) 以上计算过程已经被开发编制了 C + + 应用程    4 序, 并将其用于对我国自行研制 W GM - 3 型振动磨 的分析与计算, 计算结果与实验结果基本吻合 . 参考文献:
[ 1 ]  闫 民. 振动磨动力特性及磨介运动规律的离散单元法

  3) 在磨管获得速度的同时, 磨管与其接触的磨介 具有了相对速度, 从而产生了相对位移, 改变了所有磨 介原来的平衡状态, 平衡力变化为非平衡力. 将这种非 平衡力以及所取的计算时步代入运动方程就可根据牛 顿第二定律求得各个磨介的速度和位移.   4) 磨介和磨管的速度及位移变化改变了它们之间 的接触状态, 即改变了它们之间的作用力. 磨管速度和

研究及应用 [D ]. 西安: 西安理工大学, 1998. 究 [D ]. 北京: 清华大学, 1990.

[ 2 ]  魏 群. 岩土工程中的散体元的基本原理数值方法及研 [ 3 ]   ish ra B K, R a jm an i R a jk. T he discrete elem en t m ethod M fo r the si u la tion of ba ll m ills [ J ]. A pp l M a th m

位移的变化也改变了弹性支承对磨管的支承情况, 即 使弹性支承对磨管的支承力发生了变化, 此外时间也 增加了一个时步. 如此磨管和磨介上的合力变为新的 非平衡状态, 开始了下一时步的计算. 重复以上计算过 程就模拟了振动磨工作时磨管和磨介在 x 2y 坐标平面 内随时间变化的演变过程.
of vib ra tion ba ll m ills can be quan tified.

~ M odelling, 1992, 16 ( 11) : 599 604.
1999, 30 ( 4) : 21.

[ 4 ]  闫 民. 空 间 斜 支 承 弹 性 动 力 学 分 析 [J ]. 工 程 机 械,

DY NAM IC ANALY T ICAL MOD EL S O N V IBRAT I N BALL M I S O LL
1 1 1 2 2 YAN M in , J I Q i2fen , CH EN Yu 2shu , GU O T ian 2de , CAO W ei2g ing A

( 1. Schoo l of M echan ica l Engineering, T ian jin U n iversity, T ian jin 300072, Ch ina; 2. X i’ U n iversity of T ech, X i’ 710048, Ch ina ) an an

Abstract: T he discrete elem en t m ethod (D EM ) is u sed here to estab lish the dynam ic ana lytica l m odels of vib ra tion

. ba ll m ills. N um erica l si u la tion of the m ill tube and the ba ll cha rge can be done on these m odels and the p rop erties m Keywords: ba ll cha rge; m ill tube; ela stic suppo rt; discrete elem en t m ethod; vib ra tion ba ll m ills


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