当前位置:首页 >> 数学 >>

2014·新课标高考总复习·数学6-7数学归纳法


2014 ·新课标高考总复习 ·数学(B ·理)
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练

第七节 数学归纳法

菜 单

隐 藏

2014 ·新课标高考总复习 ·数学(B ·理)
抓主干 双基知 能优化

/>研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练

数学归纳法

一个与自然数相关的命题,如果(1)当n取第一个值n0 时命题成立;
在假设当n=k(k∈N+,且k≥n0)时命题成立的前提下,推出当n=k+1 时命题也成立,那么可以断定,这个命题对n取第一个值后面的所有 正整数成立.

菜 单

隐 藏

2014 ·新课标高考总复习 ·数学(B ·理)
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练

[疑难关注] 1.数学归纳法是一种重要的数学思想方法,主要用于解决与正 整数有关的数学问题.证明时步骤(1)和(2)缺一不可,步骤(1)是步骤(2) 的基础,步骤(2)是递推的依据. 2.在用数学归纳法证明时,第(1)步验算n=n0的n0不一定为1, 而是根据题目要求,选择合适的起始值.第(2)步,证明n=k+1时命 题也成立的过程,一定要用到归纳假设,否则就不是数学归纳法.

菜 单

隐 藏

2014 ·新课标高考总复习 ·数学(B ·理)
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练

1 1.(课本习题改编)在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为2n(n -3)条时,第一步检验第一个值 n0 等于( A.1 C.3 B.2 D.0 )

解析:边数最少的凸n边形是三角形. 答案:C

菜 单

隐 藏

2014 ·新课标高考总复习 ·数学(B ·理)
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练

1 1 1 2.利用数学归纳法证明不等式 1+ + +?+ n <f(n)(n≥2,n 2 3 2 -1 ∈N*)的过程,由 n=k 到 n=k+1 时,左边增加了( A.1 项 C.2k 1 项


)

B.k 项 D.2k 项

? 1 1 1 ? 1 1 1 解析:1+ + +?+ k+1 -?1+2+3+?+ k ? 2 3 2 -1? 2 -1 ?

1 1 1 = k+ k +?+ k+1 ,共增加了 2k 项,故选 D. 2 2 +1 2 -1
答案:D

菜 单

隐 藏

2014 ·新课标高考总复习 ·数学(B ·理)
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练

3.某个命题与自然数n有关,若n=k(k∈N*)时命题成立,那么可 推得当n=k+1时该命题也成立,现已知n=5时,该命题不成立,那

么可以推得(

)
B.n=6时该命题成立 D.n=4时该命题成立

A.n=6时该命题不成立 C.n=4时该命题不成立 解析:解法一

由n=k(k∈N*)时命题成立,可推得当n=k+1时

该命题也成立.因而若n=4成立,必有n=5成立.现知n=5不成立, 所以n=4一定不成立. 解法二 其逆否命题为“若当n=k+1时该命题不成立,则当n=

k时也不成立”为真,故“n=5时不成立”?“n=4时不成立”. 答案:C

菜 单

隐 藏

2014 ·新课标高考总复习 ·数学(B ·理)
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练

1 4.(课本习题改编)在数列{an}中,a1= 且 Sn=n(2n-1)·n,通过 a 3 计算 a2,a3,a4,猜想 an 的表达式是 ________. 1 1 解析:a1=3= , 1×3
当 n=2 时,a1+a2=S2=2(2×2-1)a2 1 1 1 5a2=3,a2=15= ; 3×5 当 n=3 时 a1+a2+a3=S3=3(2×3-1)a3=15a3 1 1 a3= = 35 5×7 ? 1 由此可猜想 an= . ?2n-1??2n+1?

1 答案:an= ?2n-1??2n+1?
菜 单 隐 藏

2014 ·新课标高考总复习 ·数学(B ·理)
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练

5.(2013年徐州模拟)用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn 能被x+y整除”,当第二步假设n=2k-1(k∈N*)命题为真时,进而需 证n=________时,命题亦真. 解析:∵n为正奇数,假设n=2k-1成立后,需证明的应为n=2k

+1时成立.
答案:2k+1

菜 单

隐 藏

2014 ·新课标高考总复习 ·数学(B ·理)
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练

考向一

证明等式

[例 1]

1 1 用数学归纳法证明:对任意的 n∈N , + +?+ 1×3 3×5
*

1 n = . ?2n-1??2n+1? 2n+1

1 1 1 1 [证明] (1)当 n=1 时,左边= =3,右边= =3,左边 1×3 2×1+1 =右边,等式成立. 1 1 (2)假设当 n=k(k∈N 且 k≥1)时等式成立,即有 + +?+ 1×3 3×5
*

1 k = , ?2k-1??2k+1? 2k+1
菜 单 隐 藏

2014 ·新课标高考总复习 ·数学(B ·理)
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练

1 1 1 则当 n=k+1 时, + +?+ 1×3 3×5 ?2k-1??2k+1? 1 k 1 + = + ?2k+1??2k+3? 2k+1 ?2k+1??2k+3? = k?2k+3?+1 ?2k+1??2k+3?

2k2+3k+1 k+1 k+1 = = = , ?2k+1??2k+3? 2k+3 2?k+1?+1 所以当 n=k+1 时,等式也成立. 由(1)(2)可知,对一切 n∈N*等式都成立.

菜 单

隐 藏

2014 ·新课标高考总复习 ·数学(B ·理)
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练

菜 单

隐 藏

2014 ·新课标高考总复习 ·数学(B ·理)
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练

1.用数学归纳法证明1+2+3+?+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时, 从n=k到n=k+1,左边需增添的代数式是( A.2k+2 C.2k+1 B.2k+3 D.(2k+2)+(2k+3) )

解析:当n=k时,左边共有2k+1个连续自然数相加, 即1+2+3+?+(2k+1),

所以当n=k+1时,左边共有2k+3个连续自然数相加,即1+2+
3+?+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3). 答案:D

菜 单

隐 藏

2014 ·新课标高考总复习 ·数学(B ·理)
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练

考向二 证明不等式 [例 2] (2013 年徐州模拟)已知数列{an}中,1<a1<2,an+1=1+an 1 - an2(n∈N*),求证: 2
?11 3? 1 ? , ?;(2)当 n≥3 时,|an- 2|< n. (1)a3∈ 8 2 2 ? ?

[证明] (1)因为 1<a1<2, 1 2 1 3 2 所以 a2=1+a1-2an=-2(a1-1) +2,
? 3? 则 a2∈?1,2?, ? ?

1 2 1 3 2 a3=1+a2- a2 =- (a2-1) + , 2 2 2
?11 3? 故 a3∈? 8 ,2?. ? ? 菜 单 隐 藏

2014 ·新课标高考总复习 ·数学(B ·理)
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练

?11 3 ? ? - 2, - 2?, (2)①当 n=3 时,a3- 2∈ 8 2 ? ?

11 1 3 1 又 - 2>- , - 2< , 8 8 2 8 1 1 1 所以- <a3- 2< ,即|a3- 2|< . 8 8 8 1 ②假设当 n=k(k≥3 且 k∈N*)时,|ak- 2|< k成立, 2 1 1 1?1 则当 n=k+1 时 ,|ak+1- 2|= · k- 2|· k+ 2-2|< ·k?2k + |a |a 2 22?
? 1 ?< k+1, 2 2-2 2 ?

即 n=k+1 时结论成立.
1 由①②可知,当 n≥3 时,|an- 2|<2n.
菜 单 隐 藏

2014 ·新课标高考总复习 ·数学(B ·理)
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练

菜 单

隐 藏

2014 ·新课标高考总复习 ·数学(B ·理)
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练

2.已知数列{an}中,a1=a(a>2),对一切 n∈N*,an>0,an+1= a2 n . 2?an-1? 求证:an>2.
证明:当 n=1 时,a1=a>2,故命题 an>2 成立; 假设 n=k(k≥1 且 k∈N*)时命题成立,即 ak>2,那么,ak+1-2= ?ak-2?2 a2 k -2= >0.命题显然成立. 2?ak-1? 2?ak-1? 所以 ak+1>2,即 n=k+1 时命题也成立. 综上所述,命题 an>2 对一切正整数都成立.

菜 单

隐 藏

2014 ·新课标高考总复习 ·数学(B ·理)
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练

考向三 [例3] yn)(0<y1<

归纳、猜想、证明 (2013年汉沽模拟)如图,P1(x1,y1),P2(x2,y2),?,Pn(xn,

y2<…<yn)是曲线C:y2=3x(y≥0)上的n个点,点Ai(ai,0)(i= 1,2,3,…,n)在x轴的正半轴上,且△Ai-1AiPi是正三角形(A0是坐标原 点).

(1)写出a1,a2,a3;
(2)求出点An(an,0)(n∈N*)的横坐标an关于n的表达式并证明.
菜 单 隐 藏

2014 ·新课标高考总复习 ·数学(B ·理)
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练

[解析] (1)a1=2,a2=6,a3=12. an-1+an an-an-1 (2)依题意,得 xn= ,yn= 3· , 2 2 由此及 y2=3·n 得 x n
? an-an-1?2 3 ? 3· ? = (a +a ), 2 ? 2 n n-1 ?

即(an-an-1)2=2(an-1+an). 由(1)可猜想:an=n(n+1)(n∈N*).

菜 单

隐 藏

2014 ·新课标高考总复习 ·数学(B ·理)
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练

下面用数学归纳法予以证明: ①当 n=1 时,命题显然成立. ②假设当 n=k(k∈N*)时命题成立,即有 ak=k(k+1),则当 n=k+1 时,由归纳假设及(ak+1-ak)2=2(ak+ak+1), 得[ak+1-k(k+1)]2=2[k(k+1)+ak+1], 即 a2+1-2(k2+k+1)ak+1+[k(k-1)]· [(k+1)(k+2)]=0, k 解得 ak+1=(k+1)(k+2)(ak+1=k(k-1)<ak 不合题意,舍去),即当 n =k+1 时,命题也成立. 由①②可知,命题成立.

菜 单

隐 藏

2014 ·新课标高考总复习 ·数学(B ·理)
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练

菜 单

隐 藏

2014 ·新课标高考总复习 ·数学(B ·理)
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练

an 3. (2013 年大连三校联考)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn= + 2 1 -1,且 an>0,n∈N*. an (1)求 a1,a2,a3,并猜想{an}的通项公式; (2)证明通项公式的正确性.

菜 单

隐 藏

2014 ·新课标高考总复习 ·数学(B ·理)
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练

解析:(1)当 n=1 时, a1 1 由已知得 a1= + -1,a2+2a1-2=0. 1 2 a1 ∴a1= 3-1 或 a1=- 3-1(舍去). a2 1 当 n=2 时,由已知得 a1+a2= + -1, 2 a2 将 a1= 3-1 代入并整理得 a2+2 3a2-2=0. 2 ∴a2= 5- 3或 a2=- 5- 3(舍去). 同理可得 a3= 7- 5. 由 a1,a2,a3,猜想 an= 2n+1- 2n-1(n∈N*).

菜 单

隐 藏

2014 ·新课标高考总复习 ·数学(B ·理)
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练

(2)证明:由(1)的计算过程知,当 n=1,2,3 时,通项公式成立. 假设当 n=k(k≥3,k∈N*)时,通项公式成立, 即 ak= 2k+1- 2k-1. ak+1 1 ak 1 那么由 ak+1=Sk+1-Sk= + - - , 2 ak+1 2 ak 将 ak= 2k+1- 2k-1代入上式并整理得 a2+1+2 2k+1ak+1-2=0, k 解得:ak+1= 2k+3- 2k+1 或 ak+1=- 2k+3- 2k+1(舍去). 即当 n=k+1 时,通项公式也成立. 由上可知对所有 n∈N*,an= 2n+1- 2n-1都成立.
菜 单 隐 藏

2014 ·新课标高考总复习 ·数学(B ·理)
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练

【答题模板】 数学归纳法证题的步骤 【典例】 (13 分)(2012 年高考安徽卷)数列{xn}满足 x1=0,xn+1= -x2+xn+c(n∈N*). n (1)证明:{xn}是递减数列的充分必要条件是 c<0; (2)求 c 的取值范围,使{xn}是递增数列.
【思路导析】 (1)从充分性与必要性两方面证明.
(2)利用x1<x2<x3,先确定c的大的范围,再利用xn<xn+1确立c的 具体取值范围,并用数学归纳法证明.
菜 单 隐 藏

2014 ·新课标高考总复习 ·数学(B ·理)
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练

【规范解答】 (1)先证充分性,若 c<0,由于 xn+1= -x2+xn+c≤xn+c<xn,故{xn}是递减数列; n 再证必要性,若{xn}是递减数列,则由 x2<x1 可得 c<0.4 分 (2)①假设{xn}是递增数列. 由 x1=0,得 x2=c,x3=-c2+2c. 由 x1<x2<x3,得 0<c<1. 由 xn<xn+1=-x2+xn+c 知,对任意 n≥1 都有 xn< c,① n 6分 2分

注意到 c-xn+1=x2-xn-c+ c n =(1- c-xn)( c-xn),② 由①式和②式可得 1- c-xn>0,即 xn<1- c. 8分

菜 单

隐 藏

2014 ·新课标高考总复习 ·数学(B ·理)
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练

由②式和 xn≥0 还可得,对任意 n≥1 都有 c-xn+1≤(1- c)( c- xn).③ 反复运用③式,得 c-xn≤(1- c)n 1( c-x1)<(1- c)n 1, xn<1- c和 c-xn<(1- c)n 1 两式相加,知
- - - -

9分

2 c-1<(1- c)n 1 对任意 n≥1 成立. 根据指数函数 y=(1- c)n 的性质,得 1 1 2 c-1≤0,c≤4,故 0<c≤4. 1 ②若 0<c≤4,要证数列{xn}为递增数列,
即 xn+1-xn=-x2+c>0, n 即证 xn< c对任意 n≥1 成立.
菜 单 隐 藏

10 分

2014 ·新课标高考总复习 ·数学(B ·理)
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练

1 下 面 用 数 学 归 纳 法 证 明 当 0<c≤ 4 时 , xn< c 对 任 意 n≥1 成 立. 1 (i)当 n=1 时,x1=0< c≤ ,结论成立. 2 (ii)假设当 n=k(k∈N*)时结论成立,即 xn< c.
? 1? ?-∞, ?内单调递增, 因为函数 f(x)=-x +x+c 在区间 2? ?
2

11 分

所以 xk+1=f(xk)<f( c)= c,这就是说当 n=k+1 时,结论也成立. 故 xn< c对任意 n≥1 成立. 因此,xn+1=xn-x2+c>xn,即{xn}是递增数列. n
? 1? 由①②知,使得数列{xn}单调递增的 c 的范围是?0,4?.13 分 ? ?

12 分

菜 单

隐 藏

2014 ·新课标高考总复习 ·数学(B ·理)
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练

【名师点评】

第一步:理清题意,确定要证明的等式或不等式;

第二步:验证初始值(注意初始值的取值);

第三步:假设n=k时成立,证明n=k+1也成立,注意用上n=k
成立的条件; 第四步:归纳结论,并反思解题过程.

菜 单

隐 藏

2014 ·新课标高考总复习 ·数学(B ·理)
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练

(2011 年高考湖南卷)已知函数 f(x)=x3,g(x)=x+ x. (1)求函数 h(x)=f(x)-g(x)的零点个数,并说明理由; (2)设数列{an}(n∈N*)满足 a1=a(a>0),f(an+1)=g(an),证明:存在 常数 M,使得对于任意的 n∈N*,都有 an≤M.

解析:(1)由 h(x)=x3-x- x知,x∈[0,+∞),而 h(0)=0,且 h(1) =-1<0,h(2)=6- 2>0,则 x=0 为 h(x)的一个零点,且 h(x)在(1,2) 内有零点.因此,h(x)至少有两个零点.

菜 单

隐 藏

2014 ·新课标高考总复习 ·数学(B ·理)
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练

当 x∈(0,+∞)时,φ′(x)>0,从而 φ(x)在(0,+∞)上单调递增, 则 φ(x)在(0,+∞)内至多只有一个零点.因此 h(x)在(0,+∞)内也至多 只有一个零点. 综上所述,h(x)有且只有两个零点.
3 (2)证明:记 h(x)的正零点为 x0,即 x0=x0+ x0.

当 a<x0 时,由 a1=a,即 a1<x0. 而 a3=a1+ a1<x0+ x0=x3,因此 a2<x0. 2 0 ①由此猜测:an<x0.下面用数学归纳法证明. 当 n=1 时,a1<x0 显然成立. 假设当 n=k(k≥1)时,ak<x0 成立,则当 n=k+1 时,由 a3+1=ak+ k ak<x0+ x0=x3知,ak+1<x0. 0
菜 单 隐 藏

2014 ·新课标高考总复习 ·数学(B ·理)
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练

因此,当 n=k+1 时,ak+1<x0 成立. 故对任意的 n∈N*,an<x0 成立. 当 a≥x0 时,由(1)知,h(x)在(x0,+∞)上单调递增.则 h(a)≥h(x0) =0,即 a3≥a+ a. 从而 a3=a1+ a1=a+ a≤a3,即 a2≤a. 2 由此猜测:an≤a.下面用数学归纳法证明. (ⅰ)当 n=1 时,a1≤a 显然成立. (ⅱ)假设当 n=k(k≥1)时,ak≤a 成立,则当 n=k+1 时,由 a3+1= k ak+ ak≤a+ a≤a3 知,ak+1≤a. 因此,当 n=k+1 时,ak+1≤a 成立. 故对任意的 n∈N*,an≤a 成立.

综上所述,存在常数 M=max{x0,a}, 使得对于任意的 n∈N*,都有 an≤M.
菜 单 隐 藏

2014 ·新课标高考总复习 ·数学(B ·理)
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练

菜 单

隐 藏

2014 ·新课标高考总复习 ·数学(B ·理)
抓主干 双基知 能优化
研考向 要点知 识探究 悟真题 透析解 题策略 提素能 高效题 组训练

本小节结束
请按ESC键返回

菜 单

隐 藏


相关文章:
2016届高考数学一轮复习 6.7数学归纳法练习 理
2016届高考数学一轮复习 6.7数学归纳法练习 理_数学_高中教育_教育专区。第七...2014高考语文新课标I卷... 2014高考语文北京卷真... 2014高考理科数学...
2015高考数学(理)一轮复习配套限时规范特训:6-7数学归纳法
2015高考数学(理)一轮复习配套限时规范特训:6-7数学归纳法_高中教育_教育专区...2014高考语文新课标I卷... 2014高考语文北京卷真... 2014高考理科数学...
2014年高三一轮专题复习数学归纳法(有详细答案)
一轮专题复习数学归纳法(有详细答案)_数学_高中教育...§ 7.6 数学归纳法 数学归纳法 证明一个与正整数...2014全国高考状元联手分享状元笔记 衡水中学文科学霸高中...
6.7数学归纳法
2014·新课标高考总复习... 33页 免费 高考理科第一轮复习课件... 暂无评价...考什么 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明一些简 单的数学命题....
高考数学北师大版(通用,理)总复习讲义 7.6 数学归纳法
高考数学北师大版(通用,理)总复习讲义 7.6 数学归纳法_数学_高中教育_教育...【金版教程】2014高考... 50页 免费 高考数学复习全套课件 第... 55页 ...
【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练:6.7 数学归纳法
百度文库 教育专区 高中教育 数学1/2 专题推荐 2014高考语文新课标I卷... ...[2013· 深圳段考]用数学归纳法证明“2n>n2+1 对于 n≥n0 的正整数 n 都...
6.7数学归纳法
6.7数学归纳法_数学_高中教育_教育专区。第 7 课时 数学归纳法 1.了解数学...2014·新课标高考总复习... 33页 免费 6-7第七节 数学归纳法(理... 6页...
2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识):6.7数学归纳法
6页 免费 2014届高三数学一轮复习专... 暂无评价...高中数学抛物线 高考经典例... 17页 免费 2013版高三...数学一轮复习专讲专练(基础知识):6.7数学归纳法...
2013版高三新课标理科数学一轮复习课时提能演练 6.7 数学归纳法)
2013版高三新课标理科数学一轮复习课时提能演练 6.7 数学归纳法)_高中教育_教育专区。2013版高三新课标理科数学一轮复习课时提能演练 6.7 数学归纳法)课时...
2014届高三人教A版数学一轮复习精练 7.7 数学归纳法 Word版含解析]
2014届高三人教A版数学一轮复习精练 7.7 数学归纳法 Word版含解析]_高中教育_教育专区。2014届高三人教A版数学一轮复习精练 7.7 数学归纳法 Word版含解析]双基...
更多相关标签: