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江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2016届高三第四次模拟考试数学参考答案(金)


数学参考答案及评分标准
说明:

2016.05

1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准 制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视 影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的 错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.[-1,3] 1 6. 12 11. ?2 2 ,2 2 2.四 7. 205
2) 3.( ?? ,

4. 2 2

5.14 10. 3

1 000 8. ? 3 13. ? 1 2

13? 9. ?1,
14. 6+1

?

?

12.27

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 2 5 15.解:(1)因为?∈(0,?),且 tan?=2,所以 sin?= , 5 3 且 cos2?=1-2sin2?=- , 5 ??????????????6 分

4 7 2 ? (2)又因为 cos2?<0,所以 2?∈( ,?),sin2?= ,又因为?∈(0,?) ,cos?=- , 2 5 10 2 ? ? ? 所以?∈( ,?),sin?= ,且 2?-?∈(- , ), 2 10 2 2 所以 sin(2?-?)=- 2 ? ,所以 2?-?=- . 2 4 ???????14 分

16.证明:证明: (1)取 PD 中点 G,连 AG,FG, 1 因为 F?G 分别为 PC?PD 的中点,所以 FG∥CD,且 FG= CD. ???????2 分 2 1 又因为 E 为 AB 中点,所以 AE∥CD,且 AE= CD. ???????4 分 2 所以 AE∥FG,AE=FG.故四边形 AEFG 为平行四边形. / 平面 PAD,AG?平面 PAD, 所以 EF∥AG,又 EF? 故 EF∥平面 PAD. ???????6 分

AH AE 1 (2)设 AC∩DE=H,由△AEH∽△CDH 及 E 为 AB 中点得 = = , CH CD 2 1 3 又因为 AB= 2,BC=1,所以 AC= 3,AH= AC= . 3 3
高三数学答案 第 1 页 共 5 页

AH AB 2 所以 = = ,又∠BAD 为公共角,所以△GAE∽△BAC. AE AC 3 所以∠AHE=∠ABC=90?,即 DE⊥AC. 又 DE⊥PA,PA∩AC=A, 所以 DE⊥平面 PAC. 又 DE?平面 PDE,所以平面 PAC⊥平面 PDE. ???????12 分 ???????14 分 ???????10 分

17.解: (1)由 OA ? 2 ,知 a ? 2 , 又 c ? 1 ,所以 b2 ? a 2 ? c 2 ? 1 , 所以椭圆的方程为 x ? y 2 ? 1 . 2
n) 在直线 mx ? ny ? 1 上,所以 m ? n2 ? 1 , 因为 P(m , 2 2 n) 在椭圆 x ? y 2 ? 1 上, 从而点 P(m , 2
2 2 2

???????2 分

???????4 分 ???????6 分

根据椭圆定义知, PF1 ? PF2 ? 2 2 . (2)设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) ,
??? ? ???? ? 由 AB ? F1F2 ? 8 得, x2 ? x1 ? 4 , 3 3

???????8 分

? mx ? ny ? 1 , ? 2 ? 由 ? x 2 ? y 2 ? 2, 得, ?4 ? m2 ? x2 ? 4mx ? 4 ?m2 ? 1? ? 0 , ? 2 ? m ? n2 ? 1 ? 2

???????10 分

解得 x1 ?

2(m ? 1) 2(m ? 1) , x2 ? , m? 2 2?m

???????12 分

从而

2(m ? 1) 2( m ? 1) 4 ? , ? 3 m? 2 2?m

解得 m ? ?1 , n ? 2 . 2

???????14 分

l 18.解: (1)设 OP=r,则 l=r· 2θ,即 r= , 2θ 1 l2 π 所以 S1= lr= ,θ∈(0, ). 2 4θ 2 ???????????4 分

(2)设 OC=a,OD=b.由余弦定理,得 l2=a2+b2-2abcos2θ,所以 l2≥2ab-2abcos2θ. ??????????????6 分 l2 所以 ab≤ ,当且仅当 a=b 时“=”成立. 2(1-cos2θ)
高三数学答案 第 2 页 共 5 页

1 l2sin2θ l2 l2 所以 S△ OCD= absin2θ≤ = ,即 S2= . ??????8 分 2 4tanθ 4(1-cos2θ) 4tanθ 1 1 4 π (3) - = 2(tanθ-θ),θ∈(0, ), . ????????????10 分 S2 S1 l 2 sinθ sin2θ 令 f(θ)=tanθ-θ,则 f ?(θ)=( )?-1= 2 . ?????12 分 cosθ cos θ π π π 当 θ∈(0, )时,f ?(θ)>0,所以 f(θ)在[0, )上单调增,所以,当 θ∈(0, ), 2 2 2 1 1 总有 f(θ)>f(0)=0.所以 - >0,得 S1>S2. S2 S1 答:为使养殖区面积最大,应选择方案一.(没有作答扣一分) ????14 分 19.解: (1) T ? ? ; (2)只需考虑 f ( x) 在 [0 ,? ] 上的最大值即可.
? ?? ①当 x ? ?0 , ? 时,令 t ? sin x ? cos x ,则 t ?[1,2] , ? 2?

???????2 分

f ( x) ? u(t ) ? ?t 2 ? at ,t ?[1,2] ;
a 2 a2 f(x)=u(t)=-t +at=-(t- ) + ,t∈[1, 2] 2 4
2

(i) (ii) (iii)

a 当 <1 时,即 a<2,u(x)max=u(1)=a-1; 2 a a2 当 1≤ ≤ 2时,即 2≤a≤2 2,u(x)max= ; 2 4 a 当 > 2时,即 a>2 2,u(x)max=u( 2)= 2a-2, 2 ???????4 分

②当 x ? ( ,? ] 时,令 t ? sin x ? cos x ,则 t ?[1,2] , 2

?

f ( x) ? v(t ) ? t 2 ? at ? 2 , t ?[1, 2] ;
(i) (ii) a 1+ 2 当- > 时,即 a<-1- 2,v(x)max=v(1)=a-1; 2 2 a 1+ 2 当- ≤ 时,即 a≥-1- 2,v(x)max=v( 2)= 2a, 2 2

???????6 分

由①②可知, f ( x)max ? max{u(t ) ,v(t )} , t ?[1,2] . (i) (ii) (iii) (iv) 当 a<-1- 2时,f(x)max=a-1; 当-1- 2≤a<2 时,因为 2a-(a-1)=( 2-1)a+1≥0,所以 f(x)max= 2a; a2 a 当 2≤a<2 2时,因为 2a- =a( 2- )>0,所以 f(x)max= 2a; 4 4 当 a≥2 2时,因为 2a> 2a-2,所以 f(x)max= 2a, ???????8 分

所以当 a ≤ ? 2 ? 1 时,的最大值为 a ? 1 ;当 a ? ? 2 ? 1 时,最大值为 2a . ???????10 分 (3)因为 a ? 1 ,探究 f ( x ) 在 (0 , ? ) 上的零点个数.

高三数学答案

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当 x ? (0 ,

?
2

] 时,令 f ( x) ? u(t ) ? ?t 2 ? t ? 0 ,解得 t=0 或 1.

则 t?

2 sin( x ?

?
4

) ? 0 在 (0 ,

?
2

] 上 无 解 , t ? 2 sin( x ?

?
4

) ? 1 在 (0 ,

?
2

]

上仅有一解

x?

?
2



???????12 分

当 x ?(

?
2

, ? ) 时,令 f ( x) ? v(t ) ? t 2 ? t ? 2 ? 0 ,解得 t=-2 或 1.
?
?

则 t ? 2 sin( x ? ) ? ?2 在 ( , ? ) 上无解, t ? 2 sin(x ? ) ? 1 在 ( , ? ) 上也无解.又因为 x=?时, 4 2 4 2 f (? ) ? 0 . ???????14 分

?

?

? ] 上有且仅有 2 个零点,分别为 x ? 综上, f ( x ) 在 (0 ,

?
2

与 x ?? .

又因为 f ( x ) 是以为周期的函数,所以 f ( x ) 在 (0,k? ) 上恰有 2 n ? 1 个零点,由题意得 2k ? 1 ? 2015 ,则
k ? 1008 .

???????16 分

20.解: (1)经过计算得, a4 ? k ? 1, a5 ? k ? 2, a6 ? 求得 b1 ? b3 ? 2, b2 ? b4 ?

k ? a4 a5 k ? (k ? 1)(k ? 2) 2 ? ? k ?4? . a3 k k
????????????????3 分

2k ? 1 . k

(2)由条件可知: an?1an?2 ? k ? an an?1 .????① 类似地有: an?2 an?1 ? k ? an?1an .????② ①-②有: an?1an?2 ? an?2 an?1 ? an an?1 ? an?1an . 即: an?1an?2 ? an?1an ? an an?1 ? an?2an?1 . 因此: 即:

an ? an ? 2 an ?2 ? an ? an ?1 an ?1

??????????????7 分

a1 ? a3 ?2 a2 a ? a4 2 k ? 1 b2 n ? b2 n?2 ? ?b2 ? 2 ? ??????????????9 分 a3 k (3)假设存在正整数 k ,使得数列 ?an ? 的每一项均为整数。 bn ? bn?2 ,?b2 n?1 ? b2 n?3 ? ?b1 ?

?a2 n ?1 ? 2a2 n ? a2 n ?1 ? 由(2)知 ? (n ? 1,2,3?) ? ? 2k ? 1 a2 n ? 2 ? a2 n ?1 ? a2 n ? k ? 2 由 a1 ? k ? z , a6 ? k ? 4 ? ? z 可知 k ? 1,2 ??????????????11 分 k

高三数学答案

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当 k ?1 时, 数。

2k ? 1 ? 3 为 整 数 , 利 用 a1 , a2 , a3 ? z 结 合 ? , 反 复 递 推 , 可 知 a4 , a5 , a6 ? 均 为 整 k
??????????????13 分

?a2 n ?1 ? 2a2 n ? a2 n ?1 ? 当 k ? 2 时?变为 ? (n ? 1,2,3?) 5 a ? a ? a 2 n ? 2 2 n ? 1 2 n ? 2 ? 消去 a2n?1 , a2n?1 得: 3a2n ? a2n?2 ? a2n?2 (n ? 2) 由 a2 , a4 ? z,? a6 ? z ?? a2n ? Z
5 ? ?a2 n? 2 ? a2 n?1 ? a2 n (n ? 1,2,3?) 2 ? ? a2n?1 为偶数, a1 ? k =2 ,故数列 ?an ? 是整数列.
综上所述, k 的取值集合是 ?1, 2? . ??????????????16 分

高三数学答案

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