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2.1 解析函数的概念


第 二 章 解 析 函 数

第二章 解析函数
§2.1 解析函数的概念 §2.2 解析函数和调和函数的关系 §2.3 初等函数

1

§2.1 解析函数的概念 第 二 章 解 析 函 数

§2.1 解析函数的概念
一、导数与微分 二、解析函数 三、柯西-黎曼方程


2

§2.1 解析函数的概念 第 一、导数与微分 二 章 1. 复变函数的导数 定义 设函数 w ? f ( z ) 在 z0 点的某邻域内有定义,z0 ? ? z 是 解 P30 ?w ? f ( z0 ? ? z ) ? f ( z0 ) , 如果 析 定义 z0 的邻域内的任意一点, 函 2.1 f ( z0 ? ? z ) ? f ( z0 ) ?w 数 ? lim lim ? z ?0 ? z ? z ?0 ?z 存在有限的极限值 A,则称 f ( z ) 在 z0 处可导,且称 A 为 f ( z ) 在 z0 处的导数,记作 f ?( z0 ) . 如果函数 f ( z )在区域 D 内的每一点都可导, 则称 f ( z ) 在 D 内可导,此时即得 f ( z ) 的导(函)数 f ?( z ) . 3

§2.1 解析函数的概念 第 一、导数与微分 二 章 2. 复变函数的微分 定义 设函数 w ? f ( z ) 在 z 点的某邻域内有定义,z ? ? z 是 z 解 P30 析 补 的邻域内的任意一点, 如果存在 A,使得 函 ?w ? f ( z ? ? z ) ? f ( z ) ? A ? z ? o( | ? z | ) , 数 则称 f ( z ) 在 z 处可微, A ? z 为微分,记作 d w ? A ? z . 特别地,有 d z ? ? z . (考虑函数 w ? f ( z ) ? z 即可)

? d w ? Ad z .
若 f ( z ) 在区域 D 内处处可微,则称 f ( z ) 在 D 内可微。 导数反映的是“变化率”;而微分更能体现“逼近”的思 想。 4

§2.1 解析函数的概念 第 一、导数与微分 二 章 3. 可导与可微以及连续之间的关系 (1) 可导 可微 解 ?w ? w ? f ?( z ) ? z 析 ? ? f ( z ) ? lim ?0 如果可导 ? lim ? z ? 0 ?z ? z ?0 ?z 函 数 ? ?w ? f ?( z ) ? z ? o( | ? z | ) ? 可微;
?w o( | ? z | ) ? A? 如果可微 ? ?w ? A ? z ? o( | ? z | ) ? ?z ?z ?w ? lim ? A ? f ?( z ) ? 可导。 ? z ?0 ? z

由此可得 d w ? f ?( z ) d z 即 f ?( z ) ?

dw . dz

5

§2.1 解析函数的概念 第 一、导数与微分 二 章 3. 可导与可微以及连续之间的关系 (1) 可导 可微 解 (2) 可导 连续 析 函 数 如果可导 ? 可微 ? ?w ? A ? z ? o( | ? z | )

? lim ?w ? 0 ? 连续。
? z ?0

由此可见,上述结论与一元实函数是一样的。 对二元实函数:偏导数存在 可微 偏导数连续。

6

§2.1 解析函数的概念 第 二 章 解 f (z ? ? z) ? f (z) ( z ? ? z )2 ? z 2 ? lim lim 析 解 (1) 由 ? ? z ?0 z ?0 ?z ?z 函 数 2 z ? z ? ( ? z )2 ? lim ( 2 z ? ? z ) ? 2 z , ? lim ? z ?0 ? z ?0 ?z

得 f ?( z ) ? ( z 2 )? ? 2 z .
同理可得 ( z n )? ? n z n?1 , ( n 为正整数 );

(C )? ? 0 , ( C 为复常数 )。
7

§2.1 解析函数的概念 第 二 章

1 1 ? 解 f (z ? ? z) ? f (z) z ? ?z z 解 (2) 由 lim ? lim 析 ? z ?0 ? z ?0 ?z ?z 函 数 ?1 1 ? lim ?? 2 . ? z ?0 z ( z ? ? z ) z

1 1 ? ? 得 f (z) ? ( ) ? ? 2 . z z

8

§2.1 解析函数的概念 第 一、导数与微分 二 P32 章 4. 求导法则 (1) 四则运算法则 解 析 [ f ( z ) ? g( z )]? ? f ?( z ) ? g?( z ) ; 函 数 [ f ( z ) g( z )]? ? f ?( z ) g( z ) ? f ( z ) g?( z ) ;
f (z) f ?( z ) g ( z ) ? f ( z ) g ?( z ) [ ]? ? , ( g( z ) ? 0 ) . 2 g( z ) [ g( z )]

9

§2.1 解析函数的概念 第 一、导数与微分 二 章 4. 求导法则 (1) 四则运算法则 解 析 (2) 复合函数的求导法则 函 [ f ( g( z ))]? ? f ?( g( z )) g?( z ) . 数 (3) 反函数的求导法则

? ?( w ) ?

1 f ?( z )

?
z ?? ( w )

1 . f ?[? ( w )]

其中, z ? ? ( w ) 与 w ? f ( z ) 是两个互为反函数的单值 函数,且 f ?( z ) ? 0 . 10

§2.1 解析函数的概念 第 二、解析函数 二 章 定义 (1) 如果函数 f ( z ) 在 z 0 点以及 z 0 点的邻域内处处可导, P31 f ( z ) 在 z0 点解析; 则称 定义 解 析 2.2 (2) 如果函数 f ( z ) 在区域 D 内的每一点解析, 则称 f ( z ) 函 数 在区域 D 内解析,或者称 f ( z ) 是 D 内的解析函数。 关系 (1) 点可导 (2) 区域可导 点解析; 区域解析。

奇点 如果函数 f ( z ) 在 z0 点不解析,则称 z0 为 f ( z ) 的奇点。
(解析函数的由来)

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§2.1 解析函数的概念 第 二、解析函数 二 章 性质 (1) 在区域 D 内解析的两个函数 f ( z ) 与 g( z ) 的和、
P32

解 析 函 数

差、积、商(除去分母为零的点)在 D 内解析。
(2) 如果函数 ? ? g( z ) 在 z 平面上的区域 D 内解析, 函数 w ? f (? ) 在 ? 平面上的区域 G 内解析, 且对 D 内的每一点 z,函数 g( z ) 的值都属于 G, 则复合函数 w ? f [ g(? ) ] 在 D 内解析。

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§2.1 解析函数的概念 第 二 章 解 析 函 数

解 设 P ( z ) ? z ? 3 , Q( z ) ? 4 z 2 ? 1 , 由函数 z n 的解析性以及

求导法则可知:

P(z) 解析, 当 Q( z ) ? 0 时, f ( z ) ? Q( z )
1 又方程 Q( z ) ? 4 z ? 1 ? 0 的根是 z ? ? , 2 1 因此在全平面除去点 z ? ? 的区域内, f ( z ) 解析。 2
2

4 z 2 ? 1 ? 8 z ( z ? 3) P ?( z )Q( z ) ? P ( z )Q?( z ) ? . f ?( z ) ? 2 2 2 (4 z ? 1) [Q( z )]

13

§2.1 解析函数的概念
2 w ? f ( z ) ? | z | 例 讨论函数 的解析性。 第 二 2 2 2 解 由 ( ? x ? y )有 w ? f ( z ) ? | z | ? z z , 章

解 析 函 数

? z ?0

lim

?w (z ? ? z) ( z ? ? z ) ? z z ? lim ? z ?0 ?z ?z ?z ? lim ( z ? z ? ?z ). ?z ? 0 ?z
极限不存在 (见§1.5 )

当 z ? 0 时,lim

? z ?0

?w ? 0 , 即 f ?(0) ? 0 ; ?z

?w 不存在。 当 z ? 0 时,lim ? z ?0 ? z
2 因此,w ? f ( z ) ? | z | 仅在 z ? 0 点可导,处处不解析。

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§2.1 解析函数的概念 第 例 讨论函数 w ? f ( z ) ? x ? i 2 y 的解析性。 二 ?w ( x ? ? x ) ? i 2( y ? ? y ) ? ( x ? i 2 y ) 章 解 lim ? lim ? z ?0 ? z ? x ?0 ?x ? i? y ? y ?0 解 析 ? x ? i 2? y ? lim , 函 ? x ?0 ? x ? i ? y 数 ? y ?0 ?w ? 2, 当 ? x ? 0 , ? y ? 0 时, lim ? z ?0 ? z
?w ? 1, 当 ? y ? 0 , ? x ? 0 时, lim ? z ?0 ? z

因此, w ? f ( z ) ? x ? i 2 y 处处不可导,处处不解析。

问题 对函数 f ( z ) ? u( x , y ) ? i v ( x , y ) , 如何判别其解析性?
15

§2.1 解析函数的概念 第 三、柯西-黎曼方程 二 章 1. 点可导的充要条件 定理 函数 w ? f ( z ) ? u( x, y ) ? i v( x, y ) 在点 z ? x ? i y 处可导 解 P33 析 定理 的充要条件是: u( x , y ) 和 v( x , y ) 在点 ( x , y ) 处可微, 函 2.1 且满足柯西?黎曼(Cauchy-Riemann )方程: 数 ?u ?v ?u ?v ? , ? ? . (简称 C ? R 方程) ?x ?y ?y ?x 附 实二元函数 u( x , y ) 可微的含义:
?u ? A ? x ? B ? y ? o ( ? x2 ? ? y2 )

o(|?z|)

?u ?u ? ? x ? ? y ? o ( ? x2 ? ? y2 ) . ?x ?y

16

§2.1 解析函数的概念 第 三、柯西-黎曼方程 二 章 1. 点可导的充要条件 证明 必要性 “ 若 w ? f ( z ) ? u ? i v 在 z ? x ? i y 处可导, ? ” 解 析 则必可微,即 ? w ? f ?( x ) ? z ? o ( | ? z | ) , 函 记 f ?( z ) ? a ? i b , 由 ? w ? ? u ? i ? v , ? z ? ? x ? i ? y 有 数

? u ? i ? v ? (a ? b i ) ( ? x ? i ? y ) ? o ( | ? z | ) ,
? ? ?u ? a ? x ? b ? y ? o ( | ? z | ) , ? ? ?v ? b ? x ? a ? y ? o ( | ? z | ) ,

故 u( x , y ) 和 v( x , y ) 在点 ( x , y ) 处可微,且
a? ?u ?v ? , ?x ?y ?b? ?u ?v ?? . ?y ?x

17

§2.1 解析函数的概念 第 三、柯西-黎曼方程 二 章 1. 点可导的充要条件 则 证明 充分性 “ 若 u( x, y ) 和 v( x , y ) 在点 ( x , y ) 处可微, ? ” 解 析 ? u ? u? x ? x ? u? y ? y ? o(|?z|), (跳过?) ? ? 函 ? ? v ? v ?y ? y ? v ? x ? x ? o(|?z|), 数
u? 又由 u 和 v 满足 C ? R 方程: x ? v? y , u? y ? ?v? x, 得

?u v ?x ? ? u ? u? x ?x ? y ? y ? o(|?z|), ? ? v ?y ? ?v ? u x ? y ? vx ? x ? o(|?z|),

?z

? ?w ? ? u ? i ? v ? ( u? x ? i v x ) (? x ? i ? y ) ? o ( | ? z | ) ,

即 f ( z ) 在 z ? x ? i y 处可微(可导),且 f ?( z ) ? u? x ? i v? x.
18

§2.1 解析函数的概念 第 三、柯西-黎曼方程 二 章 1. 点可导的充要条件 求导公式 若 f ( z ) 在 z ? x ? i y 处可导,则 解 P34 析 ?u ? v ?u ?u 函 f ?( z ) ? ? i .? ?i ?x ? x ?x ?y 数

?v ?u ? v ?v ? ?i ? ?i . ?y ?y ?y ?x

(关于C -R条件)

19

§2.1 解析函数的概念 第 三、柯西-黎曼方程 二 章 2. 区域解析的充要条件 定理 函数 w ? f ( z ) ? u( x, y ) ? i v( x, y ) 在区域 D 内解析的 解 P34 析 定理 充要条件是: u( x , y ) 和 v( x , y ) 在区域 D 内可微,且 函 2.2 满足 C ? R 方程。 数 推论 若函数 u( x, y ) 和 v( x , y ) 的四个偏导数 u?x , u?y , v ? x , v? y
P34 推论

在区域 D 内存在且连续,并满足 C ? R 方程,则函数

w ? f ( z ) ? u( x, y ) ? i v( x, y ) 在区域 D 内解析。

20

§2.1 解析函数的概念 第 例 讨论函数 w ? z 的可导性与解析性。 二 解 由 w ? z ? x ? i y, 有 u ? x, v ? ?y, 章 解 析 函 数

?u ? 1, ?x
?v ? ?1 , ?y

?u ? 0, ?y

?v ? 0, ?x

可知不满足 C ? R 方程, 所以 w ? z 在复平面内处处不可导, 处处不解析。

21

§2.1 解析函数的概念
2 w ? z 例 z 讨论函数 的可导性与解析性。 第 二 解 由 w ? z z 2 ? | z |2 z ? ( x 3 ? x y 2 ) ? i ( x 2 y ? y 3 ) , 章 有 u ? x3 ? x y2 , v ? x2 y ? y3 , 解 析 ?u ?u ? 2 2 函 ? 2x y , ? ? 3x ? y , ?y ?x ? 由 C ? R 方程, 数 ? ?v ?v ? ? x ? y ? 0, 2 2 ? x ? 3y , ? 2x y , ? ?y ? ?x 2 w ? z z 所以 仅在 (0 , 0) 点可导, 处处不解析。

22

§2.1 解析函数的概念
2 2 第 例 讨论函数 f ( z ) ? x ? i y 的可导性与解析性。 二 由 u ? x2 , v ? y2 , 有 解 章

解 析 函 数

?u ?u ? 0, ? 2x , ?y ?x ?v ?v ? 2y, ? 0, ?y ?x

? ? 由 C ? R 方程, ? ? ? ? x ? y, ? ?

y x? y x

2 2 处处不解析。 所以 f ( z ) ? x ? i y 仅在直线 x ? y 上可导,

23

§2.1 解析函数的概念
x 例 f ( z ) ? e (cos y ? i sin y ) 的可导性与解析性。 讨论函数 第 二 P35 例2.4 部分 章 解 由 u ? e x cos y , v ? e x sin y , 有

解 析 函 数

x x ? u? ? e cos y , u ? ? e sin y , ? 四个偏导数连续, x y ? ? v ?y ? e x cos y , v?x ? e x sin y , ? ? 且满足 C ? R 方程,

x 故 f ( z ) ? e (cos y ? i sin y ) 在全平面上处处可导,
x ? ? i v ? e (cos y ? i sin y ) . 处处解析,且 f ?( z ) ? u? x x

注 函数 f ( z ) ? e (cos y ? i sin y ) ? e ? e 本例结果表明: (e z )? ? e z .

x

x

i y 记为

ez ,

24

§2.1 解析函数的概念 第 二 章 解 析 函 数 解 由 u ? x 2 ? A xy ? By 2 , v ? C x 2 ? D xy ? y 2 , 有

u?x ? 2 x ? A y , u?y ? A x ? 2 By ,
v ?y ? D x ? 2 y , v?x ? 2C x ? D y ,
由 C ? R 方程可得 2 x ? A y ? D x ? 2 y ,

A x ? 2 By ? ?( 2C x ? D y ) ,
求解得 A ? 2 , B ? ?1 , C ? ?1 , D ? 2 .

25

§2.1 解析函数的概念 第 二 章 解 析 证 (1) 由 f ( z ) ? u ? i v 解析,? u?x ? v ?y , u?y ? ? v ?x , 函 数 由 f ( z ) ? u ? i v 解析,? u? x ? ( ? v )?y , u? y ? ? ( ? v )? x,
? u? x ? u? y ? v? x ? v? y ? 0 , ? u , v 为常数,

即得 f ( x , y ) ? c (常数)。

26

§2.1 解析函数的概念 第 证 (2) 由 f ( z ) ? u ? i v 解析,? u?x ? v ?y , u?y ? ? v ?x , 二 由 | f ( z ) | 在 D 内为常数, ? u 2 ? v 2 ? a (常数), 章 两边分别对 x , y 求偏导得: 解 析 ? u ? u? ? u ? u? x ? v ? u? y ? 0, x ? v ? v? x ? 0, (A) ? ? ? 函 ? v ? u? ? u ? u?y ? v ? v ?y ? 0 , x ? u ? u? y ? 0, 数 u ?v ? 0 , ? u ? v ? 0 , ? f ( x , y ) ? 0(常数); ①若 v u
u ?v ? 0 , ? 方程组(A)只有零解, ②若 v u
? u? x ? u? y ? v? x ? v? y ? 0 , ? u , v 为常数,

即得 f ( x , y ) ? c (常数)。 27

§2.1 解析函数的概念 第 例 设函数 f ( z ) ? u ? i v1 和 g( z ) ? u ? i v2 均在某区域 D 内 二 解析,证明:v1 ( x , y ) ? v2 ( x , y ) ? c , 其中 c 为常数。 章 记为 ~ ~, 解 令 h( z ) ? f ( z ) ? g( z ) ? 0 ? i (v1 ? v2 ) , u?iv 解 析 由 f ( z ) 和 g( z ) 解析,得 h( z ) 也解析, 函 ~? ? v ~? , 数 ? (v1 ? v 2 )?y ? 0 , 由 C ? R 方程有 u x y
~? ? ?v ~? , u y x


? (v1 ? v2 )?x ? 0 ,

即得 v1 ( x , y ) ? v2 ( x , y ) ? c (常数)。 意义 解析函数的实部一旦给定,则虚部只能相差一个常数。
(虚部)

(实部)

下节还将看到对于解析函数的实部(或虚部)本身也有要求。 28

§2.1 解析函数的概念 第 二 章 解 析 函 数

轻松一下 ……

29

§2.1 解析函数的概念 第 附:知识广角 —— 解析函数的由来 二 章 解析函数的名称是康道尔西(Condorcet)首先使用的。他的 解 析 函 数 研究报告没有公开出版,但有很多人知道他的工作。 在康道尔西使用该名称 20 年之后,拉格朗日(Lagrange)也 使用了解析这个术语,他在《解析函数论》中将能展开成 级数的函数说成是解析函数。 现在所使用的解析函数的概念,则基本上是在魏尔斯特拉 斯(Weierstrass)的著作中形成的。

(返回)

30

§2.1 解析函数的概念 第 附:知识广角 —— 关于 C ? R 条件 二 1746年,达朗贝尔(D’Alemert)在研究流体力学时首先提到 章 解 析 函 数
?u ?v 了如下的关系式: ? , ?x ?y ?u ?v ?? . ?y ?x

1755年,欧拉(Euler)也提到了上述关系式。

1777年,欧拉的两篇研究报告(1793年与1794年才发表)中 ,
证明了条件的必要性,即 若函数 f ( z ) ? u ? iv 是解析函数,则上述关系式成立。

31

§2.1 解析函数的概念 第 附:知识广角 —— 关于 C ? R 条件 二 1851年,上述关系式在黎曼的第一篇重要论文(博士论文) 章 解 析 函 数 “复变函数论的基础”中再次出现。黎曼把它当作了解析 函数定义的基础,并且在它上面建立了相应的理论。

上述关系式在柯西的著作中也多次出现。柯西在很长时期
内没能解决所研究的函数应当满足什么样的条件才能成为 解析函数,直到晚年他才区分出解析函数类。 后来人们就以柯西和曼黎的名字来命名上述关系式,不过

也有些著作把该上述关系式称为欧拉-达朗贝尔条件。
32

§2.1 解析函数的概念 第 附:人物介绍 —— 柯西 二 章 解 析 函 数

柯 西
A. L. Cauchy (1789~1857)

法国数学家
数学史上最多产的数学家之一。 复变函数论的奠基人之一。 数理弹性理论的奠基人之一 。

33

§2.1 解析函数的概念 第 附:人物介绍 —— 柯西 二 章 在纯数学和应用数学方面的功力相当深厚。很多数学定理 解 析 函 数 和公式都是以他的名字命名的,如柯西不等式、柯西积分 公式等等。 在论文写作数量上,柯西仅次于欧拉。他一生中总共发表 了 789 篇论文和几本书。他的全集从 1882 年开始出版,直

到 1974 年才出齐最后一卷,总计 28 卷。

34

§2.1 解析函数的概念 第 附:人物介绍 —— 黎曼 二 章 解 析 函 数

黎 曼
B. Riemann (1826~1866)

德国数学家
是世界数学史上最具独创精神的数学家之一。 复变函数论的奠基人之一。 黎曼几何的创始人。

35

§2.1 解析函数的概念 第 附:人物介绍 —— 黎曼 二 章 柯西、黎曼和维尔斯特拉斯是公认的复变函数论的主要 解 析 函 数 奠基人,但在处理复变函数理论的方法上,黎曼的方法 被认为是本质的。 在其短暂的一生中,黎曼为数学的众多领域作出了许多 奠基性、创造性的工作。 黎曼的著作不多,但却异常深刻,极具创造与想象力。 复变函数中许多术语,如单值函数、多值函数、分支、 单叶曲面以及单连通区域等,都是黎曼首先使用的。
(返回)

36


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