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广东省六校联盟2015届高三第三次联考数学(文)试卷 Word版含答案


广东省六校联盟 2015 届高三第三次联考 (文科)数学试题
本试卷共 4 页,20 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目要求的. 1.设函数 f ( x) ? A. (1, ??)

1 的定义域为 M ,则 CR M ? ( 1? x
B. [1, ??) C. (??,1)

) D. (??,1] ) D. y ?
3

2.下列函数中,既是偶函数又在 ? 0, ?? ? 上单调递增的是( A. y ? x ? 1 B. y ? ? x 2 ? 1 C. y ? tan x

x

? x?0 ? 3.已知点 ( x , y ) 满足 ? y ? 0 ,则 u ? y ? x 的最小值是( ?x ? y ? 1 ?
A. ?2 4.双曲线 B. ?1 ) C. 0



D. 1

x2 ? y 2 ? 1 的离心率 e ? ( 4
B.

A.

5 2

3 2

C.

2 5


D.

2 3

5.对于任意向量 a 、 b 、 c ,下列命题中正确的是( A. a b ? a b C. ? a b ? c ? a ? b c ? 6.已知 sin( A.

B. a ? b ? a ? b D. a a ? a
2

?
2

??) ?

3 5

3 ? , ? ? (0, ) ,则 sin(? ? ? ) ? ( 5 2 3 4 B. ? C. 5 5

) D. ?

4 5

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7.等差数列 ?an ? 中, a2 ? 4 , a3 ? a7 ? 20 ,则 a8 ? ( A.8 B.12 C.16

) D.24 )
2 2

2 2 8.圆 ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 关于直线 y ? x 对称的圆的方程为(

A. ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 1
2 2

B. ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 D. ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1
2 2

C. ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 1
2 2

9.一个圆锥的正(主)视图及其尺寸如图 1 所示.若一个平行于圆锥底面的 平面将此圆锥截成体积之比为 1﹕7 的上、下两部分,则截面的面积为( A. ) 4

1 ? 4

B. ?

C.

9 ? 4

D. 4 ?

10.已知平面上的线段 l 及点 P ,在 l 上任取一点 Q ,线段 PQ 长度的 最小值称为点 P 到线段 l 的距离,记作 d ( P, l ) .设 l 是长为 2 的线段, 点集 D ? {P | d ( P, l ) ? 1} 所表示图形的面积为( A. ? B. 4 C. 2 ? ? ) D. 4 ? ? 6 图1

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11.已知 a ? ? 2,1? , b ? ?1, ?3? ,则 a ? 2b ? ________. 12.若 a, b ? R ,则“ a ? b 成立”是“ a 2 ? b 2 成立”的________条件(填“充分不必要” , “必要不充分” , “充要” , “既不充分也不必要” ) . 13.如图 2,一个等腰直角三角形的直角边长为 2,分别以三个顶点为圆心, 1 为半径在三角形内作圆弧,三段圆弧与斜边围成区域 M (图中白色部分) . 若在此三角形内随机取一点 P ,则点 P 落在区域 M 内的概率为________. M

?? x 2 ? x , x ? 1 3 ? 2 14.已知函数 f ( x) ? ?log x , x ? 1 ,若关于 x 的不等式 f ( x) ? m ? m 有解, 1 4 ? ? 3
则实数 m 的取值范围为________.

图2

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三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分12分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ?

?
3

), (? ? 0, A ? 0) 的部分图象

如图 3 所示,其中点 P 是图象的一个最高点. (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)已知 ? ? (

?
2

, ? ) ,且 sin ? ?

5 ? ,求 f ( ) . 13 2

图3

16. (本小题满分12分) 某种零件按质量标准分为 1,2,3,4,5 五个等级.现从一批该零件中随机抽取 20 个,对其等 级进行统计分析,得到频率分布表如下: 等级 频率

1

2

3
0.15

4

5

0.05

m

0.35

n

(1)在抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰有 2 个,求 m, n ; (2)在(1)的条件下,从等级为 3 和 5 的所有零件中,任意抽取 2 个,求抽取的 2 个零 件等级恰好相同的概率.

17. (本小题满分 14 分) 如图 4, 在四棱锥 P ? ABCD 中,PD ? 平面ABCD ,AD ? CD , 且 DB 平分 ?ADC ,

E 为 PC 的中点, AD ? CD ? 1 , DB ? 2 2 , PD ? 2 .
(1)证明: PA // 平面BDE ; (2)证明: AC ? PB ; (3)求三棱锥 E ? ABD 的体积.

图4
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18. (本小题满分14分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? 1 , S n ?1 ? an ? 1 ( n ? 2 且 n ? N* ) . (1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)设 bn ?

an ?1 (n ? N* ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . (an ? 1)(an ?1 ? 1)

19. (本小题满分14分)

a?x ,其中 a 为常数,且 a ? 0 . x 1 (1)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 y ? x ? 1 垂直,求 a 的值; 2 1 (2)若函数 f ( x) 在区间 [1, 2] 上的最小值为 ,求 a 的值. 2
已知函数 f ( x) ? ln x ?

20. (本小题满分14分) 设 F1 , F2 分别是椭圆 D :

? x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,过 F2 作倾斜角为 的 2 3 a b

直线交椭圆 D 于 A , B 两点, F1 到直线 AB 的距离为 3 ,连接椭圆 D 的四个顶点得到的菱形 面积为 4 . (1)求椭圆 D 的方程; (2) 已知点 M( ? 1, , 设 E 是椭圆 D 上的一点, 过 E 、M 两点的直线 l 交 y 轴于点 C , 0) 若 CE ? ? EM , 求 ? 的取值范围; (3)作直线 l1 与椭圆 D 交于不同的两点 P , Q ,其中 P 点的坐标为 (?2,0) ,若点 N (0, t ) 是线段 PQ 垂直平分线上一点,且满足 NP ? NQ ? 4 ,求实数 t 的值.

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广东省六校联盟 2015 届高三第三次联考 (文科)数学试题参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 答案 B A B A D D C A C D

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. (4, ?5) 12.充要 13. 1 ?

? 4

14. [?

1 ,1] 4

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15.解: (1)由函数最大值为 2 ,得 A=2,??????????????????1 分 由图可得周期 T ? 4[ 由

2?

? (? )] ? ? ,??????????????????2 分 12 6
??????????????????3 分 ??????????????????5 分 2 )

?

?

?

? ? ,得 ? ? 2 .

? f ( x) ? 2sin(2 x ? ) . 3


?

? 5 12 由? ? ( ,?),且 sin ? ? ,得 cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? ,?????????. 8 2 13 13


? f ( ) ? 2sin(2 ? ? ) ? 2(sin ? cos ? cos ? sin ) ? 2 2 3 3 3
分 16 . 解 : ( 1 ) 由 频 率 分 布 表 得

?

?

?

?

?

5 ? 12 3 .?????? 12 13

0.05 ? m ? 0.15? 0.35? n ? 1 , 即
2 ? 0.1 . 20

m ? n ? 0.45 . ??????2 分
由抽取的 20 个零件中, 等级为 5 的恰有 2 个, 得 n? 4分
[

??????





m?0 . 4 ? 5

? 0 .. 1

0 . 3 5???????????????????5 分

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(2)解:由(1)得,等级为 3 的零件有 3 个,记作 x1 , x2 , x3 ;等级为 5 的零件有 2 个,记作

y1 , y2 .从 x1 , x2 , x3 , y1 , y2 中任意抽取 2 个零件,所有可能的结果为: ( x1 , x2 ), ( x1 , x3 ), ( x1 , y1 ), ( x1 , y2 ), ( x2 , x3 ), ( x2 , y1 ), ( x2 , y2 ), ( x3 , y1 ), ( x3 , y2 ), ( y1 , y2 ) 共 计

10 种.??9 分
记事件 A 为“从零件 x1 , x2 , x3 , y1 , y2 中任取 2 件,其等级相等” . 则 A 包含的基本事件为 ( x1 , x2 ), ( x1 , x3 ), ( x2 , x3 ), ( y1 , y2 ) 共 4 个. ?????????? 11 分 故 所 求 概 率 为

4 ? 0.4 . ???????????????????????12 分 10 17. 解: (1) 证明:如图, 设 AC BD ? F ,连接 EF ,因为 AD ? CD ,且 DB 平分 ?ADC , P( A) ?
所以 F 为 AC 中点, 又因为 E 为 PC 的中点, 所以 EF 为 ?PAC 的中位线, 所以 PA / / EF , 又因为 EF ? 平面 BDE ,所以 PA // 平面BDE .???????????????4 分 (2)证明:因为 AD ? CD ,且 DB 平分 ?ADC ,所以 AC ? BD ,又 PD ? 平面ABCD ,

AC ? 平面ABCD ,所以 PD ? AC ,又因为 PD

BD ? D ,

且 PD ? 平面 PBD 、 BD ? 平面 PBD ,所以 AC ? 平面 PBD ,又 PB ? 平面 PBD , 所以 AC ? PB .???????????????8 分 (3)由(2)知 AF ? BD ,又因为 AD ? CD 、 AD ? CD ? 1 , 所以 AF ? 11 分 又因为 PD ? 平面ABCD , PD ? 2 , E 为 PC 中点, 所以 E 到平面 ABD 的距离为 h ? 所以 VE ? ABD ?

2 1 1 2 ,所以 S ?ABD ? BD ? AF ? ? 2 2 ? ? 1 ;??????????? 2 2 2 2

1 PD ? 1 ;??????13 分 2

1 1 1 S?ABD ? h ? ?1?1 ? , 3 3 3 1 .???????????????????14 分 3

即三棱锥 E ? ABD 的体积为

18.解: (1) 由题 S n ?1 ? an ? 1 ??①

? S n ? an ?1 ? 1 ??②

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由① ? ②得: an ?1 ? 2an ? 0 ,即

an ?1 ? 2(n ? 2) ,??????????4 分 an a2 ? 2 ,?????????? 5 分 a1
n ?1

当 n ? 2 时, a1 ? a2 ? 1 ,

a1 ? 1 ,? a2 ? 2 ,

所以, 数列 {an } 是首项为 1 , 公比为 2 的等比数列, 故 an ? 2 ( n ? N* ) . ??????? 6分 (2)由(1) an ? 2 所以 bn ? 10 分 所以 Tn ? b1 ? b2 ?
n ?1

( n ? N* ) ,

an ?1 2n 1 1 ? n ?1 ? 2( n ?1 ? n ) ,???????? n (an ? 1)(an ?1 ? 1) (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ?1 2 ?1

1 1 1 1 ? bn ? 2[( ? ) ? ( ? ) ? 2 3 3 5

?(

1 2
n ?1

1 )] ?1 2 ?1 ?
n

1 1 2n ? 1 . ? 2( ? n ) ? n 2 2 ?1 2 ?1

?????????????? 14 分

19.解: f '( x) ? 分

1 ? x ? (a ? x) 1 a x ? a ? ? ? 2 ? 2 (x?0) x x2 x x x

??????????? 2

(1)因为曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) )处的切线与直线 y ?

1 x ? 1 垂直, 2

所以 f '(1) ? -2 ,即 1 ? a ? ?2, 解得a ? 3. ??????????????4 分 (2)当 0 ? a ? 1 时, f '( x) ? 0 在(1,2)上恒成立,这时 f ( x) 在[1,2]上为增函数,

? f ( x) min ? f (1) ? a ? 1 .?????????????????????????6
分 当 1 ? a ? 2 时,由 f '( x) ? 0 得, x ? a ? (1, 2) , 对于 x ? (1, a ) 有 f '( x) ? 0, f ( x) 在[1,a]上为减函数, 对于 x ? (a, 2) 有 f '( x) ? 0, f ( x) 在[a,2]上为增函数,

? f ( x) min ? f (a ) ? ln a . ???????????????????????8 分
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当 a ? 2 时, f '( x) ? 0 在(1,2)上恒成立,这时 f ( x) 在[1,2]上为减函数,

? f ( x) min ? f (2) ? ln 2 ?


a ?1 . ???????????????????????10 2

于是,①当 0 ? a ? 1 时, f ( x) min ? a ? 1 ? 0 ;????????11 分 ②当 1 ? a ? 2 时, f ( x) min ? ln a ,令 ln a ? ③当 2 ? a 时, f ( x) min 综上所述, a ? 14分 20 . 解 : ( 1 ) 设 F1 , F2 的 坐 标 分 别 为 (?c,0), (c,0) , 其 中 c ? 0 , 由 题 意 得 AB 的 方 程 为: y ?

1 ,得 a ? e ;????????12 分 2 a 1 ? ln 2 ? ? 1 ? ln 2 ? .????????13 分 2 2

e .???????????????????????????

3 ( x ? c)

因 F1 到直线 AB 的距离为 3 ,所以有

? 3c ? 3c 3 ?1

? 3 ,解得 c ? 3 ?????2 分

所以有 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 3 ??①由题意知: 联 立 ① ② 解 得 :

1 ? 2a ? 2b ? 4 ,即 ab ? 2 ??② 2
D
的 方 程 为

a ? 2, b ? 1 , 所 求 椭 圆

x2 ? y 2 ? 1 ????????????4 分 4
(2)由(1)知椭圆 D 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ,设 E ( x1 , y1 ) , C (0, m) ,由于 CE ? ? EM , 4






( x1 , y1 ? m) ? ? (?1 ? x1 ,? y1 )



? x1 ? ?

?
1? ?

, y1 ?

m ???????????7 分 1? ?

又 E 是椭圆 D 上的一点,则

(?

?
1? ? 4

)2

2 m 2 ,所以 m ? ?( ) ?1 1? ?

(3? ? 2)(? ? 2) ?0 4
2 3








???

? ? ?2

???????????????????????8 分

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(3)由 P (?2,0) , 设 Q ( x1 , y1 ) ,根据题意可知直线 l1 的斜率存在,可设直线斜率为 k ,则直 线 l1 的 方 程 为 y ? k ( x ? 2) , 把 它 代 入 椭 圆 D 的 方 程 , 消 去 y , 整 理 得 :

(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 16k 2 x ? (16k 2 ? 4) ? 0
由韦达定理得 ? 2 ? x1 ? ? 所 以 线

4k 16k 2 2 ? 8k 2 , 则 , y1 ? k ( x1 ? 2) ? x ? 1 2 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 1 ? 4k


PQ













(?

2k 8k 2 ) ????????????????????10 分 , 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k

(i)当 k ? 0 时, 则有 Q (2,0) ,线段 PQ 垂直平分线为 y 轴,于是 NP ? (?2, ?t ), NQ ? (2, ?t ) 由 NP ? NQ ? ?4 ? t 2 ? 4 ,解得: t ? ?2 2 ?????????????????11 分 (ii) 当 k ? 0 时, 则线段 PQ 垂直平分线的方程为 y ?

2k 1 8k 2 ? ? ( x ? ) 1 ? 4k 2 k 1 ? 4k 2 6k 因为点 N (0, t ) 是线段 PQ 垂直平分线的一点,令 x ? 0 ,得: t ? ? , 1 ? 4k 2
于 是

NP ? (?2, ?t ), NQ ? ( x1 , y1 ? t )





NP ? NQ ? ?2 x1 ? t ( y1 ? t ) ?

4(16k 4 ? 15k 2 ? 1) ? 4, (1 ? 4k 2 ) 2

解得: k ? ?

6k 14 2 14 ,代入 t ? ? , 2 ,解得: t ? ? 1 ? 4k 7 5
满 足 条 件 的 实 数





,

t







t ? ?2 2



t??

2 14 . 5

??????????????14 分

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