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《平面向量的实际背景及基本概念》教学设计


《平面向量的实际背景及基本概念》教学设计

一、教材内容分析
1.教材的地位和作用 本节内容是选自人教 A 版高中数学必修 4 第二章第一节, 由于向量是近代数学中重要和基础的数学概 念之一,它具有几何形式和代数形式的“双重身份”,因而成为数形结合的桥梁,成为沟通代数、几何、 三角的得力工具.向量的概念从大量的生活实例和丰富的物理素材中抽象出来,反过

来,它的理论和方法 又成为解决生活实际问题和的物理学重要工具.它之所以有用,关键是它具有一套良好的运算性质,可以 使复杂问题简单化、直观化,使代数问题几何化、几何问题代数化.正是由于向量所特有的数形二重性, 使它成为中学数学知识的一个交汇点,成为联系多项内容的媒介,在高中数学教学内容中有广泛的应用. 本节课是向量的入门课,概念较多,但难度不大,学生可借鉴对物理学中的位移、力、速度等的认识来学 习. 2.学情分析: 高一学生在认识能力、抽象能力和思维能力等方面相对较弱,由于对向量的认识还是比较单一的(往 往只考虑大小而忽略方向),所以学生对它的认识不可能一步到位。因此,进行概念教学时,除了对概念 进行逐字逐句分析外,还要通过日常生活中的实例和不同的例题对概念进行分析,并通过老师的引导,使 学生对概念的理解逐步深入。 3.教学目标的确定 根据本课教材的特点,新课标的教学要求,学生身心发展的需要,本节课确定教学目标如下: 知识与技能 (1)了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和向量的几何表示; (2)掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念; 并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系 (3)通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 过程与方法 引导发现法与讨论相结合。 这是向量的第一节课, 概念与知识点较多, 在对学生进行适当的引导之后, 应让学生清清楚楚得明白其概念,这是学生进一步获取向量知识的前提;通过学生主动地参与到课堂教学 中,提高学生学习的积极性。体现了在老师的引导下,学生的主体地位和作用。 情感目标与价值观 通过对向量与数量的比较,培养学生认识客观事物的数学本质的能力,并且意识到数学与现实生活是 密不可分的,是源于生活,用于生活的。 4、教学重点及难点 (1) .重点:向量的概念,相等向量的概念,向量的几何表示等 (2) .难点:向量的概念和共线向量的概念

二.教法分析:
向量的概念是从生活实例和物理素材中抽象出来的,如物理学中的位移、力、速度等概念,其几何 背景是有向线段,虽然是抽象的形式符号,教学时依然可以用位移、力等物理量为背景,理解上并不困难. 因此教学时要注意把握概念的物理意义,理解有关概念的实际背景,有助于学生认同新概念的合理性.而 相等向量、共线向量等概念可以让学生在对向量的两要素(大小、方向)的认识中结合具体案例主动构建, 让学生自己得出的概念比简单的告诉印象要深刻得多.总之,为了加深学生对向量内涵的理解,应精心选

例设问,引导学生的思考置疑.通过直观形象→具体→抽象→再具体的反复过程,正向思考与逆向思考相 结合,使学生逐步理解概念,克服思维的负迁移.

三.学法指导:
本课以问题为中心,以解决问题为主线展开,学生主要采用“探究式学习法”进行学习。本课学生的学 习主要采用下面的模式进行: 通过直观形象→具体→抽象→再具体的反复过程。 学生在物理学科中已经积累了足够多的向量模型,并且在三角函数线部分内容的学习中(必修 4 任 意角的三角函数、三角函数的图像与性质)已经接触到有向线段的概念,从而为本节课的学习提供了知识 准备;学生间通过一学期的共同学习,其合作探究的习惯和意识已然养成,这就为本节课的学习提供了认 知准备.

四:教学流程设计 创设情境 导入新课

提出问题

分析问题

引 出
y ? sin x, x ?[0, 2? ]





应用概念 巩固提升

小结 布置作业
y ? sin x, x ?[0, 2? ]

五、教学过程与操作设计

教学环节

问题设计
力也是物理中常见的量, 同样满足既有大小, 又有方 向,从以下四个图示进行说明(课件展示) 从本章引言, 我们知道位移是既有大小, 又有方向的 量,可用有向线段表示。 (*引申出有向线段的概念) 具有方向的线段就叫做有向线段。 有向线段的三要素:起点、方向、长度。 思考:还能举出物理学中的这样的一些实例吗? 从中归纳数学中向量的定义。

师生互动
情境设置符合 学生的认知规律; 从具体到抽象,从 特殊到一般,从学 生熟悉的经验和感 兴趣的问题开始, 从而顺利地将学生 引导到向量的学习 中来。

创 设 情 境

生:观察、思考、 总结、概括得出结 论,并相互进行交

流。

1、向量定义:我们把既有大小又有方向的量叫向量 设问:时间、路程、功是向量吗?速度与加速度呢? 从而归纳出数量与向量的相关概念:数量只有大小, 是一个代数量;向量有方向,大小,双重性.


2、向量的几何表示 (类比实数的数轴表示并结合实例过渡到向量的几何表 示) 向量的几何表示:用有向线段表示; 3、向量的相关概念 (1)向量的字母表示:用字母a、b(黑体,印刷用) 等表示,书写用 a ,b 等;或用有向线段的起点与终 点字母: AB 等; (2) 向量 AB 的大小就是有向线段 AB 的长度 (或称模) , 记作| AB |;向量方向就是其有向线段的箭头指向。

并类比得到数量的 定义。 让学生进一步体会 到向量的方向性



(3)零向量、单位向量概念: (从向量的大小方面过渡) ①长度为 0 的向量叫做零向量,记作 0 。0 的方向是 任意的。 ②长度等于 1 个单位的向量,叫做单位向量. 说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 4、平行向量定义(从向量的方向关系进行引入) : ①方向相同或相反的非零向量叫做平行向量;



若向量 a , b 平行,记作 a ∥ b ②我们规定 0 与任一向量平行,即都有 0 ∥ a . 说明:综合①、②才是平行向量的完整定义; 探究:“若 a ∥ b ,且 b ∥ c ,则 a ∥ c ?”这个说法 正确吗? (注意与直线平行传递性的区别) 5、相等向量定义: 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 说明: (1)若向量 a 与 b 相等,记作 a = b ; (2) 任意两个相等的非零向量, 都可用同一条有向

线段来表示,并且与有向线段的起点无关 .(结合向量与 .......... 有向线段的构成要素进行说明,并用课件展示其生成过 程) 6、共线向量与平行向量关系: (课件展示)

类比有助于将学生 认知进行迁移,顺 利形成向量的知 识。 向量的几何表示



平行向量就是共线向量, 这是因为任一组平行向量都 可移到同一直线上(与有向线段的起点无关) . ........... A 探究: (1)平行向量可以在同一直线上吗? (注意与两平行线位置关系的区别) (2)共线向量可以相互平行吗?

? a

B

记做 a 或 AB



(注意与同在一直线上的线段位置关系的区别)



a b

让学生独立思考, 得到结论,加深对 有向线段和向量的 理解。

组织学生进行思 考、交流能根据向 量的平行性质得出 正确的结论。 例 1、如图,试根据图中的比例尺以及三地的位置,在图 中分别用有向线段表示 A 地至 B、C 两地的位移

巩固向量概念及其 几何表示。





AB 表示 A 地至 B 地的位移, 解: 且 | AB | ≈____________

AC 表 示 A 地 至 C 地 的 位 移 , 且 | AC | ≈
____________

例 2 判断: (1)平行向量是否一定方向相同? (2)不相等的向量是否一定不平行? (3)与零向量相等的向量必定是什么向量? (4)与任意向量都平行的向量是什么向量? (5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什 么向量? (6)两个非零向量相等的应满足 什么条件? (7)共线向量一定在同一直线上 吗? 例 3 如图,设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,分别写出图中 与向量 OA 、 OB 、 OC 相等的向 量. 解: (学生口答) 变式一:与向量 OA 长度相等的向量有多少个?(11 个) 变式二:是否存在与向量 OA 长度相等、方向相反的向 量?(存在) 变式三: 与向量 OA 共线的向量有哪些? ( CB, DO, FE ) 1.判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.?

让学生能够通过这 些问题,弄清向量 学习中比较容易混 淆的几个基本概念





让学生巩固相等向 量与平行向量的概 念。

尝 试 练

(1)向量 AB 与 CD 是共线向量,则 A、B、C、D 四点 必在一直线上; (2)单位向量都相等;? (3)若 | a |?| b | 且a∥ b ,则 a ? b (4)若 | a |?| b | ,则 a ? b ;? (5)若四边形 ABCD 是平行四边形,则 AB = DC .

?

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?

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让学生自己能通过 这次课的学习,独 立思考,完成练习, 达到检测学习的效 果。



2.书本 86 页练习 2、3、4 *思考:将所有的单位向量移到同一起点,问这些向量的 终点构成的图形是什么? (以此点为圆心, 半径为 1 的圆) 思考: (1)如图,以 1×3 方格纸中的格点为起点和终点的所 有向量中,有多少种不同的向量?(共 20 种) 分析(从向量的长度与方向考虑。 ) ( 2) “向量就是有向线段,有向线段就是向量”的说法 对吗? 答:错误。向量与有向线段的联系与区别: 联系:向量可以用有向线段表示。

拓展

发现

区别:①向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只 要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向 量; ②有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽 管大小和方向相同,也是不同的有向线段 通过本节课的学习, 了解向量的实际背景, 掌握了向 量的各个基本概念; 并且明白平行向量不是平面几何 中的平行线段的简单类比及平行向量与共线向量的 关系。 书本 77 页习题 2.1 A 组第 2、3、5 题 A

D

? a

C

? a

B

收获与 体会

进行适时小结,让 学生对这次课的学 习有个系统的认 识,加深学习印象。 布置适当的作业巩 固学习效果。

作业 回馈
六、板书设计 课题

一、 向量定义及几何表示: 二、向量的相关概念: 三:平行向量定义(从向 量的方向关系进行引入) : 四:相等向量定义: 五:共线向量与平行向量 关系: (课件展示)

例 2:

学生练习区域

例 3:

例 1: 点评:

七.课后反思
此课稿是按照“教师为主导,学生为主体,课本为主线”的原则而设计的。教师的主导作用在于激发学 生的求知欲,为学生创设探索的情境,指引探索的途径,引导学生不断地提出新问题,解决新问题。向 量的概念,相等向量的概念,向量的几何表示等的教学是本节课的重点,由于其几何背景是有向线段, 虽然是抽象的形式符号,所以学生对它的认识不可能一步到位。因此,进行概念教学时,除了逐字逐句 分析,还要通过日常生活中的实例和不同的例题对概念进行分析,并通过老师的引导,使学生对概念的 理解逐步深入, 通过直观形象→具体→抽象→再具体的反复过程, 正向思考与逆向思考相结合, 使学生 逐步理解概念,克服思维的负迁移.


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