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GeoGebra+数学绘图教室(3)+函数及方程式


GeoGebra 数学绘图教室(3) 函数及方程式 台北县立锦和高中

陈禾凯

与 GSP 比较起来,GeoGebra 多了输入字段,直接输入函数或方程式便立即可看 到其对应图形,真是方便极了,也可如同实验一般,试着改变函数的某个参数来 观察对应图形的变化,若能配合数值滑杆或其他指令,便能创造出更多的图形.。 一.直线方程式 y=mx+k

(1)设定两个数值滑杆,名称分别为 m,k (2)输入 y=m*x+k (或 y=m x+k 注意 m k 之间空一格表示相乘) (3)以鼠标分别拉动滑杆 m, k 观察图形的变化

二.参数式 虽然直接在输入字段输入函数关系就立即可看到图形, 但以参数式形式输入 更能体会到函数中自变量及应变量的关系。 甲.以 f ( x) ? x 3 ? 3x ? 1 为例 (1)在 X 轴上任取一点 A (2)输入 t=x(A) (3)输入 P=(t, t^3-3t-1) 在绘图区会显示 P 点 将光标移至 P 点,然后按鼠标右键,点选 显示移动踪迹 (5)拉动 X 轴上 A 点,观察 P 点轨迹的变化

乙.利用 Curve 指令来输入圆锥曲线的参数式 ? x ? 3 cost x2 y2 ? ? 1 的参数式为 ? 以椭圆为例 0 ? t ? 2? 9 4 y ? 2 sin t ? 设定两个角度滑杆名称分别为 α,β 数值最小0,最大 2pi 输入 Curve[3cos(t),2sin(t),t,α,β] 调整滑杆 α,β 的大小,即可看到以 α,β 为范 围的椭圆弧线。

三.Sequence 指令的应用 (1)在某个区间内把 X 轴的取样点从少变多,再画出 (x, f(x)) 的描点图, 如此让学生对于函数图形有更深刻的印象 以 f ( x) ? sin(x) 为例 设定数值滑杆 t 最小:0 最大:40, 增量:1 输入 Sequence[(a, sin(a)), a, -2pi, 2pi, 2pi / t] 再拉动滑杆观察图形的变化

(2)若想把上例所出现的取样点由左而右依序出现,再加上两个步骤: 新增数值滑杆 n,最小 0,最大 50,增量 1,并将 sequence 改为 Sequence[(a, sin(a)), a, -2pi, -2pi+4pi *n/50, 2pi /t],当拉动滑杆 n 时,函数图 形由左而右一点一点描绘出来。

四.对数函数及指数函数的图形 GeoGebra 的对数函数符号和国内目前所使用的有所差异,如下表: 自然对数 国内教科书 GeoGebra y=ln(x) y=log(x)或 y=ln(x) 常用对数(底数为 10) y=log(x) y=lg(x)

在 GeoGebra 之中若输入 y=log(x) 是代表的是自然对数, 而常用对数是输 logc b 入 y=lg(x) ,若底数为其他正数则要用换底公式 loga b ? ,即输入 logc a y=log(x)/log(2) 来表示

y ? log2 x

1 (1) 画出 y ? loga x, y ? log 1 x, y ? a x , y ? ( ) x 四个函数图 a a
把这四个函数画在一起,前两个对称于X轴,后两个对称于Y轴,又 第一个和第三个以及第二个和第四个有反函数关系,两两对称于 y=x。 绘图步骤 设定数值滑杆 a 最小:0.01 最大:10, 增量:0.01 输入 y=log(x)/log(a) 输入 y=log(x)/log(1/a) 输入 y=a^x 输入 y=(1/a)^x 利用 在 y=log(x)/log(a)上画出一点 A,再用 个图形上的点 A’,A’’,A’1,拉动滑杆看看图形的变化 对称钮找出在另三

(2)观察 y=loga(x) 及 y=ax 两图形交点的个数 一般人很容易以纸笔手动方式画出此二函数交于两点及一点的图形, 但要 画出交于三点的情形则远超出人类描绘的能力,在 GeoGebra 中可用数值 滑杆来设定底数 a 的范围以方便观察此二函数相交情形。 绘图步骤 设定数值滑杆 a 最小:0.001 最大:0.5, 增量:0.01 输入 f(x)=log(x)/log(a) 输入 g(x)=a^x 另外输入 h(x)= f(x)-g(x) 观察当 h(x)和 X 轴有3个交点 时,即此两函数图形交于3点

五.利撒求(Lissajous)图形 这是由两个振动所形成的二维图形,每 个振动均为一个正弦波所代表的简谐

? x ? a sin(w1t ? ?1 ) 运动, 即? 的轨迹图形 y ? b sin( w t ? ? ) 2 2 ?
其中 a,b 表振幅,w1,w2 表角速度, ? 1, ? 2 代表相差,t 为时间

绘图步骤 首先设定6个数值滑杆,名称分别为 a,b,w_1,w_2,Φ_1,Φ_2 作线段 BC(长度适当即可) ,在上任取一点D 输入 t=6 pi *Distance[B, D] / Distance[B, C] (以 D 在 BC 上的位置来表示 0-6π 间的数字, 范围可根据需要而自行调整) 输入 A=(a*sin(w_1*t+Φ_1),b*sin(w_2*t+Φ_2)) 单击 按钮,点选要显示的轨迹点A,然后再点选控制点P,即可画出 Lissajous 图形。

Lissajous 图形变化多端,可先从简单的图形开始观察。 以下为 w1 ? w2 , ?1 ? 0, ? 2 ?
? k? , k ? 1,2,...,7 的情形, 图形为圆、 椭圆及线段。 4

数据源:http://en.wikipedia.org/wiki/Lissajous_curve 当 w2=2 w1 时, 以 w1=3, w2=6 为例, 固定 ?1 ? 0 而变动 ? 2 到接近

?
2

? 1.57 ,

图形的左右两扇区域逐渐缩小,形成抛物线,这可由以下算式看出来

? ? x ? a sin ? ? ? y ? b sin(2? ? ) ? 2 ?

? y ? b cos2? ? b(1 ? 2 sin 2 ? ) ? y ? b(1 ?

2x 2 ) a2

w1=3, w2=6, ?1 ? ?2 ? 0

w1=3, w2=6, ?1 ? 0, ?2 ? 1

w1=3, w2=6, ?1 ? 0, ?2 ? 1.6

接着可观察 w1 ? w2 的情形,可设定滑杆 w1 最小0,最大 12,增量为 2,滑 杆 w2最小 1,最大 13,增量为 2, ?1 ? ?2 ? 0 。

w1=1, w2=2

w1=1, w2=4

w1=1, w2=6

w1=3, w2=2

w1=3, w2=4

w1=3, w2=6

w1=5, w2=2

w1=5, w2=4

w1=5, w2=6

经由以上的观察可以发现 Lissajous 的图形为限制在 2a× 2b 的矩形之中, w1,w2 皆为整数的情形下曲线不管多复杂,轨迹会重复出现。 由于 Lissajous 图形在学术上的应用广 泛,因此有不少研究机构用来作为 Logo, 右图为美国麻省理工学院林肯实 验室的首页 http://www.ll.mit.edu/, 其中 的 Lissajous 图形为 w1=3, w2=4, ? 1= ? 2 = 0 的情形。

六.附录:常用的函数、方程式以及在 GeoGebra 中的输入形式 函数名称及一般式 一次函数 y=ax+b 一次方程式 ax+by=c 二次函数 y=ax2+bx+c 高斯函数 根式函数 例 y=3x+2 5x+2y=1 y=2x2-3x+1 y=[x] 输入 y=3x+2 5x+2y=1 y=2x^2-3x+1 y=ceil(x) y=sqrt(x) y=cbrt(x) 或以指数函数方式 输入,如 y=x^(1/2) y=2^x y=sin(x) y=cos(x) y=tan(x) y=1/tan(x) y=1/cos(x) y=1/sin(x) y=3sin(x)+4cos(x) y=asin(x) y=acos(x) y=atan(x) y=lg(x)或 y=log(x)/log(10) y=log(x) 或 y=ln(x) y^2=4x x^2+y^2=4 x^2/16-y^2/25=1 高一下 高一下 其中有三个要以 倒数关系表示 y=abs(abs(x)+1)+2 高一上 备注 国中 国中 国中, 高一下 高一下 高一下

y? x y?3 x

指数函数 y=ax+b 绝对值函数 y=|ax|+b 三角函数

y=2x y=||x|+1|+2 y=sin x y=cos x y=tan x y=cot x y=sec x y=csc x

三角函数的迭合 y=Acos x+Bsin x 反三角函数

y=3sin x+4cos x

高一下 高一下

y ? sin ?1 x y ? cos?1 x y ? tan?1 x
y=log x

对数函数:常用对数 底数为10 对数函数:自然对数 底数为 e =2.71828…… 抛物线 y2=4cx , x2=4cy 圆 x2+y2=r2
x2 y2 双曲线 2 ? 2 ? 1 a b

高一下

y=ln x y2=4x x2+y2=4
x2 y2 ? ?1 16 25

大学微积分 高二下 高二上 高二下

圆锥曲线方程式 ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0 x2+xy+y2=1 x^2+x y+y^2=1 (x y, 之间空一格或 x*y 表示相乘) 高二下

七、参考数据 1. 李政丰、颜贻隆、蔡敏娟、陈明君:函数 y=ax 与 y=loga x 的图形交点个数 的探索 数学传播季刊 第 28 卷 第 4 期 2. 左台益、许舜渊、彭建勋、吕凤琳、胡政德、罗骥韡等译: GeoGebra 使用说明 3.2 3. Eli Maor 着 胡守仁译:毛起来说三角 天下远见出版 4. 麻省理工学院的林肯实验室首页: http://www.ll.mit.edu/ 5. 维基百科:http://en.wikipedia.org/wiki/Lissajous_curve


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