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【成才之路】2014-2015高中数学北师大版必修3同步练习:3.2.3互斥事件


第三章

§2

2.3

一、选择题 1.如果事件 A 与 B 是互斥事件,则( A.A+B 是必然事件 - - C. A 与 B 一定不互斥 [答案] D [解析] 特例检验: 在掷一粒骰子的试验中, “上面出现点数 1”与“上面出现点数 2” - - 分别记作 A 与 B, 则 A 与 B 是互斥而不对立的事件,

A+B 不是必然事件,A 与 B 也不互斥, - - ∴A、B 选项错误, A + B 是必然事件,还可举例验证 C 不正确. 2.从 1,2,3,?,9 这 9 个数中任取两数,其中:①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数; ②至少有一个是奇数和两个都是奇数; ③至少有一个是奇数和两个都是偶数; ④至少有一个 是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中,是对立事件的是( A.① C.③ [答案] C [解析] 可根据互斥和对立事件的定义分析事件,③中“至少有一个是奇数”即“两个 奇数或一奇一偶”,而从 1~9 中任取两数共有 3 个事件:“两个奇数”“一奇一偶”“两 个偶数”,故“至少有一个是奇数”与“两个偶数”是对立事件. 3.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,若生产中出现乙级品的概率 为 0.03,丙级品的概率为 0.01,则对成品任意抽查一件抽得正品的概率为( A.0.99 C.0.97 [答案] D [解析] 设“抽得正品”为事件 A,则 P(A)=1-0.03-0.01=0.96. - 4.抽查 10 件产品,设“至少抽到 2 件次品”为事件 A,则 A 为( A.“至多 2 件次品” C.“至少 2 件正品” [答案] D [解析] 至少 2 件次品与至多 1 件次品不能同时发生,且必有一个发生. 5.从某班学生中任意找出一人,如果该同学的身高低于 160 cm 的概率为 0.2,该同学 B.“至多 2 件正品” D.“至多 1 件次品” ) B.0.98 D.0.96 ) B.②④ D.①③ ) ) - - B. A 与 B 一定互斥 - - D. A + B 是必然事件

的身高在[160,175] cm 的概率为 0.5,那么该同学的身高超过 175 cm 的概率为( A.0.2 C.0.7 [答案] B B.0.3 D.0.8

)

[解析] 设身高低于 160 cm 为事件 M, 身高在[160,175] cm 为事件 N, 身高超过 175 cm 为事件 Q,则事件 M、N、Q 两两互斥,且 M+N 与 Q 是对立事件,则该同学的身高超过 175 cm 的概率为 P(Q)=1-P(M+N)=1-P(M)-P(N)=1-0.2-0.5=0.3. 6.如果事件 A 与 B 是互斥事件,且事件 A+B 的概率是 0.8,事件 A 的概率是事件 B 的概率的 3 倍,则事件 A 的概率为( A.0.2 C.0.6 [答案] C [解析] 由题意知 P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8, P(A)=3P(B), 解①②组成的方程组知 P(A)=0.6. 二、填空题 7.某人进行打靶练习,共射击 10 次,其中有 2 次击中 10 环,有 3 次击中 9 环,有 4 次击中 8 环,有 1 次未中靶.假设此人射击一次,则他中靶的概率大约是________. [答案] 0.9 2 3 4 9 [解析] P= + + = =0.9. 10 10 10 10 8.掷一粒骰子的试验,事件 A 表示“小于 5 的偶数点出现”,事件 B 表示“小于 5 的 - 点数出现”,则事件 A+ B 发生的概率为________. [答案] [解析] 2 3 - B 表示“大于或等于 5 的点数出现”. ① ② ) B.0.4 D.0.8

- ∵A 与 B 互斥, - - 2 2 2 ∴P(A+ B )=P(A)+P( B )= + = . 6 6 3 三、解答题 9.一个箱子内有 9 张票,其号数分别为 1、2、?、9.从中任取 2 张,其号数至少有一 个为奇数的概率是多少? 1 [分析] 从 9 张票中任取 2 张,要弄清楚取法种数为 ×9×8=36,“号数至少有一个 2 为奇数”的对立事件是“号数全是偶数”,用对立事件的性质求解非常简单.

[解析] 从 9 张票中任取 2 张,有 (1,2),(1,3),?,(1,9); (2,3),(2,4),?,(2,9); (3,4),(3,5),?,(3,9); ? (7,8),(7,9); (8,9),共计 36 种取法. 记“号数至少有一个为奇数”为事件 B,“号数全是偶数”为事件 C, 则事件 C 为从号 数为 2,4,6,8 的四张票中任取 2 张有(2,4),(2,6),(2,8),(4,6),(4,8),(6,8)共 6 种取法. 6 1 ∴P(C)= = ,由对立事件的性质得 36 6 1 5 P(B)=1-P(C)=1- = . 6 6

一、选择题 1. 甲袋中有大小相同的 4 只白球、 2 只黑球, 乙袋中有大小相同的 6 只白球、 5 只黑球, 现从两袋中各取一球,则两球颜色相同的概率是( 12 A. 33 4 C. 33 [答案] D [解析] 基本事件总数有 6×11=66,而两球颜色相同包括两种情况:两白或两黑,其 34 17 包含的基本事件有 4×6+2×5=34(个),故两球颜色相同的概率 P= = . 66 33 2.从装有 5 只红球、5 只白球的袋中任意取出 3 只球,有事件:①“取出 2 只红球和 1 只白球”与“取出 1 只红球和 2 只白球”; ②“取出 2 只红球和 1 只白球”与“取出 3 只红 球”; ③“取出 3 只红球”与“取出 3 只球中至少有 1 只白球”; ④“取出 3 只红球”与“取 出 3 只白球”.其中是对立事件的是( A.①② C.③④ [答案] D [解析] 从袋中任取 3 只球, 可能取到的情况有: “3 只红球”“2 只红球 1 只白球”“1 只红球 2 只白球”“3 只白球”,由此可知①②④中的两个事件都不是对立事件.对于③, “取出 3 只球中至少有 1 只白球”包含“2 只红球 1 只白球”“1 只红球 2 只白球”“3 只 ) B.②③ D.③ 5 B. 33 17 D. 33 )

白球”三种情况,故是对立事件. 二、填空题 4 3.同时抛掷两枚骰子,没有 5 点或 6 点的概率为 ,则至少有一个 5 点或 6 点的概率是 9 ________. [答案] 5 9

4 [解析] 记“没有 5 点或 6 点”的事件为 A,则 P(A)= ,“至少有一个 5 点或 6 点” 9 4 5 的事件为 B.由已知 A 与 B 是对立事件,则 P(B)=1-P(A)=1- = . 9 9 4.一枚五分硬币连掷三次,事件 A 为“三次反面向上”,事件 B 为“恰有一次正面向 上”,事件 C 为“至少两次正面向上”.写出一个事件 A、B、C 的概率 P(A)、P(B)、P(C) 之间的正确关系式__________. [答案] P(A)+P(B)+P(C)=1 [解析] 一枚五分硬币连掷三次包含的基本事件有(反,反,反),(反,正,正),(反, 正,反),(正,反,反),(反,反,正),(正,反,正),(正,正,反),(正,正,正)共 8 种, 事件 A+B+C 刚好包含这 8 种情况,且它们两两互斥,故 P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C) =1. 三、解答题 5.在某一时期,一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下: 年最高水位 概率 低于 10m 0.1 10~12m 0.28 12~14m 0.38 14~16m 0.16 不低于 16m 0.08

计算在同一时期内,河流该处的年最高水位在下列范围内的概率. (1)10~16m;(2)低于 12m;(3)不低于 14m. [解析] 分别设年最高水位低于 10m,在 10~12m,在 12~14m,在 14~16m,不低于 16m 为事件 A,B,C,D,E.因为这五个事件是彼此互斥的,所以 (1)年最高水位在 10~16m 的概率是: P(B+C+D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.28+0.38+0.16=0.82. (2)年最高水位低于 12m 的概率是: P(A+B)=P(A)+P(B)=0.1+0.28=0.38. (3)年最高水位不低于 14m 的概率是: P(D+E)=P(D)+P(E)=0.16+0.08=0.24. 6.某射手射击一次,中靶的概率为 0.95.记事件 A 为“射击一次中靶”,求: (1) A 的概率是多少?

(2)若事件 B(环数大于 5)的概率是 0.75,那么事件 C(环数小于 6)的概率是多少?事件 D(环数大于 0 且小于 6)的概率是多少? [解析] (1)P( A )=1-P(A)=1-0.95=0.05. (2)由题意知,事件 B 即为“环数为 6,7,8,9,10 环” 而事件 C 为“环数为 0,1,2,3,4,5 环”, 事件 D 为“环数为 1,2,3,4,5 环”. 可见 B 与 C 是对立事件,而 C=D+ A . 因此 P(C)=P( B )=1-P(B)=1-0.75=0.25. 又 P(C)=P(D)+P( A ), 所以 P(D)=P(C)-P( A )=0.25-0.05=0.20. 7.(2014· 四川文,16)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字 1,2,3,这三张卡片除 标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取 3 次,每次抽取 1 张,将抽取的卡片上的数字依 次记为 a,b,c. (1)求“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率; (2)求“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”的概率. [解析] (1)由题意,(a,b,c)所有的可能为 (1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3), (2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3), (3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共 27 种. 设“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”为事件 A, 则事件 A 包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共 3 种. 3 1 所以 P(A)= = . 27 9 1 因此,“抽取的卡片上的数字满足 a+b=c”的概率为 . 9 (2)设“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”为事件 B, 则事件 B 包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共 3 种. 3 8 所以 P(B)=1-P( B )=1- = . 27 9 8 因此,“抽取的卡片上的数字 a,b,c 不完全相同”的概率为 . 9


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