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【与名师对话】2015新课标A版数学文一轮复习课时作业:7-5]


课时作业(四十三)
一、选择题 1.(2013· 潍坊模拟)已知直线 l⊥平面 α,直线 m∥平面 β,则“α ∥β ”是“l⊥m”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 解析:l⊥α,α∥β 则 l⊥β,又 m∥β,所以 l⊥m;l⊥α,l⊥m 则 m?α 或 m∥α,又 m∥β,所以 α∥β 或 α 与 β 相交,所以“

α∥β”是 “l⊥m”的充分不必要条件,选 A. 答案:A 2.(2013· 汕头质量测评)设 O 是空间一点,a,b,c 是空间三条 直线, α, β 是空间两个平面, 则下列命题中, 逆命题不成立的是( A.当 a∩b=O 且 a?α,b?α 时,若 c⊥a,c⊥b,则 c⊥α B.当 a∩b=O 且 a?α,b?α 时,若 a∥β,b∥β,则 α∥β C.当 b?α 时,若 b⊥β,则 α⊥β D.当 b?α 时,且 c?α 时,若 c∥α,则 b∥c 解析:b?α 且 α⊥β,若 α∩β=l,b⊥l,则 b⊥β,所以 b?α, 若 α⊥β,则 b⊥β,不正确,选 C. 答案:C 3.(2013· 广东省华附、省实、广雅、深中四校联考)若平面 α,β 满足 α⊥β,α∩β=l,P∈α,P?l,则下列命题中是假命题的为( A.过点 P 垂直于平面 α 的直线平行于平面 β ) ) )

B.过点 P 垂直于直线 l 的直线在平面 α 内 C.过点 P 垂直于平面 β 的直线在平面 α 内 D.过点 P 在平面 α 内作垂直于 l 的直线必垂直于平面 β 解析: 由于过点 P 垂直于平面 α 的直线必平行于平面 β 内垂直于 交线的直线,因此平行于平面 β,因此 A 正确,B 不正确.根据面面 垂直的性质定理知,选项 C、D 正确. 答案:B 4.(2013· 泉州质检)已知 m、n 是两条不同的直线,α、β 是两个 不同的平面,则下列命题中正确的是( )

A.若 m⊥α,n⊥β,且 m⊥n,则 α⊥β B.若 m∥α,n∥β,且 m∥n,则 α∥β C.若 m⊥α,n∥β,且 m⊥n,则 α⊥β D.若 m⊥α,n∥β,且 m∥n,则 α∥β 解析:m⊥α,m⊥n,那么 n?α 或 n∥α,①当 n?α 时,若 n⊥β, 则 α⊥β,②当 n∥α 时,则平面 α 内存在一条直线 l∥n,若 n⊥β,则 l⊥β,所以有 α⊥β,综合可知,m⊥α,n⊥β 且 m⊥n,则 α⊥β 正确, 选 A. 答案:A 5. (2013· 广西卷)已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, AA1=2AB, 则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于( 2 A.3 2 C. 3 解析: 3 B. 3 1 D.3 )

如图,连接 AC 与 BD 交于点 O,连接 OC1,过 C 作 CE⊥OC1, 垂足为 E,连接 DE,则∠CDE 就是 CD 与平面 BDC1 所成的角,设 2 3 2 1 1 AB=1,则 AA1=CC1=2,OC= 2 ,OC1= 2 ,因为2OC1· CE=2 2 CE 2 OC· CC1,所以 CE=3,所以 sin∠CDE=CD=3,故选 A. 答案:A 6.(2013· 新课标全国卷Ⅱ)已知 m,n 为异面直线,m⊥平面 α,n ⊥平面 β.直线 l 满足 l⊥m,l⊥n,l?α,l?β,则( A.α∥β 且 l∥α B.α⊥β 且 l⊥β C.α 与 β 相交,且交线垂直于 l D.α 与 β 相交,且交线平行于 l 解析:由于 m,n 为异面直线,m⊥平面 α,n⊥平面 β,则平面 α 与平面 β 必相交,但未必垂直,且交线垂直于直线 m,n,又直线 l 满足 l⊥m,l⊥n,则交线平行于 l,故选 D. 答案:D 二、填空题 )

7.已知直线 l,m,n,平面 α,m?α,n?α,则“l⊥α”是“l ⊥m 且 l⊥n”的________条件. (填“充分不必要”、 “必要不充分”、 “充要”、“既不充分也不必要”之一) 解析:若 l⊥α,则 l 垂直于平面 α 内的任意直线,若 l⊥m 且 l ⊥n,但若 l⊥m 且 l⊥n,不能得出 l⊥α. 答案:充分不必要 8.(2013· 常州期末调研)给出下列命题: ①若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂 直; ②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行, 那么这两个平 面相互平行; ③若两条平行直线中的一条垂直于直线 m, 那么另一条直线也与 直线 m 垂直; ④若两个平面垂直, 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线 与另一个平面也不垂直. 其中,所有真命题的序号为________. 解析:根据定理和一些常用结论得:①、③、④正确.②中没有 强调两条直线一定相交,否则就不一定平行. 答案:①③④

9.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G,H,M 分 别是 AD,DD1,D1A1,A1A,AB 的中点,点 N 在四边形 EFGH 的四 边及其内部运动, 则当 N 只需满足条件________时, 就有 MN⊥A1C1; 当 N 只需满足条件________时,就有 MN∥平面 B1D1C. 解析:可证 A1C1⊥平面 EGM,故当 N 在 EG 上时,MN⊥A1C. 可证平面 MEH∥平面 B1CD1,故当 N 在 EH 上时,MN∥平面 B1D1C. 答案:点 N 在 EG 上 三、解答题 点 N 在 EH 上

10.(2013· 常州市高三期末调研)如图,在四棱锥 P-ABCD 中, PD⊥底面 ABCD,AD⊥AB,CD∥AB,AB= 2AD=2,CD=3,直 线 PA 与底面 ABCD 所成角为 60° ,点 M,N 分别是 PA,PB 的中点.

(1)求证:MN∥平面 PCD; (2)求证:四边形 MNCD 是直角梯形; (3)求证:DN⊥平面 PCB. 证明:(1)因为点 M,N 分别是 PA,PB 的中点,所以 MN∥AB. 因为 CD∥AB,所以 MN∥CD. 又 CD?平面 PCD,MN?平面 PCD,所以 MN∥平面 PCD. (2)因为 AD⊥AB,CD∥AB,所以 CD⊥AD, 又因为 PD⊥底面 ABCD,CD?平面 ABCD, 所以 CD⊥PD,又 AD∩PD=D,所以 CD⊥平面 PAD. 因为 MD?平面 PAD,所以 CD⊥MD, 所以四边形 MNCD 是直角梯形. (3)因为 PD⊥底面 ABCD, 所以∠PAD 就是直线 PA 与底面 ABCD 所成的角,从而∠PAD=60° . 在 Rt△PDA 中,AD= 2,PD= 6,PA=2 2,MD= 2. 在直角梯形 MNCD 中, MN = 1 , ND = 3 , CD = 3 , CN = MD2+?CD-MN?2= 6, 从而 DN2+CN2=CD2,所以 DN⊥CN. 在 Rt△PDB 中,PD=DB= 6,N 是 PB 的中点, 则 DN⊥PB. 又因为 PB∩CN=N,所以 DN⊥平面 PCB. 11.(2013· 北京卷)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB∥CD,AB ⊥AD,CD=2AB,平面 PAD⊥底面 ABCD,PA⊥AD.E 和 F 分别为 CD 和 PC 的中点,求证:

(1)PA⊥底面 ABCD; (2)BE∥平面 PAD; (3)平面 BEF⊥平面 PCD. 证明:(1)因为平面 PAD⊥底面 ABCD,且 PA 垂直于这两个平面 的交线 AD,所以 PA⊥底面 ABCD. (2)因为 AB∥CD,CD=2AB,E 为 CD 的中点, 所以 AB∥DE,且 AB=DE. 所以四边形 ABED 为平行四边形. 所以 BE∥AD. 又因为 BE?平面 PAD,AD?平面 PAD, 所以 BE∥平面 PAD. (3)因为 AB⊥AD,而且四边形 ABED 为平行四边形, 所以 BE⊥CD,AD⊥CD. 由(1)知 PA⊥底面 ABCD. 所以 PA⊥CD. 所以 CD⊥平面 PAD. 所以 CD⊥PD.

因为 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点, 所以 PD∥EF. 所以 CD⊥EF. 所以 CD⊥平面 BEF.所以平面 BEF⊥平面 PCD.

12 . (2013· 河北唐山一中第二次月考)在如图所示的多面体 ABCDE 中,AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,AC=AD=CD=DE= 2,AB=1. (1)请在线段 CE 上找到点 F 的位置,使得恰有直线 BF∥平面 ACD,并证明这一事实; (2)求直线 EC 与平面 ABED 所成角的正弦值. 解:如图,

(1)由已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,∴AB∥ED, 设 F 为线段 CE 的中点,H 是线段 CD 的中点, 1 连接 FH,则 FH 綊2ED,FH 綊 AB, ∴四边形 ABFH 是平行四边形,∴BF∥AH, BF?平面 ACD,AH?平面 ACD,∴BF∥平面 ACD; (2)取 AD 中点 G,连接 CG、EG,则 CG⊥AD, 又平面 ABED⊥平面 ACD,∴CG⊥平面 ABED, ∴∠CEG 即为直线 CE 与平面 ABED 所成的角, 设为 α,则在 Rt△CEG 中, CG 3 6 有 sin α= CE = =4. 2 2 [热点预测]

13.(2013· 江西省高三联考)如图,△ABC 中,BC=3,AC=4, AB=5, 点 P 在平面 ABC 射影为 AB 的中点 D, O 是线段 CD 的中点, ∠APC=60° (1)判断 PC 与 AB 是否垂直(不需说明理由); (2)求 PD 与平面 PBC 所成角的正切值; (3)在 PB 上是否存在点 E,使 OE∥平面 PAC.若存在,求出 PE 的长,若不存在,说明理由. 解:

(1)不垂直

5 (2)由题意知:PA=PB=PC=AC=4,OD=DB=2,取 BC 的中 点 Q,连接 PQ、DQ,则 BC⊥DQ,BC⊥PQ,∴BC⊥面 PDQ,∴ 面 PDQ⊥面 PBC,∴D 在面 PBC 上的射影落在 PQ 上,则 PD 与平 39 面 PBC 所成角即为∠QPD,由于 PD= 2 ,DQ=2,PD⊥DQ,故 4 39 所求角的正切值为 39 . (3)过 O 作 OM∥AB 交 AC 于 M,在平面 PAB 内平面直线 AB, 使之交 PB 于 E,交 PA 于 N,并使 OM=EN,此时 MOEN 为平行四 边形,易知 OE∥平面 PAC.由于 OM 是△CAD 的中位线,∴PE∶PB =NE∶AB=MO∶AB=1∶4. 又△ABC 是直角三角形,CD 是斜边上的中线, PD⊥平面 ABC,有△PAD≌△PCD≌△PBD ∴ PA= PC=PB,由于∠APC=60° ,△ PAC 为正三角形,所以 PB=PC=AC=4, 1 ∴PE=4PB=1,即在线段 PB 上存在点 E, 当 PE=1 时,OE∥平面 PAC.


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