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高中数学 第六章 第2讲 等差数列及其前n项和


第2讲

等差数列及其前 n 项和

分层训练 A 级

基础达标演练

(时间:30 分钟 满分:60 分)
一、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 1.(2011· 重庆卷改编)在等差数列{an}中,a2=2,a3=4,则 a10=________. 解析 设公差为 d,则 d=a3-a2=2. ∴a1=0,an=2n-2∴a10=2×10-2=18. 答案 18 2.(2012· 辽宁卷改编)在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11=________. 11?a1+a11? 11 11 解析 由等差数列性质及已知, S11= 得 = 2 (a4+a8)= 2 ×16=88. 2 答案 88 3.(2012· 泰州学情调查)在等差数列{an}中,a1>0,S4=S9,则 Sn 取最大值时,n =________. 解析 因为 a1>0,S4=S9,所以 a5+a6+a7+a8+a9=0,所以 a7=0,所以 ?a6>0, ? 从而当 n=6 或 7 时 Sn 取最大值. ?a8<0, 答案 6 或 7 4.在等差数列{an}中,若 a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则 S9=________. 解析 ∵a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,∴3a4=39,3a6=27,∴a4=13,a6 =9.∴a6-a4=2d=9-13=-4,∴d=-2, 9?a1+a9? ∴a5=a4+d=13-2=11,∴S9= =9a5=99. 2 答案 99 5.(2012· 南通调研)设等差数列{an}的公差为正数,若 a1+a2+a3=15,a1a2a3= 80,则 a11+a12+a13=________.

?a1+a3=10, 解析 由 15=a1+a2+a3=3a2,得 a2=5.所以? 又公差 d>0, ?a1a3=16. ?a1=2, 所以? 所以 d=3.所以 a11+a12+a13=3a12=3(a1+11d)=3(2+33)= ?a3=8. 3×35=105. 答案 105 6.(2012· 南京模拟)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=2n2+pn,a7=11.若 ak+ak+1 >12,则正整数 k 的最小值为________. 解析 因为 a7=S7-S6=2×72+7p-2×62-6p=26+p=11,所以 p=-15, Sn=2n2-15n,an=Sn-Sn-1=4n-17(n≥2),当 n=1 时也满足.于是由 ak+ 21 ak+1=8k-30>12,得 k> 4 >5.又 k∈N*,所以 k≥6,即 kmin=6. 答案 6 二、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 7.设 a1,d 为实数,首项为 a1,公差为 d 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,满 足 S5S6+15=0. (1)若 S5=5,求 S6 及 a1; (2)求 d 的取值范围. -15 解 (1)由题意知 S6= S =-3,a6=S6-S5=-8, 5 ?5a1+10d=5, 所以? 解得 a1=7,所以 S6=-3,a1=7. ?a1+5d=-8.
2 (2)因为 S5S6+15=0,所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即 2a1+9da1+10d2

+1=0, 故(4a1+9d)2=d2-8,所以 d2≥8. 故 d 的取值范围为 d≤-2 2或 d≥2 2. 8.已知数列{an}满足 an=2an-1+2n+1(n∈N*,n≥2),且 a3=27. (1)求 a1,a2 的值; 1 (2)记 bn=2n(an+t)(n∈N*),问是否存在一个实数 t,使数列{bn}是等差数列? 若存在,求出实数 t;若不存在,请说明理由.

解 (1)由 a3=27,得 2a2+23+1=27,所以 a2=9. 又由 2a1+22+1=9,得 a1=2. (2)假设存在实数 t,使得数列{bn}是等差数列, 1 1 1 则 2bn=bn-1+bn+1, 2×2n(an+t)= n-1(an-1+t)+ n+1(an+1+t), 4an=4an 即 即 2 2 an-2n-1 +2an+2n+1+t+1,所以 t=1. -1+an+1+t,所以 4an=4× 2 故存在 t=1,使得数列{bn}是等差数列.

分层训练 B 级

创新能力提升

1.(2012· 南京学期学情)已知数列{an},{bn}都是等差数列,Sn,Tn 分别是它们的 a2+a5+a17+a22 Sn 7n+1 前 n 项和,且T = ,则 =________. n+3 b8+b10+b12+b16 n 解析 答案 a2+a5+a17+a22 2?a11+a12? a1+a22 S22 7×22+1 31 = = = = =5. b8+b10+b12+b16 2?b11+b12? b1+b22 T22 22+3 31 5

? ? ?an+λ? 2. 已知数列{an}满足递推关系式 an+1=2an+2n-1(n∈N*), ? n ?为等差数列, 且 ? ? ? 2 ?

则 λ 的值是________. 解析 由 an+1=2an+2n-1, 可得 an+1 an 1 an+1+λ an+λ an+1 1 = n+ - , 则 n+1 - 2n = n+1- 2n+1 2 2 2n+1 2 2

?an-1? ? ? an λ 1 1 λ 1 λ+1 n- n+1= - n+1- n+1= - n+1 ,当 λ 的值是-1 时,数列? n ?是公差为 2 2 2 2 2 2 2 ? 2 ? ? ?

1 2的等差数列. 答案 -1 3.(2012· 苏北四市调研)已知数列{an},{bn}满足 a1=1,a2=2,b1=2,且对任 1 意的正整数 i,j,k,l,当 i+j=k+l 时,都有 ai+bj=ak+bl,则2 0102 010 i (a
?

i=1

+bi)的值是________. 解析 由题意得 a1+b2 010=a2+b2 009=a3+b2 008=…=a2 009+b2=a2 010+b1. 所以 ? (ai+bi)=2 010(a1+b2 010)
i=1 2 010

1 2 010 1 故2 010 ? (ai+bi)=2 010×2 010(a1+b2 010)
i=1

=a1+b2 010. 下面求 b2 010. 令 i=1,j=n,k=2,l=n-1,即 a1+bn=a2+bn-1,则 bn-bn-1=a2-a1=1, 所以{bn}是以 b1=2 为首项,以 d=1 为公差的等差数列, 所以 b2 010=2+(2 010-1)=2 011. 所以 a1+b2 010=1+2 011=2 012. 答案 2 012 4.已知 f(x)是定义在 R 上不恒为零的函数,对于任意的 x,y∈R,都有 f(x· y)= xf(y)+yf(x)成立.数列{an}满足 an=f(2n)(n∈N*),且 a1=2.则数列的通项公式 an=________.
?an? an+1 an 解析 由 an+1=f(2n+1)=2f(2n)+2nf(2)=2an+2n+1,得 n+1=2n+1,所以?2n?是 2 ? ?

an 首项为 1,公差为 1 的等差数列,所以2n=n,an=n·n. 2 答案 n·n 2 5.在等差数列{an}中,公差 d>0,前 n 项和为 Sn,a2·3=45,a1+a5=18. a (1)求数列{an}的通项公式; Sn (2)令 bn= (n∈N*), 是否存在一个非零常数 c, 使数列{bn}也为等差数列? n+c 若存在,求出 c 的值;若不存在,请说明理由. 解 (1)由题设,知{an}是等差数列,且公差 d>0, ?a2a3=45, ??a1+d??a1+2d?=45, 则由? 得? ?a1+a5=18, ?a1+?a1+4d?=18. ?a1=1, 解得? ∴an=4n-3(n∈N*). ?d=4. n?1+4n-3? 1? ? 2n?n-2? 2 ? ? Sn (2)由 bn= = = , n+c n+c n+c 1 ∵c≠0,∴可令 c=-2,得到 bn=2n.

∵bn+1-bn=2(n+1)-2n=2(n∈N*), ∴数列{bn}是公差为 2 的等差数列. 1 即存在一个非零常数 c=-2,使数列{bn}也为等差数列. 1 2 6.在数列{an}中,a1=1,an+1=1-4a ,bn= ,其中 n∈N*. 2an-1 n (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)设 cn=( 2) bn, 试问数列{cn}中是否存在三项, 使它们可以构成等差数列? 如果存在,求出这三项;如果不存在,说明理由. (1)证明 因为 bn+1-bn= 2 - = 2an+1-1 2an-1 2

2 2 4an 2 2 * 且 1 ? -2an-1=2an-1-2an-1=2(n∈N ), b1=2×1-1=2 所以, ? 2?1-4a ?-1 ? n? 数列{bn}以 2 为首项,2 为公差的是等差数列. (2)解 由(1)得 cn=( 2)bn=2n,

假设{cn}中存在三项 cm,cn,cp(其中 m<n<p,m,n,p∈N*)成等差数列, 则 2·n=2m+2p, 2 所以 2n+1=2m+2p,2n-m+1=1+2p-m. 因为 m<n<p,m,n,p∈N*,所以 n-m+1,p-m∈N*, 从而 2n-m+1 为偶数,1+2p-m 为奇数,所以 2n-m+1 与 1+2p-m 不可能相等,所 以数列{cn}中不存在可以构成等差数列的三项. 特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创 新设计· 高考总复习》光盘中内容.


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