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高中数学竞赛讲义.


2014-2015 年度高二数学竞赛讲义---数列专题
一、基础知识 定义 1 数列,按顺序给出的一列数,数列{an}的一般形式通常记作 a1, a2, a3,…, an 或 a1, a2, a3,…,an…

其中 a1 叫做数列的首项,an 是关于 n 的具体表达式,称为数列的通项. 定理 1 定义 2 若 Sn 表示{an}的前 n 项和,则

S1=a1, 当 n>1 时,an=Sn-Sn-1. 等差数列,如果对任意的正整数 n,都有 an+1-an=d(常数) ,则{an}称为等差数列,d 叫做公差.

若三个数 a, b, c 成等差数列,即 2b=a+c,则称 b 为 a 和 c 的等差中项,若公差为 d, 则 a=b-d, c=b+d. 定理 2 等差数列的性质: (2)前 n 项和公式:Sn=

(1)通项公式 an=a1+(n-1)d;

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d; 2 2

(3)an-am=(n-m)d,其中 n, m 为正整数; (4)若 n+m=p+q,则 an+am=ap+aq; (5)若 A,B 至少有一个不为零,则{an}是等差数列的充要条件是 Sn=An +Bn. 定义 3 定理 3 等比数列,若对任意的正整数 n,都有 等比数列的性质:
n-1 2

an?1 ? q ,则{an}称为等比数列,q 叫做公比. an a1 (1 ? q n ) ;当 q=1 时,Sn=na1; 1? q

(1)an=a1q

; (2)前 n 项和 Sn,当 q ? 1 时,Sn=
2

(3)如果 a, b, c 成等比数列,即 b =ac(b ? 0),则 b 叫做 a, c 的等比中项; (4)若 m+n=p+q,则 aman=apaq 定义 4 极限,给定数列{an}和实数 A,若对任意的 ? >0,存在 M,对任意的 n>M(n∈ N),都有|an-A|< ? ,
n ??

则称 A 为 n→+∞时数列{an}的极限,记作 lim an ? A. 定义 5 无穷递缩等比数列,若等比数列{an}的公比 q 满足|q|<1,则称之为无穷递增等比数列,其前 n 项和

Sn 的极限(即其所有项的和)为
定理 3

a1 (由极限的定义可得). 1? q

第一数学归纳法: 给定命题 p(n), 若: (1) p(n0)成立; (2) 当 p(n)时 n=k 成立时能推出 p(n)对 n=k+1

成立,则由(1) , (2)可得命题 p(n)对一切自然数 n≥n0 成立. 竞赛常用定理 定理 4 对于齐次二阶线性递归数列 xn=axn-1+bxn-2,设它的特征方程 x =ax+b 的两个根为 α,β:(1)若 α ? β,
n-1 2

则 xn=c1a

+c2βn-1,其中 c1, c2 由初始条件 x1, x2 的值确定;
n-1

(2)若 α=β,则 xn=(c1n+c2) α ,其中 c1, c2 的值由 x1, x2 的值确定.

二、方法与例题 1.不完全归纳法 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律,当然结论未必都是正确的,但却是人类探索未知世界的普 遍方式。通常解题方式为:特殊→猜想→数学归纳法证明. 例 1 求以下数列的通项(不要求证明) ; (1)-1,0,3,8,15,… (2)1,5,19,65,211…; 例2
1 2 已知数列{an}满足 a1= ,a1+a2+…+an=n an, n≥1,求通项 an. 2

2.构造等差或等比数列 例3 正数列 a0,a1,…,an,…满足 an an ?2 ? an ?1an ?2 =2an-1(n≥2)且 a0=a1=1,求数列{an}的通项
2 xn ?2 ,n∈ N+, 求数列{xn}的通项 2 xn

例4

已知数列{xn}满足 x1=2, xn+1=

3.迭代法 数列的通项 an 或前 n 项和 Sn 中的 n 通常是对任意 n∈ N 成立,因此可将其中的 n 换成 n+1 或 n-1 等,这 种办法通常称迭代或递推 例5
2 ? 1 ,求证:an 都是整数,n∈ 已知 a1=0, an+1=5an+ 24an N+.

例6

设数列{an}满足 a1 ? 1, a2 ? 2, an ?

(1 ? an?1 )2 (n ? 3) an?2

(1)求数列{an}的通项; (2)求证: a2k ?1 (k ? N ? ) 是整数.

4.特征方程法 例7 已知数列{an}满足 a1=3, a2=6, an+2=4n+1-4an,求 an.

5.数列求和 数列求和法主要有倒序相加法、裂项求和法、并项求和法、错位相减法、分组求和法等 例8 已知 an=

1 (n=1, 2, …),求 S99=a1+a2+…+a99. 4 ? 2100
n

例 9 求(1) Sn ?

1 1 1 ? . (2) Sn ? 12 ? 22 ? 32 ? +…+ 1? 2 ? 3 2 ? 3 ? 4 n(n ? 1)(n ? 2)

? n2

例 10

?a ? 已知数列{an}满足 a1=a2=1,an+2=an+1+an, Sn 为数列 ? n 的前 n 项和,求证:Sn<2 n? 2 ? ?


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