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2013年数学高考总复习重点精品课件:直线、圆与圆的位置关系及空间直角坐标系 92张


走向高考· 数学
人教B版 ·高考一轮总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第八章

平面解析几何

第八章

平面解析几何

走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教B版 ·数



第八章
第三节 直 、 与 的 线 圆 圆 位 关 及 间 角 标 置 系 空 直 坐 系

第八章

平面解析几何

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基础梳理导学

3

考点典例讲练

思想方法技巧

4

课堂巩固训练

5

课后强化作业

第八章

第三节

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基础梳理导学

第八章

第三节

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重点难点

引领方向

重点:直线与圆的位置关系,圆的切线方程和弦长问题. 难点:圆的综合问题的解题思路.

第八章

第三节

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夯实基础

稳固根基

一、直线与圆的位置关系 1.直线 l:Ax+By+C=0 与圆(x-a)2 +(y-b)2 = r2(r>0)的位置关系: (1)几何方法:圆心(a,b)到直线 Ax+By+C=0 的距 |Aa+Bb+C| 离 d= , A2+B2

相交 相切 d<r?直线与圆_______;d=r?直线与圆______; 相离 d>r?直线与圆______.

第八章

第三节

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() 代 方 : 2 数 法由

?Ax+By+C=0 ? ? ??x-a?2+?y-b?2=r2 ?

消元得到的一

元二次方程的判别式为 Δ,则

相切 相交 Δ>0?直线与圆_____;Δ=0?直线与圆_____;

相离 Δ<0?直线与圆______.

第八章

第三节

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2.圆的切线 (1)求过圆上的一点(x0,y0)的圆的切线方程:先求切 1 点与圆心连线的斜率 k,再由垂直关系知切线斜率为- , k 由点斜式方程可求得切线方程.如果 k=0 或 k 不存在, 则可直接得切线方程为 y=y0 或 x=x0.

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() 求过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程: 2 ①几何方法:设切线方程为 y-y0=k(x-x0),即 kx -y-kx0+y0=0.由圆心到直线的距离等于半径,可求得 k. ②代数方法:设切线方程为 y-y0=k(x-x0),即 y= kx-kx0+y0,代入圆的方程,得到一个关于 x 的一元二次 方程,由 Δ=0,可求得 k.

第八章

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经过圆上一点的圆的切线有且仅有一条; 经过圆外一点 P(x0,y0)的圆的切线有两条,因此用点 斜式或斜截式直线方程求切线时,若有两解,则所求两条 切线方程可得,若仅有一解,则另一条必为 x=x0.

第八章

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() 从圆外一点 P(x1,y1)引到圆 x2+y2+Dx+Ey+F 3 =0 的切线,则点 P 到切点的切线长 d= x2+y2+Dx1+Ey1+F. 1 1 3.直线被圆截得的弦长: (1)几何方法:运用弦心距 d、半径 r 及弦的一半构成 直角三角形,计算弦长|AB|=2· r2-d2. (2)代数方法:运用韦达定理求弦长 |AB|= [?xA+xB?2-4xA·B]?1+k2?. x

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二、圆与圆的位置关系 1.用几何方法判断圆与圆的位置关系 两圆(x-a1)2+(y-b1)2=r2(r1>0)与(x-a2)2+(y-b2)2 1 =r2(r2>0)的圆心距为 d,则 2

外离 外切 d>r1+r2?两圆_____;d=r1+r2?两圆______;

相交 |r1-r2|<d<r1+r2?两圆______; 内切 d=|r1-r2|?两圆______; 内含 0≤d<|r1-r2|?两圆______

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2. 数 法 断 圆 位 关 代方判两的置系 方组 程
?x2+y2+D x+E y+F =0 ? 1 1 1 ? 2 ?x +y2+D2x+E2y+F2=0 ?

有组同实解 两不的数 有组同实解 两相的数

?两 _____; 圆 相交 ?两 _____; 圆 相切

无数 实 解 ?两 外 或 含 圆离内.

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3.圆系方程※ 具有某一共同性质的所有圆的集合叫圆系, 它的方程 叫圆系方程. (1)同心圆系:设圆 C 的一般方程为:x2+y2+Dx+ Ey+F=0,则与圆 C 同心的圆系方程为:x2+y2+Dx+ Ey+λ=0. (2)相交圆系:过两个已知圆 x2+y2 +D1x+E1y+F1 =0 和 x2+y2+D2x+E2y+F2=0 的交点的圆系方程为:

第八章

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x2 +y2 +D1x+E1y+F1 +λ(x2 +y2 +D2x+E2y+F2)= 0(λ≠-1). ①

方程①是一个圆系方程, 这些圆的圆心都在两圆的连 心线上,圆系方程代表的圆不包含圆 x2+y2+D2x+E2y+ F2=0. λ=-1 时,①式变为一直线: (D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0 ②

若两圆相交, 则方程②是它们的公共弦所在直线的方 程;若两圆相切,则方程②就是它们的公切线方程.
第八章 第三节

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三、空间直角坐标系 1.轴的选取原则 我们所使用的坐标系都是右手直角坐标系: (1)伸开右手,拇指指向 x 轴正方向,食指指向 y 轴 正方向,则中指指向 z 轴正方向. (2)从 z 轴的正方向看, 轴的正半轴沿逆时针方向转 x 90° 能与 y 轴的正半轴重合.这时,我们说在空间建立了 一个空间直角坐标系 O-xyz,O 叫做坐标原点.

第八章

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() 伸 右 , 拇 指 3 开 手让 指 向

z轴 方 ,指 向 正 向四 指

x轴

正方向,然后将四指自然弯曲 90° 能指向 y 轴的正方向.

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2.坐标与坐标平面 (1)过点 P 作一个平面平行于平面 yOz(垂直于 x 轴), 这个平面与 x 轴的交点记为 Px,它在 x 轴上的坐标为 x, 这个数 x 叫做点 P 的横坐标; 过点 P 作一个平面平行于平面 xOz(垂直于 y 轴),这 个平面与 y 轴的交点记为 Py,它在 y 轴上的坐标为 y,这 个数 y 叫做点 P 的纵坐标;

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过点 P 作一个平面平行于平面 xOy(垂直于 z 轴),这 个平面与 z 轴的交点记为 Pz,它在 z 轴上的坐标为 z,这 个数 z 叫点 P 的竖坐标. (2)每两条坐标轴分别确定的平面 yOz,xOz,xOy 叫 做坐标平面.

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3.空间两点间的距离公式 设空间两点 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 A、B 两 点间的距离|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2+?z2-z1?2.

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疑难误区 点拨警示 1.讨论直线与圆相切、相交的问题时,主要运用几 何方法, 即用圆心到直线的距离和半径讨论, 而用判别式 法计算量大,且易出错. 2.两个圆的方程联立后消元(如消去 y),Δ=0 与两 圆相切不等价.

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3. 在 外 , 该 的 的 线 两 , 用 点圆时过点圆切有条若点 斜式求得斜率 k 只 一 时应 上 直 有 解 ,添 垂 于 4. 立 间 角 标 时 要 意 手 的 则 注 建 空 直 坐 系 ,注 右 系 规 . 意 标 上 的 标 坐 平 内 的 标 点 莫 坐 轴 点 坐 及 标 面 点 坐 特 , 用 混. x 轴的那一条.

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思想方法技巧

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1.数 结 的 想 形合思 在直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的讨论中, 结 图 进 分 能 效 改 优 思 过 , 速 到 合 形 行 析 有 的 善 化 维 程 迅 找 解 题途,应强形合想应. 的径故加数结思的用

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2. 程 想 方思 在解析几何的许多问题中,经常要通过研究讨论方程的 解 情 获 问 的 决 特 是 直 与 锥 线 交 的 形 得 题 解 . 别 在 线 圆 曲 相 的 问 中 常 用 题 , 采 “设 不 , 体 理 而 求 整 处 ”的 想 法 即 思 方 , 设

点不点通整处加解. 而求,过体理以决

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3. 定 数 待系法 求圆的方程、求圆的切线方程等解析几何的许多问题都 要 用 定 数 , 通 训 深 领 熟 掌 待 系 利 待 系 法 要 过 练 刻 会 练 握 定 数 法 . 4. 间 殊 的 征 空特点特 () 空 点 对 特 1 间 的称征 关坐平、标对点特是关谁不, 于标面坐轴称的点:于谁变 其变反如 他相.点 其相为 余反 P(4 , 3)关 y 轴 称 , 1 , - 于 对点 y坐 不 , 标变

P′(-1,4,3).
第八章 第三节

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() 坐 轴 坐 平 上 的 标 征 无 谁 2 标 、标 面 点 坐 特 :谁 为 平上点 面的为 (x,y,0).

0.如 x y O

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考点典例讲练

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直线与圆的位置关系的判断

[例 1] 置关系是(

直线 ax-y+ 2a=0 (a≥0)与圆 x2+y2=9 的位 ) B.相交 D.不确定

A.相离 C.相切

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解析:圆心 O(0 0) , 2a d= 2 ≤13 <. a +1

到 线 ax-y+ 2a=0 的距离 直

答案:B

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(02 21·

山大调 西同研 ( )

)直 y=kx+2 与 x2+y2=1 没 公 线 圆 有共

点充条是 的要件

A.k∈(- 2, 2) B.k∈(- 3, 3) C.k∈(-∞, - 2)∪( 2, ∞) + D.k∈(-∞, - 3)∪( 3, ∞) +

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解析:由直线 y=kx+2 与圆 x2+y2=1 没 公 点 知 有共可, 圆心(0 0) , 2 到直线 y=kx+2 的距离大于圆的半径, 即 2 >1, k +1

由此解得- 3<k< 3,∴选 B.

答案:B

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直线与圆相切

[例 2] 外一点 A(2 1 ,

(01 21· 3),

杭州模拟)已知圆 C:(x+1)2+y2=4 和圆

() 若直线 m 经过原点 O,圆 C 上恰有三个点到直线 m 1 且 的距离为 1,求直线 m 的方程; () 若经过 A 的直线 l 与圆 C 相切,切点分别为 D、E, 2 求切线 l 的方程及 D、E 两切点所在的直线方程.

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分析:() 由圆方程知圆的半径为 2, 使 ⊙C 上恰有三个 1 要 点到直线 m 的距离为 1,则圆心 C 到直线 m 的距离应为 1. () 由过 A 的直线 l 与⊙C 相切可设出切线方程, 2 由切线的 性质列方程求斜率 k,注意斜率不存在的情形的讨论.

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解析:() 方法 1:圆 C 的圆心为(-1,0),半径 r=2, 1 圆 C 上恰有三个点到直线 m 的距离为 1, 则圆心到直线 m 的距离恰为 1, 由于直线 m 经过原点,圆心到直线 m 的距离最大值为 1. 所以满足条件的直线就是经过原点且垂直于 OC 的直线, 即 y 轴,所以直线方程为 x=0.

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方法 2:圆 C 的圆心为(-1,0),半径 r=2, 圆 C 上恰有三个点到直线 m 的距离为 1. 则圆心到直线 m 的距离恰为 1. |-k-0| 设直线方程为 y=kx,d= =1,k 无解. 1+k2 直线斜率不存在时,直线方程为 x=0 显然成立.所以所 求直线为 x=0.

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() 设 线 程 2 直方为

y-2 3=k(x-1 , )

|-2k+2 3| 3 d= =2, 得 k= , 解 2 3 1+k 所直为 求线 3 y-2 3= 3 (x-1 , ) 即 3x-3y+5 3=0, x=1,

斜不在,线程 率存时直方为 ∴切 l 的 程 线 方为

x=1 或 3x-3y+5 3=0 . x2+(y- 3)2=4,

过 C、D、E、A 有 外 圆 点 一接, 即 x2+y2-2 3y-1=0, 过切的线程 两点直方为

x+ 3y-1=0 .
第八章 第三节

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(文)已 抛 线 知物 切 则 p的 为 ( , 值 1 A.2 C.2

y2=2p (p>) 的 线 圆 x 0 准与 ) B.1 D.4

(x-3)2+y2=1 相 6

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p 解析:抛物线 y =2px(p>) 的准线方程是 x=- , 题 0 由意 2
2

p 知,3+2=4,p=2.

答案:C

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(理)02 ( 1· 2

天津理,8)设 m、n∈R,若直线(m+1)x+(n+ m+n 的取值范围

1)y-2=0 与圆(x-1)2+(y-1)2=1 相 , 切则 是( ) A.[1- 3,1+ 3] B.(-∞,1- 3]∪[1+ 3,+∞) C.[2-2 2,2+2 2] D.(-∞,2-2 2]∪[2+2 2,+∞)

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解析:∵直线(m+1 x+(n+1 y-2=0 与圆(x-1 2+(y-1 ) ) ) ) =1 相切, |?m+1?+?n+1?-2| ∴ 2 2 =1, ?m+1? +?n+1? ∴|m+n|= ?m+1?2+?n+1?2, ∴(m+n)2=(m+1 2+(n+1 ) )
2

2

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?m+1?+?n+1? 2 ≥2 [ · ], 2 ∴(m+n)2-4 m+n)-4≥0, m+n≤2-2 2, m+n≥2 ( 得 或 +2 2.

答案:D

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直线与圆相交

[例 3]

已知直线 l 过点(-2,0),当直线 l 与圆 x2+y2= )

2x 有两个交点时,其斜率 k 的取值范围是( A.(-2 2,2 2) 2 2 C.(- 4 , 4 ) B.(- 2, 2) 1 1 D.(-8,8)

分析:可写出直线的点斜式方程,由相交知 d<r.

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解析:直线 l 的方程为 y=k(x+2), 题 得 由意, 2 2 解得- <k< ,故选 C. 4 4

|3k| <. 1 1+k2

答案:C

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(文)若过点 A(0 4) ,

的 线 l 与曲线(x-2)2+y2=1 有公共点, 直 )

则直线 l 的斜率的取值范围为( A.[- 3, 3] 3 3 C.[- 3 , 3 ]

B.(- 3, 3) 3 3 D.(- 3 , 3 )

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解析:设直线方程为 y=k(x-4),即 kx-y-4k=0, 为 因 直线 l 与曲线(x-2)2+y2=1 有 共 , 以 心 直 的 公点所圆到线距 |2k-4k| 3 3 离小于等于半径,d= 2 ≤1,解得- 3 ≤k≤ 3 . k +1

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点评:借助于下面的图形用数形结合法也可以判断 C 正 确.

答案:C

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(理)若直线 y=x+b 与 线 y=3- 4x-x2有 共 , 曲 公 点则 的取值范围是( ) B.[1-2 2,1+2 2] D.[1- 2,3]

b

A.[-1,1+2 2] C [ 1 . -2 2,3 ]

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解析:曲线 y=3- 4x-x2为圆(x-2 2+(y-3 2=4 的下半 ) ) 圆 当 线 , 直 y=x+b 过点(3 0) , 时 b=3, 直 与 相 时 当 线 圆 切

|2-3+b| =2,得 b=1-2 2或 b=1+2 2(舍去),当 1-2 2 解 故 2 ≤b≤3 时直线和半圆有交点.

答案:C

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圆与圆的位置关系

[例 4]

如图双线 下,曲

x2 y2 - =1 的左焦点为 F1,顶点 a2 b2 PF1、A1A2

为 A1、A2,P 是 曲 上 意 点 则 别 线 双 线 任 一 ,分 以 段 为直径的两圆的位置关系为( )

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A.相交 C.相离

B.相切 D.以上情况都有可能

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解:设焦为 析 右点 则圆径别 两半分为 两圆距 圆心为

F2, PF1 的 点 M, 接 MO 和 PF2, 取 中 连

1 2|PF1|和 a, 1 |MO|, |MO|=2|PF2|. 且 |PF1|=|PF2|+2a, P点 双 线 支 在曲左

当P点 双 线 支 时 在曲右上,

1 ∴|MO|=2|PF1|-a, 时 圆 切 当 此两内; 上 , |PF2|=|PF1|+2a, 时 1 ∴|MO|=2|PF1|+a, 时 圆 切 此两外 答案:B

. B. 选

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已 圆 C的 心 直 知 圆在线

x-y-4=0 上 并 通 两 ,且过圆

C1 :

x2+y2-4x-3=0 和 C2:x2+y2-4y-3=0 的 点 交, () 求 C 的 程 1 圆 方; () 求 圆 C1 和 C2 相 弦 在 线 方 . 2 两 交所直的程

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解析:() 因为所求的圆过两已知圆的交点, 1 故设此圆的方程为 x2+y2-4x-3+λ(x2+y2-4y-3)=0, (λ≠-1,λ∈R),即(1+λ)(x2+y2)-4x-4λy-3λ-3=0,即 x2 4x 4λy 2 2λ +y - - -3=0,圆心为 ( , ). 1+λ 1+λ 1+λ 1+λ
2

由于圆心在直线 x-y-4=0 上, 2 2λ 1 ∴ - -4=0,解得 λ=-3, 1+λ 1+λ 所求圆的方程为 x2+y2-6x+2y-3=0.

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() 将圆 C1 和圆 C2 的 程 减 得 2 方相, 所在直线的方程.

x-y=0, 即 交 此相弦

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空间直角坐标系

[例 5]

已知点 P 在 x y 平面上,点 P 的平面直角坐标 O 平面,|PQ|=5,则点 Q 的 标 坐 为

为(-2,3),PQ⊥x y O ________.

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解析:据空间点的坐标定义,点 Q 的 、 坐 就 点 横纵 标 是 的平面直角坐标,竖坐标为 5 或-5, ∴Q(-2,3,5)或 Q(-2,3,-5).

P

答案:(-2,) 3 ,5

或(-2 ,-5) 3 ,

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(文)在 x y 平面内的直线 x+y=1 上确定一点 M,使 M 到 O 点 N(5) 6, ,1 的距离最小.

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解析:由已知,可设 M(x,1-x,0),则 |MN|= ?x-6?2+?1-x-5?2+?0-1?2 = 2?x-1?2+51, ∴当 x=1 时,|MN|m = 51,此时 M(0) 1, ,0 n i .

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(理)如图,在河的一侧有一塔 CD=5m, 宽 河

BC=3m,

另一侧有点 A,AB=4m,AB⊥BC,求点 A 与塔顶 D 的距离 AD.

分析:首先建立空间直角坐标系,表示出各点坐标,再利 用公式,注意 BC 垂直于河岸.

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解析:以塔底 C 为坐标原点建立如图所示的坐标系 则 D(0) 0, ,5 ,A(3,-4) 0 ,

∴d(A,D)= 32+42+52=5 2 即 A 与塔顶 D 的距离 5 2m.

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点评:建立空间直角坐标系时往往选择垂直的直线作为坐 标轴.

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直线与圆的综合应用

[例 6] +1=0.

(文)已知圆 C:x2+(y-2)2=5,直线 l:mx-y

() 求证:对 m∈R, 线 l 与圆 C 总 两 不 交 ; 1 直 有个同点 () 若圆 C 与直线相交于点 A 和点 B, 弦 AB 的中点 M 2 求 的轨迹方程.

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分析:() 讨论直线与圆有两个交点可以由 Δ0 求解,也 1 > 可以由 d<r 求解, 意 直 注到线 圆 C 内即可. () 若设 M(x,y), 由 kMP=kAB 求 或 直 方 代 圆 2 可 解将线程入 方程消去 y,利用韦达定理和中点坐标公式求解. l 过定点 P(1 0) , ,需证 只验 P在

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解析:() 证明:法一:直线系 l:mx-y+1=0 恒过定点 1 (1 0) , ,且点(1 0) , 在圆 C:x2+(y-2)2=5 内部,所以对 m∈R,

直线 l 与圆 C 总 两 不 交 . 有个同点 法 :线 程 圆 方 联 ,去 二直 方 与 的 程 立消 -4=0, ∵Δ=4m2+16(m2+1)=20m2+1> ,∴对 m∈R, 线 l 60 直 与圆 C 总有两个不同交点. y 得(m2+1)x2-2mx

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|0-2+1| 1 法三:圆心到直线的距离 d= = 2 ≤1< 5, 2 m +1 m +1 所以对 m∈R,直线 l 与圆 C 总有两个不同交点. () 设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),由方程(m2+1)x2- 2 2m m 2mx-4=0,得 x1+x2= 2 ,∴x= 2 , m +1 m +1 y-1 由 mx-y+1=0,得 m= , x y-1 2 y-1 m 代入 x= 2 ,得 x[( x ) +1]= x , m +1 32 1 化简得 x +(y-2) =4.
2

第八章

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(理)02 ( 1· 2

威海模拟)已 圆 M 的圆心 M 在 x 轴上,半径 知 M在

4 1 为 1, 线 l:y=3x-2被圆 M 所截的弦长为 3, 圆 直 且心 直线 l 的下方. () 求圆 M 的方程; 1

() 设 A(0,t),B(0,t+6 -5≤t≤-2), 圆 M 是△ABC 2 ) ( 若 的内切圆,求△ABC 的面积 S 的最大值和最小值.

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分析:() 要 圆 方 , 知 的 径 只 求 圆 1 求 的 程 已 圆 半 , 需 出 心 坐标,由于已知圆心 M 在 x 轴上,故设 M(a,0),由 M 在 l 下 方求得 a 的取值范围,结合 l 被⊙M 截得弦长为 3,求出 a 的值即可获解.

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() 由 A、B 的 标 , 段 2 坐知线 1 积 S=2|AB|·C,键 将 x 关是

AB 在 y 轴 , 上 故 △ABC 的面 ⊙M 内切于△ABC,

xC 用 t 表 .于 示由

∴M 到 AC、 的距离均为 1, 设 BC 若出

AC、 的点斜式方程, BC

则可用 t 来表示两直线斜率, 由两直线方程可解得 xC 关于 t 的 不等式,于是 S 表示为 t 的函数,再根据函数类型求其最值.

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解析:() 设圆心 M(a,0), 已 得 1 由知 的距离为 32 1 1 -? ? = , 2 2
2

M 到 l:8x-6y-3=0

|8a-3| 1 ∴ 2 2=2, 8 +?-6? 又∵M 在 l 的下方,∴8a-30 , > ∴8a-3=5,∴a=1. 故圆的方程为(x-1)2+y2=1.

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() 设 AC 的斜率为 k1,BC 的斜率为 k2,则直线 AC 的方 2 程为 y=k1x+t, 直线 BC 的方程为 y=k2x+t+6.
?y=k x+t, ? 1 ? 由方程组 ?y=k2x+t+6, ?

6 得 C 点的横坐标为 xc= . k1-k2

∵|AB|=t+6-t=6, 1 6 18 ∴S=2| 6 = · | , k1-k2 k1-k2 由于圆 M 与 AC 相切,

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|k1+t| 1-t2 所以 1= 2,∴k1= 2t ; 1+k1 1-?t+6?2 同理,k2= , 2?t+6? 3?t2+6t+1? ∴k1-k2= , t2+6t 6?t2+6t? 1 ∴S= 2 =6 - 2 ( 1 ), t +6t+1 t +6t+1 ∵-5≤t≤-2.∴-2≤t+3≤1, ∴-8≤t2+6t+1≤-4,

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∴Sm x a

1 15 =6×(1+ )= , 4 2

1 27 Sm =6×(1+8)= 4 , n i 15 27 ∴△ABC 的面积 S 的最大值为 ,最小值为 . 2 4

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已 点 P(5 知 0) ,

及 C:x2+y2+4x-1 y+2 =0 圆 2 4 . 4 3, l 的 求 方

() 若 线 l 过 P 且 圆 C 截 的 段 为 1 直 被 得线长 程 ; () 求 P 点 圆 C 的 的 点 迹 程 2 过 的 弦中轨方.

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解析:设 l:y=kx+5,由 l 被⊙C 截 弦 为 得长 |-2k-6+5| 3 半径 r=4 知 d=2,∴ =2,∴k= , 2 4 1+k 当 k 不存在时,直线 l 为 x=0,也符合题意. 3 ∴l 的方程为 y= x+5 或 x=0. 4

4 3及⊙C

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() 设弦的中点为 M(x,y), 2 将 y=kx+5 代入⊙C 方程中得, (1+k2)x2+2(2-k)x-11=0, 2k-4 设弦两端点为 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= , 1+k2 ∴y1+y2=k(x1+x2)+10 2k2-4k 12k2-4k+10 = +10= , 1+k2 1+k2 ∵M 为 AB 的中点,

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x1+x2 k-2 y1+y2 6k2-2k+5 ∴x= = = 消去 k 得,x2 2,y= 2 2 2 1+k 1+k +y2+2x-11y+30=0.
答案:(1)x=0 或 3x-4y+20=0 (2)x2+y2+2x-11y+30 =0

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k-2 y-5 点评:也可以直接由 x= 及 x =k 消去 k 得 轨 方 出 迹 1+k2 程更简便些.

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课堂巩固训练

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一、选择题 1.(02 21· 安文 徽 , 9)若 线 直 x-y+1=0 与圆(x-a)2+y2 )

=2 有公共点,则实数 a 的取值范围是( A.[-3,-1 ] C.[-3 1 ,] B.[-1,3]

D.(-∞,-3]∪[1,+∞)

[答案] C

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[解析]

本考直与的 题查线圆位

置 系圆 圆 为 关 .的 心

(a,0),

|a-0+1| 半径为 2,所以 2 2≤ 2,即|a+1|≤2, 1 +?-1? ∴-2≤a+1≤2,∴-3≤a≤1.几何法是解决直线与圆交 点个数问题的常规方法.

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2.(文)01 ( 1· 2

东三联 北校考

)若 a、b、c 是 角 角 的 直三形三

边(c 为斜边),则圆 x2+y2=2 截直线 ax+by+c=0 所得的弦 长等于( A.1 ) B.2 C. 3 D.2 3

[答案] B

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[解析]

∵a、b、c 是直角三角形的三条边(c 为斜边),

∴a2+b2=c2. |c| 设圆心 O 到直线 ax+by+c=0 的距离为 d, d= 2 则 a +b2 =1,∴直线被圆所截得的弦长为 2 ? 2?2-12=2.

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(理)若直线 3ax-by-3=0(a>0,b>) 被圆 x2+y2-2x+6y 0 1 1 +6=0 截得弦长为 4,则a+b的最小值为( A.4 1 C. 2 B.2 1 D. 4 )

[答案] A

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[解析] 半径 r=2.

圆程为 方化

(x-1)2+(y+3)2=4, 心 C(1, 圆 -3),

由条件知 C 在直线 3ax-by-3=0 上,∴3a+3b-3=0, ∴a+b=1. ∵a>0,b>0, 1 1 1 1 ∴a+b=(a+b)(a+b) b a =2+ + ≥2+2 a b ba ·=4, ab

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?b a ? = , 1 a b 当? 即 a=b= 时取等号, 2 ?a+b=1, ? 1 1 ∴ + 的最小值为 4. a b

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3.(02 21· 任点点 一,

浙江嘉兴市测试)已知 M 为直线 l1:y=x+2 上 N(-1,0), 过 则点 ) B.1 或 2 D.2 M、N 且与直线 l2:x=1 相切的

圆的个数可能为( A.0 或 1 C.0,1 或 2

[答案] C

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[解析] 点设心 .圆为

本考圆曲的义直与锥线交 题查锥线定,线圆曲的 C,则 C 到点 N(-1,0)的距离等于其到直线 x= C在 物 抛线 y2=-4x 上,

1的 离 由 物 的 义 知 点 距,抛线定可,

另一方面,点 C 又在线段 MN 的中垂线上,于是 C 为 MN 中 垂线与抛物线的交点,当点 M 在直线 y=x+2 上运动时,中 垂线与抛物线的交点可能为 0 个,1 个,2 个,所以选 C.

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二、填空题 4.(01 21· 重庆文,1) 过 点 直 与 3 原的 线圆 x2+y2-2x-4y

+4=0 相交所得的弦长为 2,则该直线的方程为________.

[答案] 2x-y=0

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[解析]

由 x2+y2-2x-4y+4=0

得(x-1)2+(y-2)2=1, 知圆心(2 1) , ,半径 r=1.

由弦长为 2 知,直线过圆心且过原点, ∴2x-y=0 为所求.

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