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4自由度并联机器人刚度分析




卷 增 刊

















自由 度并 联 机 器 人 刚 度 分 析
韩书葵 方 跃 法
北 京 交 通 大 学 机 电

工 程 学 院
摘要 少 自由度 并联机 构应 用于 机床 上 时要 求 具 有很 高 的刚 度


,

槐创锋
北京
而 少 自由度 并 联机 器人 的 刚 度 和 机 器人雅 可 比矩
, ,

阵有 很 密 切 的 关 系

采用 螺旋 理 论 方法求 出 了
,



自由度并联 机 构 的雅 可 比矩 阵


推导 出

自由度 并联机器

人的刚度计 算 公 式和 条 件 指数计算 公 式 分析 了 少 自由度 并联 机 器 人在某 一 位 置 时伪 向 给 出 了 这种
大小
, ,

最 大和 最 小 刚 度所在 的方

自由度并联 机器 人 的最大 和 最 小 刚 度 曲线


,

通过 曲线可 以评 价 出此 并联 机构在 各 个 方 向上 刚 度

为这种 机 器 人 的应 用 和 开 发提供 了有 力 的依据 并联机 器 人
刚度 雅可 比矩 阵 螺 旋 理论

关键词

中图 分 类 号





对 之 做 了许 多 工 作




前言
奇异 位 形 等 方 面 的研 究 和 机 器 人 的 刚 度 都 有 很 大 的 联 系 对 于 机 器 人 的刚 度 研 究 都 具有 重要 意 义 ‘ 通 等 〕 过 几 何 关 系推 导 出 了 并联 机 器 人 的 刚 度 计 算
公式
, ,


空 间 任 何 一 个 矢 量 都 可 以 由一 个 旋 量 来 表 达 其

方 向和 所在 空 间 位 置 少 自由度并联机 器人 承 载 能 力


相 应地
,

,

在 空 间机 构 学 中


,

动 力学



所有运 动 副 轴 线 都 可 以 表 示 成 相应 的旋 量 形 式
果该 运 动 副 是 转 动 副 该 轴线 的矢 量 方 向为
,


,

,

为 轴 线 上 任 意 一 点与参考 系原 点 的 矢量距 离

那么

这 一 运 动 副 螺旋 可 表 示 为
」 厂
八 户 」

但 是这个 公 式只 适 用 于 静态 刚度计 算 州 等 利 用刚度 曲线分析 了机构奇异位 形










组 等降 对 于 分 析和 比较
方程 式


自 由度 并 联 机 器 人 的刚度 进 行 了 平 台 位 姿得 州 等 根据
,

式中
正交

,

。二



很 明显
,

,

矢量

,

,



、。

在运 动 空 间


,

存在

,

,

到 系 统 矩 阵和 阻 尼 矩 阵

并推 导 出 了 简 化 的动 力 学 等 采 用试 验数 据 进 行 拟 合 的 方 法 得 到 并联机 床 的刚 度 曲线 等 采用 线性


听 。 这 样 的 旋量称 之 为 线 矢 量
,

如 果 该运 动 副 是 移 动 副 个节距 为无 穷 大 的旋量
八 户 口

在 理 论上 认 为 它 是

运动 螺 旋将 表 示 为


廿一



运 动 方程对一 种

分析 与计 算




自由度 并联 机构振动 特 性 进 行 了 李 育 文 等 采 用 有 限元 法 分 析 了




并联 机床 的静 刚 度
,


可 见 并联机 构 刚 度 己 经

式中

,



为运动 轴 线 的矢量 方 向




将这 样 的螺旋称

成 为 研 究 的一 个 热 点

近 年 来 己 经有 很 多 学者 在这
,


为力偶螺旋

方 面 进 行 了研 究

但 是 以 前 对 于 机 器 人 刚 度 的研 究
,

如 果该 运 动 副是螺 旋 副

,

那 么 将 它表示 为

,

多 是 限 制 在平面 机构 和 空 间 自由度机 构 对 于 自 由度 空 间 并联机构 的研 究很少 因 为少 自由度 机 器 人 刚 度矩 阵不 是 方 阵
进 行分析



式中
,



,

,



,

因此 不 能用 以前 的 方 法
,





的 意 义 与 上 面一 致


表 示螺旋 的截 距




在 此 采 用 螺旋 理 论 方 法 推 导 出 了 少 自 由
, ,

可 以将包 括 球 面 副 习

万 向铰 功

圆柱 副 口
,

度 机 构 刚 度 计 算 公 式 分析 了 机构条件数 给 出 了 机 构 最 大 刚 度 与 最 小 刚 度 的计 算 方 法 绘 出了机 构
最大 刚度 和 最 小 刚度 曲线
,

在 内 的所有 运 动 副 简 化 为 转 动副 和 移 动 副 的 组 合
个 简单 的螺旋


从 而 组 成并 联 机 器 人 的 所有运动 副都 可 以表 示 为 一 每 一 个 分 支 上 的 螺旋 组 成 一 个 螺旋
的矩 阵来表 示


分析 了 在 不 同位 姿 处 机

构 刚 度 的变 化





,

可 以用 一 个

,

其中

为每个
,

分 支 上 运 动 副螺 旋 总 数

螺旋理 论
反 螺 旋 理论 由


如 果存在 一 个 秩等于 存在 一 个
一。

的螺旋系

必然

的螺 旋 系


使得 下 面 的 等式 成 立



年提 出

,

之后

犷 宕
国家 自然科 学 基金资助 项 目 收到修 改稿




收到初稿

,















卷增刊

式中

,

“ 。 ”

表 示 螺旋 的 互 易积

,

矢量 宕 称 为秩 等 于

的螺旋 系

的一 个 反 螺旋



容 易看 出
,


,

螺旋 和 反

螺 旋 一起 作 为 运 动 空 间 的

个基 底
,

利用 式 以 容 易 如 果 知道 了
,

求得 运 动支 链 对 运 动 平 台 的约 束力
反 螺旋


— 刚 各 驱 动 轴 的力或 转 矩 凡 — …钊 几 阮
抓不
?

, ,

作 用 在 尸 点 的 力 和 力矩



个 空 间线 性 独 立 的运 动 螺旋 就 可 以 求得其 一 个
反之
,
,

假 设 并 联 机 构各 分 支都 是 刚体

,

传 动误 差 只 考

,

如果知道 了

个 反螺 旋

即 所 受到

虑 关节 刚度
化为

,

则 关节 空 间微 小 力变 量 将 造成 关 节 变

的运 动 约 束 旋 分 布 形式

就 可 以求 出其 相 对 应 的运 动 支链 的螺 从 而 综 合 出它 的运 动机构



,


,

并联 机 器人 刚度 分 析
机 器 人 的刚 度矩 阵 机器 人 的结 构 如 图
, ,

式 中 气 为关节 空 间 刚度矩 阵为 对角矩 阵 通 常 为 常 数 当 在 动 平 台上 作用微 小 力 时 动平 台将 发 生
,

,

微 小移 动
所示

,
,

,

其关 系如 下

在 图 中可 以得 到 的
,

明 气
式中

同 一 个 分 支 或 不 同 分 支 的各 个 轴 线 之 间关 系 为





四边 形 中心 建立 坐标 系

如图

所示



希 望 转换 关 节 的刚度 到 动 平 台上 以符 合 实 际 要求 利 用 等
,


— 由于 刚 度 来 源 于 关节
进行微 分




关 节 空 间的 刚 度 矩 阵
,

对 于 一 个确


的方法对 式

定物 体

,

它 的各 个 分支 的 螺 旋 的线 性 相关 性 与 坐 标
,

的选 择没 有关系

因 此 可 以选择 坐 标系

气匆



气沁

比 较式



可 以得 到 传 统 的 刚 度 转 换 式为


关系




上 面 的式 子 反 映 了动平 台和 静 平 台的 力 之 间 的转换

机 器 人 刚度矩 阵


自 由度 并 联 机器 人 的雅 可 比 矩 阵 不 是 方
,



,

因 此 雅 可 比矩 阵的逆 是不 存 在 的
, ,

所 以不 能 够

按 照 以前 的方法 进 行 求 解
?

在 此 采 用 螺 旋 理 论 的方
然后 求 出机 器 人 的
可 凡 以通 过 五 个
,

法对 于 机构 的雅 可 比进 行 求解 线 性 的 瞬 时螺旋 表示 为 ‘ , , ‘ , , ? 夕 风 夕 凡 夕 风

刚 度 矩 阵 上 平 台 的瞬 时运动 螺旋
,





机构示 意 图
,



,

,

,

,

,

么风
, ,

,



, ,

,



,



假 设 并 联 机构 动 平 台上 尸 点 的位 置 速 度 为 戈 受力 , 关 节 速 度 为 寸 施力 凡 则 戈和 夕的转 换
, , ,

式中

关系为


凡 气
八 八



?


式中




寸一



— 驱 动轴 的速度 各 — …奋 么叭
, , ,

矩阵



—、 」 咋
,



点 的速度

〕 气 会 「 〕 、 食 〕 之
,


,

、 会
,

,

, ,

,

,

、 ,

,



义 、,

— 铆 一 点 的角 速 度



作用 在
,



点 的线速 度


式中
, ,

,



,
,

是 沿 着第

个分支 的第
,

个关 节 的轴线 方
,

在 静 力平 衡 时

和 凡 的 转 换 关系 为

式 厂几
式中

向 而 氏 为其运 动量的大小

,一 ,

力螺旋 的定义为


了一一

的转 置 矩 阵











韩 书葵等

自由度并联机器人 刚 度 分 析

假 设 每 一 个 分 支 的驱 动 轴为
分 支 上 的被 动 运 动 副 轴 线 的螺 旋
,

,

,

且互逆于每一
,



,



时 机器人 刚 度 曲线


,



,

与式

内积

,

由图

可 以看 出机构 的 刚 度在 主 要 的工 作
,
?

将消 去 被 动 运 动 副轴线 的瞬 时 螺旋

空 间 内变 化平 缓 无 突 变 在转 动 角度 为零
、 、 、工 了 月 伟 声夕 , 了 、

凡 凡
,


,

,

,


,

此 机 构最 大 刚 度 为


,

而 最 小刚 度


正交
,

最 大 和 最 小变 形 方 向实 际 上 是与 最
,






’ 派

大 和 最 小特 征 值对 应 的特 征方 向

这 两 个 方 向相 互
, ,









称 为主 方 向




将 这 两 个 主 方 向取 为坐 标 轴
,

上 面 的式 子可 以 写成矩 阵的形 式 为

称 为主 轴
或最小


当 终端作 用 力 的方 向是 沿 着 主 方 向时
,

人戈 人奋
卫 ‘

终端 的变 形 亦 沿着 同 样 的主 方 向
】 『


变 形 值取 得 最大
,

可叭 衬恤 俩



户 凡广


月 「 ‘

变 形 最 大 的方 向
,

刚 度最低

柔度 最 高


变 形 最 小 的方 向

刚 度 最 高而 柔 度 最 低

工 日 盆 豆 ( 『 侧 易

?

万 厂

心 心
,

,







,

位移‘

则 机构 的雅可 比矩 阵 为









,

最大 刚 度 曲线 图

式中

,

是指 当机 器人 的驱 动关 节锁 定 时


其他 的
一 搜 巴 『 》 ( 专 侧

被 动关节 的雅 可 比矩 阵 的雅 可 比 矩 阵
,

凡 是 指 机器 人 的驱 动关节
求 得 的雅 可 比矩 阵 代 入 式

将式

得 到 机 器 人 的刚 度 矩 阵 为


式中
,

为对 角矩 阵

,

代 表 机构 各分 支 刚 度 系数
,



由于 所 研 究机 构均 为对称 机 构

各 分支 的 刚 度系数

之 间存在如 下 关 系



可 以变 形 为




最 小 刚度 曲线 图

通过式

可 以看 出 机 构 的刚 度 矩 阵 是 一 个 半
,

结论
通 过对 自由度 并 联 机构 的 刚 度 进行 分 析
,


正 定 对 称 的矩 阵

矩 阵 的特 征 值 代 表 在 此 特 征 值
,

对 应 的特 征 矢 量 方 向上 的刚 度 系数

这 些 方 向实 际
,

,



对 应 的特 征 矢 量 方 向上 的 刚 度 系 数

而 且 最 大特

以看 出 这 种机构 具 有很 高 的刚 度

而 且 刚 度 曲线 是


征 值与 最 小特 征 值 的平 方 根 是 刚 度矩 阵的条件数 的

关 于 坐 标 轴相 互 对称 载 能力
同性 的
,

这 种 并 联机构 具 有 很 高 的承
,

倒数



可 以用 在 对 于 刚 度 要求 较高 的机床 上 面

通过 机 器人 的 刚 度指 标

表 明机 器人 的刚 度 是 各 项

机 构 的 刚度 仿 真
由前 面 叙 述 可 知
,



机 器 人 刚 度矩 阵取 决 于 机 器

,









人 的位 姿

,

对 于 给 定 的位 姿 可 以求 出 机构 对 应 的 最


大 刚 度 和 最 小 刚度





给 出 了 当 机器 人 转角 为

机 械








,



卷增刊

,

,





?

,


,



,


,


,

,

〔」



,



,
【」


,

,

,



,


乙义 人昆
,


尹 古

,




,



“ 八刀

,





,


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,


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,

,




,



,

七 月

,








,

,



皿 面




,

,

,

,


, ,

【 李 育文 张 华 杨 建 新 等


,

,

,



并联机床静 刚度 的有
作 者 简介 韩 书葵
,

限元 分析 和 实验研 究 阴


中 国机械 工 程



,

年 出生

,

博 士 研究 生




主 要 研 究方 向为 并

联 机 器 人 对称机构和 非对称机构性 能 的验 证












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