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第十四章 推理与证明


第十四章 推理与证明 考点一 合情推理与演绎推理 3.(2015 山东,11,5 分)观察下列各式:
0 C1 =40; 0 1 1 C3 +C3 =4 ; 0 1 2 C5 +C5 +C5 =42; 0 1 2 3 C7 +C7 +C7 +C7 =43;

…… 照此规律,当 n∈N*时,
0 1 2 C2 +C2 +C2 +…+C -

1 -1 -1 -1 2 -1

=

.

答案 4n-1 4.(2015 福建,15,4 分)一个二元码是由 0 和 1 组成的数字串 x1x2…xn(n∈N*),其 中 xk(k=1,2,…,n)称为第 k 位码元.二元码是通信中常用的码,但在通信过程中 有时会发生码元错误(即码元由 0 变为 1,或者由 1 变为 0). 已知某种二元码 x1x2…x7 的码元满足如下校验方程组: 4 ⊕ 5 ⊕ 6 ⊕ 7 = 0, 2 ⊕ 3 ⊕ 6 ⊕ 7 = 0, 1 ⊕ 3 ⊕ 5 ⊕ 7 = 0, 其中运算⊕定义为:0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0. 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 k 位发生码元错误后变成了 1101101, 那么利用上述校验方程组可判定 k 等于 答案 5 考点二 直接证明与间接证明 3.(2015 北京,20,13 分)已知数列{an}满足:a1∈N*,a1≤36,且 an+1= 2 , ≤ 18, (n=1,2,…).记集合 M={an|n∈N*}. 2 -36, > 18 .

(1)若 a1=6,写出集合 M 的所有元素; (2)若集合 M 存在一个元素是 3 的倍数,证明:M 的所有元素都是 3 的倍数; (3)求集合 M 的元素个数的最大值. 解析 (1)6,12,24.

(2)证明:因为集合 M 存在一个元素是 3 的倍数,所以不妨设 ak 是 3 的倍数. 由 an+1= 2 , ≤ 18, 可归纳证明对任意 n≥k,an 是 3 的倍数. 2 -36, > 18

如果 k=1,则 M 的所有元素都是 3 的倍数. 如果 k>1,因为 ak=2ak-1 或 ak=2ak-1-36, 所以 2ak-1 是 3 的倍数,于是 ak-1 是 3 的倍数. 类似可得,ak-2,…,a1 都是 3 的倍数. 从而对任意 n≥1,an 是 3 的倍数,因此 M 的所有元素都是 3 的倍数. 综上,若集合 M 存在一个元素是 3 的倍数,则 M 的所有元素都是 3 的倍数. (3)由 a1≤36,an= 2 -1 , -1 ≤ 18, 可归纳证明 an≤36(n=2,3,…). 2 -1 -36, -1 > 18 21 ,1 ≤ 18, 21 -36,1 > 18, 所以 a2 是 2 的倍数,

因为 a1 是正整数,a2=

从而当 n≥3 时,an 是 4 的倍数. 如果 a1 是 3 的倍数,由(2)知对所有正整数 n,an 是 3 的倍数, 因此当 n≥3 时,an∈{12,24,36}, 这时 M 的元素个数不超过 5. 如果 a1 不是 3 的倍数,由(2)知对所有正整数 n,an 不是 3 的倍数, 因此当 n≥3 时,an∈{4,8,16,20,28,32}, 这时 M 的元素个数不超过 8. 当 a1=1 时,M={1,2,4,8,16,20,28,32}有 8 个元素. 综上可知,集合 M 的元素个数的最大值为 8. 考点三 数学归纳法 1.(2015 江苏,23,10 分) 已知集合 X={1,2,3},Yn={1,2,3,…,n}(n∈N*),设 Sn={(a,b)|a 整除 b 或 b 整除 a,a∈X,b∈Yn}.令 f(n)表示集合 Sn 所含元素的个数. (1)写出 f(6)的值; (2)当 n≥6 时,写出 f(n)的表达式,并用数学归纳法证明. 解析 (1)f(6)=13.

(2)当 n≥6 时, + 2 + + 2 + + 2 + f(n)= + 2 + + 2 + + 2 +
2

+3 , +
-1 3



= 6, , = 6 + 1, = 6 + 2, = 6 + 3, = 6 + 4, , = 6 + 5 (t∈N*).

-1 2 2

+

-2 3

,

-1 2 2

+3 ,
-1 3

+

,

-1 2

+

-2 3

下面用数学归纳法证明: ①当 n=6 时, f(6)=6+2+2+3=13,结论成立; ②假设 n=k(k≥6)时结论成立,那么 n=k+1 时,Sk+1 在 Sk 的基础上新增加的元素在 (1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产生,分以下情形讨论: 1)若 k+1=6t,则 k=6(t-1)+5,此时有 f(k+1)=f(k)+3 =k+2+
-1 -2 2 6 6

+

3 2

+3 +
3

=(k+1)+2+

+1 +1

,结论成立;

2)若 k+1=6t+1,则 k=6t,此时有 f(k+1)=f(k)+1 =k+2+2 +3 +1 =(k+1)+2+
( +1)-1 ( +1)-1 2

+

3

,结论成立;

3)若 k+1=6t+2,则 k=6t+1,此时有 f(k+1)=f(k)+2 =k+2+
-1 -1 2

+

3 2

+2 +
3

=(k+1)+2+

+1 ( +1)-2

,结论成立;

4)若 k+1=6t+3,则 k=6t+2,此时有 f(k+1)=f(k)+2

=k+2+2 +

-2 3

+2
2

=(k+1)+2+

( +1)-1 +1

+

3

,结论成立;

5)若 k+1=6t+4,则 k=6t+3,此时有 f(k+1)=f(k)+2 =k+2+
-1 2

+3 +2
+1 ( +1)-1 2

=(k+1)+2+

+

3

,结论成立;

6)若 k+1=6t+5,则 k=6t+4,此时有 f(k+1)=f(k)+1 =k+2+2 +
-1 3

+1
2

=(k+1)+2+

( +1)-1 ( +1)-2

+

3

,结论成立.

综上所述,结论对满足 n≥6 的自然数 n 均成立.


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