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近五年全国高中数学联赛选编——三角、向量


近五年全国高中数学联赛选编——三角、复数、向量

2015.8.17

1. ( 2010 年 一试 2 )已知函数 y ? (a cos2 x ? 3) sin x 的最小值为 ? 3 ,则实数 a 的取值范围 是 . 3 解: ? ? a ? 12 2

提示:令 sin x ? t ,则原函数化为 g (t ) ? (?at 2 ? a ? 3)t ,即

g (t ) ? ?at 3 ? (a ? 3)t .
由 ? at 3 ? (a ? 3)t ? ?3 , ? at(t 2 ? 1) ? 3(t ? 1) ? 0 , (t ? 1)(?at(t ? 1) ? 3) ? 0 及 t ?1 ? 0 知

? at(t ? 1) ? 3 ? 0 即

a(t 2 ? t ) ? ?3 .
当 t ? 0,?1 时(1)总成立; 对 0 ? t ? 1,0 ? t 2 ? t ? 2 ;对 ? 1 ? t ? 0,?

(1)

1 3 ? t 2 ? t ? 0 .从而可知 ? ? a ? 12 . 4 2


2.(2011 年 一试 4)如果 cos5 ? ? sin5 ? ? 7(sin3 ? ? cos3 ? ) , ? ? [0,2? ) ,那么 ? 的取值范围是
解:不等式 cos5 ? ? sin5 ? ? 7(sin3 ? ? cos3 ? )
1 1 等价于 sin3 ? ? sin5 ? ? cos3 ? ? cos5 ? . 7 7

又 f ( x) ? x 3 ?

1 5 x 是 (??,??) 上的增函数,所以 sin ? ? cos ? ,故 7
2k? ?

?
4

? ? ? 2k? ?

5? (k ?Z). 4

因为 ? ? [0,2? ) ,所以 ? 的取值范围是 ?

? ? 5? ? , ?. ?4 4 ?

3. (2012 年 一试 1)



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4.(2012 年 一试 2)



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5. (2012 年 一试 7)

cos A ? 10 cos B cos C ,则 tan A 的值为 6. (2013 年 一试 3) 在 ?ABC 中, 已知 sin A ? 10sin B sin C ,

.

B sin C? 解 由于 sin A ? cosA ? 10 ? sin
tan A ? 11 .

cos B cos C ? ??

10?cos B? C ? ?

10 cos A ,所以 sin A ? 11cos A ,故

7. (2014 年 一试 7)



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8. (2014 年 一试 11)



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