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安徽省芜湖市第一中学2015级高一数学自主招生考试试题


芜湖一中 2015 年高一自主招生考试 数 学 试 卷
一、选择题(本大题共 7 个小题,每小题 6 分,共 42 分,每小题只有一个选项正确, 把正确的 选项序号填在答题栏中) 1.已知非零实数 a , b 满足 5 ? 3a ? b ? 3 ? A. ?1 2.已知 B. 0 ) . C. ? 3 D. 5 或 1

? a ? 2 ? b2 ? 5 ? 3a, 则a ? b ? (
C. 1 D. ?5



1 1 ? x ? 1 ,则 ? x 的值为( x x
B. 5

A. ? 5 3.若关于 x 的方程 A. a ?

3 2

1 ? 2a ? 2 的解为正数,则实数 a 的取值范围是( ) 2x ?1 3 3 3 1 B. a ? C. a ? 且a ? 2 D. a ? 且a ? 2 2 2 2


4.如果一直线 l 经过不同三点 A? a, b? , B ?b, a ? , C ? a ? b, b ? a ? ,那么直线 l 经过(

A.第二、四象限 B.第一、二象限 C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限 5. 已知平面四边形 ABCD,下列条件:①AB∥CD;②BC∥AD;③AB=CD;④BC=AD⑤∠A=∠C; ⑥∠B=∠D. 任取其中两个,可以得出“平面四边形 ABCD 是平行四边形”的 概率是( ) A.

2 3

B.

8 15

C.

3 5

D.

7 15

6.一个正方体内接于一个球(正方体的顶点均在球面上),过球心作一个截面,如下图所示,则 截面的可能图形是( )

(1) A. (3) (4)

(2) B. (1) (2) (4)

(3) C. (2) (4)
2

(4) D. (1) (2) (3)

7. 直角 ? ABC 的三个顶点 A, B, C 均在抛物线 y ? x 上,并且斜边 AB 平行于 x 轴,若斜边上 的高为 h ,则( A. h ? ) B. h ? 1 C. h ?

2

1 2

D.不确定

1

二、填空题(本大题共 7 个小题,每小题 7 分,共 49 分) 8.二次根式 a ?

1 的最简根式形式为 a
2

9.已知关于 x 的方程: x ? ( m ? 2) x ? 值为 10.若关于 x 的不等式组 ?

m2 ? 0 有两个实根 x1 、 x 2 满足 x2 ? x1 ? 2 ,则 m 的 4

?5x ? a ? 0 的整数解仅有 1、2、3,则满足这个不等式组的有序整数对 3 x ? b ? 0 ?


? a, b ? 的个数为

11.在平面直角坐标系中, O 是坐标原点, A ? x1 , y1 ? 是反比例函数 y ? 点, B ? x2 , y2 ? 是反比例函数 y ? ?

1 ? x ? 0 ? 的图像上的一 x

4 ? x ? 0 ? 的图像上的一点,则 ? AOB 的面积的最小值为 x

12.有一个半径为 1cm 的圆,在边长为 6cm 的正六边形内任意挪动(圆可以与正六边形的边相 切) 。则圆在正六边形内能到达的部分的面积为 13.如右图所示, ? ABC 的面积为 3, D, E , F , G 分别 是 BC , AC 边上的三等分点, AE, BF 相交于点 H , 则四边形 CEHF 的面积是 B 14.已知 D H E

cm2
A G F C

3 2 ? 2 ? 23 2 , 3 3 ? 3 ? 33 3 , 3 4 ? 4 ? 4 3 4 , ? , 32015 ? m ?2015 3 m ,则 7 7 26 26 63 63 n n

n ?1 ? m2



芜湖一中 2015 年高一自主招生考试 数 学 答 题 卷 一、选择题(本大题共 7 个小题,每小题 6 分,共 42 分,每小题只有一个选项正确,把正确的 选项序号填在答题栏中)

2

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

二、填空题(本大题共 7 个小题,每小题 7 分,共 49 分) 8. 11. 14. 三、解答题(本大题共 5 个小题,计 59 分,写出必要的推算或演算步骤) 15. (本小题 10 分)已知 a , b 是一元二次方程 t ? t ? 1 ? 0 的两个实根,解关于 x, y 的方程组
2

9. 12.

10. 13.

?x y ? ? x ?1 ? ?a b ? ? x ? y ? y ?1 ? ?b a

16. (本小题 10 分) 为解决停车难的问题,在如图一段长 56 米的路段开辟停车位,每个车位是 长 5 米宽 2.2 米的矩形,矩形的边与路的边缘成 45°角,那么这个路段最多可以划出多少个 这样的停车位?( 2 ? 1.4 )

3

4

17. (本小题13分)如图,直线 y ? ? x ? 3 与 x 轴, y 轴分别相交于点B、C,经过B、C两点的抛 物线 y ? ax2 ? bx ? c 与 x 轴的另一交点为A,顶点为P,且对称轴是直线 x ? 2 . (1)求该抛物线的函数表达式; (2)连结AC.请问在 x 轴上是否存在点Q,使得以点P,B,Q为顶点的三角形与 ?ABC 相似, 若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

5

18. (本小题 13 分)在 ? ABC 中 , AB ? AC ? 5+1,?B ? 72 ,证明:BC 的边长为正整数。
o

2 19 . (本小题 13 分)若 p 是大于 5 的质数,求 p ? 5 p ? 5 除以 120 得到的余数

?

?

2

芜湖一中 2015 年高一自主招生考试 数 学 答 案 一、选择题(本大题共 7 个小题,每小题 6 分,共 42 分,每小题只有一个选项正确,把正确的 选项序号填在答题栏中) 题 号 答 案 1 A 2 B 3 D 4 A 5 C 6 B 7 B

二、填空题(本大题共 7 个小题,每小题 7 分,共 49 分) 8、 ? ?a 11、 2 9、 0或4 10、 15

12、 52 3+?

13、

1 2

14、

2015

6

三、解答题(本大题共 5 个小题,计 59 分,写出 必要的推算或演算步骤) 15、 (本小题 10 分) 解:因为 a ? b ? 1, ab ? ?1 ,将方程组通分后代入 ab ? ?1 得 ?

? ? bx ? ay ? ? ? x ? 1? ? ?ax ? by ? ? ? y ? 1?

?1? ? 2?

两式相加得 ? a ? b? x ? ? a ? b ? y ? ?2 ? ? x ? y ? ,又因为 a ? b ? 1, 于是 x ? y ? ?1 ,代入(1)式, 得 ?b ? a ?1? x ? ?1? a ,可得 2bx ? ?b ,所以 x ? ? 16、 (本小题 10 分) 解答: 解:如图,

1 1 ,y?? 2 2

BC=2.2×sin45°=2.2×
≈1.54 米,

CE=5×sin45°=5×

≈3.5

米,BE=BC+CE≈5.04,

EF=2.2÷sin45°=2.2÷

≈3.14 米,

(56﹣5.04)÷3.14+1=50.9 6÷3.14+1≈16+1=17(个) . 故这个路段最多可以划出 17 个这样的停车位. 故答案为:17. 17、 (本小题13分)解: (1)? 直线 y ? ? x ? 3 与 x 轴相交于点B,? 当 y ? 0 时, x ? 3 ,? 点B 的坐标为 ?3,0? .

? 点 A 的坐标为 ?1,0? . 又? 抛物线过 x 轴上的A,B两点, 且对称轴为 x ? 2 , 根据抛物线的对称性,

? y ? ? x ? 3 过点C,易知C ?0,3? ,? c ? 3 . 又? 抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 过点 A?1,0?, B?3,0? ,
?a ? b ? 3 ? 0 ?? ?9a ? 3b ? 3 ? 0
解 , 得

?a ? 1 ? ?b ? ?4

? y ? x2 ? 4 x ? 3 .??????????????????5分
(2)连结PB,由? y ? x2 ? 4x ? 3 ? ?x ? 2? ? 1 ,得 P ?2,?1? ,
2

7

设抛物线的对称轴交x轴于点M,在 Rt ?PBM 中, PM ? MB ? 1 ,??PBM ? 45? , PB ? 2 . 由点 B?3,0?, C?0,3? 易得 OB ? OC ? 3 ,在等腰直角三角形 OBC 中, ?ABC ? 45? , 由勾股定理,得 BC ? 3 2 .??????????????????7分 假设在 x 轴上存在点Q,使得以点P,B,Q为顶点的三角形与 ?ABC 相似. ①当

BQ PB BQ 2 ? , ?PBQ ? ?ABC ? 45? 时, ?PBQ∽ ?ABC .即 ,? BQ ? 3 , ? BC AB 2 3 2

? Q1 的坐标是 ?0,0? .??????????????????9分
②当

QB PB 2 QB 2 ? , ?QBP ? ?ABC ? 45? 时, ?QBP ∽ ?ABC .即 ,? QB ? . ? AB BC 3 2 3 2 2 7 ? 7 ? 3 3 ,? Q 的坐标是 ? ? ,0 ? . 2 ?3 ?

? OB ? 3, ? OQ ? OB ? QB ? 3 ?

?∠PBx ? 180? ? 45? ? 135?,∠BAC ? 135?, ?∠PBx ? ∠BAC .

? 点 Q 不可能在 B 点右侧的 x 轴上(无此判断,亦不扣分) .
综上所述, 在 x 轴上存在两点 Q1 ?0,0?, Q2 ? ,0 ? , 能使得以点 P, B, Q 为顶点的三角形与 ?ABC 相 似.????????????????????????13分 18、 (本小题 13 分)

?7 ? ?3 ?

8

19、 (本小题 13 分)

?p 解:

2 2 ? 5 p ? 5? ? ? p 2 ? 5 p ? 5 ? ? 1? ? 1 ? ? p 2 ? 5 p ? 4 ?? p 2 ? 5 p ? 6 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? p ? 1?? p ? 2 ?? p ? 3?? p ? 4 ? ? 1 2

设 ? p ? 1?? p ? 2?? p ? 3?? p ? 4? ? M ,因为 p 是大于 5 的质数, M 是 4 个连续整 数的积,所 以 M 必能被 24 整除。又 p 除以 5 所得的余数只能是 1, 2,3, 4 中的一个,但此时相应的

p ? 1, p ? 2, p ? 3, p ? 4 必有一数是 5 的倍数,故 M 能被 5 整除。因为120 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ,所以
M 能被 120 整除,综上余数是 1

9


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