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宁夏银川一中2014届高三下学期第一次模拟考试 数学(理) Word版含答案


银川一中第一次模拟试题
1.设集合 M={x| A.

C. -1

D. 1

1 ? 2 x ? 4 }, N={x|x-k>0},若 M∩N= ? ,则 k 的取值范围为 2
B. ( 2, +∞) C.( -∞,-1) D. ? ??, ?1 D. -1+i

?x

? 2 ? 且目标函数z ? 3x ? y 的最小值是 5,则 z 的最大值是 8.已知 x, y满足? x ? y ? 4, ?? 2 x ? y ? c ? 0 ?

?2, ???
2

?

A. 10

B. 12

C. 14

D. 15

?1 ? i ? 2.复数
1? i

等于 A. -1-i

B. 1+i

C. 1-i

9.若 a, b, c 均为单位向量, a ? b ? ? A. 2 B.

1 , c ? xa ? yb , ( x, y ? R) ,则 x ? y 的最大值是 2
C. 2 D. 1

3.下列说法正确的是 A 命题 “ ?x ? R 使得 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ”的否定是: “ ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ” B. a? R,“

3

10. 将函数 f (x) =3sin(4x+

1 <1”是 “a>1”的必要不充分条件 a

? ? )图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍, 再向右平移 个单位长度, 6 6 ? 6 ? 3
2? 3

得到函数 y=g(x)的图象.则 y=g(x)图象的一条对称轴是 A. x=

C. “ p ? q 为真命题 ”是 “ p ? q 为真命题 ”的必要不充分条件 D.命题 p: “ ?x ? R, sin x ? cos x ?

? 12

B. x=

C. x=

D. x=

2 ”,则 ? p 是真命题
a

11.某四面体的三视图如图所示,正视图、侧视图、俯视图都是边 长为 1 的正方形,则此四面体的外接球的体积为

4.等差数列 {an } 中, a5 ? a6 ? 4 ,则 log2 (2a1 ? 2a2 ??? 2 10 ) ? A. 10 B. 20 C. 40 D. 2+log2 5

A.

5 . 如 图,长 方形的 四个 顶点为 O(0,0), A(4,0), B(4,2), C (0,2) , 曲线

4? 3

B. 3?

C. ?

D.

3 ? 2

y ? x 经过点 B .现将一质点随机投入长方形 OABC 中,则质点落
在图中阴影区域的概率是 A.

12.在直线 y ? ?2 上任取一点 Q,过 Q 作抛物线 x 2 ? 4 y 的切线,切点分别为 A、 B,则直线 AB

5 12

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 4

恒过的点是 A. ( 0, 1)
n

B. ( 0, 2) C. ( 2, 0) D. ( 1, 0)

6.要从 10 名女生和 5 名男生中选出 6 名学生组成课外兴趣 小组学习,则按分层抽样组成此课外兴趣小组的概率为 A.

2? ? 13.若二项式 ? x ? 2 ? 的展开式共 7 项,则该展开式中的常数项为 ___________. x ? ?
14.在△ ABC 中, AB= 3 , AC= 1, B= 30° ,则△ ABC 的面积等于 15 .设双曲线 .

A ?A 6 C15
4 10

2 5

B.

C A

6 15 6 15

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , 过 F1 的直线 l 交双曲线左支于 A, B 两点 , 则 4 3

C.

3 3 C10 ? C5 6 C15

D.

4 C10 ? C52 6 C15

BF2 ? AF2 的最小值为____________.
16.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , an ? 2Sn?1 (n ? 2) ,则 an ? 17 设函数 f ( x ) ? sin( ? x ? .

7.执行如图的程序框图,那么输出 S 的值是 A. 2 B.

1 2

π ? ) ? 2cos 2 x ? 1(? ? 0). 直线 y ? 3 与函数 y ? f ( x ) 图象相邻两交点的 6 2
B ,0 ) 2

距离为 π . (Ⅰ) 求 ? 的值; (Ⅱ) 在△ ABC 中, 角 A 、B 、C 所对的边分别是 a 、b 、c , 若点 (

是函数 y ? f ( x ) 图象的一个对称中心,且 b ? 3 ,求△ ABC 周长的取值范围 . 18 如图,在梯形 ABCD 中 , AB ∥ CD , AD ? DC ? CB ? a ,

?ABC ? 60? , 平面 ACFE ? 平面 ABCD ,四边形 ACFE 是矩形,

M E

F

AE ? a , 点 M 在线段 EF 上.
(1)求证 : BC ? 平面 ACFE ; (2)当 EM 为何值时, AM ∥平面 BDF ?证明你的结论; (3)求二面角 B ? EF ? D 的平面角的余弦值 . D

C A B

21. (本小题满分 12 分) 如图,椭圆 19 为迎接 2012 年伦敦奥运会,在著名的海滨城市青岛举行了一场奥运选拔赛 ,其中甲、乙两名运 动员为争取最后一个参赛名额进行的 7 轮比赛的得分如茎叶图所示: ( 1)若从甲运动员的每轮比赛的得分中任选 3 个不低于 80 且不高于 90 的得分,求甲的三个得 分与其每轮比赛的平均得分的差的绝对值都不超过 2 的概率; ( 2)若分别从甲、乙两名运动员的每轮比赛不低于 80 且不高于 90 的得分中任选 1 个,求甲、 乙两名运动员得分之差的绝对值 ? 的分布列与期望 . 甲 8 5 4 5 4 1 1 7 8 9 乙 9 4 4 6 7 4 1

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点是 a 2 b2

F( 1, 0) ,O 为坐标原点. ( 1)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成 、正三角形,求椭圆的方程; ( 2)设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、 B 两点 .若直线 l 绕点 F 任意转动,则有 |OA|2 +|OB|2 <|AB|2 , 求 a 的取值范围 .

20 已知函数 f ( x ) 是奇函数, f ( x ) 的定义域为 (??, ??) .当 x ? 0 时, f ( x ) ?

ln( ? ex ) .(e x

23 已知圆锥曲线 C: ?

? x ? 2 cos? ? y ? 3 sin ?

(? 为参数)和定点 A(0, 3) , F1 , F2 是此圆锥曲线的左、

为自然对数的底数 ). (1)若函数 f ( x ) 在区间 (a , a ? )(a ? 0) 上存在极值点,求实数 a 的取值范围;

1 3

右焦点。 (Ⅰ )以原点 O 为极点,以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求直线 AF2 的极坐标方程; (Ⅱ)经过点 F1 ,且与直线 AF2 垂直的直线 l 交此圆锥曲线于 M、N 两点,求 || MF1 | ? | NF1 || 的值. 24 已知函数 f ( x) ?| x ? 1| 。 (Ⅰ )解不等式 f ( x) ? f ( x ? 4) ? 8 ; (Ⅱ)若 | a |? 1,| b |? 1 ,且 a ? 0 ,求

k (2)如果当 x≥1 时,不等式 f ( x ) ? 恒成立,求实数 k 的取值范围 . x ?1

证: f (ab) ?| a | f ( ) .

b a

二.填空题: 13.答案:60 三.简答题 17、 14、 【答案】

3 3 或 2 4

15、11

16.答案: ?

?1 ?2 ? 3

( n ? 1)
n?2

( n ? 2)

?ABC 周长为
a+b+c= 3 ? 2 3 (sin A ? sin C ) ? 3 ? 6 sin( A ? 18.(本题满分 12 分) ( Ⅰ ) 在 梯 形

?
6

)( 0 ? A ?

2 ? ) ? (6, 9? ………12 分 3

F ABCD 中 , ? AB // CD , M AD ? DC ? CB ? a, ?ABC ? 60? E ABCD 是 等 腰 梯 形 , 且 四 边 形 ?DCA ? ?DAC ? 30? , ?DCB ? 120? ? ?ACB ? ?DCB ? ?DCA ? 90? ? AC ? BC 又 ? 平 面 D C ACFE ? 平 面 ABCD , 交 线 为 AC , ? BC ? 平 面 N ACFE ………4 分 B A 3 a 时, AM // 平面 BDF , (Ⅱ)解法一、当 EM ? 3 在梯形 ABCD 中,设 AC ? BD ? N ,连接 FN ,则 CN : NA ? 1 : 2 3 ? EM ? a ,而 EF ? AC ? 3a ? EM : MF ? 1 : 2 , ? MF // AN ,? 四边形 ANFM 是平 3 行 四 边 形 , ? AM // NF 又 ? NF ? 平 面 BDF , AM ? 平 面 BDF ? AM // 平 面

BDF

………8 分

银川一中 2014 届高三第一次模拟数学(理科)试卷参考答案 高考资源网 一、选择题: 1.A. 2. D.3. B. 4B.5. C 6 . D.7. B. 8.A.9. A . 10. C. 11.D.12. B .

3 a 时, AM // 平面 BDF ,由(Ⅰ)知,以点 C 为原点, CA, CB, CF 所在直 3 3a 1 ,? a,0) , 线为坐标轴,建立空间直角坐标系, 则 C (0,0,0) , B(0, a,0) , A( 3a,0,0) , D( 2 2
解法二:当 EM ?

F (0,0, a) , E( 3a,0, a) ? AM ? 平面 BDF , ? AM // 平面 BDF ?

AM 与 FB 、 FD 共面,也等价于存在实数 m 、 n ,
使 AM ? m FB ? n FD , 设 EM ? t EF .? EF ? (? 3a,0,0) , EM ? (? 3at,0,0)
? ? ? ? ?

?

?

?

3a 1 ,? a,0) , F (0,0, a) , E( 3a,0, a) 2 2 过 D 作 DG ? EF ,垂足为 G . D(
令 FG ? ? FE ? ? ( 3a,0,0) ? ( 3?a,0,0)
? ? ? ? ?

?

?

CG ? CF ? FG ? ( 3a? ,0, a) ,

DG ? CG ? CD ? ( 3?a ?

?

?

?

? ? ? ? ? ? 3 1 1 1 a,? a,?a) , FB ? (0, a,?a) , 由 DG ? EF 得, DG ? EF ? 0 ,? ? ? ? DG ? (0, a, a ) , 2 2 2 2 ? 1 ? 3 即 GD ? (0,? a,?a ) ? BC ? AC, AC // EF, ? BC ? EF ,? BF ? EF an ?? 3at ? 2 2 ? ? ? ? 1 1 3 1 ? ? 二面角 B ? EF ? D 的大小就是向量 GD 与向量 FB 所夹的角. ? FB ? (0, a,?a) 从而要使得:(? 3at,0, a) ? m(0, a,?a) ? n( 需 ?0 ? m a ? an , 解得 t ? a,? a,?a) 成立, ? ? 3 2 2 2 ? ? ? GD ? FB 10 a ? ? am ? an ? cos ? GD, FB ?? ? 即 二 面 角 B ? EF ? D 的 平 面 角 的 余 弦 值 为 ? ? ? 10 GD ? FB ? 3 a 时, AM // 平面 BDF ……8 分 ?当 EM ? 10 F . ………12 分 3 G 10 (Ⅲ)解法一、取 EF 中点 G , EB 中点 H ,连结 DG , 19.(本小题满分 12 分) E GH , DH 【解析】 (1 )有茎叶图可知,甲运动员七轮比赛的得分情况为:78 ,81,84,85 ,84,85,91.所 ? DE ? DF,? DG ? EF 以甲每轮比赛的平均得分为 H ? BC ? 平面 ACFE ? BC ? EF 78 ? 81 ? 84 ? 85 ? 84 ? 85 ? 91 x1 ? ? ?84 , 显然甲运动员每轮比赛得分中不低于 80 且不高于 90 ? EF ? GH C 又 ? EF ? FC , ? EF ? FB , 又 ? GH // FB , D 7 2 2 2 ? BE ? DE ? DB 的得分共有 5 个,分别为 81,84,85,84,85,其中 81 分与平均得分的绝对值大于 2,所求概率 ? ?DGH 是二面角 B ? EF ? D 的平面角 . B A C3 2 ?BDE 在 P? 4 ? 。………6 分 3 C 5 2 2 5 中, DE ? 2a, DB ? 3a, BE ? AE ? AB ? 5a (2)设甲、乙两名运动员的得分分别为 x, y ,则得分之差的绝对值为 ? ? x ? y 。显然,由茎叶 5 5 2 ? ?EDB ? 90? , ? DH ? a . 又 DG ? a, GH ? a . ? 在 ?DGH 中 , 由 余 弦 定理 得 图可知, ? 的可能取值为 0,1,2,3,5,6. 2 2 2 1 1 C2 C3 6 10 P ? ? 0 ? ? ; 当 =0 时, ,故 ? x ? y ? 84 ? ? 1 1 cos?DGH ? , C5C5 25 10 1 1 C2 C4 8 10 P ? ? 1 ? ? ; ? y ? 86 当 =1 时, 或 ,故 x ? 85, y ? 84 ? ? B ? EF ? D 即二面角 的平面角的余弦值为 .………12 分 1 1 C5C5 25 10 2C1C1 4 ; 当 ? =2 时, x ? 84, y ? 86 或 x ? 85, y ? 87 ,故 P ?? ? 2 ? ? 12 11 ? z C5C5 25 F 解法二:由(Ⅰ) 知,以点 C 为原点, CA, CB, CF C1C1 ? C1C1 1 所在直线为坐标轴 ,建立空间直角坐标系,则 E 当 ? =3 时, x ? 81, y ? 84 或 x ? 84, y ? 87 ,故 P ?? ? 3? ? 1 3 1 1 2 1 ? ; C5C5 5 C (0,0,0) , B(0, a,0) , A( 3a,0,0) ,

? AM ? AE? EM ? (? 3at,0, a) 又 FD ? (

?

?

?

?

3 1 a, a, a) 2 2

D x A

C

O B y

当 ? =5 时, x ? 81, y ? 86 ,故 P ?? ? 5? ? 当 ? =6 时, x ? 81, y ? 87 ,故 P ?? ? 6 ? ?

1 1 C1 C1 1 ? ; 1 1 C5C5 25 1 1 C1 C1 1 ? ; 所以 ? 的分布列为: 1 1 C5C5 25

OF ?

?

0

1

2

3

5

6

3 2b 3 , 解得b= 3. a2 ? b2 ? 1 ? 4, MN , 1 ? 2 3 2 2 2 x y 椭圆方程为 ? ? 1. ………6 分 4 3 (Ⅱ) 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ).

1 6 8 4 1 1 5 25 25 25 25 25 6 8 4 1 1 1 42 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 5 ? ? 6 ? ? . ………12 分 25 25 25 5 25 25 25

(ⅰ)当直线 AB 与 x 轴重合时,

P

OA ? OB ? 2a 2 , AB ? 4a 2 (a 2 ? 1), 因此,恒有 OA ? OB ? AB .
2 2 2

2

2

2

………8 分

20. (本小题满分 12 分) 解:x>0 时, ( 1 ) 当 x>0 时 , 有

f ( x ) ? ? f ( ? x) ?

ln(ex) 1 ? ln x ? x x

………3 分

f ?( x) ? 0 ? ln x ? 0 ? x ? 1 所以 f ( x) 在 (0, 1) 上单调递增, 在 (1, ?) 上单调递减, 函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得唯一的极值. 由 题意 a ? 0 ,且 a ? 1 ? a ? 1 ,解得所求实数 a 的取值范围为 2 ? a ? 1 …6 分 3 3 (2)当 x ? 1 时, f ( x) ? k ? 1 ? ln x ? k ? k ? ( x ? 1)(1 ? ln x) x ?1 x x ?1 x ( x ? 1)(1 ? ln x ) 令 g ( x) ? ( x ? 1) ,由题意, k ? g ( x) 在 ?1, ?? ? 上恒成立 ……8 分
x

1 ? x ? (1 ? ln x) ?1 ln x , f ?( x) ? x ?? 2 x2 x

f ?( x) ? 0 ? ln x ? 0 ? 0 ? x ? 1 ;

x2 y 2 ( ⅱ ) 当直线 AB 不与 x 轴重合时,设直线 AB 的方程为: x ? my ? 1, 代入 2 ? 2 ? 1, 整理得 a b 2 2 2 2 2b m b ?a b (a2 ? b2m2 ) y 2 ? 2b2my ? b2 ? a2b2 ? 0, y1 ? y2 ? ? 2 2 2 , y1 y2 ? 2 2 2 因 恒 有 a ?b m a ?b m 2 2 2 OA ? OB ? AB ,所以 ? AOB 恒为钝角.即 OA OB ? ( x1, y1 ) ( x2 , y2 ) ? x1x2 ? y1 y2 ? 0
恒 成 立 .

x1x2 ? y1 y2 ? (my1 ? 1)(my2 ? 1) ? y1 y2 ? (m2 ? 1) y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ? 1

g ?( x) ?

x 1 令 h( x) ? x ? ln x( x ? 1) ,则 h?( x) ? 1 ? ? 0 ,当且仅当 x ? 1 时取等号. x 所以 h( x) ? x ? ln x 在 ?1, ?? ? 上单调递增, h( x) ? h(1) ? 1 ? 0
因此, g ?( x) ? h( x) ? 0 g ( x) 在 ?1, ?? ? 上单调递增, g( x)min ? g(1) ? 2 .……10 分 x2 所以 k ? 2 .所求实数 k 的取值范围为 ? ??, 2 ? ………12 分

?( x ? 1)(1 ? ln x)?? ? x ? ( x ? 1)(1 ? ln x) ? x? ? x ? ln x
x
2 2

(m 2 ? 1)(b 2 ? a 2b 2 ) 2b 2 m 2 ? ?1 a 2 ? b2 m2 a 2 ? b2 m2 ………10 分 ? m 2 a 2b 2 ? b 2 ? a 2b 2 ? a 2 ? ? 0. a 2 ? b2 m2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 又 a ? b m ? 0 ,所以 ?m a b ? b ? a b ? a ? 0 对 m ? R 恒成立,即 m a b ? a ? b ? a b 2 2 2 2 2 2 2 对 m ? R 恒成立,当 m ? R 时,m a b 最小值为 0, 所以 a ? b ? a b ? 0 , a2 ? b2 (a2 ? 1) ? b4 , ?
因为∵a ? 0, b ? 0,∴a ? b2 ? a2 ?1 ,即 a ? a ? 1 ? 0 , 解得 a ?
2

1? 5 1? 5 或a? ( 舍去 ),即 2 2

a?

1? 5 , 2 1? 5 , ??) .………12 分 2

综合(i)(ii),a 的取值范围为 (

22.(本题满分 10 分)选修 4—1 几何证明选讲: 22. (Ⅰ)? PE 、 PB 分别是⊙ O2 的割线,

? PA ? PE ? PD ? PB



…………2 分

又? PA 、 PB 分别是⊙ O1 的切线与割线,

21、 (本小题满分 12 分) 解 : ( Ⅰ ) 设 M , N 为 短 轴 的 两 个 三 等 分 点 , △ MNF 为 正 三 角 形 , 所 以

? PA2 ? PC ? PB ② …………4 分 由①,②得? PA ? PD ? PE ? PC …………5 分 (Ⅱ)连接 AC 、DE ,设 DE 与 AB 相交与点 F ? BC 是⊙ O1 的直径,? ∠ CAB ? 90? ? AC 是⊙ O2 的切线.

…………6 分

由(Ⅰ)知,

PA PC ? ,? AC // ED ? AB ? DE , ?CAD ? ?ADE PE PD ? AC 是⊙ O2 的切线. ? ?CAD ? ?AED ? AD ? AE
23.(本题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

…………8 分 …………10 分

x2 y2 轨迹为椭圆, 其焦点 F1 (?1,0), F2 (1,0) , ? ? 1, k AF2 ? ? 3 ,AF2 : y ? ? 3( x ? 1) 4 3 ? 3 即 AF2 : ? sin ? ? ? 3 cos? ? 3 ,即 ? sin(? ? ) ? …………5 分 3 2 3 (Ⅱ)由(Ⅰ) k AF2 ? ? 3 ,? l ? AF2 , ?l 的斜率为 ,倾斜角为 30? , 3 ? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 (t 为参数) 所以 l 的参数方程为 ? ?y ? 1 t ? 2 ?
23. (Ⅰ) C: 代入椭圆 C 的方程中,得:

13t 2 ? 12 3t ? 36 ? 0 因为 M、N 在 F1 的异侧
|| MF1 | ? | NF1 ||?| t1 ? t2 |? 12 3 13
…………10 分

24.(本题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 -2x-2,x<-3, ? ? -3≤x≤1, 24.(Ⅰ)f (x)+f (x+4)=| x-1|+|x+3|=?4, ? 2 x + 2 , x>1. ? 当 x<-3 时,由-2x-2≥8,解得 x≤-5; 当-3≤x≤1 时,f (x)≤8 不成立; 当 x>1 时,由 2x+2≥8,解得 x≥3. 所以不等式 f (x)≤4 的解集为{x|x≤-5,或 x≥3}. (Ⅱ)f (ab)>|a|f (

…………5 分 ……………6 分

b )即|ab-1|>|a-b|. a

因为|a|<1, |b|<1, 所以|ab-1|2 -|a-b |2 =(a2 b2 -2ab+1)-(a2 -2ab+b2 )=(a2 -1)(b2 -1)>0, 所以|ab-1| >|a-b|. 故所证不等式成立. ……………10 分


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