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2010年浙江省高中数学竞赛试卷. doc


2010 年浙江省高中数学竞赛试卷

cos4 x ? sin 4 x ? sin 2 x cos2 x 的值为( sin 6 x ? cos6 x ? 2 sin 2 x cos2 x A. 1 B. sin x ? cos x C. sin x cos x D. 1+ sin x cos x p 2 2. 若 p : ( x ? x ? 1) x ? 3

? 0, q : x ? ?2 ,则 是 q 的(
1. 化简三角有理式 A. 充分而不必要条件 件 3. 集合 P={ x x ? R, x ? 3 ? x ? 6 ? 3 },则集合 CR P 为( A. {x x ? 6, 或x ? 3} C. {x x ? ?6, 或x ? 3} 4. B. {x x ? 6, 或x ? ?3} D. {x x ? ?6, 或x ? ?3} B. 必要而不充分条件 C. 充要条件



) D. 既不充分也不必要条 )

设 a , b 为两个相互垂直的单位向量。已知 OP = a ,OQ = b ,OR =r a +k b .若△PQR 为等边三角形,则 k,r 的取值为( )

?1 ? 3 2 1? 3 C. k ? r ? 2
A. k ? r ? 5. ( 6. ) A.60°

1? 3 1? 3 ,r ? 2 2 ?1 ? 3 ?1 ? 3 D. k ? ,r ? 2 2 在正三棱柱 ABC— A1B1C1 中,若 AB= 2 BB1,则 CA1 与 C1B 所成的角的大小是
B. k ? 设 ?an ? ,?bn ? 分别为等差数列与等比数列,且 a1 ? b1 ? 4, a4 ? b4 ? 1,则以下结论 ) B. a3 ? b3
? 15

B.75°

C.90°

D.105°

正确的是( A. a2 ? b2 7. 8.

C. a5 ? b5

D. a6 ? b6 )

若 x ? R , 则(1 ? 2 x) 的二项式展开式中系数最大的项为( A.第 8 项 B. 第 9 项 C. 第 8 项和第 9 项 D. 第 11 项 设 f ( x) ? cos

x 1 1 1 ,a ? f (log e ), b ? f (log? ), c ? f (log 1 2 ) , 则下述关系式正 5 ? e e ?
D. b ? a ? c )

确的是( ) 。 a ? b ? c A. B. b ? c ? a C. c ? a ? b 9. 下面为某一立体的三视图,则该立体的体积为(

A. 正视图: 半径为 1 的半圆以及高为 1 的矩形 侧视图: 半径为 1 的 以及高为 1 的矩形

1 圆 4

俯视图: 半径为 1 的圆

3? 2

B.

2? 3

C.

4? 3

D.

3? 4
) 方 程

10. 设有算法如下: 如果输入 A=144, B=39,则输出的结果是( A. 144 B. 3 C. 0 D. 12 11. 满 足 数解为 。

x ? 2009 ? 2 x ? 2010 ? x ? 2009 ? 2 x ? 2010 ? 2 所有实

x x ? 3cos 的最小正周期为 . 2 3 13. 设 P 是圆 x2 ? y 2 ? 36 上一动点,A 点坐标为 ? 20,0? 。当 P 在圆上运动时,线段 PA 的
12. x ? R, 函数 f ( x) ? 2sin 中点 M 的轨迹方程为 . 14. 设锐角三角形 ABC 的边 BC 上有一点 D,使得 AD 把△ABC 分成两个等腰三角形,试求 △ABC 的最小内角的取值范围为

1 ,且 ?1 ? w ? 2 ,则 z 的实部取值范围为 . z 16. 设 f ( x) ? k ( x2 ? x ? 1) ? x4 (1 ? x)4 。如果对任何 x ? [0,1] ,都有 f ( x) ? 0 ,则 k 的最
15. 设 z 是虚数, w ? z ? 小值为 . 17. 设 p, q ? R , f ( x) ? x2 ? p | x | ?q 。当函数 f ( x) 的零点多于 1 个时, f ( x) 在以其最 小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值为 18. 设数列 , , , , , ,?, ,

1 1 2 1 2 3 1 2 1 3 2 1

1 2 k ,?, ,? , k k ?1 1

问: (1)这个数列第 2010 项的值是多少; (2)在这个数列中,第 2010 个值为 1 的项的序号是多少. 19. 设有红、黑、白三种颜色的球各 10 个。现将它们全部放入甲、乙两个袋子中,要求每 个袋子里三种颜色球都有,且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。问共有多少种放法。

x2 ? y 2 ? 1(a ? 1) , Rt ?ABC 以 A (0,1)为直角顶点,边 AB、BC 与椭圆 a2 27 交于两点 B、C。若△ABC 面积的最大值为 ,求 a 的值。 8 BD CE AF 21. 设 D, E, F 分别为△ABC 的三边 BC, CA, AB 上的点。 记? ? 。 ,? ? ,? ? BC CA AB
20. 已知椭圆 22. (1)设 a ? 0 ,平面上的点如其坐标都是整数,则称之为格点。今有曲线 y ? ax3 过格 点(n,m) ,记 1 ? x ? n 对应的曲线段上的格点数为 N。证明:
n m ? k? 3 3 ? N ? ?? ak ? ? ? ? mn 。 ? ? ? k ?1 k ?1 ? a ?

(2) 进而设 a 是一个正整数,证明:

??

? k? a 2 3 ? ? n ? (n ? 1)n (3n ? 1) 。 a 4 k ?1 ? ?
an3

(注 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数)


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