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重庆市第十八中学学高二数学下学期期中试题文-课件


重庆市第十八中学 2015—2016 学年度下期高二半期考试 数学试题(文史类)
考试时间:120 分钟; 一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1、已知复数 z ? A. 1 - i

2 ,则 z ? ( ) 1? i B. 1 ? i

C. 2 ? 2i

D. 2 - 2i



2、若曲线 y ? x 2 ? ax ? b 在点(0,1)处的切线方程是 x ? y ? 1 ? 0 ,则( ) A.a=﹣1,b=﹣1 B.a=﹣1,b=1 C.a=1,b=﹣1 D.a=1,b=1
10 10

3、观察下列各式: a ? b ? 1, a 2 ? b2 ? 3, a3 ? b3 ? 4, a 4 ? b4 ? 7, a5 ? b5 ? 11 ,...,则 a ? b A.28 B.76 C.123 D.199 2 6 3 4 4 5 ) D.1

?( )

4、已知 x、y 的取值如下表所示:

x y

如果 y 与 x 呈线性相关,且线性回归线方程为 y ? bx ? A.

?

13 ,则 b=( 2

1 3

B. -

1 2

C.

1 2

(0, ? ?) 5 、有一段“三段论”推理是这样的: 因为指数函数 y ? a x (a ? 0且a ? 1) 在 上是增函数,

?1? ?1? (0, ? ?) 上是增函数.以上推理中 ( y ? ? ? 是指数函数,所以 y ? ? ? 在 ?2? ?2?
A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.结论正确

x

x



2 6、若点 P 是曲线 y ? x ? ln x 上任意一点,则点 P 到直线 y ? x ? 2 的最小距离为 (

)

A .1
3

B. 2
2

C.

2 2

D. 3

7 、若函数 f ( x) ? x ? ax ? 1 在(0,2)内单调递减,则实数 a 的取值范围为( A.a≥3 B.a=3 C.a≤3 D.0<a<3

)

8、执行如右图所示的程序框图,若输入 n 的值为 3,则输出 s 的值是( ) A.1 B.2 C.4 D.7

2 9、已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? 1 的导数为 f ?( x ) , f ?(0) ? 0 , f ( x) 与 x 轴恰

有一个交点,则

f (1) 的最小值为( f ?(0)
5 2
C.2



A.3

B.

D.

3 2
1

1 3 1 2 ax ? ax ? 2ax ? 2a ? 1 的图象经过四个象限,则实数 a 的取值范围是( ) 3 2 6 3 8 3 8 1 6 3 A. ? ? a ? B. ? ? a ? ? C. ? ? a ? ? D. ? ? a ? ? 5 16 5 16 5 16 5 16
10、函数 f ( x) ? 11、已知函数 f ( x) ? ? ln x ? x ? h ,在区间 ? , e? 上任取三个实数 a,b, c 均存在以 f ( a ) , f (b) , f (c) ?e ? 为边长的三角形,则实数 h 的取值范围是( ) A. ?- ?, -1? B. ?- ?,e ? 3? C. ?- 1 , ? ?? D. ?e ? 3, ? ??

?1 ?

12、如图,某时刻点 P 与坐标原点 O 重合,将边长为 2 的等边三角形 PAB 沿 x 轴正方向滚动,设顶点 P(x, y)的轨迹方程是 y=f(x) ,对任意的 t∈[1,2],函数 g ( x) ? x 3 ? x 2 ?? 上不是单调函数,则 m 的取值范围为( )

m? ? f ?4? ? f (4) ? ? 在区间(t,3) x 2? ?

A. (﹣

,﹣9)

B. (﹣∞,﹣



C. (﹣

,﹣5)

D. (﹣9,﹣5)

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、函数 y=f(x)的图像在点 M(1, f(1))处的切线方程是 y=3x-2,则 f(1)+ f ′(1)= 14、设 f ( x ) ? x ln x ,若 f ?( x0 ) ? 2 ,则 x0 ? . .

1 3 1 1 5 1 1 1 7 ? ,1 ? 2 ? 2 ? ,1 ? 2 ? 2 ? 2 ? , 2 2 2 2 3 3 2 3 4 4 1 1 1 根据以上式子可以猜想: 1 ? 2 ? 2 ? ... ? . ? 2 3 2015 2
15、观察下列式子: 1 ? 16、已知 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 1 ,求 a ? b 的范围
4 4

.

三.解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17、 (本小题满分 12 分)已知三点(3,10),(7,20),(11,24)的横坐标 x 与纵坐标 y 具有线性关系,求 其线性回归方程.

? (参考公式: b ?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx 2

?x
i ?1

? ? , a ? y ? bx )

2 i

18、 (本小题满分 12 分) 为了研究玉米品种对产量的影响, 某农科院对一块试验田种植的一批玉米共 10000 株的生长情况进行研究,现采用分层抽样方法抽取 50 株作为样本,统计结果如下: 高茎 圆粒 皱粒 合计 11 13 24 矮茎 19 7 26 合计 30 20 50
2

(1)现采用分层抽样的方法,从这个样本中取出 10 株玉米,则选取的圆粒玉米有多少株?

(2)根据对玉米生长情况作出的统 计,是否能在犯错误的概率不超过 0.050 的前提下认为玉米的圆粒与玉 米的高茎有关?(下面的临界值表和公式可供参考) P(K ≥k) k
2

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

K2 ?

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

19、(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ? x3 ? ax2 ? bx ? c 图象上的点 P(1,?2) 处的切线方程为

y ? ?3x ? 1 .
(1)若函数 f(x)在 x=﹣2 时有极值,求 f(x)的表达式 (2)若函数 f(x)在区间[﹣2,0]上单调递增,求实数 b 的取值范围.
x 2 20、 (本小题满分 12 分)设 f ( x) ? e ( e 为自然对数的底数) , g ( x) ? x ? x ,记 h( x) ? f ( x) ? g ( x) .

(1) h?( x) 为 h( x) 的导函数,判断函数 y ? h?( x) 的单调性,并加以证明; (2)若函数 y ? h( x) ? a ?1 有两个零点,求实数 a 的取值范围. 21、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? 处的切线过点(3,0) . (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)与函数 g ( x ) ? a ? 2 ? x ?

a ln x ? b (其中 a≤2 且 a≠0) ,函数 f(x)在点(1,f(1) ) x

2 的图象在(0,2]有且只有一个交点,求实数 a 的取值范围. x

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,若多做,则按所做的第一题计分。作答时请写清题号。 22、已知函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 5 . (1)若 a ? 1 ,解不等式: f ( x) ? 2 x ? 5 ; (2)若 f ( x) ? 8 恒成立,求 a 的取值范围. 23、已知直线 l 的参数方程为 ?

? x ? ?4t ? a ( t 为参数),在直角坐标系 xOy 中,以 O 点为极点, x 轴的非 ? y ? 3t ? 1
2

负半轴为极轴,以相同的长度单位建立极坐标系,设圆 M 的方程为 ? ? 6? sin ? ? ?8 . (1)求圆 M 的直角坐标方程;

(2)若直线 l 截圆 M 所得弦长为 3 ,求实数 a 的值.
3

24、如图,在 ?ABC 中, CD 是 ?ACB 的角平分线, ?ADC 的外接圆交 BC 于点 E , AB ? 2 AC .

重庆市第十八中学 2015—2016 学年度下期高二半期考试 文数参考答案 一、单项选择 1 A 二、填空题 13 、4. 三、解答题 17、解: x =7, y =18,
3

2 D

3 C

4 B

5 A

6 B

7 A

8 C

9 A

10 D

11 D

12 A

14、 e

15、

4029 2015

16、 ? , 1?

?1 ? ?8 ?

?x
i ?1

3

2 i

=179,

? x y =434,
i ?1 i i

3

?? b

? x y ? 3x y
i ?1 3 i i

?x
i ?1

2 i

? 3x

2

?

434 ? 3 ? 7 ?18 7 7 23 ? ? y ? bx =18- ×7= . ? ,a 2 4 4 179 ? 3 ? 7 4
7 23 x+ .(或 ? y =1.75x+5.75) 4 4

∴回归直线方程为 ? y= 18、解:(1) 10 ?

30 ? 6株 . 50
矮茎 19 7 26 合计 30 20 50

(2)根据已知列联表: 高茎 圆粒 皱粒 合计
2

11 13 24

所以 K ?
2

50 ? (11? 7 ? 13 ?19)2 ? 3.860 ? 3.841 . 30 ? 20 ? 24 ? 26

又 p( K ≥ 3.841) ? 0.050 ,因此能在犯错误的概率不超过 0.050 的前提下认为玉米的圆粒与玉米的高茎 有关. 2 19、解:f′(x)=﹣3x +2ax+b, 因为函数 f(x)在 x=1 处的切线斜率为﹣3, 所以 f′(1)=﹣3+2a+b=﹣3,即 2a+b=0, 又 f(1)=﹣1+a+b+c=﹣2 得 a+b+c=﹣1. (1)函数 f(x)在 x=﹣2 时有极值,所 以 f'(﹣2)=﹣12﹣4a+b=0, 解得 a=﹣2,b=4,c=﹣3, 3 2 所以 f(x)=﹣x ﹣2x +4x﹣3. 2 (2)因为函数 f(x)在区间[﹣2,0]上单调递增,所以导函数 f′(x)=﹣3x ﹣bx+b 在区间[﹣2,0]上的值恒大于或等于零,
4



得 b≥4,所以实数 b 的取值范围为[4,+∞)

20、解:(Ⅰ) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? e x ? x2 ? x , ∴ h?( x) ? e x ? 2 x ? 1 , 令 F ( x) ? h?( x) ,则 F ?( x) ? e x ? 2 ? 0 , ∴ F ( x ) 在 (??, ??) 上单调递增,即 h?( x ) 在 (??, ??) 上单调递增. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 h?( x ) 在 (??, ??) 上单调递增,而 h?(0) ? 0 , ∴ h?( x) ? 0 有唯一解 x ? 0 , x, h?( x), h( x) 的变化情况如下表所示: x

(??, 0)
- 递减

0 0 极小值

(0, ??)
+ 递增

h?( x)
h( x )

又∵函数 y ?| h( x) ? a | ?1 有两个零点, ∴方程 | h( x) ? a | ?1 ? 0 有两个根,即方程 h( x) ? a ? 1 有两个根 而 a ? 1 ? a ? 1 ,?a ?1 ? (h( x))min ? h(0) ? 1且a ? 1 ? (h( x))min ? h(0) ? 1 , 解得 0 ? a ? 2 . 所以,若函数 y ?| h( x) ? a | ?1 有两个零点,实数a的取值范围是(0,2) 21、解: (1) ,

∴f(1)=b, ∴y﹣b=(a﹣b) (x﹣1) , ∵切线过点(3,0) , ∴b=2a, ∴

=a﹣b,



①当 a∈(0,2]时, ②当 a∈(﹣∞,0)时, (2)等价方程
2

单调递增, 单调递减, 在(0,2]只有一个根,

单调递减, 单调递增.

即 x ﹣(a+2)x+alnx+2a+2=0 在(0,2]只有一个根, 2 令 h(x)=x ﹣(a+2 )x+alnx+2a+2,等价函数 h(x)在(0,2]与 x 轴只有唯一的交点, ∴ ①当 a<0 时,h(x)在 x∈(0,1)递减,x∈(1 ,2]的递 增, 当 x→0 时,h(x)→+∞,要函数 h(x)在(0,2]与 x 轴只有唯一的交点, ∴h(1)=0 或 h(2)<0, ∴a=﹣1 或 .
5

②当 a∈(0,2)时,h(x)在 ∵ ∵h(e )=e ﹣e ﹣2<0, ∴h(x)在
﹣4 ﹣8 ﹣4

递增,

的递减,x∈(1,2]递增,

,当 x→0 时,h(x)→﹣∞,

与 x 轴只有唯一的交点,

③当 a=2,h(x)在 x∈(0,2]的递增, ﹣4 ﹣8 ﹣4 ∵h(e )=e ﹣e ﹣2<0,或 f(2)=2+ln2>0, ∴h(x)在 x∈(0,2]与 x 轴只有唯一的交点, 故 a 的取值范围是 a=﹣1 或 或 0<a≤2.

22、解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 2 x ? 5 ? x ? 1 ? x ? 5 ? (2x ? 4)(x ? 1 ? x ? 5) ? 0 解得: x ? ?2 ,所以原不等式解集为 x x ? ?2

?

?

(Ⅱ) f ( x) ? x ? a ? x ? 5 ? x ? a ? ( x ? 5) ? a ? 5 ,若 f ( x) ? 8 恒成立, 只需: a ? 5 ? 8 解得: a ? 3 或 a ? ?13 23、解: (1)∵ ? 2 ? 6? si n ? ? ?8 ? x2 ? y2 ? 6 y ? ?8 ? x2 ? ( y ?3 )2 ? 1 ,∴圆 M 的直角坐标方程为

? x ? ?4t ? a (2)把 直线 l 的参数方程 ? ( t 为参数)化为普通方程得: x2 ? ( y ? 3)2 ? 1; ? y ? 3t ? 1
3x ? 4 y ? 3a ? 4 ? 0 ,∵直线 l 截圆 M 所得弦长为 3 ,且圆 M 的圆心 M (0,3) 到直线 l 的距离

d?

|16 ? 3a | 3 1 9 37 37 9 ,∴ a ? 或a ? . ? 12 ? ( )2 ? ? a ? 或 a ? 5 2 2 2 6 6 2

24、解: (Ⅰ)连接 DE ,因为 ACED 是圆内接四边形,所以 ?BDE ? ?BCA,

BE DE ? , CA 又 ?DBE ? ?CBA, ? ?DBE ∽ ?CBA ,即有 BA
又因为 AB ? 2 AC ,可得 BE ? 2 DE, 因为 CD 是 ?ACB 的平分线,所以 AD ? DE ,从而 BE ? 2 AD ; (Ⅱ)由条件知 AB ? 2 AC ? 6 ,设 AD ? t , 则 BE ? 2t , BC ? 2t ? 6 ,根据割线定理得 BD ? BA ? BE ? BC ,
2 即 (6 ? t ) ? 6 ? 2t ? (2t ? 6), 即 2t ? 9t ? 18 ? 0 ,

6

t?
解得

3 3 AD ? . 2 或 ? 6 (舍去) 2 ,则

(1)求证: BE ? 2AD ; (2)当 AC ? 3 , EC ? 6 时,求 AD 的长.

7


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