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高二数学选修4-5《不等式选讲》模块结业测试题


高二数学选修 4-5《不等式选讲》模块结业测试题
(时间 90 分钟,总分 100 分) 第Ⅰ卷
一、选择题(共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1、已知集合 A ? {x | x ? 0}, B ? {x | ?1 ? x ? 2} ,则 A ? B ? ( ▲ ) A、 {x | x ? ?1} 2、欲证 2 ? 3 ? B、 {x | x ?

2} C、 {x | 0 ? x ? 2} D、 {x | ?1 ? x ? 2}

6 ? 7 ,只需证( ▲ )
2

? C、 ?
A、

2? 7 2?

? ? ? 3 ? 6? 3? ? ? 6 ? 7 ?
2 2

2

? 2 ? 6? ? ? 3 ? 7? D、 ? 2 ? 3 ? 6 ? ? ?? 7 ?
2 2

B、

2

2

3、设 x ? 0 , y ? 0 , A ?

x? y x y ,B ? ,则 A、B 的大小关系是( ▲ )A、 ? 1? x ? y 1? x 1? y
C、 A ? B D、不能确定

A? B

B、 A ? B

4、若 n ? 0 ,则 n ? A、2

32 的最小值为( ▲ ) n2
C、6 D、8

B、4

5、如果命题 p (n) 对 n ? k 成立,则它对 n ? k ? 2 也成立,又命题 p (n) 对 n ? 2 成立,则下列结 论正确的是( ▲ ) A、命题 p (n) 对所有正整数 n 成立 B、命题 p (n) 对所有大于 2 的正整数 n 成立

C、命题 p (n) 对所有奇正整数 n 成立 D、命题 p (n) 对所有偶正整数 n 成立 6、已知 0 ? a, b ? 1 ,用反证法证明 a(1 ? b), b(1 ? a) 不能都大于 A、 a(1 ? b), b(1 ? a) 都大于

1 , 4 1 4
2

C、 a(1 ? b), b(1 ? a) 都大于或等于
2

1 时,反设正确的是(▲ ) 4 1 B、 a(1 ? b), b(1 ? a) 都小于 4 1 D、 a(1 ? b), b(1 ? a) 都小于或等于 4

7、已知 a, b 都是实数,那么“ a ? b ”是“ a ? b ”的( ▲ ) A、充分而不必要条件 C、充分且必要条件 B、必要而不充分条件 D、既不充分也不必要条件

8、已知不等式 ? x ? y ?? ? ? ? a 对任意正实数 x , y 恒成立,则实数 a 的最大值为(▲) ?x y? ? ? A、2 B、4 C、 2 D、16

?1

1?

9、已知 a, b ? R ,且 ab ? 0 ,则( A、 a ? b ? a ? b B、 a ? b ? a ? b

) C、 a ? b ? a ? b D、 a ? b ? a ? b

10、已知 a ? 0 , b ? 0 满足 a ? b ? 2 ,则( ▲ ) A、 ab ?

1 2

B、 ab ?

1 2


C、 a ? b ? 2
2 2

D、 a ? b ? 4
2 2

二、填空题(共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分) 11、不等式 x ? 1 <1 的解集是: ; ▲ ;

12、函数 y ? 2 1 ? x ? 2 x ? 1 的最大值为: 13、 用数学归纳法证明 n ? N ,
*

1 1


?

1 2

?


1 3

???

1 n

?

从 到 , n 时, “ n ? k ” “ n ? k ? 1 ”

左边需添加的代数式为:

14、经计算发现下列不等式正确: 2 ? 18 ? 2 10 , 4.5 ? 15.5 ? 2 10 ,

3 ? 2 ? 17 ? 2 ? 2 10 ,??,根据以上不等式的规律,请你写出一个类似的不等式:
▲ ;

15、有 4 人各拿一只水桶去接水,设水龙头注满每个人的水桶分别需要 5s,4s,3s,7s,每个人 接完水后就离开,则他们总的等候时间最短为: 16、若由不等式 x ? 的值为: ▲ ▲ ;

1 4 a ? 2 , x ? 2 ? 3 ,??,可以推广到 x ? n ? n ? 1 ?a ? R ? ? ,则实数 a x x x


17、生物实验课上,在还原性糖的鉴定实验中需要用天平称出 20g 氢氧化钠粉末, 某同学发现自 己所用的天平是不准的(其两臂不等长),因此,他采用了下列操作方法: 第一步:选 10g 的法码放入左盘, 把氢氧化钠粉末放到右盘使之平衡,取出氢氧化钠粉末, 第二步:将 10g 法码放于右盘, 把氢氧化钠粉末放到左盘, 平衡后再取出。 他这样称两次得到的氢氧化钠粉末之和应该 ▲ 20g。(填“大于”“小于”“等于”) , ,

高二数学选修 4-5《不等式选讲》模块结业测试答题纸
题号 得分 一 二 18 19 三 20 21 22 总分

一、选择题(共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

班级:
二、填空题(共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分)

11、

;12、



姓名:
13、

;14、



15、



16、



17、



第Ⅱ卷(共 5 题,总分 39 分) 学号:
三、解答题(本大题 5 小题,共 39 分) 18、 分)已知 m, n ? R? ,求证: m ? n ? m n ? mn (8
3 3 2 2

19、 分)解不等式: | x ? 1 | ? | x ? 2 |? 5 (8

1 1 ? ?1; a b 1 1 1 ②、已知: a, b, c ? R? , a ? b ? c ? 9 ,证明 ? ? ? 1 ; a b c
20、 分)①、已知: a, b ? R? , a ? b ? 4 ,证明 (8 并类比上面的结论,写出推广后的一般性结论(不需证明) 。

21、 分)已知数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n , S n ? (8 (1)求 a1 , a 2 , a3 ;

1 (a n ? 1)( n ? N ? ). 3

(2)猜想数列 ?a n ?的通项公式并证明你的结论。

22、 分)观察下列式子: (7

1 3 ? , 22 2 1 1 5 1? 2 ? 2 ? , 3 2 3 1 1 1 7 1? 2 ? 2 ? 2 ? , 4 2 3 4 1?
?? 由此猜想一个一般性的结论,并证明你的结论。 (可供参考: n ? N *且n ? 2,

1 1 1 1 ? ? ? ) 2 (n ? 1)n n ? 1 n n

高二数学选修 4-5《不等式选讲》结业测试参考答案
一、选择题(共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 题号 答案 1 C 2 A 3 B 4 C 5 D 6 A 7 D 8 B 9 B 10 C

二、填空题(共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分) 11、 {x | 0 ? x ? 2} ; 12、 3 ; 13、

1 k ?1



14、 5 ? 15 ? 2 10 (答案不唯一); 15、 41 ; 16、 n ;
n

17、

大于



第Ⅱ卷(共 5 题,总分 39 分)
三、解答题(本大题 5 小题,共 39 分) 18、已知 m, n ? R? ,求证: m ? n ? m n ? mn
3 3 2
3 3 2 2

2

方法一:作差比较: m ? n ? (m n ? mn ) ? ? ? (m ? n)( m ? n) 方法二:排序不等式:不妨设 m ? n ,? m ? n
2 3 3 2 2

2

根据排序不等式: m ? n ? m ? m ? n ? n ? m n ? mn
2 2

2

19、解不等式: | x ? 1 | ? | x ? 2 |? 5 解:方法一:零点分段讨论: {x | ?3 ? x ? 2} 方法二:数形结合法: {x | ?3 ? x ? 2}

20、①、已知: a, b ? R? , a ? b ? 4 ,证明

1 1 ? ?1; a b

②、已知: a, b, c ? R? , a ? b ? c ? 9 ,证明

1 1 1 ? ? ? 1; a b c

并类比上面的结论,写出推广后的一般性结论(不需证明) 。 解:①、根据柯西不等式:

1 1 1 1 1 1 (a ? b)( ? ) ? (a ? ? b ? ) 2 ? 4 ,? a ? b ? 4 ,? ? ? 1 a b a b a b
②、根据柯西不等式:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 (a ? b ? c)( ? ? ) ? (a ? ? b ? ? c ? ) 2 ? 9 ,? a ? b ? c ? 9 ,? ? ? ? 1 a b c a b c a b c
可以推广: a1 ? a 2 ? ? ? a n ? n ,则:

1 1 1 ? ??? ?1; a1 a 2 an

21、已知数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n , S n ?

1 (a n ? 1)( n ? N ? ). 3

(1)求 a1 , a 2 , a3 ; (2)猜想数列 ?a n ?的通项公式并证明你的结论。

1 1 1 (a1 ? 1) ,得 a1 ? (a1 ? 1) ∴ a1 ? ? 3 3 2 1 1 1 又 S 2 ? (a 2 ? 1) ,即 a1 ? a 2 ? (a 2 ? 1) ,得 a 2 ? . 3 3 4 1 1 1 又 S 3 ? (a3 ? 1) ,即 a1 ? a 2 ? a3 ? (a3 ? 1) ,得 a3 ? ? . 3 3 8 1 n (2) 猜想数列 ?a n ?的通项公式: a n ? (? ) 2
解: (1)由 S1 ? 证法一:数学归纳法:当 n=k+1 时,

1 1 1 1 1 1 1 1 ak ?1 ? S k ?1 ? S k ? (a k ?1 ? 1) ? (a k ?1) ? ak ?1 ? ? a k ? ? ak ?1 ? a k 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 ? ak ?1 ? ak ?1 ? ? ak ? ? ? (? )k , a k ?1 ? (? ) k ?1 ,命题成立。 2 3 3 3 2 1 1 证法二:当 n>1 时, a n ? S n ? S n ?1 ? (a n ? 1) ? (a n ?1 ?1), 3 3


an 1 1 1 1 ? ? , 所以 ?a n ?是首项为 ? ,公比为 ? 的等比数列. 所以, a n ? (? ) n a n ?1 2 2 2 2

22、观察下列式子:

1?

1 3 1 1 5 1 1 1 7 ? , 1 ? 2 ? 2 ? , 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ,?? 2 2 3 4 2 2 3 2 3 4

由此猜想一个一般性的结论,并证明你的结论。

(提示: n ? N 且n ? 2,
*

1 1 1 1 ? ? ? ) 2 (n ? 1)n n ? 1 n n

解:一般性结论: 1 ?
*

1 1 1 2n ? 1 ? 2 ??? 2 ? 2 n 2 3 n
1 1 1 1 ? ? ? 2 (n ? 1)n n ? 1 n n

证法一:? n ? N 且n ? 2,

?1 ?

1 1 1 ? 2 ??? 2 2 2 3 n 1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? 1 ? 1?1? ? ? ? ? ??? ? ? 2? ? 2 2 3 3 4 n ?1 n n n
1 1 1 1 2k ? 1 1 ? 2 ??? 2 ? ? ? 2 2 k 2 3 k ( k ? 1) ( k ? 1) 2

证法二:数学归纳法:当 n=k+1 时,

?1 ? ?

( 2k ? 1)( k ? 1) 2 ? k 2k 3 ? 3k 2 ? k ? 1 2k 3 ? 3k 2 ? k ? ? k ( k ? 1) 2 k ( k ? 1) 2 k ( k ? 1) 2 k (k ? 1)( 2k ? 1) 2k ? 1 ? ? k ?1 k ( k ? 1) 2
当 n=k+1 时,成立。


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