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2015重庆专升本数学试题库


习题 1?5 1? 计算下列极限? x2 ? 5 (1) lim ? x?2 x ? 3 x 2 ? 5 ? 22 ? 5 ? ?9 解 lim ? x ?2 x ? 3 2 ?3
x2 ? 3 (2) lim 2 ? x ? 3 x ?1
2 ( 3)2 ? 3 解 lim x 2 ? 3 ? ?0 ? x ? 3 x ?1 ( 3)2 ?1

(3) lim

x 2 ? 2 x ?1 ? x ?1 x 2 ?1

x2 ? 2x ?1 ? lim (x ?1)2 ? lim x ?1 ? 0 ? 0 解 lim ? x ?1 x ?1 ( x ?1)(x ?1) x ?1 x ?1 2 x2 ?1
4x3 ? 2x 2 ? x ? x ?0 3x 2 ? 2 x 4x3 ? 2x 2 ? x ? lim 4x 2 ? 2x ?1 ? 1 解 lim ? x ?0 3x 2 ? 2 x x ?0 3x ? 2 2

(4) lim

(5) lim

( x ? h)2 ? x 2 ? h ?0 h

2 2 2 ( x ? h)2 ? x 2 ? lim x ? 2hx ? h ? x ? lim(2x ? h) ? 2x ? h ?0 h ?0 h ?0 h h (6) lim (2 ? 1 ? 1 )? x?? x x2 解 lim (2 ? 1 ? 1 ) ? 2 ? lim 1 ? lim 1 ?2 ? 2 x?? x?? x x?? x2 x x x 2 ?1 (7) lim 2 ? x ? ? 2 x ? x ?1

解 lim

1? 12 x ?1 ? lim x ?1 ? 解 lim 2 x ?? 2 x ? x ?1 x ?? 1 1 2? ? 2 2 x x
2

x2 ? x ? x ? ? x 4 ? 3x 2 ?1 x2 ? x ? 0 解 lim 4 (分子次数低于分母次数? 极限为零)? x ?? x ? 3x 2 ?1

(8) lim



1 ?1 x ? lim x 2 x3 ? 0 lim 4 x ? 2 ? x ?? x ? 3x ?1 x ?? 1 1? 2 ? x2 x4
2

(9) lim x2 ? 6 x ? 8 ? x ? 4 x ? 5x ? 4
2

x2 ? 6x ? 8 ? lim (x ? 2)(x ? 4) ? lim x ? 2 ? 4 ? 2 ? 2 解 lim 2 ? x ?4 x ? 5x ? 4 x ?4 ( x ?1)(x ? 4) x ?4 x ?1 4 ?1 3
(10) lim (1? 1 )(2 ? 1 )? x?? x x2 解 lim (1? 1 )(2 ? 1 ) ? lim (1? 1 )? lim (2 ? 1 ) ?1? 2 ? 2 ? 2 x?? x?? x x x?? x x2 (11) lim (1? 1 ? 1 ? ? ? ? ? 1 )? n?? 2 4 2n

1? ( 1 )n?1 1 1 1 2 解 lim (1? ? ? ? ? ? ? n ) ? lim ?2 ? n?? n?? 2 4 2 1? 1 2
(12) lim
n ??

1? 2 ? 3 ? ? ? ? ? (n ?1) ? n2

(n ?1)n 1? 2 ? 3 ? ? ? ? ? (n ?1) 解 lim ? lim 2 ? 1 lim n ?1 ? 1 ? 2 2 n ?? n ?? 2 n?? n 2 n n (n ?1)( n ? 2)( n ? 3) (13) lim ? n ?? 5n3 (n ?1)(n ? 2)( n ? 3) 1 ? (分子与分母的次数相同? 极限为 解 lim n ?? 5 5n3 最高次项系数之比)? (n ?1)(n ? 2)(n ? 3) 1 lim ? lim (1? 1 )(1? 2 )(1? 3 ) ? 1 ? 或 3 n ?? 5 n ?? n n n 5 5n (14) lim( 1 ? 3 3 ) ? x?1 1? x 1? x
2 (1? x)(x ? 2) 解 lim( 1 ? 3 3 ) ? lim 1? x ? x ? 3 2 ? ? lim x?1 1? x 1? x x?1 (1? x)( x?1 (1? x)( 1? x ? x ) 1? x ? x2)

? ?l i m x ? 2 2 ? ?1 ? x?11? x ? x 2? 计算下列极限?

3 2 (1) lim x ? 2x2 ? x ? 2 ( x ? 2)

解 因为 lim

( x ? 2)2 0 x3 ? 2 x 2 ? ? ? ? ? 0 ? 所以 lim x ? 2 x3 ? 2 x 2 16 x ? 2 ( x ? 2) 2

2 (2) lim x ? x ? ? 2 x ?1 2 解 lim x ? ? (因为分子次数高于分母次数)? x ? ? 2 x ?1

(3) lim (2x3 ? x ?1) ?
x ??

解 lim (2x3 ? x ?1) ? ? (因为分子次数高于分母次数)?
x ??

3? 计算下列极限? (1) lim x2 sin 1 ? x?0 x 解 lim x2 sin 1 ? 0 (当 x?0 时? x2 是无穷小? 而 sin 1 是有界变量)? x?0 x x (2) lim arctanx ? x ?? x 解 lim arctanx ? lim 1 ?arctanx ? 0 (当 x??时? 1 是无穷小? x?? x?? x x x 而 arctan x 是有界变量)? 习题 1?6 1? 计算下列极限? (1) lim sin ?x ? x ?0 x 解 lim sin?x ?? lim sin ?x ?? ? x?0 x?0 ?x x (2) lim tan3x ? x ?0 x 解 lim tan3x ?3 lim sin 3x ? 1 ?3 ? x?0 x?0 3x x cos3x (3) lim sin 2x ? x ?0 sin 5x 解 lim sin 2x ? lim sin 2x ? 5x ? 2 ? 2 ? x?0 sin 5x x?0 2x sin 5x 5 5

(4) lim x cot x ?
x ?0



解 lim x cot x ? lim x ?cosx ? lim x ? lim cosx ?1 ? x?0 x?0 sin x x?0 sin x x?0 (5) lim 1? cos2x ? x?0 x sin x 2x ? lim 2 sin 2 x ? 2 lim( sin x )2 ? 2 ? 解 lim 1? cos 2x ? lim 1? cos x ?0 x sin x x ?0 x ?0 x ?0 x x2 x2 2 1? c o s 2x ? l i m 2s i n x ? 2 l i m sin x ?2 lim ? x ?0 x s i n x ? 0 x ? 0 x xs i n x x (6) lim 2n sin x (x 为不等于零的常数)? n?? 2n

sin x 2n ? x ? x ? 解 lim 2n sin x ? lim n n ?? 2 n ?? x 2n 2? 计算下列极限?
(1) lim(1? x) x ?
x ?0 1

解 lim(1? x) x ? lim[1? (?x)](?x)
x?0 x?0

1

1 (?1)

?{lim[1? (?x)](?x) }?1 ? e?1 ?
x?0

1

(2) lim(1? 2x) x ?
x ?0

1

解 lim(1? 2x) x ? lim(1? 2x) 2x ? [lim(1? 2x) 2x ]2 ? e2 ?
x ?0 x ?0 x ?0

1

1 ?2

1

(3) lim (1? x )2x ? x?? x 解 lim (1? x )2x ?[ lim (1? 1 )x ]2 ? e2 ? x?? x x?? x (4) lim (1? 1 )kx (k 为正整数)? x?? x 解 lim (1? 1 )kx ? lim (1? 1 )(?x)(?k) ? e?k ? x?? x?? x ?x 4? 利用等价无穷小的性质? 求下列极限? (1) lim tan3x ? x?0 2x (2) lim
sin(x n ) (n? m 为正整数)? x ?0 (sin x)m

sin x ? (3) lim tanx ? 3 x?0 sin x
(4) lim
x ?0 (3 1? x 2

sin x ? tanx ? ?1)( 1? sin x ?1)

解 (1) lim tan3x ? lim 3x ? 3 ? x?0 2x x?0 2x 2 (2) lim
?1 n ? m sin(x n ) x n ? ?0 n ? m ? ? lim ? x ?0 (sin x) m x ?0 x m ? ?? n ? m

sin x ? lim (3) lim tan x ? 3 x ?0 x ?0 sin x (4)因为

1 x2 sin x( 1 ?1) 1 ? cos x cos x ? lim ? lim 22 ?1 ? 3 2 x ?0 cos x sin x x ?0 x cos x 2 sin x

2x sin x?t a n x?t a n x( c oxs ?1) ? ?2 t a n xs i n ~ ?2x?( x )2 ? ? 1 x3 (x?0)? 2 2 2
3

1? x2 ?1?

x2 ~ 1 x2 (x?0)? 3 (1? x2 )2 ? 3 1? x2 ?1 3
sin x ~s i n x ~ x (x?0)? 1? s i n x ?1

1? s i n x ?1?

所以

? 1 x3 sin x ? tan x lim 3 ? l i m 2 ? ?3 ? x?0 ( 1? x 2 ?1)( 1? s i n x ?1) x?0 1 x2 ? x 3
(1) lim x2 ? 2x ? 5 ?
x ?0

3? 求下列极限?

(2) lim (sin 2x)3 ?
x?? 4

(3) lim ln(2 cos 2x) ?
x?? 6

(4) lim x ?1 ?1 ? x ?0 x (5) lim 5x ? 4 ? x ? x ?1 x ?1 (6) lim sin x ? sin a ? x?a x?a

(7) lim ( x2 ? x ? x2 ? x ) ?
x ???

解 (1)因为函数 f (x) ? x2 ? 2x ?5 是初等函数? f(x)在点 x?0 有定义? 所以
lim x2 ? 2x ? 5 ? f (0) ? 02 ? 2?0 ? 5 ? 5 ?
x ?0

(2)因为函数 f(x)?(sin 2x)3 是初等函数? f(x)在点 x ? ? 有定义? 所以 4

lim ( s i2 nx)3 ? f (? ) ? ( s i 2 n? ? )3 ?1 ? ? 4 4 x?
4

(3)因为函数 f(x)?ln(2cos2x)是初等函数? f(x)在点 x ? ? 有定义? 所以 6

lim l n 2 (c o 2 sx) ? f (? ) ? l n2 (c o 2 s? ? ) ? 0 ? ? 6 6 x?
6

( x ?1 ?1)( x ?1 ?1) x (4) lim x ?1 ?1 ? lim ? lim x?0 x?0 x?0 x( x ?1 ?1 x x( x ?1 ?1) )
?l i m
x ?0

1 1 ? ?1? x ? 1 ?1 0 ? 1 ?1 2

( 5x ? 4 ? x )( 5x ? 4 ? x ) (5) lim 5x ? 4 ? x ? lim x?1 x?1 x ?1 (x ?1)( 5x ? 4 ? x )
? lim
x ?1 ( x ?1)(

4 4 4x ? 4 ?l i m ? ?2? x ? 1 5x ? 4 ? x 5?1? 4 ? 1 5x ? 4 ? x )

(6) lim sin x ? sin a ? lim x ?a x ?a x?a

2 cos x ? a sin x ? a 2 2 x?a

x?a sin x ? a 2 ?c o a ? lim cos ? lim s ? a ?1? c o a s? x ?a 2 x ?a x ? a 2 2
(7) lim ( x2 ? x ? x2 ? x ) ? lim
x ???

( x2 ? x ? x2 ? x )( x2 ? x ? x2 ? x ) x ??? ( x2 ? x ? x2 ? x )

? lim

x ??? (

2x 2 ? lim ?1 ? 2 x ? ?? 1 1 x ? x ? x ? x) ( 1? ? 1? ) x x
2

4? 求下列极限? (1) lim e x ?
x?? 1

(2) lim ln sin x ? x?0 x (3) lim (1? 1 ) 2 ? x ?? x (4) lim(1? 3 tan2 x)cot x ?
2

x

x ?0

(5) lim ( 3 ? x ) x ?? 6 ? x

x ?1 2 ?

(6) lim 1? tanx ? 1? sin x ? x ?0 x 1? sin 2 x ? x
1 x ??

解 (1) lim e x ? e x ?? x ? e0 ?1 ? (2) lim ln sin x ? ln(lim sin x ) ? ln1? 0 ? x?0 x?0 x x (3) lim (1? 1 ) 2 ? lim (1? 1 ) x x ?? x ?? x x
2

lim 1

x

?

?

1 2

?e ? e ?
1

1 2

(4) lim(1? 3 tan2 x)cot x ? lim (1? 3 tan2 x) 3tan 2 x
x ?0

? x ?0

?3 ? e3 ?

? x ? ?3 x ?1 ? 3 ) 6? 3 6 ? x 2 ? 因为 6? x 6? x lim (1? ? 3 ) ?3 ? e ? lim ? 3 ? x ?1 ? ? 3 ? x ?? x?? 6 ? x 2 6? x 2 x ?1 3 ? 所以 lim ( 3 ? x ) 2 ? e 2 ? x ?? 6 ? x

(5) ( 3 ? x ) 6? x

x ?1 2 ? (1?

( 1? tanx ? 1? sin x )( 1? sin 2 x ?1) (6) lim 1? tan x ? 1? sin x ? lim x ?0 x ?0 x( 1? sin 2 x ?1)( 1? tan x ? 1? sin x ) x 1? sin 2 x ? x

2x tan x ? 2s i n 2 (tanx ?sin x)( 1? s i n x ?1) 2 ? lim ?l i m 2 2 x?0 x s i n x ? 0 xs i n x x( 1? t a n x ? 1? s i n x)

2 x ?( x )2 2 ?1? ? lim 3 x ?0 2 x 8? 求下列极限?
2 1? (1) lim x ? x ? x ?1 ( x ?1)2

(2) lim x( x2 ?1 ? x) ?
x ???

(3) lim ( 2x ? 3) x?1 ? x?? 2x ?1 sin x ? (4) lim tanx ? x?0 x3 x x x 1 (5) lim( a ? b ? c ) x (a?0? b?0? c?0)? x ?0 3 (6) lim (sin x) tan x ?
x?? 2

解 (1)因为 lim

2 ( x ?1)2 1?? ? ? 0 ? 所以 lim x ? x ? 2 x ?1 x ? x ?1 x ?1 ( x ?1)2

(2) lim x( x2 ?1 ? x) ? lim
x???

x( x2 ?1 ? x)( x2 ?1 ? x) x??? ( x2 ?1 ? x)

? lim

x???

x 1 ? lim ?1? x ? ?? 2 x ?1 ? x 1? 12 ?1 x
2

2 x ?1 ? 1 (3) lim ( 2x ? 3) x ?1 ? lim (1? 2 ) x ?1 ? lim (1? 2 ) 2 2 x ?? 2x ?1 x ?? x ?? 2x ?1 2x ?1 2 x ?1 1 ?lim (1? 2 ) 2 (1? 2 ) 2 x ?? 2x ?1 2x ?1 2 x ?1 1 ? lim (1? 2 ) 2 ? lim (1? 2 ) 2 ? e ? x ?? x ?? 2x ?1 2x ?1 sin x( 1 ?1) sin x(1? cosx) tan x ? sin x cosx ? lim ? lim (4) lim 3 3 x?0 x ? 0 x ? 0 x x x3 cosx

sin x ?2sin 2 x 2 x ?( x )2 2 ? lim 2 ?1 ? lim 3 3 x?0 x?0 2 x cosx x (提示? 用等价无穷小换)?
x x x 1 x x x ? (5) lim( a ? b ? c ) x ? lim(1? a ? b ? c ? 3) a x ?b x ?c x ?3 x ?0 x ?0 3 3 x x x lim (1? a ? b ? c ? 3) a x ?b x ?c x ?3 ? e ? x ?0 3
x x x x x x lim a ? b ? c ? 3 ? 1 lim( a ?1? b ?1? c ?1) x ?0 3x 3 x ?0 x x x 1 1 1 ? [ln a lim ? ln b lim ? ln c lim 1 ] t ?0 ln(1? t ) u ?0 ln(1? u) v ?0 l n1 3 (? v)

3

a x ? b x ? c x ?3 3x ?

因为

3

? 1 (lna ? ln b ? ln c) ? ln 3 abc ? 3
所以
x x x 1 3 lim( a ? b ? c ) x ? eln abc ? 3 abc ? x ?0 3 提示? 求极限过程中作了变换 ax?1?t? bx?1?u? cx?1?v?

(6) lim (sin x) tan x ? lim [1? (sin x ?1)] sin x ?1
x?? 2 x?? 2 1

1

?(sin x ?1) tan x

? 因为

x?? 2

n?1 ? e ? lim [1? (sin x ?1)] s i x

sin x( s i x n?1) lim ( s ix n?1) t a n x? l i m cox s x?? x??
2 2

? lim
所以

sin x(sin2 x ?1) xc o x s ?0 ? ? ? lim s i n ? ? cos x (sin x ? 1 ) s i n x ? 1 x? x?
2 2

x?? 2

lim ( s i x n)tan x ? e0 ? 1 ?

1? 研究下列函数的连续性? 并画出函数的图形?
?x2 0 ? x ?1 (1) f (x) ? ? ? ?2 ? x 1? x ? 2

解 已知多项式函数是连续函数? 所以函数 f(x)在[0? 1)和(1? 2]内是连续的? 在 x?1 处? 因为 f(1)?1? 并且

x ?1?
x ?1

f (x) ? lim (2 ? x) ?1 ? lim f (x) ? lim x2 ?1 ? lim ? ? ?
x ?1
x ?1 x ?1

所以 lim f ( x) ?1 ? 从而函数 f(x)在 x?1 处是连续的? 综上所述,函数 f(x)在[0? 2]上是连续函数?
?x (2) f (x) ? ? ?1 ?1? x ?1 ? | x |?1

解 只需考察函数在 x??1 和 x?1 处的连续性? 在 x??1 处? 因为 f(?1)??1? 并且
x ??1?

lim f ( x) ? lim ? 1?1? f (?1) ?
x ? ?1

x ??1?

lim f (x) ? lim? x ? ?1? f (?1) ?
x ??1

所以函数在 x??1 处间断? 但右连续? 在 x?1 处? 因为 f(1)?1? 并且
x ?1?

lim f ( x) ? lim? x ?1 ?f(1)? lim f ( x) ? lim 1?1 ?f(1)? ? ?
x ?1 x ?1 x ?1

所以函数在 x?1 处连续? 综合上述讨论? 函数在(??? ?1)和(?1? ??)内连续? 在 x??1 处间断? 但右连续? 2? 下列函数在指出的点处间断? 说明这些间断点属于哪一类? 如果是可去间断 点? 则补充或改变函数的定义使它连续? 2 (1) y ? 2 x ?1 ? x?1? x?2? x ? 3x ? 2 解 y?
x2 ?1 ? (x ?1)(x ?1) ? 因为函数在 x?2 和 x?1 处无定义? 所以 x?2 和 x?1 x2 ? 3x ? 2 (x ? 2)(x ?1)
x 2 ?1 ? ? ? 所以 x?2 是函数的第二类间断点? x ? 2 x 2 ? 3x ? 2

是函数的间断点? 因为 lim y ? lim
x?2

因为 lim y ? lim
x ?1

( x ?1) ? ?2 ? 所以 x?1 是函数的第一类间断点? 并且是可去间断点? x ?1 ( x ? 2)

在 x?1 处? 令 y??2? 则函数在 x?1 处成为连续的? (2) y ? x ? x?k? x ? k? ? ? (k?0? ?1? ?2? ? ? ?)? tan x 2 解 函数在点 x?k?(k?Z)和 x ? k? ? ? (k?Z)处无定义? 因而这些点都是函数的间 2 断点?

因 lim

x ?k?

x ? ? (k?0)? 故 x?k?(k?0)是第二类间断点? tanx
x ?k? ? ?

因为 lim x ?1 ? x ?0 tan x

lim

2

x ? 0 (k?Z)? 所以 x?0 和 x ? k? ? ? (k?Z) 是第一类 tan x 2

间断点且是可去间断点? 令 y|x?0?1? 则函数在 x?0 处成为连续的? 令 x ? k? ? ? 时? y?0? 则函数在 x ? k? ? ? 处成为连续的? 2 2 (3) y ? cos2 1 ? x?0? x 解 因为函数 y ? cos2 1 在 x?0 处无定义? 所以 x?0 是函数 y ? cos2 1 的间断点? 又 x x 因为 lim cos2 1 不存在? 所以 x?0 是函数的第二类间断点? x ?0 x
?x ?1 (4) y ? ? ?3 ? x
x ?1

x ?1 ? x ?1? x ?1
x ?1 x ?1 x ?1

f (x) ? lim (x ?1) ? 0 lim f (x) ? lim (3 ? x) ? 2 ? 所以 x?1 是函数的第一类 解 因为 lim ? ? ? ?

不可去间断点? 3? 讨论函数 f ( x) ? lim 1? x 2n x 的连续性? 若有间断点? 判别其类型? n ? ? 1? x
2n

?? x | x |?1 2n ? 1 ? x x ? ? 0 | x |?1 ? 解 f ( x) ? lim 2 n n ? ? 1? x ? ? x | x |?1

在分段点 x??1 处? 因为 lim ? f ( x) ? lim ? (?x) ?1 ?
x ??1 x ??1

x ??1?

lim f (x) ? lim? x ? ?1 ? 所以
x ??1

x??1 为函数的第一类不可去间断点?
f (x) ? lim (?x) ? ?1 ? 所以 x?1 为函 在分段点 x?1 处? 因为 lim? f ( x) ? lim? x ?1 ? lim ? ?
x ?1 x ?1 x ?1 x ?1

数的第一类不可去间断点? 4? 证明? 若函数 f(x)在点 x0 连续且 f(x0)?0? 则存在 x0 的某一邻域 U(x0)? 当 x?U(x0) 时? f(x)?0? 证明 不妨设 f(x0)>0? 因为 f(x)在 x0 连续? 所以 lim f ( x) ? f (x0 ) ? 0 ? 由极限的局部
x ? x0

保号性定理? 存在 x0 的某一去心邻域 U (x0) ? 使当 x? U (x0) 时 f(x)>0? 从而当 x?U(x0)

?

?

时? f(x)>0? 这就是说? 则存在 x0 的某一邻域 U(x0)? 当 x?U(x0)时? f(x)?0? 5? 试分别举出具有以下性质的函数 f(x)的例子? (1)x?0? ?1? ?2? ? 1 ? ? ? ?? ?n? ? 1 ? ? ? ?是 f(x)的所有间断点? 且它们都是无穷间断 2 n 点? ? 解 函数 f ( x) ? csc(?x) ? csc 在点 x?0? ?1? ?2? ? 1 ? ? ? ?? ?n? ? 1 ? ? ? ?处是间断的 x 2 n 且这些点是函数的无穷间断点? (2)f(x)在 R 上处处不连续? 但|f(x)|在 R 上处处连续?
??1 解 函数 f (x) ? ? ? 1 x?Q 在 R 上处处不连续? 但|f(x)|?1 在 R 上处处连续? x?Q

(3)f(x)在 R 上处处有定义? 但仅在一点连续?
? x 解 函数 f (x) ? ? ?? x x?Q 在 R 上处处有定义? 它只在 x?0 处连续? x?Q

3 3x 2 ? x ? 3 1? 求函数 f ( x) ? x ?2 的连续区间? 并求极限 lim f ( x) ? lim f ( x) 及 lim f ( x) ? x ? ?3 x ?0 x?2 x ? x ?6

3 3x 2 ? x ? 3 ? ( x ? 3)(x ?1)(x ?1) ? 函数在(??? ??)内除点 x?2 和 x??3 外 解 f ( x) ? x ?2 ( x ? 3)(x ? 2) x ? x ?6

是连续的? 所以函数 f(x)的连续区间为(??? ?3)、(?3? 2)、(2? ??)? 在函数的连续点 x?0 处? lim f (x) ? f (0) ? 1 ? x?0 2 在函数的间断点 x?2 和 x??3 处?
lim f (x) ? lim
x ?2

( x ?1)( x ?1) (x ? 3)(x ?1)(x ?1) ?? 8 ? ? ? lim f ( x) ? lim x ? ? 3 x ? ? 3 x ?2 x?2 5 (x ? 3)(x ? 2)

7? 求下列函数的导数? (1)y?x4? (2) y ? 3 x2 ? (3)y?x1? 6? 1 (4) y ? ? x (5) y ? 1 ? x2 (6) y ? x35 x ?

(7) y ? x

23

x2 ? x5

解 (1)y??(x4)??4x4?1?4x3 ?
?1 ? (2) y? ? (3 x2 )? ? (x 3 )? ? 2 x 3 ? 2 x 3 ? 3 3 2 2 1

(3)y??(x1? 6)??1?6x1? 6?1?1?6x 0? 6?
? ? ?1 ? (4) y? ? ( 1 )? ? (x 2 )? ? ? 1 x 2 ? ? 1 x 2 ? 2 2 x 1 1 3

(5) y? ? ( 1 )? ? (x?2)? ? ?2x?3 ? x2 (6) y? ? (x
35 16 16 ?1 11 16 16 5 5 x )? ? (x )? ? x ? x5 ?

5

5

23 2 ?1 ? (7) y? ? ( x x )? ? (x 6 )? ? 1 x 6 ? 1 x 6 ? 6 6 x5

1

1

5

习题 2?2 1? 推导余切函数及余割函数的导数公式? (cot x)???csc2x ? (csc x)???csc xcot x ?

cosx?cosx 解 (cotx)? ? ( cosx )? ? ?sin x?sin x ? sin x sin2 x 2 2 2 ? ? s i n x ?2c o s x ? ? 12 ? ? c s c x? s i nx s i nx s ? ?c s c ( c sx c )? ? ( 1 )? ? ? c o2 x x ?c o x t? sin x s i nx 2? 求下列函数的导数?
(1) y ? 4 ?7 ? 2 ?12 ? 5 4 x x x (2) y?5x3?2x?3ex ? (3) y?2tan x?sec x?1? (4) y?sin x?cos x ? (5) y?x2ln x ? (6) y?3excos x ?

(7) y ? ln x ? x x (8) y ? e 2 ? ln 3 ? x (9) y?x2ln x cos x ? (10) s ? 1? sin t ? 1? cost 解 (1) y? ? ( 4 ?7 ? 2 ?12)? ? (4x?5 ? 7x?4 ? 2x?1 ?12)? 5 4 x x x ? ? ?20x?6 ? 28x?5 ? 2x?2 ? ? 20 ? 28 ?2 6 5 x x x2 (2) y??(5x3?2x?3ex)??15x2?2x ln2?3ex? (3) y??(2tan x ?sec x?1)??2sec2x?sec x?tan x?sec x(2sec x?tan x)? (4) y??(sin x?cos x)??(sin x)??cos x?sin x?(cos x)? ?cos x?cos x?sin x?(?sin x)?cos 2x? (5) y??(x2ln x)??2x?ln x?x2? 1 ?x(2ln x?1) ?
x

(6) y??(3e cos x)??3e ?cos x?3ex?(?sin x)?3ex(cos x?sin x)?
1 ? x ? ln x ln x x? ? 1? ln (7) y? ? ( )? ? x 2 2 x x x
x x 2 e x ? 2x ? e x ( x ? 2) ? (8) y? ? ( e 2 ? ln 3)? ? e ? x ? x x4 x3 (9) y??(x2ln x cos x)??2x?ln x cos x?x2? 1 ?cos x?x2 ln x?(?sin x) x

x

x

2x ln x cos x?x cos x?x2 ln x sin x ? (10) s? ? (1? sin t )? ? 1? cost
cost(1? cost) ? (1? sin t)(? sin t) 1? sin t ? cost ? ? (1? cost)2 (1? cost)2

3? 求下列函数在给定点处的导数? (1) y?sin x?cos x ? 求 y?
x?? 6

和 y? ?

x?? 4

?

d? (2) ? ?? sin? ? 1 cos? ?求 d? 2

? ??

4

2 (3) f ( x) ? 3 ? x ? 求 f ?(0)和 f ?(2) ? 5? x 5 解 (1)y??cos x?sin x?

y?

x??

? ? 3 ? 1 ? 3 ?1 ? ?c o ? s ?s i n 6 6 2 2 2 6

y?
(2)

x?? 4

?? 2? 2? 2? ?c o ? s ?s i n 4 4 2 2

d? ? sin? ?? cos ? ? 1 sin? ? 1 sin? ?? cos ? ? d? 2 2

d? d?

? ??

? ?? c o ? ?1s i n s ? 1 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 (1? ? ) ? 2 4 4 4 2 2 4 2 4 2 4

(3) f ?( x) ?

3 ?2 x? ? f (0) ? 3 ? f ?(2) ? 17 ? 2 5 (5 ? x) 25 15

1? 求函数的二阶导数? (1) y?2x2?ln x? (2) y?e2x?1? (3) y?xcos x? (4) y?e?t sin t? (5) y ? a2 ? x2 ? (6) y?ln(1?x2) (7) y?tan x? (8) y ? 31 ? x ?1 (9) y?(1?x2)arctan x ? (10) y ?
ex ? x
2

(11) y ? xex ? (12) y ? ln(x ? 1? x2 ) ? 解 (1) y? ? 4x ? 1 ? y?? ? 4 ? 1 ? x x2 (2) y??e2x?1 ?2?2e2x?1? y???2e2x?1 ?2?4e2x?1?

(3) y?xcos x ? y??cos x?xsin x? y????sin x?sin x?xcos x??2sin x?xcos x ? (4) y???e?tsin t?e?tcos t?e?t(cos t?sin t) y????e?t(cos t?sin t)?e?t(?sin t?cos t)??2e?tcos t ? (5) y? ?
1 2 a ?x
2 2

? (a 2 ? x 2 )? ? ?

x ? a ? x2
2

a2 ? x2 ? x ? y?? ? ? a2 ? x

?x a 2 ? x2 ? ? 2

a2 ? (a 2 ? x 2 ) a 2 ? x 2

(6) y? ? 1 2 ?(1? x2)? ? ? 2x 2 ? 1? x 1? x
y?? ? ? 2(1? x2 ) ? 2x ?(?2x) 2(1? x2 ) ? ? ? (1? x2 )2 (1? x2 )2

(7) y??sec2 x? y???2sec x?(sec x)??2sec x?sec x?tan x?2sec2x?tan x ? (8) y? ?
? (x3 ?1)? x2 ? ?? 3 3 2 3 (x ?1) (x ?1)2 6x ?(x3 ?1)2 ? 3x2 ? 2(x3 ?1) ?3x 6x(2x3 ?1) ? 3 3 ? (x3 ?1)4 (x ?1)

y?? ? ?

(9) y? ? 2x arctanx ? (1? x2)? 1 2 ? 2x arctanx ?1 ? 1? x y?? ? 2 a r c t x a? n 2x 2 ? 1? x x x e ?1 ? e x ( x ?1) (10) y? ? e ? x ? ? x2 x2 [e x ( x ?1) ? e x ]? x 2 ? e x ( x ?1) ? 2x e x ( x 2 ? 2x ? 2) y?? ? ? ? x4 x3 (11) y? ? ex ? x?ex ?(2x) ? ex (1? 2x2) ?
2 2 2

y?? ?ex ?2x?(1? 2x2) ? ex ?4x ? 2xex (3? 2x2) ?
2 2 2

(12) y? ?

1 1 ?(x ? 1? x2 )? ? ?(1? 2x ) ? 1 ? 2 2 x ? 1? x x ? 1? x 2 1? x2 1? x2

x ? y?? ? ? 1 2 ?( 1? x2 ?)? ? ? 1 2 ? 2x ? ? 2 1? x 1? x 2 1? x2 ) (1? x) 1? x

1? 求由下列方程所确定的隐函数 y 的导数 (1) y2?2x y?9?0?? (2) x3?y3?3axy?0? (3) xy?ex?y ?? (4) y?1?xey? 解 (1)方程两边求导数得 2y y??2y?2x y? ?0 ? ? 于是 (y?x)y??y? ?
y? ? y ? y?x

dy ? dx

(2)方程两边求导数得 3x2?3y2y??2ay?3axy??0? ? 于是 (y2?ax)y??ay?x2 ? ?

y? ?

ay ? x2 ? y 2 ? ax

(3)方程两边求导数得 y ?xy??e x?y(1?y?)? ? 于是 (x?ex?y)y??ex?y?y? ? ex? y ? y y? ? ? x ? ex? y (4)方程两边求导数得 y???e y?xeyy?? 于是 (1?xe y)y???e y? y y? ? ? e y ? 1? xe 2? 求曲线 x 3 ? y 3 ? a 3 在点 ( 2 a, 2 a) 处的切线方程和法线方程? 4 4 解 方程两边求导数得
2 x? 3 ? 2 y ? 3 y? ? 0 ? 3 3
1 1

2

2

2

于是

3 y? ? ? x 1 ? ? y 3

?1

在点 ( 2 a, 2 a) 处 y???1? 4 4 所求切线方程为 y ? 2 a ? ?( x ? 2 a) ? 即 x ? y ? 2 a ? 4 4 2 所求法线方程为 y ? 2 a ? ( x ? 2 a) ? 即 x?y?0? 4 4 3? 求由下列方程所确定的隐函数 y 的二阶导数 (1) x2?y2?1?? (2) b2x2?a2y2?a2b2? (3) y?tan(x?y)? (4) y?1?xey? 解 (1)方程两边求导数得 2x?2yy??0?? y?? x ? y
y ? xy? y?? ? ( x )? ? ? y y2 y?x x y y 2 ? x2 ? ? ? 13 ? y2 y3 y
d2y ? dx 2

(2)方程两边求导数得 2b2x?2a2yy??0? ?
2 y? ? ? b 2 ? x ? a y

b2 ? x ) y ? x ( ? 2 y ? xy? 2 a2 y y?? ? ? b 2 ? 2 ? ? b 2 ? 2 a y a y

? ? b2 ? a

2

4 a 2 y 2 ? b2 x 2 ? ?? b 2 3 2 3 a y a y

(3)方程两边求导数得 y??sec2(x?y)?(1?y?)?

y? ?

se2 c(x ? y) 1 ? 1?s e 2 c(x ? y) c o 2s (x ? y) ?1

?

2 sin (x ? y) ? c o 2s(x ? y) ? ?1? 12 ? 2 ?s i n (x ? y) y

2(1? y 2 ) ? y?? ? 23 y? ? 23 (?1? 12 ) ? ? y y y y5

(4)方程两边求导数得 y??e y?xe yy?? ?
y y y y? ? e y ? e ? e ? 1? xe 1? ( y ?1) 2 ? y

y?? ?

e y y?(2 ? y) ? e y (? y?) e y (3 ? y) y? e2 y (3 ? y) ? ? ? (2 ? y)2 (2 ? y)2 (2 ? y)3

4? 用对数求导法求下列函数的导数? (1) y ? ( x ) x ? 1? x (2) y ? 5 (3) y ?

5

x ?5 ? x2 ? 2

x ? 2(3? x)4 ? (x ?1)5

(4) y ? x sin x 1? e x ?? 解 (1)两边取对数得 ln y?xln|x|?xln|1?x|, 两边求导得 1 y? ? ln x ? x ? 1 ? l n1 (? x) ? x ? 1 ? y x 1? x 于是 y? ? ( x ) x[ l n x ? 1 ] ? 1? x 1? x 1? x (2)两边取对数得 ln y ? 1 ln| x ? 5| ? 1 l n x (2 ? 2) ? 5 25 两边求导得 1 y? ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 x ? ? y 5 x ? 5 25 x 2 ? 2

x ? 5 ?[ 1 ? 1 ? 2x ] ? 2 x2 ? 2 x ? 5 5 x ? 2 (3)两边取对数得 ln y ? 1 l n x (? 2) ? 4 l n3 (? x) ?5l n x (?1) ? 2 两边求导得 1 y? ? 1 ? 4 ? 5 ? y 2( x ? 2) 3 ? x x ?1
于是

y? ? 1 5 5

5

x ? 2(3? x)4 [ 1 ? 4 ? 5 ] 2(x ? 2) x ? 3 x ?1 (x ?1)5 (4)两边取对数得 ln y ? 1 ln x ? 1 ln s i n x ? 1 l n1( ? ex ) ? 2 2 4 两边求导得 x 1 y? ? 1 ? 1 c o x t? e x ? y 2x 2 4(1? e )
于是

y? ?

于是

x y? ? x s i n x 1? e x [ 1 ? 1 c o x t? e x ] 2x 2 4(1? e )

ex ] ? 1 xs i n x 1? e x [ 2 ? 2 c o t x? x ? 4 x e ?1

5? 求下列参数方程所确定的函数的导数

dy ? dx

?x ? at2 (1) ? ? 2 ? y ? bt ?x ?? (1? sin ? ) (2) ? ? ? y ?? cos? 2 dy y? 解 (1) ? t ? 3bt ? 3b t ? dx xt? 2at 2a dy y? (2) ? ? ? cos? ?? sin? ? ? 1? sin? ?? cos? dx x? ?x ? et sin t, dy 6? 已知 ? 求当 t ? ? 时 的值? t 3 dx ? y ? e cost. dy yt? et cost ? et sin t cost ? sin t ? ? ? 解 ? dx xt? et sin t ? et cost sin t ? cost
当 t ? ? 时?
1 dy 2 ? ? dx 1 ? 2 3 2 ? 1? 3 ? 3 ? 2 ? 3 1? 3 2

3

7? 写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程? ?x ? sin t (1) ? ? 在 t ? ? 处? y ? cos 2 t 4 ? ?x ? 3at 2 ? (2) ? 1? t 2 ? 在 t=2 处? ? y ? 3at 2 ? 1? t dy y? 解 (1) ? t ? ? 2 sin 2t ?? dx xt? cost ? dy ? 2 sin(2 ? 4 ) ? 2 ? ? ? ? ?2 2 ? x0 ? 2 ? y0 ? 0 ?? 当 t ? 时? ? 2 dx 4 2 cos 4 2 所求切线方程为? y ? ?2 2 ( x ? 2 ) ? 即 2 2x ? y ? 2 ?0 ? 2 所求法线方程为 y ? ? 1 (x ? 2 ) ? 即 2 x ? 4 y ?1? 0 ? 2 ?2 2 6at(1? t 2 ) ? 3at2 ? 2t (2) yt? ? ? ? 6at 2 2 (1? t ) (1? t 2 )2
3a(1? t 2 ) ? 3at? 2t 3a ? 3at2 ? ? (1? t 2 )2 (1? t 2 )2 dy yt? ? ? 6at ? 2t ? dx xt? 3a ? 3at2 1? t 2 dy 2 ? 2 ? ? ? 4 ? x0 ? 6 a ? y0 ? 12 a ? 当 t?2 时? 2 dx 1? 2 3 5 5 所求切线方程为? y ? 12 a ? ? 4 (x ? 6 a) ? 即 4x?3y?12a?0? 5 3 5 所求法线方程为 y ? 12 a ? 3 (x ? 6 a) ? 即 3x?4y?6a?0? 5 4 5 xt? ?

3? 求下列函数的微分? (1) y ? 1 ? 2 x ? x (2) y?xsin 2x ?

(3) y ?

x x 2 ?1

?

(4) y?ln2(1?x)? (5) y?x2e2x ? (6) y?e?xcos(3?x)? (7) y ?arcsin 1? x2 ? (8) y?tan2(1?2x2)?
2 (9) y ? arctan 1? x 2 ? 1? x (10) s?Asin(?t??) (A? ?? ? 是常数) ? 解 (1)因为 y? ? ? 12 ? 1 ? 所以 dy ? (? 12 ? 1 )dx ? x x x x

(2)因为 y??sin2x?2xcos2x ? 所以 dy?(sin2x?2xcos2x)dx?
x 2 ?1 ? ? x x 2 ?1 ?

(3)因为 y? ?

x ?1
2

1 1 dx ? ? 所以 dy ? 2 2 (x ?1) x2 ?1 (x ?1) x ?1
2

(4) dy ? y?dx ?[ln 2 (1? x)]?dx ?[2 ln(1? x) ?

?1 ]dx ? 2 ln(1? x)dx ? (1? x) x ?1

(5)dy?y?dx?(x2e2x)?dx?(2xe2x?2x2e2x)dx?2x(1?x)e2x? (6) dy?y?dx?[e?xcos(3?x)]dx?[?e?xcos(3?x)?e?xsin(3?x)]dx ?e?x[sin(3?x)?cos(3?x)]dx ? (7) dy ? y?dx? (arcsin 1? x2 )?dx?
1 x ?(? 2 )dx? ? dx ? 1? (1? x2 ) 1? x2 | x | 1? x2

(8) dy?dtan2(1?2x2)?2tan(1?2x2)dtan(1?2x2) ?2tan(1?2x2)?sec2(1?2x2)d(1?2x2) ?2tan(1?2x2)?sec2(1?2x2)?4xdx ?8x?tan(1?2x2)?sec2(1?2x2)dx ?
2 2 1 (9) dy ? d arctan1? x2 ? d (1? x2 ) 2 1? x 1? (1? x )2 1? x 1? x2

? 2x(1? x2 ) ? 2x(1? x2 ) 1 ? dx? ? 4x 4 dx ? 2 2 2 (1? x ) 1? x 1? (1? x2 )2 1? x (10) dy?d[Asin(? t??)]?Acos(? t??)d(?t??)?A? cos(?t??)dx ? ?
4? 将适当的函数填入下列括号内? 使等式成立? (1) d( (2) d( (3) d( (4) d( (5) d( (6) d( (7) d( (8) d( )?2dx ? )?3xdx ? )?costdt ? )?sin ?xdx ? ) ? 1 dx ? x ?1 )?e?2xdx ? ) ? 1 dx ? x )?sec23xdx ?

解 (1) d( 2x?C )?2dx ? (2) d( 3 x2 ? C )?3xdx ? 2 (3) d( sin t?C )?costdt ? (4) d( ? 1 cos?x ? C )?sin ?xdx ?

?

(5) d( ln(1?x)?C ) ? 1 dx ? x ?1 (6) d( ? 1 e?2x ? C )?e?2xdx ? 2 1 dx (7) d( 2 x ? C ) ? ? x (8) d( 1 tan3x ? C )?sec23xdx ? 3 5? 求下列函数 f(x)的 f??(0)及 f??(0)?又 f ?(0)是否存在?
? sin x x ? 0 (1) f (x) ? ? ? 1? x) x ? 0 ?ln(

? x ? 1 (2) f (x) ? ? 1? e x ? 0 ?

x?0 x ?0
x?0

?

?(0) ? lim? 解 (1)因为 f?
?(0) ? lim? f?
x ?0

f (x) ? f (0) ? lim? sin x ?0 ?1 ? x?0 x ?0 x

1 f (x) ? f (0) ln( 1? x) ? 0 ? lim? ? lim? ln( 1? x) x ? ln e ?1? x ?0 x ?0 x ?0 x

而且 f??(0) ? f??(0)? 所以 f ?(0)存在? 且 f ?(0)?1?
x ?0 1 f ( x) ? f (0) x 1 ? e ?(0) ? lim? ? lim? ? lim? 1 1 ?1? (2)因为 f? x ?0 x ?0 x ?0 x ?0 x ?0 1? e x x ?0 1 f ( x) ? f (0) x 1 ? e ?(0) ? lim? f? ? lim? ? lim? 1 1 ? 0 ? x ?0 x ?0 x ?0 x ?0 x ?0 1? e x

而 f??(0)? f??(0)? 所以 f ?(0)不存在? 6? 讨论函数

1 ? ?x s i n f (x) ? ? x ? 0 ?
在 x?0 处的连续性与可导性? 解

x?0 x ?0

因为 f(0)?0? lim f (x) ? lim x sin 1 ? 0 ? f (0) ? 所以 f(x)在 x?0 处连续? x?0 x?0 x

x sin 1 ? 0 f (x) ? f (0) x ? lim sin 1 不存在? 所以 f(x)在 x?0 处不可 ? lim 因为极限 lim x ?0 x ?0 x ?0 x x x

导? 可导? 7? 求下列函数的导数? (1) y?arcsin(sin x)? (2) y ? arctan1? x ? 1? x

(3) y ? ln tan x ? cosx ?ln tanx ? 2 (4) y ? ln(e x ? 1? e2x ) ? (5) y ? x x (x>0) ? 解(1) y? ? (2) y? ?
1 1 ?(sin x)? ? ?cos x ? cos x ? 2 2 | cos x | 1? sin x 1? sin x

(1? x) ? (1? x) 1 1 ?(1? x )? ? ? ? 12? 2 1 ? x 1 ? x ( 1 ? x ) 1? x 2 1? x 2 1? ( ) 1? ( ) 1? x 1? x

(3) y? ? 1 ?(tan x )? ? sin x ?ln tan x ? cos x ? 1 ?(tanx)? 2 tan x tan x 2
1 ?sec2 x ? 1 ? sin x ?ln tan x ? cos x ? 1 ?sec2 x ? sin x ?ln t a n x? 2 2 tanx tan x 2

(4) y? ?

2x x 1 1 ? ?(e x ? 1? e2x )? ? ?(e x ? 2e )? e e x ? 1? e2x e x ? 1? e2x 2 1? e2x 1? e2x

x x (1? ln x) ? (5) ln y ? 1 ln x ? 1 y? ? ? 12 ln x ? 1 ? 1 ? y? ? x x (? 12 ln x ? 12 ) ? 2 y x x x x x x x

8? 求下列函数的二阶导数? (1)y?cos2x ?ln x ? (2) y ?
x ? 1? x 2

解 (1) y? ? ?2 cosx sin x?ln x ? cos2 x? 1 ? ?sin 2x?ln x ? cos2 x? 1 ? x x y?? ? ?2 cos2x?ln x ?s i n 2x? 1 ? 2 c o x ss i n x? 1 ? c o 2sx? 1 x x x2 2 2x ? c o s x ? ?2 cos 2x ? ln x ? 2 s i n ? 2 x x 1? x2 ? x ? ? x 3 1? x2 ? (1? x2)? 2 (2) y? ? 1? x2

y?? ? ? 3 (1? x2 ) 2

?5 2 ? (?2x) ?

3x ? (1? x2 )5

9? 求下列函数的 n 阶导数? (1) y ? m 1? x ? (2) y ?1? x ? 1? x 解 (1) y ? m 1? x ? (1? x) m ?
?1 ?2 ?3 y? ? 1 (1? x) m ? y?? ? 1 ( 1 ?1)(1? x) m ? y??? ? 1 ( 1 ?1)( 1 ? 2)(1? x) m ? ? ? ?? m m m m m m ?n y (n) ? 1 ( 1 ?1)( 1 ? 2) ? ? ? ( 1 ? n ?1)(1? x) m ? m m m m 1 1 1 1

1

(2) y ?1? x ? ?1? 2(1? x)?1 ? 1? x y??2(?1)(1?x)?2? y???2(?1)(?2)(1?x)?3? y????2(?1)(?2)(?3)(1?x)?4? ? ? ??
y (n) ? 2(?1)(?2)(?3) ? ? ? (?n)(1? x)?(n?1) ? 2(?1)n n! ? (1? x)n ?1

10? 设函数 y?y(x)由方程 e y?xy?e 所确定? 求 y??(0)? 解 方程两边求导得 e yy??y?xy??0? 于是
y? ? ? y ? x?ey

—— (1)

y?? ? (?

y y?(x ? e y ) ? y(1? e y y?) ? ? ——(2) ) ? ? x?ey ( x ? e y )2

当 x?0 时? 由原方程得 y(0)?1? 由(1)式得 y?(0) ? ? 1 ? 由(2)式得 y??(0) ? 1 ? e e2 dy d2y 11? 求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数 及二阶导数 2 ? dx dx

?x ? a cos3? (1) ? ? 3 ? y ? a sin ?
2 ? (2) ?x ? ln 1? t ? ? y ? arctant

解 (1)

dy (a sin3? )? 3a sin 2 ? cos? ? ? ? ? tan? ? dx (a cos3? )? 3a cos2 ? (? sin? ) d 2 y (? t a ? n)? ?s e 2 c? ? ? ? 1 se4 c? ?c s ? c? 2 3 ? 2 dx (a c o s ? ) ? 3a c o s? s i n ? 3a

1 dy (arctan t)? 1? t 2 1 ? ? ? ? (2) t dx [ln 1? t 2 ]? t 1? t 2 ?1 (1)? d2y t t 2 ? ? 1? t 2 ? ? ? t dx2 [ l n 1? t 2 ]? t3 2 1? t

?x ? 2et 12? 求曲线 ? 在 t=0 相的点处的切线方程及法线方程? ?t ?y ? e

dy (e?t )? ? e?t ? t ? t ? ? 12t ? dx (2e )? 2e 2e

dy ? ? 1 ? x?2? y?1? dx 2 所求切线的方程为 y ?1? ? 1 (x ? 2) ? 即 x?2y?4?0? 2

当 t?0 时?

所求法线的方程为 y?1?2(x?2)? 2? 验证拉格朗日中值定理对函数 y?4x3?5x2?x?2 在区间[0? 1]上的正确性? 解 因为 y?4x3?5x2?x?2 在区间[0? 1]上连续? 在(0? 1)内可导? 由拉格朗日中值定 y(1) ? y(0) ?0 ? 理知? 至少存在一点 ??(0? 1)? 使 y?(? ) ? 1? 0 5 ? 13 ?(0, 1) 由 y?(x)?12x2?10x?1?0 得 x ? ? 12

y(1) ? y(0) ? 1? 0 ? 验证罗尔定理对函数 y?ln sin x 在区间 [? , 5? ] 上的正确性? 6 6 解 因为 y?ln sin x 在区间 [? , 5? ] 上连续? 在 (? , 5? ) 内可导? 且 y(? ) ? y(5? ) , 6 6 6 6 6 6 所以由罗尔定理知? 至少存在一点 ? ?(? , 5? ) ? 使得 y?(?)?cot ??0? 6 6 由 y?(x)?cot x?0 得 ? ?(? , 5? ) ? 2 6 6 因此确有 ? ? ? ?(? , 5? ) ? 使 y?(?)?cot ??0? 2 6 6

因此确有 ? ? 5 ? 13 ?(0, 1) ? 使 y?(? ) ? 12

12? 证明方程 x5?x?1?0 只有一个正根? 证明 设 f(x)?x5?x?1? 则 f(x)是[0? ??)内的连续函数? 因为 f(0)??1? f(1)?1? f(0)f(1)?0? 所以函数在(0? 1)内至少有一个零点? 即 x5?x?1?0 至少有一个正根? 假如方程至少有两个正根? 则由罗尔定理? f ?(x)存在零点? 但 f ?(x)?5x4?1?0? 矛 盾? 这说明方程只能有一个正根? 习题 3?2 1? 用洛必达法则求下列极限? ln( 1? x) (1) lim ? x?0 x x ?x (2) lim e ? e ? x ?0 sin x (3) lim sin x ?sin a ? x?a x ?a (4) lim sin 3x ? x?? tan5x (5) lim ln sin x2 ? x?? (? ? 2x)
2

(6) lim x n ? a n ? x?a x ? a (7) lim ln tan7x ? x??0 ln tan2x
m m

(8) lim tan x ? x ? ? tan3x
2

ln( 1? 1 ) x ? (9) lim x ? ?? arc cot x

(10) lim
x ?0

ln(1? x 2 ) ? x ?0 sec x ? cos x

(11) lim x cot 2x ? (12) lim x2e x 2 ?
x?0 1

(13) lim( 22 ? 1 ) ? x?1 x ?1 x ?1 (14) lim(1? a )x ? x?? x (15) lim xsin x ?
x ??0

(16) lim ( 1 )tan x ? x??0 x
1 ln( 1? x) 1 ? ? lim x ? lim 1 ?1 ? 解 (1) lim x ?0 x ?0 1 x ?0 1? x x
x ?x x ?x (2) lim e ? e ? lim e ? e ? 2 ? x ?0 sin x x ?0 cos x (3) lim sin x ?sin a ? lim cosx ? cosa ? x?a x?a 1 x ?a 3x ? ? 3 ? (4) lim sin 3x ? lim 3cos 2 x?? tan5x x?? 5sec 5x 5

2 cot x (5) lim ln sin x2 ? lim ? ? 1 lim ? csc x ? ? 1 ? 4 x ?? ? 2 8 x?? (? ? 2x) x?? 2(? ? 2x)?(?2) 2 2 2
m m m ?1 m ?1 (6) lim x n ? a n ? lim mx n?1 ? mx n?1 ? m a m?n ? x ?a x ? a x ?a nx n na

1 ?sec2 7x?7 (7) lim ln tan7x ? lim tan7x x??0 ln tan2x x??0 1 ?sec2 2x?2 tan2x
2 2x ? 7 l i ms e c 2x ?2 ?1 ? 7 l i mt a n ? 2 2 x ? ?0 t a n 7 x 2 x ? ?0 s e c 7 x ? 7

2 x ? 1 lim cos2 3x (8) lim tanx ? lim sec 2 2 x?? tan3x x?? sec 3x ?3 3 x?? cos x 2 2 2

? 1 lim 3 x??

2

2c o 3 sx(?s i n 3x)?3 c o3 sx ?? l i m ? c o x s 2c o x s(?s i n x) x?
2

? 3s i n 3x ? 3 ? ?? l i m ? ?s i n x x?
2

1 ?(? 1 ) 1 x2 ln( 1? ) 1? 1 2 x ? lim x (9) lim ? lim 1? x 2 x ? ?? arccot x x ? ?? x ? ?? x ? x ? 12 1? x

? lim 2x ? lim 2 ?1 ? x??? 1? 2x x??? 2 2 ln(1? x2 ) cos x ln(1? x2 ) ? lim ? lim x 2 (10) lim 2 x ?0 sec x ? cos x x ?0 x ?0 1? cos x 1? cos x 2x ? lim ? lim x ? 1 ? x ?0 ? 2 cos x(? sin x) x ?0 s i n x
(注? cosx?ln(1?x2)~x2) (11) lim x cot2x ? lim
x?0
1 2 x2 (12) lim x e x ?0

x
1

x?0 tan2x

? lim

x?0 sec2 2x?2

1

?1 ? 2

t t x2 ? lim e ? lim e ? lim e ? ?? x ?0 1 t ??? t t ??? 1 2 x

(注? 当 x?0 时? t ? 1 ? ?? ? x2 2 ? 1 ? ? lim 1? x ? lim ?1 ? ? 1 (13) lim? ? ? ? x ?1? x 2 ?1 x ?1 ? x ?1 x 2 ?1 x ?1 2 x 2 (14)因为 lim (1? a ) x ? lim e x ?? x ?? x
x ln(1? a ) x ?



1 ?(? a ) a x2 l n1( ? ) 1? a x ?lim x lim x( l n 1? ( a) ? l i m x ?? x ? ? x ?? 1 x ? 12 x x

? lim ax ? lim a ? a ? x?? x ? a x?? 1
所以 ? (15)因为 lim xsin x ? lim esin xln x ?
x ??0 x ??0

lim (1? a ) x ? l i m e x ?? x?? x

xl n1? ( a) x ? ea

?



1 ln x x lim sin x ln x ? lim ? lim x ??0 x ??0 csc x x ??0 ? c s c x ?c o x t
? ? l i ms i n x ? 0 ? x ??0 x c o s x
2

所以

x ??0

lim xsin x ? lim esin xln x ? e0 ?1 ?
x ??0

(16)因为 lim ( 1 )tan x ? e?tan xln x ? x??0 x 而
1 ln x lim tanx ln x ? lim ? lim x x ??0 x ??0 c o x t x??0 ? c s 2 cx
2 ? ? l i ms i n x ? 0 ? x ? ?0 x lim ( 1 )tan x ? l i m e?tan x ln x ? e0 ?1? x??0 x x??0

所以

2? 验证极限 lim x ? sin x 存在? 但不能用洛必达法则得出? x?? x x ?s i n x?lim x ) ?1 ? 极限 lim x ? sin x 是存在的? 解 lim (1? s i n x?? x ? ? x?? x x x ? ( x ? sin x) ? lim 1? cos x ? lim (1? cos x) 不存在? 不能用洛必达法则? 但 lim x ?? x ?? x ?? ( x)? 1
x2 sin 1 x 存在? 但不能用洛必达法则得出? 3? 验证极限 lim x ?0 sin x x2 sin 1 x2 sin 1 x 1 x x 是存在的? ? lim ? x sin ?1?0 ? 0 ? 极限 lim 解 lim x ?0 sin x x ?0 sin x x ?0 sin x x

(x2 sin 1 )? 2x sin 1 ? cos 1 x ? lim x x 不存在? 不能用洛必达法则? 但 lim x?0 (sin x)? x?0 cosx
1 ? (1? x) x 1 ? ?[ ]x 4? 讨论函数 f ( x) ? ? e ? ?1 2 ? e ?

x?0 x?0
?1 2

在点 x?0 处的连续性?

解 f (0) ? e 2 ? lim f ( x) ? lim e
x ??0 x ??0

?1

?e

?1 2

? f (0) ?

因为 而

1 [ 1 l n1? ( x) ?1] (1? x) x 1 lim f ( x) ? lim [ ] x ? lim e x x ? x ??0 x ??0 x ? ? 0 e

1

x??0 x

l n1( ? x) ? x l i m1 [ 1 l n1( ? x) ?1] ? l i m x??0 x x2 1 ?1 1 ? ? lim x ? lim ?1 ? ? 1 ? x??0 2x x??0 2(1? x) 2
1

所以

1 [ 1 l n1? ( x) ?1] (1? x) x 1 lim f ( x) ? lim [ ] x ? lim e x x x ??0 x ??0 x ??0 e

?e

?1 2

? f (0) ?

因此 f(x)在点 x?0 处连续?
习题 3?5 1? 求函数的极值? (1) y?2x3?6x2?18x?7? (2) y?x?ln(1?x) ? ? (3) y??x4?2x2?? ? (4) y ? x ? 1? x ? (5) y ?
1? 3x 4 ? 5x 2

?

3x 2 ? 4 x ? 4 ? x 2 ? x ?1 (7) y?ex cos x ?

(6) y ?

(8)

1 y?x x

?
1

(9) y ? 3? 2( x ?1) 3 ? (10) y?x?tan x ? 解 (1)函数的定义为(??? ??)? ?y??6x2?12x?18?6(x2?2x?3)?6(x?3)(x?1)? 驻点为 x1??1? x2?3? 列表 x y? y (??? ?1) ? ↗ ?1 0 17 极大值 (?1? 3) ? ↘ 3 0 ?47 极小值 (3? ??) ? ↗

可见函数在 x??1 处取得极大值 17? 在 x?3 处取得极小值?47?

1 x ? 驻点为 x?0? 因为当?1?x?0 时? y??0? 当 x?0 时? ? 1? x 1? x y??0? 所以函数在 x?0 处取得极小值? 极小值为 y(0)?0? (3)函数的定义为(??? ??)? y???4x3?4x??4x(x2?1)? y????12x2?4? 令 y??0? 得 x1?0? x2??1? x3?1? 因为 y??(0)?4?0? y??(?1)??8?0? y??(1)??8?0? 所以 y(0)?0 是函数的极小值? y(?1)?1 和 y(1)?1 是 函数的极大值? (4)函数的定义域为(??? 1]?
(2)函数的定义为(?1? ??)? y ? ?1?

y ? ?1?

1 2 1? x

?

2 1? x ?1 2 1? x

?

3? 4 x 2 1? x (2 1? x ?1)

?

3 令 y??0? 得驻点 x ? ? 4 3 3 5 因为当 x ? 时? y?>0? 当 ? x ?1 时? y?<0? 所以 y(1) ? 为函数的极大值? 4 4 4
12 ) 5 ? 驻点为 x ? 12 ? (5)函数的定义为(??? ??)? y ? ? 5 (4 ? 5 x 2 ) 3 ? 5( x ?

因为当 x?
y( 12 205 )? ? 5 10

12 12 12 时 ? y??0? 当 x ? 时 ? y??0? 所 以 函 数 在 x ? 处 取 得 极 大 值 ? 极 大 值 为 5 5 5

(6)函数的定义为(??? ??)? y ? ? 列表 x (??? ?2)

? x ( x ? 2) ( x 2 ? x ?1) 2

? 驻点为 x1?0? x2??2?

?2

(?2? 0)

0

(0? ??)

y? y

? ↘

0

? ↗

0 ?极大值

? ↘

8 极小值 3

8 可见函数在 x??2 处取得极小值 ? 在 x?0 处取得极大值 4? 3
(7)函数的定义域为(??? ??)? y??e x(cos x?sin x )? y????e xsin x?

令 y??0? 得驻点 x ? ? 2k? ? x ? ? 2(k ?1)? ? (k?0? ?1? ?2? ?????)? 4 4
? 2 k? ? 2 ? ? 因为 y ??( ? 2k? ) ? 0 ? 所以 y ( ? 2k? ) ? e 4 是函数的极大值? 4 2 4

?

?

?

? 2( k ?1)? ? 2 ? ? 因为 y?? [ ? 2(k ?1)? ] ? 0 ? 所以 y[ ? 2(k ?1)? ] ? ?e 4 是函数的极小值? 4 2 4

?

1

(8)函数 y ? x x 的定义域为(0? ??)?
1

y?? x x ?

1 x2

(1? ln x) ?

令 y??0? 得驻点 x?e ?
1

因为当 x<e 时? y?>0? 当 x>e 时? y?<0? 所以 y(e) ? e e 为函数 f(x)的极大值? (9)函数的定义域为(??? ??)? y ? ? ? 减少的? 无极值?
2 1 ? 因为 y??0? 所以函数在(??? ??)是单调 3 ( x ?1) 2 / 3

? k? (k?0? ?1? ?2? ?????)? 2 因为 y??1?sec 2x >0? 所以函数 f(x)无极值?
(10)函数 y?x?tg x 的定义域为 x ? 2? 试证明? 如果函数 y?ax3?bx2?cx ?d 满足条件 b2 ?3ac<0? 那么这函数没有极值 ? 证明 y??3a x2?2b x?c? 由 b2 ?3ac<0? 知 a?0? 于是配方得到 y??3a x2?2b x?c ? 3a ( x 2 ? 值? ?
2b c b 3ac ? b 2 x ? ) ? 3a( x 2 ? ) 2 ? ? 3a 3a 3a 3a

?

因 3ac?b2?0? 所以当 a?0 时? y??0? 当 a?0 时? y??0? 因此 y?ax3?bx2?cx ?d 是单调函数? 没有极

1 ? 3? 试问 a 为何值时? 函数 f ( x) ? a sinx ? sin3x 在 x ? 处取得极值?它是极大值还是极小 3 3

值?并求此极值? 解 f ?(x)?acos x?cos 3x? f ??(x)??asin x?3 sin x? 要使函数 f(x)在 x ?

?
3

1 ? 处取得极值? 必有 f ?( ) ? 0 ? 即 a ? ?1? 0 ? a?2 ? 3 2

? 3 ? 当 a?2 时? f ??( ) ? ?2 ? ? 0 ? 因此? 当 a?2 时? 函数 f (x)在 x ? 处取得极值? 而且取得极大 3 2 3
值? 极大值为 f (
3 )? 3 ? 2 4? 求下列函数的最大值、最小值?

(1) y=2x3?3x2 ? ?1?x?4? (2) y?x4?8x2?2? ?1?x?3 ? (3) y ? x ? 1? x ? ?5?x?1? 解 (1)y??6x2?6x?6x(x?1)? 令 y??0? 得 x1?0? x2?1? 计算函数值得 y(?1)??5? y(0)?0? y(1)??1? y(4)?80? 经比较得出函数的最小值为 y(?1)??5? 最大值为 y(4)?80? (2)y??4x3?16x?4x(x2?4)? 令 y??0? 得 x1?0? x2??2(舍去)? x 3?2? 计算函数值得 y(?1)??5? y(0)?2? y(2)??14? y(3)?11? 经比较得出函数的最小值为 y(2)??14? 最大值为 y(3)?11? 1 3 (3) y ? ?1? ? 令 y??0? 得 x ? ? 计算函数值得 4 2 1? x

3 5 y(?5) ? ?5 ? 6 ? y( ) ? ? y(1)???? 4 4 3 5 经比较得出函数的最小值为 y(?5) ? ?5 ? 6 ? 最大值为 y( ) ? ? 4 4 3 2 5? 问函数 y?2x ?6x ?18x?7(1?x?4)在何处取得最大值?并求出它的最大值? 解 y??6x2?12x?18?6(x?3)(x?1)? 函数 f(x)在 1?x?4 内的驻点为 x?3? 比较函数值?
f(1)??29? f(3)??61? f(4)??47? 函数 f(x)在 x?1 处取得最大值? 最大值为 f (1)??29? 6? 问函数 y ? x 2 ? 解 y ? ? 2x ?

54 (x?0)在何处取得最小值? x

54

x 所以函数在 x??3 处取得极小值? 又因为驻点只有一个? 所以这个极小值也就是最小值? 即函数在 x??3 处取得最小值? 最小值为 y (?3) ? 27 ?
1. 填空:

y ?? ? 2 ?

x2 108
3

? 在(??? 0)的驻点为 x??3? 因为 ? y ??(?3) ? 2 ?

108 ?0 ? 27

x 设常数 k?0, 函数 f ( x) ? ln x ? ? k 在(0, ??)内零点的个数为__2______. e

习题 4?1 1. 求下列不定积分: 1 (1) ? 2 dx ; x 1 1 1 解 ? 2 dx ? ? x ?2 dx ? x ?2?1 ? C ? ? ? C . ? 2 ?1 x x (2) ? x xdx ;
3



? x xdx ? ? x 2 dx ?
1 x dx ;

1 2 ?1 2 x ?C ? x 2 x ?C . 3 5 ?1 2

3

(3) ? 解

?

1 x

dx ? ? x

?

1 2 dx ?

? ?1 1 x 2 ?C ?2 x ?C . 1 ? ?1 2

1

(4) ? x 2 3 xdx ;
7



23 ? x xdx ? ? x 3 dx ?

1 7 ?1 3

7

x 3 ?C ?

?1

3 33 x x ?C . 10

(5) ? 解

1 x
2

x

dx ;

? x2

1 x

dx ? ? x

?

5 2 dx ?

? ?1 1 3 1 x 2 ?C ?? ? ?C . 5 2 x x ? ?1 2

5

(6) ? m x n dx ;
n



?

m

x n dx ? ? x m dx ?

?1 1 m x m ?C ? x n n?m ?1 m

n

m? n m

?C .

(7) ? 5x 3 dx ; 解

? 5x

3

5 dx ?5? x 3 dx ? x 4 ? C . 4

(8) ? ( x 2 ?3x ? 2)dx ; 解

? (x

2

1 3 ?3x ? 2)dx ? ? x 2 dx ?3? xdx ? 2? dx ? x 3 ? x 2 ? 2x ? C . 3 2
(g 是常数);

(9) ?

dh 2 gh



?

dh 2 gh

?

?h 2g

1

?

1 2 dh ?

1 2g

1 ? 2h 2

?C ?

2h ?C . g

(10) ? ( x ? 2) 2 dx ; 解

? ( x ? 2)

2

1 dx ? ? ( x 2 ? 4x ? 4)dx ? ? x 2 dx ? 4? xdx ? 4? dx ? x 3 ? 2x 2 ? 4x ? C . 3

(11) ? ( x 2 ? 1) 2 dx ; 解

? (x

2

1 2 ?1) 2 dx ? ? ( x 4 ? 2x 2 ?1)dx ? ? x 4 dx ? 2? x 2 dx ? ? dx ? x 5 ? x 3 ? x ? C . 5 3

(12) ? ( x ?1)( x 3 ?1)dx ;
1 3



3 2 3 2 ? ( x ?1)( x ?1)dx? ? ( x ? x ? x ?1)dx? ? x dx? ? x 2 dx? ? x 2 dx? ? dx

1 2 2 ? x3 ? x 2 ? x 2 ? x ?C . 3 3 5

3

5

(13) ?

(1? x) 2 x

dx ;
1 2 1 ? 2x 2 3 ?x2 1 )dx ? 2 x 2 3 5



?

(1? x) 2 x

dx ? ?

1? 2 x ? x 2 x

dx ? ? ( x

?

4 2 ? x 2 ? x 2 ?C . 3 5

(14) ? 解

3 x 4 ? 3 x 2 ?1 dx ; x 2 ?1 3x 4 ? 3x 2 ?1 x ?1 x2 dx ; 1? x 2 x2 x 2 ?1?1 1? x
2 2

?

dx ? ? (3x 2 ?

1 x ?1
2

)dx ? x 3 ? arctan x ? C .

(15) ? 解

? 1? x 2 dx ? ?

dx ? ? (1?

1 1? x 2

)dx ? x ? arctan x ? C .

3 (16) ? (2e x ? )dx ; x



? (2e

x

3 1 ? )dx ? 2? e x dx ? 3? dx ? 2e x ? 3ln| x| ?C . x x
2

(17) ? (

3 1? x
3

?

2 1? x 2
2 1? x 2

)dx ;



? (1? x 2 ?
e ?x x

)dx ? 3?

1 1? x
2

dx ? 2?

1 1? x 2

dx ? 3arctan x ? 2 arcsin x ? C .

(18) ? e x (1?

)dx ;
1 2 1



x ? e (1?

e ?x x

)dx ? ? (e x ? x

?

)dx ? e x ? 2 x 2 ? C .

(19) ? 3 x e x dx ; 解

?3

x

e x dx ? ? (3e) x dx ?

(3e) x 3x e x ?C ? ?C . ln(3e) ln 3 ?1

(20) ?

2?3 x ? 5?2 x dx ; 3x



?

2 ? 3 x ? 5? 2 x 3x

2 ( )x 2 x 5 2 dx ? ? [2 ? 5( ) ]dx ? 2 x ? 5 3 ? C ? 2 x ? ( ) x ?C . 2 3 ln 2 ? ln3 3 ln 3

(21) ? sec x(sec x ? tan x)dx ; 解

?sec x(sec x ? tan x)dx ? ? (sec

2

x ?sec x tan x)dx ? tan x ?sec x ?C .

x (22) ? cos2 dx ; 2



? cos

2

x 1? cos x 1 1 dx ? ? dx ? ? (1? cos x)dx ? ( x ? sin x) ? C . 2 2 2 2

(23) ?

1 dx ; 1? cos2 x



? 1? cos2x dx? ? 2cos 2 x dx? 2 tan x ?C .
cos 2 x dx ; cos x ? sin x

1

1

1

(24) ? 解

cos 2 x cos 2 x ? sin 2 x dx ? ? cos x ? sin x ? cos x ? sin x dx ? ? (cos x ? sin x)dx ? sin x ? cos x ? C .

(25) ?

dx ; cos2 xsin2 x cos 2 x cos 2 x ? sin2 x 1 1 dx ? ? dx ? ? ( 2 ? )dx ? ? cot x ? tan x ? C . 解 ? 2 2 2 2 cos x sin x cos x sin x sin x cos 2 x
(26) ? (1? 解
1 x2 ) x x dx ;
3 5 7 1

cos2x

? ? 1 ? 4 ? 1? 2 ? x x dx ? ? ( x 4 ? x 4 )dx ? x 4 ? 4 x 4 ? C . ?? 7 ? x ?

习题 4?2
1 1. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数??使等式成立(例如?? dx ? d (4 x ? 7) : 4

(1) dx???d(ax); ? 1 解 dx?? ?d(ax). a (2) dx? d(7x?3);? 1 解 dx? d(7x?3). 7 (3) xdx? d(x2); 解 xdx? 1 d(x2). 2 (4) xdx? d(5x2);? 1 解 xdx? d(5x2). 10 (5) xdx ? d (1? x 2 ) ; 解 xdx ? ?

1 d (1? x 2 ) . 2

(6)x3dx? d(3x4?2);? 1 解 x3dx? d(3x4?2). 12

(7)e 2x dx? d(e2x); 解 e 2x dx? 1 d(e2x). 2 (8) e 2 dx ? d (1? e
?x ?x
x ?2

);
x ?2

解 e 2 dx ? ? 2 d (1? e

).

3 3 (9) sin xdx ? d (cos x) ; 2 2 3 2 3 解 sin xdx ? ? d (cos x) . 2 3 2

(10) 解 (11) 解

dx ? d (5 ln| x|) ; x dx 1 ? d (5ln| x|) . x 5 dx ? d (3? 5ln| x|) ; x

dx 1 ? ? d (3? 5ln| x|) . x 5 dx (12) ? d (arctan 3x) ; 1? 9x 2 dx 1 解 ? d (arctan 3x) . 2 3 1? 9x
(13)
dx 1? x 2 dx 1? x 2 ? d (1? arctan x) ;



? (?1) d (1? arctan x) .

(14)

xdx 1? x xdx 1? x
2 2

? d ( 1? x 2 ) .



? (?1) d ( 1? x 2 ) .

2. 求下列不定积分(其中 a, b, ?, ? 均为常数): (1) ? e5t dt ; 解

?e

5t

dt ?

1 5x 1 e d 5x ? e 5 x ? C . ? 5 5

(2) ? (3? 2x) 3 dx ; 解

? (3? 2x)

3

dx ? ?

1 1 (3? 2x) 3 d (3? 2x) ? ? (3? 2x) 4 ? C . ? 2 8

(3) ? 解

1 dx ; 1? 2 x
1 1 1 1

? 1? 2x dx? ? 2 ? 1? 2x d (1? 2x) ? ? 2 ln|1? 2x| ?C .
dx 2 ? 3x

(4) ? 3 解

;
1 2 2

?3

? 1 1 3 1 ? ? ? ( 2 ? 3 x) 3 d ( 2 ? 3 x) ? ? ? ( 2 ? 3x) 3 ? C ? ? ( 2 ? 3 x) 3 ? C . 3 3 2 2 2 ? 3x

dx

x

(5) ? (sin ax ? e b )dx ;
x



? (sinax ? e b )dx ?
sin t t dt ;

1 x 1 sin axd (ax) ? b ? e b d ( ) ? ? cos ax ? be b ? C . a? b a

x

x

(6) ?



?

sin t t

dt ? 2? sin t d t ? ?2 cos t ? C .

(7) ? tan10 x?sec2 xdx ; 解

? tan

10

x?sec2 xdx ? ? tan10 xd tan x ?

1 tan11 x ? C . 11

(8) ? 解

dx ; x ln x lnln x dx 1 1

? x ln x lnln x ? ? ln x lnln x d ln x ? ? lnln x d lnln x ? ln|lnln x| ?C .
x 1? x 2 dx ;

(9) ? tan 1? x 2 ?



2 ? tan 1? x ?

x 1? x
2

dx ? ? tan 1? x 2 d 1? x 2 ? ?

sin 1? x 2 cos 1? x
2

d 1? x 2

? ??

1 cos 1? x
2

d cos 1? x 2 ? ? ln | cos 1? x 2 | ?C .

(10) ? 解

dx ; sin x cos x

dx sec 2 x 1 ? ? sin x cos x ? tan x dx ? ? tan x d tan x ? ln| tan x | ?C .

(11) ? 解

1 dx ; e ?e?x
x

? e x ? e ? x dx ? ? e 2 x ?1 dx ? ? 1? e 2 x de
2

1

ex

1

x

? arctan e x ? C .

(12) ? xe ? x dx ; 解

? xe

? x2

dx ? ?

1 ? x2 1 2 e d (? x 2 ) ? ? e ? x ? C. ? 2 2

(13) ? x?cos(x 2 )dx ; 解

? x?cos(x2)dx ? 2 ? cos(x2)d (x2) ? 2 sin(x2) ? C .
x 2 ? 3x 2 dx ;

1

1

(14) ?



?

x 2 ? 3x 2
3x 3 1? x 4 3x 3

dx ? ?

? 1 1 1 ( 2 ? 3 x 2 ) 2 d ( 2 ? 3x 2 ) ? ? ( 2 ? 3 x 2 ) 2 ? C ? ? 2 ? 3x 2 ? C . ? 6 3 3

1

1

(15) ? 解

dx ; 3 1
4

? 1? x 4 dx ? ? 4 ? 1? x 4 d (1? x

3 ) ? ? ln|1? x 4 | ?C . 4

(16) ?cos2 (?t ?? )sin( ?t ?? )dt ; 解

? cos

2

(?t ?? ) sin(?t ?? )dt ? ?

cos ??

1

2

(?t ?? )d cos(?t ?? ) ? ?

1 cos3 (?t ?? ) ? C . 3?

sinx dx ; cos3 x sin x 1 1 解 ? dx ? ?? cos ?3 xd cos x ? cos ?2 x ? C ? sec 2 x ? C . 3 2 2 cos x sin x ? cos x dx ; (18) ? 3 sin x ? cos x

(17) ?



? 3 sin x ? cos x dx ? ? 3 sin x ? cos x d (? cos x ? sin x)
? ? (sin x ? cos x)
? 1 3

sin x ? cos x

1

3 d (sin x ? cos x) ? (sin x ? cos x) 3 ? C . 2

2

(19) ?

1? x 9?4x 2

dx ;



?
?

1? x 9?4x 2

dx ? ?

1 9?4x 2

dx ? ?

x 9?4x 2

dx

1 2?

2 1 1 1 2x 1 d ( x) ? ? d (9 ? 4 x 2 ) ? arcsin ? 9 ? 4x 2 ? C . 3 8 9? 4x 2 2 3 4 2 1? ( x) 2 3

1

(20) ? 解

x3 dx ; 9? x 2 x3 1 x2
2

? 9 ? x 2 dx ? 2 ? 9 ? x 2 d ( x
1 dx ; 2x 2 ?1
1 1

)?

1 9 1 (1? )d ( x 2 ) ? [ x 2 ? 9 ln(9 ? x 2 )] ? C . ? 2 2 2 9? x

(21) ? 解

? 2 x 2 ?1 dx ? ? (
? 1 2

2 x ?1)( 2 x ?1)
d ( 2 x ?1) ? 1 2

dx ?

1 1 1 ( ? )dx ? 2 2 x ?1 2 x ?1
d ( 2 x ?1) 2 x ?1 1

? 2

1 2 x ?1

? 2

?

1 2 2

ln| 2 x ?1| ?

1 2 2

ln| 2 x ?1| ?C ?

1 2 2

ln|

2 x ?1 2 x ?1

| ?C .

(22) ? 解

1 dx ; ( x ?1)( x ? 2)
1 1 1 1 1 1 x?2

? ( x ?1)( x ? 2) dx ? 3 ? ( x ? 2 ? x ?1)dx ? 3 (ln| x ? 2| ? ln| x ?1| ?C ? 3 ln| x ?1 | ?C .

(23) ? cos3 xdx ; 解

? cos

3

1 xdx ? ? cos 2 xd sin x ? ? (1?sin2 x)d sin x ?sin x ? sin3 x ? C . 3

(24) ? cos 2 (?t ?? )dt ;



? cos

2

(?t ?? )dt ?

1 1 1 [1? cos 2(?t ?? )]dt ? t ? sin2(?t ?? ) ? C . ? 2 2 4?

(25) ? sin2x cos3xdx ; 解

? sin2x cos3xdx ? 2 ? (sin5x ?sinx)dx ? ?10 cos5x ? 2 cos x ?C .

1

1

1

x (26) ? cos x cos dx ; 2



? cos x cos 2 dx? 2 ? (cos 2 x ? cos 2 x)dx ? 3 sin 2 x ? sin 2 x ? C .

x

1

3

1

1

3

1

(27) ? sin5x sin7 xdx ; 解

? sin5x sin7 xdx ? ? 2 ? (cos12x ? cos2x)dx? ? 24 sin12x ? 4 sin2x ? C .

1

1

1

(28) ? tan3 xsec xdx ; 解

? tan

3

x sec xdx? ? tan 2 x?sec x tan xdx? ? tan 2 xd sec x

1 ? ? (sec2 x ?1)d sec x ? sec3 x ? sec x ? C . 3
(29) ?
10 2arccosx 1? x 2 dx ;



?

10 2arccosx 1? x 2

dx ? ??10 2arccosx d arccos x ? ?

1 10 2arccosx 10 2arccosx d (2 arccos x) ? ? ?C . ? 2 2 ln10

(30) ?

arctan x x (1? x)
arctan x x (1? x)

dx ;



?

dx ? 2?

arctan x d x ? 2? arctan x d arctan x ? (arctan x ) 2 ? C . (1? x)
;

(31) ?

dx (arcsin x) 2 1? x 2



?

dx (arcsin x) 2 1? x 2

??

1 (arcsin x)
2

d arcsin x ? ?

1 ?C . arcsin x

(32) ? 解

1? ln x ( x ln x) 2 1? ln x

dx ; 1 1

? ( x ln x) 2 dx ? ? ( x ln x) 2 d ( x ln x) ? ? x ln x ? C .
ln tan x dx ; cos x sin x ln tan x ln tan x ln tan x ?sec 2 xdx ? ? d tan x tan x tan x

(33) ? 解

? cos x sin x dx? ?

1 ? ? ln tan xd ln tan x ? (ln tan x) 2 ? C . 2
(34) ?
x2 a2 ? x2 x2 dx ( a >0);



?

令x ? a sint a 2 sin 2 t 2 2 2 1? cos 2t dx ? a cost a costdt ? a ? sin tdt ? a ? 2 dt , 2 2 a ?x
1 a2 a2 x x ? a 2 t ? sin 2t ? C ? arcsin ? a 2 ? x 2 ?C . 2 4 2 a 2

(35) ?

dx x x 2 ?1 dx x x ?1
2

;



?

令x ? sect

? sect ? tan t ?sect tan tdt ? ? dt ? t ? C ? arccos x ? C .

1

1



?

dx x x 2 ?1

??

1 x 2 1? 1 x2

dx ? ??

1 1?

1 1 d ? arccos ? C . x 1 x x2

(36) ?

dx ( x 2 ?1) 3
dx ( x 2 ?1) 3

;



?

令x ? tan t

?

1 (tan 2 t ?1) 3

d tan t ? ? costdt ? sint ? C ?

x x 2 ?1

?C .

(37) ?

x 2 ?9 dx ; x x 2 ? 9 令x ? 3sect 9 sec 2 t ? 9 2 dx ? 3sect d (3sect ) ? 3? tan tdt x



?

?3? (

3 ?1)dt ?3tant ?3t ? C ? x 2 ?9 ?3arccos ? C . x cos t
2

1

(38) ? 解

dx 1? 2 x

;
1 1

? 1?

dx 令 2 x ? t 2x

? 1? t tdt ? ? (1? 1? t )dt ? t ? ln(1? t ) ? C ?

2 x ? ln(1? 2 x ) ? C .

(39) ?

dx 1? 1? x 2
dx

;



?

令x ? sint
2

1? 1? x

? 1? cost costdt ? ? (1? 1? cost )dt ?? (1? 2 sec

1

1

1

2

t )dt 2

t sint x ? t ? tan ? C ? t ? ? C ? arcsin x ? ?C . 2 1? cost 1? 1? x 2

(40) ?

dx x ? 1? x 2
dx x ? 1? x
2

.



?

令x ? sint

? sint ? cost ?costdt ? 2 ?

1

1 cost ? sint ? cost ? sint dt sint ? cost

?

1 1 1 1 1 dt ? ? d (sint ? cost ) ? t ? ln|sint ? cost | ?C ? 2 2 sint ? cost 2 2

1 1 ? arcsin x ? ln| 1? x 2 ? x| ?C . 2 2

习题 4?3 求下列不定积分: 1. 解 2. 解 3. 解

? x sin xdx ;

? xsin xdx? ?? xd cosx ? ?xcosx? ?cosxdx? ?xcosx?sin x?C
? ln xdx ;
? ln xdx? x ln x ? ? xd ln x ? x ln x ? ? dx? x ln x ? x ?C .

.

? arcsin xdx ;

? arcsin xdx? x arcsin x ? ? xd arcsin x
? x arcsin x ? ? x 1? x 2 dx

? xa r c s x i? n 1? x 2 ? C .

4.

? xe

?x

dx ;



? xe

?x

dx? ?? xde? x ? ?xe ? x ? ? e ? x dx

? ? xe ? x ? e ? x ? C ? ?e ? x ( x ?1) ? C .
5. 解

?x

2

ln xdx ;
ln xdx ? 1 1 1 ln xdx 3 ? x 3 ln x ? ? x 3 d ln x ? 3 3 3

?x

2

1 1 1 1 ? x 3 ln x ? ? x 2 dx? x 3 ln x ? x 3 ? C . 3 3 3 9
6.

?e

?x

cos xdx ;

解 因为

?e

?x

cos xdx? ? e ? x d sin x ?e ? x sin x ? ? sin xde? x ?e ? x sin x ? ? e ? x sin xdx

?e ? x sin x ? ? e ? x d cos x ?e ? x sin x ?e ? x cos x ? ? cos xde? x ? e ? x sin x ? e ? x cos x ? ? e ? x cos xdx ,
所以 7.

?e ?e

?x

1 1 cos xdx ? (e ? x sin x ? e ? x cos x) ? C ? e ? x (sin x ? cos x) ? C . 2 2

?2 x

x sin dx ; 2 x x x x sin dx ? 2? e ?2 x d cos ? 2e ?2 x cos ? 2? cos de ?2 x 2 2 2 2

解 因为

?e

?2 x

x x x x ? 2e ?2 x cos ? 4? e ?2 x cos dx ? 2e ?2 x cos ?8? e ?2 x d sin 2 2 2 2 x x x ? 2e ?2 x cos ?8e ?2 x sin ?8? sin de?2 x 2 2 2 x x x ? 2e ?2 x cos ?8e ?2 x sin ?16? e ?2 x sin dx , 2 2 2

所以 8. 解 9.

?e

?2 x

x 2 x x sin dx ? ? e ?2 x (cos ? 4sin ) ? C . 2 17 2 2

? x cos 2 dx ; ? x cos 2 dx? 2? xd sin 2 ? 2x sin 2 ? 2? sin 2 dx? 2x sin 2 ? 4cos 2 ? C .
x x x x x x

x

?x

2

arctan xdx ;



?x

2

arctan xdx ?

1 1 1 1 arctan xdx3 ? x 3 arctan x ? ? x 3 ? dx 3? 3 3 1? x 2

1 1 x2 1 1 1 ? x 3 arctan x ? ? dx 2 ? x 3 arctan x ? ? (1? )dx 2 3 6 1? x 2 3 6 1? x 2

1 1 1 ? x 3 arctan x ? x 2 ? ln( 1? x 2 ) ? C . 3 6 6
10. 解

? x tan
? x tan

2

xdx

1 xdx ? ? x(sec 2 x ?1)dx ? ? x sec2 xdx ? ? xdx ? ? x 2 ? ? xd tan x 2 1 1 ? ? x 2 ? x tan x ? ? tan xdx ? ? x 2 ? x tan x ? ln|cos x| ?C . 2 2
2

11. 解

?x ?x

2

cos xdx ;

2

cos xdx? ? x 2 d sin x ? x 2 sin x ? ? sin x?2xdx? x 2 sin x ? 2? xd cos x

? x 2 sin x ? 2x cos x ? 2? cos xdx? x 2 sin x ? 2x cos x ? 2sin x ?C .
12. 解

? te
? te

?2t

dt ;

1 1 1 tde?2t ? ? te?2t ? ? e ?2t dt ? 2 2 2 1 ?2t 1 ?2t 1 ?2t 1 ? ? te ? e ? C ? ? e (t ? ) ? C . 2 4 2 2
?2t

dt ? ?

13. 解

? ln
? ln

2

xdx ;

1 xdx ? x ln 2 x ? ? x ? 2 ln x ? dx ? x ln 2 x ? 2? ln xdx x 1 ? x ln 2 x ? 2x ln x ? 2? x? dx ? x ln 2 x ? 2x ln x ? 2x ? C . x
2

14. 解

? xsinxcosxdx ;

? x sin x cos xdx? 2 ? x sin2xdx? ? 4 ? xd cos2x ? ? 4 x cos2x ? 4 ? cos2xdx
1 1 ? ? x cos 2 x ? sin2 x ? C . 4 8

1

1

1

1

15. 解

?x ?x

2

cos 2

x dx ; 2

2

x 1 1 1 1 1 cos 2 dx ? ? x 2 (1? cos x)dx ? x 3 ? ? x 2 d sin x ? x 3 ? x 2 sin x ? ? x sin xdx 2 2 6 2 6 2

1 1 1 1 ? x 3 ? x 2 sin x ? ? xd cos x ? x 3 ? x 2 sin x ? x cos x ? ? cos xdx 6 2 6 2 1 1 ? x 3 ? x 2 sin x ? x cos x ? sin x ? C . 6 2
16. 解

? x ln(x ?1)dx ;

? x ln(x ?1)dx? 2 ? ln(x ?1)dx

1

2

1 1 1 ? x 2 ln(x ?1) ? ? x 2 ? dx 2 2 x ?1

1 1 1 ? x 2 ln(x ?1) ? ? ( x ?1? ? )dx 2 2 x ?1 1 1 1 1 ? x 2 ln(x ?1) ? x 2 ? x ? ln(x ?1) ? C . 2 4 2 2
17. 解

? (x
? (x

2

?1)sin2xdx ;

1 1 1 ( x 2 ?1)d cos 2x ? ? ( x 2 ?1) cos 2x ? ? cos 2x? 2xdx ? 2 2 2 1 1 ? ? ( x 2 ?1) cos 2 x ? ? xd sin2 x 2 2
2

?1) sin2xdx ? ?

1 1 1 ? ? ( x 2 ?1) cos 2x ? x sin2 x ? ? sin2xdx 2 2 2 1 1 1 ? ? ( x 2 ?1) cos 2x ? x sin2x ? cos 2x ? C . 2 2 4
18. 解

? ?

ln 3 x x2 x
2

dx ; 1 1 1 1 1 ? ? ln 3 x ? ? d ln 3 x ? ? ln 3 x ? 3? 2 ln 2 xdx x x x x x

ln 3 x

dx ? ? ? ln 3 xd

1 1 1 3 1 ? ? ln3 x ? 3? ln 2 xd ? ? ln3 x ? ln 2 x ? 3? d ln 2 x x x x x x 1 3 1 1 3 1 ? ? ln3 x ? ln 2 x ? 6? 2 ln xdx ? ? ln3 x ? ln 2 x ? 6? ln xd x x x x x x

1 3 6 1 ? ? ln3 x ? ln 2 x ? ln x ? 6? 2 dx x x x x
1 3 6 6 ? ? ln3 x ? ln 2 x ? ln x ? ? C . x x x x
19. 解

?e
?e
3

3

x

dx ;

x

令3 x ? t 2 t dx 3? t e dt ? 3? t 2 det

?3t 2 e t ?6? tet dt ?3t 2 e t ?6? tdet

?3t 2 e t ? 6tet ? 6? e t dt
? 3t 2 e t ? 6tet ? 6e t ? C

?3e
20.

3

x 3

( x 2 ? 23 x ? 2) ? C .

? cosln xdx ;

解 因为

? cosln xdx ? x cosln x ? ? x?sinln x? x dx
1 ? x cosln x ? ? sinln xdx ? x cosln x ? x sinln x ? ? x?cosln x? dx x

1

? x cosln x ? x sinln x ? ? cosln xdx ,
所以 21. 解

? cosln xdx ? 2 (cosln x ? sinln x) ? C .

x

? (arcsinx)
? (arcsin x)

2

dx ;
1 1? x 2 dx

2

dx ? x(arcsin x) 2 ? ? x ? 2 arcsin x ?

? x(arcsin x) 2 ? 2 ? arcsin xd 1? x 2 ? x(arcsin x) 2 ? 2 1? x 2 arcsin x ? 2? dx

? x(arcsin x) 2 ? 2 1? x 2 arcsin x ? 2x ?C .
22. 解 而

?e
?e
?e

x

sin2 xdx .
1 x 1 1 e (1? cos 2x)dx ? e x ? ? e x cos 2xdx , ? 2 2 2

x

sin2 xdx ?

x

cos2xdx? ? cos2xde x ?e x cos2x ? 2? e x sin2xdx

?e x cos2x ? 2? sin2xde x ?e x cos2x ? 2e x sin2x ? 4? e x cos2xdx ,

?e
所以

x

1 cos 2xdx ? e x (cos 2x ? 2sin2x) ? C , 5

?e

x

1 1 sin2 xdx ? e x ? e x (cos 2 x ? 2sin2 x) ? C . 2 10

习题 4?4 求下列不定积分: 1. 解

? x ? 3dx ;
x3 x 3 ? 27 ? 27 ( x ? 3)( x 2 ? 3 x ? 9) ? 27 dx ? dx ? dx ? x?3 ? x?3 ? x?3

x3

? ? ( x 2 ? 3x ? 9)dx ? 27?

1 dx x ?3

1 3 ? x3 ? x 2 ? 9x ? 27ln| x ? 3| ?C . 3 2 2x ? 3 2. ? 2 dx ; x ? 3x ?10 2x ? 3 1 解 ? 2 dx ? ? 2 d ( x 2 ? 3x ?10) ? ln| x 2 ? 3x ?10| ?C . x ? 3x ?10 x ? 3x ?10
3. 解
x 5 ? x 4 ?8 ? x 3 ? x dx ;
x5 ? x 4 ?8 x 2 ? x ?8 2 dx ? ( x ? x ? 1 ) dx ? ? x3 ? x ? ? x 3 ? x dx

1 1 8 4 3 ? x3 ? x 2 ? x ? ? dx ? ? dx ? ? dx 3 2 x x ?1 x ?1 1 1 ? x3 ? x 2 ? x ?8ln| x| ?4ln| x ?1| ?3ln| x ?1| ?C . 3 2
4. 解

? x 3 ?1 dx ;
? x3 ?1dx? ?( x ?1 ? x2 ? x ?1)dx??( x ?1 ? 2 ? x2 ? x ?1 ? 2 ? x2 ? x ?1)dx
? ln| x ?1| ? 1 1 3 d ( x 2 ? x ?1) ? ? ? 2 2 x ? x ?1 2
2 x ?1 ?C . 3

3

3

1

?x ? 2

1

1

2 x ?1
1

3

1

1 d (x ? ) 2 1 3 ( x ? )2 ? ( )2 2 2

? ln

| x ?1| x ? x ?1
xdx
2

? 3 arctan

5. 解

? ( x ?1)( x ? 2)( x ? 3) ; ? ( x ?1)( x ? 2)( x ? 3) ? 2 ? ( x ? 2 ? x ?1 ? x ? 3 )dx
1 ? (ln| x ? 2| ?3ln| x ? 3| ?ln| x ?1|) ? C . 2
xdx 1 4 1 3

6.

x 2 ?1 ? ( x ?1) 2 ( x ?1) dx ;
x 2 ?1 1 1 1 1 1 ? ( x ?1) 2 ( x ?1) dx ? ?[ 2 ? x ?1 ? 2 ? x ?1 ? ( x ?1) 2 ]dx



1 1 1 ? ln| x ?1| ? ln| x ?1| ? ?C 2 2 x ?1 1 1 ? ln| x 2 ?1| ? ?C . 2 x ?1 1 dx ; 7. ? x( x 2 ?1)
解 8. 解

? x( x 2 ?1) dx ? ? ( x ? 1? x 2 )dx ? ln| x | ? 2 ln(1? x

1

1

x

1

2

)?C .

? ( x 2 ?1)( x 2 ? x) ;
? ( x 2 ?1)( x 2 ? x) ? ? ( x ? 2 ? x 2 ?1 ? 2 ? x ?1)dx
1 1 x ?1 ? ln| x| ? ln| x ?1| ? ? 2 dx 2 2 x ?1 1 1 2x 1 1 ? ln| x| ? ln| x ?1| ? ? 2 dx ? ? 2 dx 2 4 x ?1 2 x ?1
dx 1 1 x ?1 1 1

dx

1 1 1 ? ln| x| ? ln| x ?1| ? ln(x 2 ?1) ? arctan x ? C . 2 4 2 dx 9. ? 2 ; ( x ?1)( x 2 ? x ?1)


? ( x 2 ?1)( x 2 ? x ?1) ? ? ( x 2 ? x ?1 ? x 2 ?1)dx
? 1 2x ?1 1 1 1 ? ? 2 dx ? ln(x 2 ?1) ? 2 2 x ? x ?1 2 x ? x ?1 2

dx

x ?1

x

1 1 1 1 ? ln| x 2 ? x ?1| ? ln(x 2 ?1) ? ? 2 dx 2 2 2 x ? x ?1
1 1 3 2 x ?1 ? ln| x 2 ? x ?1| ? ln(x 2 ?1) ? arctan ?C . 2 2 3 3

10. 解

? x 4 ?1 dx ;
? x 4 ?1 dx ? ? ( x 2 ?
1 1 dx 2 x ?1)( x 2 ? 2 x ?1)

1

2 1 2 1 x? ? x? 2 dx ? 4 2 dx ?? 2 4 ? x2 ? x ? 2 x ?1 2 x ?1 1 2 1 2 (2 x ? 2 ) ? (2 x ? 2 ) ? 2 2 2 2 dx ? 2 2 dx ? 4 ? x 2 ? 2 x ?1 4 ? x 2 ? 2 x ?1
? 2 d ( x 2 ? 2 x ?1) d ( x 2 ? 2 x ?1) 1 dx dx [? 2 ?? 2 ]? (? 2 ?? 2 ) 8 4 x ? 2 x ?1 x ? 2 x ?1 x ? 2 x ?1 x ? 2 x ?1 2 x 2 ? 2 x ?1 2 2 ln| 2 |? arctan( 2 x ?1) ? arctan( 2 x ?1) ? C . 8 4 4 x ? 2 x ?1

?

11.

? x2 ?2 ? ( x 2 ? x ?1) 2 dx ;



? ( x 2 ? x ?1) 2 dx ? ? ( x 2 ? x ?1) 2 dx ? ? x 2 ? x ?1 dx
? 1 2 x ?1 3 1 1 dx ? ? 2 dx ? ? 2 dx 2 ? ( x 2 ? x ?1) 2 2 ( x ? x ?1) 2 x ? x ?1

? x2 ? 2

x ?1

1

1 1 3 1 1 ?? ? 2 ? ? 2 dx ? ? 2 dx , 2 2 x ? x ?1 2 ( x ? x ?1) x ? x ?1

因为

? x 2 ? x ?1 dx ?

1

1

2 1 2 x ?1 2 2 x ?1 d( ) ? arctan( ), ? 3 1? ( 2 x ?1) 2 3 3 3 3 1 1 3 [( x ? ) 2 ? ( ) 2 ]2 2 2
x

? ( x 2 ? x ?1) 2 dx ? ?
dx

dx

由递推公式

? ( x 2 ? a 2 ) n ? 2a 2 (n ?1) [ ( x 2 ? a 2 ) n?1 ? (2n ? 3) ? ( x 2 ? a 2 ) n?1 ] ,


1

dx

? ( x 2 ? x ?1) 2 dx ? ?
1 2( 3 2 ) 2 x?

1

1 1 3 [( x ? ) 2 ? ( ) 2 ]2 2 2

dx

?

1 dx 1 2 x ?1 2 2 2 x ?1 ( 2 2 ?? 2 )? ? 2 ? ? arctan , 3 3 x ? x ?1 x ? x ?1 x ? x ?1 3 3

所以

1 1 1 2 x ?1 2 2 x ?1 2 2 x ?1 ? x2 ?2 ? ( x 2 ? x ?1) 2 dx ? ? 2 ? x 2 ? x ?1 ? 2 x 2 ? x ?1 ? 3 arctan 3 ? 3 arctan 3 ? C ?? x ?1 x ? x ?1
2

?

4 3

arctan

2 x ?1 3

?C .

12. 解

? 3? sin2 x ; ? 3?sin2 x ? ? 4 ?cos2 x dx? ? 4 tan 2 x ?3 d tan x
? 1 4? 1 3 tan x ? ( )2 2
2

dx

dx

1

1

d tan x ?

1 2 3

arctan

2tan x 3

?C .

13.

? 3? cos x dx ;
x d( ) 2 ?? x 2 x 2 x 1? cos cos (1? sec 2 ) 2 2 2 dx

1

1 1 解 ? dx ? ? 3 ? cos x 2

x x tan 2 ? 1 arctan 2 ?C . ?? x 2 2 2 ? tan 2 2 d tan
x 令u ? tan 2 1 ? 3 ? cos x dx ? 1 2 ? du 2u 1? u 2 3? 1? u 2



??
14.

1 u 2 ?( 2)2
1

du ?

1 2

arctan

u 2

?C ?

1 2

tan arctan

x 2 ?C . 2

? 2 ? sin x dx ;
x d( ) dx 2 ? x x ? 2x x 2 x 2 ? 2 sin cos sin (csc ? cot ) 2 2 2 2 2

1 解 ? dx ? ? 2 ? sin x

x x 1 d (cot ) d (cot ? ) 2 2 2 ? ?? ? ?? x 2 x x 1 3 cot ? cot ?1 (cot ? ) 2 ? ( ) 2 2 2 2 2 2

x 2 cot ?1 2 ?C . ?? arctan 3 3 2
x 令u ? tan 2 1 ? 2 ? sin x dx ? 1 2 ? du 2u 1? u 2 2? 1? u 2



??

1 u ? u ?1
2

du ? ?

1 1 3 (u ? ) 2 ? ( ) 2 2 2
2

du

?

2 3

arctan

2u ?1

x 2 tan ?1 2 ?C . ?C ? arctan 3 3 3

15.

? 1? sin x ? cos x ;
x d (tan ) 2 ? ln| tan x | ?C . ?? x x x 2 cos 2 (1? tan ) 1? tan 2 2 2 dx
x 2

dx

dx 1 解 ? ? ? 1? sin x ? cos x 2



dx ? 1? sin x ? cos x

令u ? tan

?

1 1? ? 1? u 2 1? u 2 2u 1? u
2

?

2 1? u 2

du

??
16.

1 x du ? ln|u ?1| ?C ? ln| tan ?1| ?C . u ?1 2 dx

? 2sin x ? cos x ? 5 ;
? 2sin x ? cos x ? 5
dx 令u ? tan x 2



?

1 ? ?5 1? u 2 1? u 2
arctan 3u ?1

4u

1? u

2

?

2 1? u
2

du ? ?

1 3u ? 2u ? 2
2

du

1 ? ? 3

1 1 5 (u ? ) 2 ? ( ) 2 3 3

du ?

1 5

x 3 tan ?1 2 ?C . ?C ? arctan 5 5 5 1



? 2 sin x ? cos x ? 5

dx

令u ? tan

x 2

?

1 ? ?5 1? u 2 1? u 2 4u 1? u
2

?

2 1? u 2

du

??

1 3u ? 2u ? 2
2

du ?

1 3?

1 1 5 (u ? ) 2 ? ( ) 2 3 3
1

du

?

1 5

arctan

3u ?1

x 3 tan ?1 2 ?C ? arctan ?C . 5 5 5

17.

? 1? 3

1 x ?1

dx ;



? 1? 3 x ?1 dx ?

1

令3 x ?1 ? u

? 1? u ?3u

1

2

du ? 3? (u ?1?

1 )du 1? u

3 3 ? u 2 ? 3u ? 3ln|1? u | ?C ? 3 ( x ?1) 2 ? 33 x ?1 ? 3ln(1? 3 x ?1) ? C . 2 2
18.

?

( x ) 3 ?1 x ?1

dx ;
3



?

( x ) 3 ?1

1 2 dx ? ? [( x ) 2 ? x ?1]dx ? x 2 ? x 2 ? x ? C . 2 3 x ?1
dx ;

19.

?

x ?1 ?1 x ?1 ?1



?

令 x ?1 ? u u ?1 2 dx ? 2udu ? 2? (u ? 2 ? )du ? u ? 1 u ?1 x ?1 ?1 x ?1 ?1

1 ? 2( u 2 ? 2u ? 2 ln|u ?1|) ? C 2
? ( x ?1) ? 4 x ?1 ? 4ln( x ?1 ?1) ? C .
20.

?

dx x ?4 x

;
1



?

dx x? x
4

令x ? u 4

? u 2 ? u ? 4u

3

du

? 4? (u ?1?

1 )du ? 2u 2 ? 4u ? 4 ln|1? u | ?C 1? u

? 2 x ? 4 x ? 4 ln( 1? 4 x ) ? C .

21.

?

1? x dx ; 1? x x
1? u 2 ?4u 1? x du , , dx ? ?u , 则 x ? 2 1? x 1? u (1? u 2 ) 2

解 令

?

1? x dx 1? u 2 ? 4u 1 1 ? ?u? ? du ? 2? ( 2 ? )du 2 2 2 1? x x 1? u (1? u ) u ?1 1? u 2

? ln|
? ln|

u ?1 | ?2 arctan u ? C u ?1
1? x ? 1? x 1? x ? 1? x | ?2 arctan 1? x ?C . 1? x

22.

?3

dx ( x ?1) 2 ( x ?1) 4

.

解 令3

u 3 ?1 x ?1 6u 2 ? u , 则 x ? 3 , dx ? ? 3 , 代入得 x ?1 u ?1 (u ?1) 2

?3

dx ( x ?1) 2 ( x ?1) 4

??

3 3 3 x ?1 du ? ? u ? C ? ? 3 ?C . ? 2 2 2 x ?1

总习题四 求下列不定积分(其中 a, b 为常数): dx 1. ? x ? x ; e ?e 解 2. 解 3.

? e x ? e ? x ? ? e 2 x ?1 dx ? ? e 2 x ?1de ? (1? x) 3 dx ;
x x 1 1

dx

ex

1

x

1 e x ?1 ? ln| x | ?C . 2 e ?1

? (1? x) 3 dx ? ? ? ( x ?1) 2 dx ? ? ( x ?1) 3 dx ? x ?1 ? 2 ? (1? x) 2 ? C .
x2 ? a 6 ? x 6 dx (a>0);

1

1

1



? a 6 ? x 6 dx ? 3 ? (a 3 ) 2 ? ( x 3 ) 2 d ( x

x2

1

1

3

)?

1 6a

ln| 3

x3 ?a3 x3 ?a3

| ?C .

4. 解 5. 解 6. 解 7. 解

? x ? sin x dx ; ? x ? sin x dx ? ? x ? sin x d ( x ? sin x) ? ln| x ? sin x| ?C . ?
ln ln x dx ; x lnln x 1 1 dx ? ? lnln xd ln x ? ln x?lnln x ? ? ln x? ? dx ? ln x?lnln x ? ln x ? C . x ln x x 1? cos x 1

1? cos x

?

? 1?sin4 x dx ;
? 1? sin 4 x dx ? ? 1? sin 4 x d sin x ? 2 ? 1? (sin 2 x) 2 d (sin
sin x cos x sin x 1 1
2

sin x cos x

1 x) ? arctan sin 2 x ? C . 2

? tan

4

xdx ;
sin 4 x cos 2 x d tan x ? ? tan 2 x sin 2 xd tan x 1
2

4 ? tan xdx ? ?

)d tan x tan x ?1 1 1 ? tan 3 x ? tan x ? arctan tan x ? c ? tan 3 x ? tan x ? x ? c . 3 3 tan x ?1
2

??

tan 4 x

d tan x ? ? (tan 2 x ?1?

8. 解

? sin x sin2x sin3xdx ;

? sin x sin2x sin3xdx? ? 2 ? (cos3x ? cos x)sin3xdx
?? ? ? 1 1 cos3x sin3xdx ? ? cos x sin3xdx ? 2 2

1

1 1 cos3xd (cos3x) ? ? (sin4 x ? sin2 x)dx ? 6 4

1 1 1 cos 2 3x ? cos 4 x ? cos 2 x ? C . 12 16 8 dx 9. ? ; x( x 6 ? 4)



1 1 x5 1 1 6 ( ? ? x( x 6 ? 4) 4 ? x x 6 ? 4 )dx ? 4 ln| x| ? 24 ln(x ? 4) ? C . dx ?

10.

?

a? x dx(a ? 0) ; a?x



?

a? x a? x 1 x dx ? ? du ? a ? dx ? ? dx ? a? x a2 ?x2 a2 ?x2 a2 ?x2
x ? a arcsin ? a 2 ? x 2 ? C . a

11.

?

dx x(1? x)

;



?

dx x(1? x)
2

? 2?

1 1? ( x ) 2

d x ? 2 ln( x ? 1? ( x ) 2 ) ? C ? 2 ln( x ? 1? x ) ? C .

12. 解

? x cos
? x cos

xdx ;
xdx ? 1 1 1 ( x ? x cos 2x)dx ? x 2 ? ? xd sin2x ? 2 4 4

2

1 1 1 1 1 1 ? x 2 ? x sin2x ? ? sin2xdx ? x 2 ? x sin2x ? cos 2x ? C . 4 4 4 4 4 8
13.

?e

ax

cosbxdx ;

解 因为

?e

ax

cosbxdx?

1 1 b cosbxdeax ? e ax cosbx ? ? e ax sinbxdx a? a a

1 b 1 b b2 ? e ax cosbx ? 2 ? sinbxde ax ? e ax cosbx ? 2 e ax sinbx ? 2 ? e ax cosbxdx , a a a a a

所以

ax ? e cosbxdx?

1 b ( e ax cos bx ? 2 e ax sinbx) ? C a ?b a a
2 2

a2

?
14.

1 a ?b
dx 1? e x
2 2

e ax (a cosbx ? b sinbx) ? C .

?

;



?

x dx 令 1? e ? u 1 1 1 1 2 ? u d ln(u ?1) ? 2? u 2 ?1 du ?? ( u ?1 ? u ?1)du . x 1? e

? ln|

u ?1 1? e x ?1 | ?c ? ln ?c . u ?1 1? e x ?1
dx

15.

?

x 2 x 2 ?1

;



?

dx x 2 x 2 ?1

令x ? sect

? sec 2 t ? tan t ?sect tan tdt ? ? costdt ? sint ? C ?

1

?

x 2 ?1 ?C . x
dx

16.

? (a 2 ? x 2 ) 5/ 2

;
1



? (a 2 ? x 2 ) 5/ 2
? ?
?

dx

令x ? a sint

? (a cost ) 5 ? a costdt ?
2

1 a 1 3a
1 3a
4

? cos4 t dt ? a 4 ? (tan
4

1

1

t ?1)d tant

tan 3 t ?

1 a4

tant ? C
? 1 a
4

? 4
dx

x3 (a ? x )
;
2 2 3

x a ? x2
2

?C .

17.

?

x 4 1? x 2



?

dx x
4

令x ? tan t
2

1? x
cos 3 t

? tan 4 t ?sect ?sec

1

2

tdt

??

d sint sin 4 t sin 4 t 1 1 1 1 ? ? ( 4 ? 2 )d sint ? ? ? ?C 3 sin t sin t 3sin t sint

dt ? ?

cos 2 t

??
18. 解

(1? x 2 ) 3 3x 3

?

1? x 2 ?C . x

?
?

x sin xdx ;
令 x ?t 2 x sin xdx ? t sint ?2tdt ? 2? t sintdt

? ?2? t 2 d cost ? ?2t 2 cost ? 2? cost ?2tdt ? ?2t 2 cost ? 4? td sint ? ?2t 2 cost ? 4t sint ? 4? sintdt

? ?2t 2 cost ? 4t sint ? 4 cost ? C

? ?2x cos x ? 4 x sin x ? 4 cos x ? C .

19. 解

? ln(1? x
? ln(1? x

2

)dx ;
2x 1? x 2 dx

2

)dx ? x ln( 1? x 2 ) ? ? x? 1 1? x 2

? x ln( 1? x 2 ) ? 2? (1?

)dx

? x ln( 1? x 2 ) ? 2x ? 2arctan x ? C .
20. 解

? cos3 x dx ; ? cos 3 x
sin 2 x dx ? ? sin 2 x tan x d tan x ? ? (tan x ? )d tan x cos x tan 2 x ?1

sin2 x

1 1 ? tan 2 x ? ln(tan2 x ?1) ? C . 2 2
21. 解

? arctan
? arctan

xdx ;
x dx ? x arctan x ? ? x ?
1 )d x 1? x

1 d x 1? x

? x arctan x ? ? (1??

? x arctan x ? x ? arctan x ? C

? ( x ?1) arctan x ? x ? C .
22.

?

1? cos x dx ; sin x



?

1? cos x dx ? ? sin x

x 2 dx ? 2 csc x d x ? 2 ln| csc x ? cot x | ?C . ? 2 2 x x 2 2 2 sin cos 2 2 2 cos

23.

? (1? x 8 ) 2 dx ;
? (1? x 8 ) 2 dx ? 4 ? (1? x 8 ) 2 dx
x3 1 1
4

x3



1 1 x4 ? ? [ ? arctan x 4 ] ? C . 4 2 1? x 8

提示: 已知递推公式 dx 1 x dx ? ( x 2 ? a 2 ) n ? 2a 2 (n ?1) [ ( x 2 ? a 2 ) n?1 ? (2n ? 3) ? ( x 2 ? a 2 ) n?1 ] . 24.
x11 ? x 8 ? 3x 4 ? 2 dx ;



? x 8 ? 3x 4 ? 2
?

x11

dx ?

4 1 x8 t2 4 令x ? t 1 dx dt ? 4 ? x 8 ? 3x 4 ? 2 4 ? t 2 ? 3t ? 2

1 3t ? 2 1 4 1 (1? 2 )dt ? ? (1? ? )dt ? 4 4 t ? 2 t ?1 t ? 3t ? 2

1 1 ? t ? ln|t ? 2| ? ln|t ?1| ?C 4 4
4 4 1 x ?1 ? x 4 ? ln 4 ?C . 4 x ?2

25.

? 16? x 4 ;
? 16? x 4 ? ? (4 ? x 2 )(4 ? x 2 )dx ? 8 ? ( 4 ? x 2 ? 4 ? x 2 )dx
1 1 2? x 1 x ? ( ln| | ? arctan ) ? C 8 4 2? x 2 2 ? 1 2? x 1 x ln| | ? arctan ? C . 32 2 ? x 16 2
sin x
dx 1 1 1 1

dx



26. 解

? 1? sin xdx ;
sin x(1? sin x) sin x sin x ? sin 2 x dx ? dx ? ? 1? sin x ? 1? sin 2 x ? cos 2 x dx

cos x x ? sin x 27. ? dx ; 1? cos x

x ? sin x

??(

sin x
2

?1?

1 cos 2 x

)dx?sec x ? x ? tan x ? C .

? 1? cos x dx ? ?

x ? sin x 1 x 1 sin x dx ? ? dx ? ? dx ? x x 2 2 2 2 2 x 2 cos cos cos 2 2 2

x x ? ? xd tan ? ? tan dx 2 2 x x x x ? x tan ? ? tan dx ? ? tan dx ? x tan ? C . 2 2 2 2

28. 解

?e

sin x

x cos3 x ? sin x cos 2 x x cos 3 x ? sin x cos 2 x

dx ; dx ? ? x ? e sin x ? cos xdx ? ? e sin x ? tan x ?sec xdx ?

sin x ?e

? ? xe sin x d sin x ? ? e sin x d sec x ? ? xdesin x ?sec x?e sin x ? ? sec xdesin x ? xe sin x ? ? e sin x dx?sec x?e sin x ? ? sec x?e sin x ?cos xdx
? xe sin x ? sec x ?e sin x ? C .

29.

? x(

3

x

x ?3 x )
3

dx ;



? x(

x
3

x ? x)

令x ? t 6 dx ?

1 1 ?6t 5 dt ? 6? ( ? )dt t t ?1 t (t ? t )
6 3 2

t2

? 6 ln

t x ? C ? ln ?C . 6 t ?1 ( x ?1) 6

30.

? (1? e x ) 2 ;

dx



? (1? e x ) 2

dx

令1? e x ? t 1

? t 2 ? t ?1 dt ? ? ( t ?1 ? t ? t 2 )dt

1

1

1

1

1 ? ln(t ?1) ? lnt ? ? C t 1 ? x ? ln( 1? e x ) ? ?C . 1? e x e3x ? e x 31. ? 4 x 2 x dx ; e ? e ?1


? e 4 x ? e 2 x ?1

e 3x ? e x

dx ? ?

e x ?e?x e
2x

?1? e

?2 x

dx ? ?

1 1? (e ? e ? x ) 2
x

d (e x ? e ? x ) ?

? arctan(e x ? e ? x ) ? C
? arctan(2shx) ? C .

32.

? (e x

xe x ? 1) 2

dx ;



? (e x ?1) 2 dx ? ? (e x ?1) 2 d (e
?? x e ?1
x

xe x

x

x

?1) ? ? ? xd
?? 1

1 e ?1
x

?

??

1 e ?1
x

dx ? ?

x e ?1
x

e (e ?1)

x

x

de x

?? ??

x e ?1 x
x x

??(

1 e
x

?

)de x e ?1
x

1

e ?1 xe x ? x ? ln(e x ?1) ? C . e ?1
33. 解

? lne x ? ln(e x ?1) ? C

? ln ? ln

2

( x ? 1? x 2 )dx ;

2

( x ? 1? x 2 )dx ? x ln 2 ( x ? 1? x 2 ) ? ? x ?[ln 2 ( x ? 1? x 2 )]?dx ?

? x ln 2 ( x ? 1? x 2 ) ? 2? ln(x ? 1? x 2 ) ?

x 1? x 2

dx

? x ln 2 ( x ? 1? x 2 ) ? 2? ln(x ? 1? x 2 )d 1? x 2 ? x ln 2 ( x ? 1? x 2 ) ? 2 1? x 2 ln(x ? 1? x 2 ) ? 2? 1? x 2 ?[ln(x ? 1? x 2 )]?dx ? x ln 2 ( x ? 1? x 2 ) ? 2 1? x 2 ln(x ? 1? x 2 ) ? 2 ? dx

? x ln2 ( x ? 1? x 2 ) ? 2 1? x 2 ln(x ? 1? x 2 ) ? 2x ?C .
34.

? (1? x 2 ) 3/ 2 dx ;

ln x

解 因为

? (1? x 2 ) 3/ 2 dx
所以
ln x

1

令x ? tan t

? sec3 t ?sec
x 1? x
2

1

2

tdt ? ? costdt ? sint ? C ?
1 ? dx ? 1? x x
2

x 1? x 2

? C ???

? (1? x 2 ) 3/ 2 dx ? ? ln xd (

)?

x ln x 1? x
2

??

x

?

x ln x 1? x
2

? ln(x ? 1? x 2 ) ? C .

35. 解

?

1? x 2 arcsin xdx ;

?

令x ? sint 1 2 1? x 2 arcsin xdx ? t ?cos tdt ? 2 ? (t ? t cos 2t )dt ?

1 1 1 1 1 ? t 2 ? ? t sin2t ? t 2 ? t sin2t ? ? sin2tdt 4 4 4 4 4 1 1 1 ? t 2 ? t sin2t ? cos 2t ? C 4 4 8 1 1 1 ? (arcsin x) 2 ? x 1? x 2 arcsin x ? x 2 ? C1 . 4 2 4
36.

? ?

x 3 arccos x 1? x 2

dx ;



x 3 arccos x 1? x
2

dx ? ? x 2 arccos x ?

x 1? x
2

dx ? ?? x 2 arccos xd 1? x 2 ?

? ? x 2 1? x 2 arccos x ? ? 1? x 2 ? ( x 2 arccos x) ?dx

? ? x 2 1? x 2 arccos x ? ? 1? x 2 ?(2 x arccos x ? x 2 ?

1 1? x 2

)dx

? ? x 2 1? x 2 arccos x ? 2? x 1? x 2 ? arccos xdx ? ? x 2 dx

1 2 ? ? x 2 1? x 2 arccos x ? x 3 ? ? arccos xd (1? x 2 ) 3 3 3 1 2 2 ? ? x 2 1? x 2 arccos x ? x 3 ? (1? x 2 ) 3 arccos x ? ? (1? x 2 )dx 3 3 3 1 2 2 2 ? ? x 2 1? x 2 arccos x ? x 3 ? (1? x 2 ) 3 arccos x ? x ? x 3 ? C 3 3 3 9 ??
37. 解

1 1 1? x 2 ( x 2 ?1) arccos x ? x( x 2 ? 6) ? C . 3 9

? 1?sin x dx ;
? 1? sin x dx ? ? sin x(1? sin x) d sin x ? ? ( sin x ? 1? sin x )d sin x ?
?ln|sin x|?ln|1?sin x|?C??ln|csc x?1|?C .
cot x 1 1 1

cot x

38. 解

? sin3 x cos x ; ? sin3 x cos x ? ?? sin x cos x d cot x ? ?? sin x cos2 x d cot x ? ?? cot x? cos2 x d cot x ?
? ?? (

dx

dx

1

cos x

1

1 1 1 ? cot x)d cot x ? ? ln|cot x| ? cot 2 x ? C ? ln| tan x| ? ? C1 . cot x 2 2sin2 x dx 39. ? ; ( 2 ? cos x ) sin x
解 令 u ? tan

x , 则 2
1 (2 ? ) 1? u 2 1 ? u 2 1? u 2 2u ? 2 1? u 2 du ? ? 1? u 2 (u 2 ? 3)u du ?

dx ? (2 ? cos x) sin x ? ?

?

1 2u 1 1 1 1 du ? ? du ? ln(u 2 ? 3) ? ln|u | ?C ? 2 3 u ?3 3 u 3 3

1 x x ? ln| tan 3 ? 3 tan | ?C . 3 2 2
40. 解

? sin x ? cos x dx ;
? sin x ? cos x dx ? ?
?? sin 2 x
sin x cos x (sin x ? cos x) sin x cos x sin x 2 ? cos 2 x du ? ? sin 2 x cos x 2 sin 2 x ?1 dx ? ? cos 2 x sin x 2 cos 2 x ?1 dx ?

sin x cos x

d cos x 2 sin 2 x ?1 2 cos 2 x ?1 1 1 1 1 ? ? (1? )d sin x ? ? (1? )d cos x 2 2 2 2sin x ?1 2 cos 2 x ?1

d sin x ? ?

cos 2 x

1 1 2 sin x ?1 1 1 2 cos x ?1 ? sin x ? ln| | ? cos x ? ln| | ?C 2 2 2 sin x ?1 2 2 2 cos x ?1 1 2 sin x ?1 ? (sin x ? cos x) ? 2 ln| | ?C . 2 2 cos x ?1

6? 计算下列各定积分? (1) ? (3x2 ? x ?1)dx ?
0 a



? (3x
0

a

2

a ? x ?1)dx ? (x3 ? 1 x2 ? x) |0 ? a3 ? 1 a 2 ? a ? 2 2

2 (2) ? (x2 ? 14 )dx ? 1 x



? (x
1

2

2

2 1 ? 14 )dx ? (1 x3 ? 1 x?3) |1 ? (23 ? 2?3) ? 1 (13 ?1?3) ? 2 5 ? x 3 3 3 3 8

(3) ? x (1? x )dx ?
4

9



?

9

4

3 1 9 x (1? x )dx ? ? (x 2 ? x)dx ? ( 2 x 2 ? 1 x2) |9 4 3 2 4

3 3 ? ( 2 9 2 ? 1 92 ) ? ( 2 4 2 ? 1 42 ) ? 45 1 ? 3 2 3 2 6

(4) ? 1 解

dx 1? x 2 3
3

?

?
1 ?

3 1 3

dx ? arctanx 1? x2
dx 1? x 2
?

3 1 3

? arctan 3 ? arctan 1 ? ? ? ? ? ? ? 3 3 6 6

(5) ? 21 解

2

?
0

1 2 ?1 2

dx ? arcsin x 1? x 2

1 2 ?1 2

? arcsin 1 ? arcsin( ? 1 ) ? ? ? (? ? ) ? ? ? 2 2 6 6 3

(6) ? 解

3a

dx ? a ? x2
2

?
1 0

3a

0

dx ? 1 arctan x 2 a ? x2 a a
?

3a 0

? 1 arctan 3 ? 1 arctan 0 ? ? ? a a 3a

(7) ? 解

dx 4 ? x2
1

?

0

dx ? arcsin x 1 ? arcsin 1 ? arcsin 0 ? ? ? 2 0 2 6 4 ? x2

4 2 0 (8) ? 3x ?23x ?1dx ? ?1 x ?1



3x4 ? 3x2 ?1dx ? 0 (3x2 ? 1 )dx ? (x3 ? arctan x) |0 ?1 ??1 x2 ?1 ??1 x 2 ?1
0

? ?(?1)3 ? arctan( ?1) ?1? ? 4
(9) ? 解
?2 ? e ?1 ?2

?

dx ? 1? x dx ? ln |1? x||? 2 ? ln1? ln e ? ?1? ? e ?1 1? x

?

? e ?1

(10) ? 4 tan2 ?d? ?
0

?



?

?
4

0

4 tan 2 ?d? ? ? 4 (sec2 ? ?1)d? ? (tan? ?? ) 0 ? tan ? ? ? ?1? ? ? 0 4 4 4

?

?

(11) ? |sin x|dx? 解

2?

?

0 2?

0

|sin x|dx? ? sin xdx? ? sin xdx?
0

?

2?

?

? ?cos x 0 ? cos x ? ??cos? ?cos0?cos2??cos??4?

?

2?

(12) ? 解

2

0

? ?x ?1 x ?1 ? f (x)dx? 其中 f (x) ? ?1 2 x x ?1 ? ?2
1 2 1 3 2 8 f (x)dx ? ? (x ?1)dx ? 1 ? x2dx ? ( 1 x2 ? x)|1 0 ?( x )|1 ? 0 1 2 2 6 3

?

2

0

习题 5?3 1? 计算下列定积分? (1) ?? sin(x ? )dx ? 3 2 ? ? ? 解 ?? sin(x ? )dx ? ? cos(x ? ) 3 3 2
?

?

? ?
2

? ? cos

4? 2? 1 1 ? cos ? ? ?0 ? 3 3 2 2

(2) ?? 2 解

1

dx

??2 (11? 5 x) 3 ? 5 ? ? 2 (11? 5x)
?
0

(11? 5 x) 3 1 dx

?
1 1
?2 1 ?2

??

1 1 51 ?16 ? 2 ? ?1? 2 ? ? 10 10 512

(3) ? 2 sin? cos3 ?d? ?



?

?
2

0

sin? cos ?d? ? ?? 2 s cos3?d sin?
3 0

?

? 1 4 2 ? ? cos ? 0 ? ? 1 cos4 ? ? 1 cos4 0 ? 1 ? 4 4 2 4 4

(4) ?0 (1? sin3 ? )d? ? 解

?

?0 (1? sin

?

3

? )d? ? ?0 d? ? ?0 sin2 ?d cos? ??
?
0

?

?

?
0

? ?0 (1? cos 2 ? )d cos?

?

1 ?? ? (cos? ? cos3 ? ) 3
(5) ??2 cos 2 udu ?
6

4 ?? ? ? 3

?



??

?

2 cos 2 udu ?

6

1 ? 1 2 ? ? (1? cos 2u )du ? u 2 6 2

? ?
2 6

1 ? sin 2u 4

? ?
2 6

1 ? ? 1 ? ? 3 ? ( ? ) ? (sin? ? sin ) ? ? ? 2 2 6 4 3 6 8

(6) ?0 解

2

2 ? x 2 dx ?
? 令x ? 2 sint ? 2 ? x 2 dx ?02 2 cost ? 2 costdt ? ?02 (1? cos2t )dt
?
2 0

?0

2

1 ? (t ? sin 2t ) 2

?

?
2

?

(7) ?? 解

2 2

8 ? 2 y 2 dy ?
8 ? 2 y 2 dy ? 2 ??
2 2

??

2 2

? 令y ? 2 sin x 4 ? y 2 dy 2 ? 4? 2 cos x ? 2 cos xdx
? 4

? 1 ? 2 2 ? 4? (1? cos 2 x)dx ? 2 2 ( x ? sin 2 y) ? 2 4

?
4 ?? 4

? 2 (? ? 2) ?

(8) ? 1

1

1? x 2 x2 1? x 2 x
2

dx ?
? ?
2 4

2



?

1 1 2

? 令x ? sint ? cost 1 dx ??2 sin2 t ?costdt ???2( sin2 t ?1)dt ? (? cot t ?t ) 4 4

?1? ? 4

?

(9) ?0 x 2 a 2 ? x 2 dx ? 解

a

?0 x
?

a

2

令x ? a sint ? a4 2 2 a 2 ? x 2 dx ?02 a sin t ? a cost ? a costdt ? 4

?02 sin

?

2

2tdt

a4 8
3

?02 (1? cos 4t )dt ?
dx
2

?

a4 t 8

?
2 0

?

a4 sin 4t 32

?
2 0

?

a 4? ? 16

(10) ?1

x
3

1? x 2

?



?1

dx x
?
2

令x ? tan t
2

1? x

??3 tan 2 t ?sect ?sec
4

?

1

2

tdt

? ??3
4

cost sin t
2

dt ? ?

1 sint

? ?
3 4

? 2?

2 3 ? 3

(11) ??1 解

1

xdx 5? 4x

?
1

??1
4

1

xdx 令 5 ? 4 x ? u 1 1 1 1 (5 ? u 2 )du ? ? (5u ? u 3 ) ? 3 8 8 3 5? 4x
dx x

1 ? ? 3 6

(12)

?1 1?

?
2



?1 1?
1 4

4

dx 令 x ? u x
dx 1? x ?1

?1 1? u ? 2udu? 2?1 (1? 1? u )du ? 2(u ? ln|1? u |)

1

2

1

2 1

2 ? 2(1? ln ) ? 3

(13) ?3 解

?
1 1 0 1 1 2 2 (1? ? ( ? 2 u ) du ? 2 ) du ? 2 ( u ? ln | u ? 1 |) 1 0 0 u ? 1 u ? 1 2

?

1 3 4

dx

令 1? x ? u

1? x ?1
2a

?

?

?1? 2 ln 2 ?

(14) ?0

xdx 3a 2 ? x 2

?



?0
1

2a

xdx 3a 2 ? x 2
? t2 2

??

1 2a 1 d (3a 2 ? x 2 ) ? ? 3a 2 ? x 2 ? 0 2 2 2 3a ? x

2a 0

? a( 3 ?1) ?

(15) ?0 te 解

dt ?

?0 te
e2

1

?

t2 2

dt ? ? ?0 e
dx

1 ?

t2 2

? t2 d ( ? ) ? ?e 2 2

t2

1 0

?1? e

?1 2

?

(16) ?1 解

?1

e2

x 1? ln x dx
x 1? ln x

?
? ?1
e2

1 1? ln x

d ln x ? 2 1? ln x

e2 1

? 2( 3 ?1) ?

(17) ?

? x ? 2x ? 2 0 0 dx 1 ? ?? 2 dx ? arctan(x ?1) 解 ?? 2 2 x ? 2x ? 2 1? ( x ?1) 2
?2 2

0

dx

0 ?2

? arctan1? arctan(?1) ?

?
2

?

(18) ? 2? cos x cos 2 xdx ?
? 2

?



?

2 cos x cos 2 xdx ? 2 (1? 2 sin 2 ?? ?? 2 2

?

?

?

2 x)d sin x ? (sin x ? sin3 x) 3

?
2 ?? 2

2 ? ? 3

(19) ? 2? cos x ? cos 3 x dx ?
? 2

?



??2?

?

2

cos x ? cos 3 x dx ? ? 2? cos x 1? cos 2 x dx
? 2
3 2 ? cos 2 x 3

?

3 ? 0 2 ? ?? ? cos x (? sin x)dx ? ?02 cos x sin xdx ? cos 2 x 3 2

0 ?? 2

?
2 0

?

4 3

(20) ?0 1? cos 2 x dx ? 解

?

?0
?

?

1? cos 2 x dx ? 2 ?0 sin xdx ? ? 2 cos x

?

?
0

?2 2 ?

7? 计算下列积分? (1) ? 2
0

x ?sin x dx ? 1? cos x



?

2 dx ? 02 0 1? cos x

?

x ? sin x

?

?

x x 2cos 2
2

dx??02

?

d (1? cos x) ? x ? ?02 xd (tan ) ? ln(1? cos x) 1? cos x 2
?
2 0

2 0

?

x ? ( x tan ) 2
?

?
2 0

? x ? x ? ?02 tan dx ? ln 2 ? ? 2 ln cos 2 2 2

? ln 2 ?

?
2

?

(2) ?04 ln(1? tan x)dx ?
2 sin( ? x) 4 dx 解 ?04 ln(1? tan x)dx ? ?04 ln cos x
? ?

?

? ?04 ln 2 dx ? ?04 ln sin( ? x)dx ? ?04 ln cos xdx ? 4

?

?

?

?



?
4

? x ? u, 则

?04 lnsin(4 ? x)dx??04 lnsin(4 ? 4 ?u)du ? ?04 lncosudu??04 lncos xdx ?
所以 (3) ?0
a

?

?

?

? ?

?

?

?

?
4 0

ln(1 ? tan x)dx ? ?04 ln 2dx ? ln 2 ?

?

?
4

?

?
8

2?

dx x? a2 ? x2

?

解 令 x?a sin t? 则

?0

a

dx x? a ? x
2 2

? ?02

?

costdt ? sint ? cost

又令 t ? ?u ? 则 2

?

?
所以
?

?

2 0
a

? costdt sinudu ? ? ?02 sint ? cost sinu ? cosu

?0

dx x? a2 ? x2

?

1 ? sint ? cost 1 ? ? 2 dt ? ?02 dt ? ? ? 0 2 sint ? cost 2 4

(4) ?02 1? sin2 x dx ? 解

?02

?

1? sin2 xdx ? ?02 |cos x ? sin x| dx
? ?

?

? ?04 (cos x ? sin x)dx ? ??2 (cos x ? sin x)dx
4

? (sin x ? cos x)
?

?
4 0

? (sin x ? cos x)

? ?
2 4

? 2( 2 ?1) ?

(5) ? 2
0

dx ? 1? cos2 x
dx
?



?02 1? cos 2 x ? ?02 cos 2 x(sec 2 x ?1) ??02 2 ? tan 2 x
? 1 2 arctan tan x 2
?
2 0

?

dx

?

d tan x

?

2? ? 4

习题 6?2? 1? 求图 6?21 中各画斜线部分的面积? (1)

解 画斜线部分在 x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为
3 1 A ? ?0 ( x ? x)dx ?[ 2 x 2 ? 1 x2]1 ?1 . 3 2 0 6

(2)

解法一 画斜线部分在 x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为
A ? ?0 (e ? e x )dx ? (ex ? e x )|1 0 ?1 ?
1

解法二 画斜线部分在 y 轴上的投影区间为[1? e]? 所求的面积为

e ? dy ? e ? (e ?1) ?1 ? A ? ?1 ln ydy ? y ln y |1 ?1

e

e

(3)

解 画斜线部分在 x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为
A ? ??3[(3 ? x2 ) ? 2x]dx ? 32 ? 3
1

(4)

解 画斜线部分在 x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为
32 ? A ? ??1(2x ? 3? x2 )dx ? (x2 ? 3x ? 1 x3)|3 ?1? 3 3
3

2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积?

(1) y ? 1 x 2 与 x2?y2?8(两部分都要计算)? 2 解?

2 2 2 2 A1 ? 2?0 ( 8 ? x2 ? 1 x2 )dx ? 2?0 8 ? x2 dx ? ?0 x2dx ? 2?0 8 ? x2 dx ? 8 2 3

?16?04 cos2 tdt ? 8 ? 2? ? 4 ? 3 3
A2 ? (2 2 )2? ? S1 ? 6? ? 4 ? 3

?

(2) y ? 1 与直线 y?x 及 x?2? x 解?

所求的面积为

A ? ? (x ? 1 )dx ? 3 ?ln 2 ? 1 x 2
2

(3) y?ex? y?e?x 与直线 x?1? 解?

所求的面积为
A ? ?0 (e x ? e? x )dx ? e ? 1 ? 2 ? e
1

(4)y=ln x, y 轴与直线 y=ln a, y=ln b (b>a>0). 解

所求的面积为
b A ? ?lna e y dy ? e y ln lna ? b ? a lnb

3? 求抛物线 y??x2?4x?3 及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解?

y???2 x?4? 过点(0, ?3)处的切线的斜率为 4? 切线方程为 y?4(x?3)? 过点(3, 0)处的切线的斜率为?2? 切线方程为 y??2x?6? 两切线的交点为 ( 3 , 3) ? 所求的面积为 2
A ? ?02 [4x ? 3 ? (? x 2 ? 4x ? 3)] ? ?3 [?2x ? 6 ? (? x 2 ? 4x ? 3]dx ? 9 ? 4 2
3 3

p 4? 求抛物线 y2=2px 及其在点 ( , p) 处的法线所围成的图形的面积? 2

解 2y?y??2p ?

p p 在点 ( , p) 处? y? ? ( p , p) ?1 ? 法线的斜率 k??1? y 2 2

p 3p 法线的方程为 y ? p ? ?(x ? ) ? 即 x ? ? y ? 2 2 p 求得法线与抛物线的两个交点为 ( , p) 和 ( 9 p,?3 p) ? 2 2
法线与抛物线所围成的图形的面积为

A? ??3 p (

p

3p y2 3p p ? y ? )dy ? ( y ? 1 y2 ? 1 y3) ? ? 16 p2 ? 3p 2 2p 2 2 6p 3

习题 7?2 1? 设 a?3i?j?2k? b?i?2j?k? 求(1)a?b 及 a?b? (2)(?2a)?3b 及 a?2b? (3)a、b 夹角的余弦? 解 (1)a?b?3?1?(?1)?2?(?2)?(?1)?3?
i j k a ? b ? 3 ?1 ? 2 ? 5i ? j ? 7k ? 1 2 ?1

(2)(?2a)?3b ??6a?b ? ?6?3??18? a?2b?2(a?b)?2(5i?j?7k)?10i?2j?14k ? (3) cos(a, b) ?
^

|a ?b| ? 3 ? 3 ? | a ||b | 14 6 2 21

即 于是

2? 设 a、b、c 为单位向量? 且满足 a?b?c?0? 求 a?b?b?c?c?a ? 解 因为 a?b?c?0? 所以(a?b?c)?(a?b?c)?0? a?a?b?b?c?c?2a?b?2a?c?2c?a?0?
a ?b ? b?c ? c ?a ? ? 1 (a ?a ? b?b ? c ?c) ? ? 1 (1?1?1) ? ? 3 ? 2 2 2

3? 已知 M1(1? ?1? 2)、M2(3? 3? 1)和 M3(3? 1? 3)? 求与 M1M 2 、 M 2M 3 同时垂直的单位向量? 解
M1M 2 ? (3 ?1, 3 ?1, 1? 2) ? ( 2 4 , , ?1) ? M 2M 3 ? (3 ? 3, 1? 3, 3 ?1) ? (0, ? 2, 2) ?
i j k ? ? n ? M1M 2? M 2 M 3 ? 2 4 ?1 ? 6i ? 4 j ? 4k ? 0 ?2 2
? ?

?

?

| n|? 36?16?16 ? 2 17 ?
e ? ? 1 (6i ? 4 j ? 4k) ? ? 1 (3i ? 2 j ? 2k) 为所求向量? 2 17 17

习题 7?3 1? 一动点与两定点(2? 3? 1)和(4? 5? 6)等距离? 求这动点的轨迹方程? 解 设动点为 M(x? y? z)? 依题意有 即 (x?2)2?(y?3)2?(z?1)2?(x?4)2?(y?5)2?(z?6)2? 4x?4y?10z?63?0? 2? 建立以点(1? 3? ?2)为球心? 且通过坐标原点的球面方程? 解 球的半径 R ? 12 ? 32 ? (?2)2 ? 14 ? 球面方程为 即 (x?1)2?(y?3)2?(z?2)2?14? x2?y2?z2?2x?6y?4z?0?

习题 7?5 1? 求过点(3? 0? ?1)且与平面 3x?7y?5z?12?0 平行的平面方程? 解 所求平面的法线向量为 n?(3? ?7? 5)? 所求平面的方程为 3(x?3)?7(y?0)?5(z?1)?0? 即 3x?7y?5z?4?0? 2? 求过点 M0(2? 9? ?6)且与连接坐标原点及点 M0 的线段 OM0 垂 直的平面方程? 解 所求平面的法线向量为 n?(2? 9? ?6)? 所求平面的方程为 2(x?2)?9(y?9)?6(z?6)?0? 即 2x?9y?6z?121?0? 3? 求过(1? 1? ?1)、(?2? ?2? 2)、(1? ?1? 2)三点的平面方程? 解 n1?(1? ?1? 2)?(1? 1? ?1)?(0? ?2? 3)? n1?(1? ?1? 2)?(?2? ?2? 2)?(3? 1? 0)? 所求平面的法线向量为

i j k n ? n1 ? n2 ? 0 ? 2 3 ? ?3i ? 9 j ? 6k ? 3 1 0
所求平面的方程为 ?3(x?1)?9(y?1)?6(z?1)?0? 即 x?3y?2z?0? 4? 指出下列各平面的特殊位置? 并画出各平面?

(1)x?0? 解 x?0 是 yOz 平面? (2)3y?1?0? 解 3y?1?0 是垂直于 y 轴的平面? 它通过 y 轴上的点 (0, 1, 0) ? 3 (3)2x?3y?6?0? 解 2x?3y?6?0 是平行于 z 轴的平面? 它在 x 轴、 y 轴上的截距分 别是 3 和?2? (4) x ? 3 y ? 0 ? 解 x ? 3 y ? 0 是通过 z 轴的平面? 它在 xOy 面上的投影的斜率为

3? 3
(5)y?z?1? 解 y?z?1 是平行于 x 轴的平面? 它在 y 轴、z 轴上的截距均为 1? (6)x?2z?0? 解 x?2z?0 是通过 y 轴的平面? (7)6x?5?z?0? 解 6x?5?z?0 是通过原点的平面? 5? 求平面 2x?2y?z?5?0 与各坐标面的夹角的余弦? 解 此平面的法线向量为 n?(2? ?2? 1)? 此平面与 yOz 面的夹角的余弦为
^ cos? ? cos(n, i) ? n? i ? 2 2 2 1 ? 2 ? | n|?| i | 2 ? (?2) ?1 3

此平面与 zOx 面的夹角的余弦为 n? j ^ cos? ? cos(n, j) ? ? 2 ?2 2 1 ??2 ? | n|?| j | 2 ? (?2) ?1 3

此平面与 xOy 面的夹角的余弦为
^ cos? ? cos(n, k ) ? n? k ? 2 1 2 1 ? 1 ? | n|?| k | 2 ? (?2) ?1 3

6? 一平面过点(1? 0? ?1)且平行于向量 a?(2? 1? 1)和 b?(1? ?1? 0)? 试求这平面方程? 解 所求平面的法线向量可取为

i j k n ? a ?b ? 2 1 1 ? i ? j ? 3k ? 1 ?1 0
所求平面的方程为 (x?1)?(y?0)?3(z?1)?0? 即 x?y?3z?4?0? 7? 求三平面 x?3y?z?1? 2x?y?z?0? ?x?2y?2z?3 的交点? 解 解线性方程组
?x ? 3 y ? z ?1 ? ?2x ? y ? z ? 0 ? ?? x ? 2 y ? 2z ? 3

得 x?1? y??1? z?3? 三个平面的交点的坐标为(1? ?1? 3)? 8? 分别按下列条件求平面方程? (1)平行于 zOx 面且经过点(2? ?5? 3)? 解 所求平面的法线向量为 j ?(0? 1? 0)? 于是所求的平面为 0?(x?2)?5(y?5)?0?(z?3)?0? 即 y??5? (2)通过 z 轴和点(?3? 1? ?2)? 解 所求平面可设为 Ax?By?0? 因为点(?3? 1? ?2)在此平面上? 所以 ?3A?B?0? 将 B?3A 代入所设方程得

Ax?3Ay?0? 所以所求的平面的方程为 x?3y?0? (3)平行于 x 轴且经过两点(4? 0? ?2)和(5? 1? 7)? 解 所求平面的法线向量可设为 n?(0? b? c)? 因为点(4? 0? ?2)和 (5? 1? 7)都在所求平面上? 所以向量 n1?(5? 1? 7)?(4? 0? ?2)?(1? 1? 9)与 n 是垂直的? 即 b?9c?0? b??9c ? 于是 n?(0? ?9c? c)??c(0? 9? ?1)? 所求平面的方程为 9(y?0)?(z?2)?0? 即 9y?z?2?0? 9? 求点(1? 2? 1)到平面 x?2y?2z?10?0 的距离? 解 点(1? 2? 1)到平面 x?2y?2z?10?0 的距离为

d?

|1? 2?2 ? 2?1?10| ?1? 12 ? 22 ? 22

习题 7?6

y 1? 求过点(4? ?1? 3)且平行于直线 x ? 3 ? ? z ?1 的直线方程? 2 1 5 解 所求直线的方向向量为 s?(2? 1? 5)? 所求的直线方程为 x ? 4 ? y ?1 ? z ? 3 ? 2 1 5 2? 求过两点 M1(3? ?2? 1)和 M2(?1? 0? 2)的直线方程?
解 所求直线的方向向量为 s?(?1? 0? 2)?(3? ?2? 1)?(?4? 2? 1)? 所 求的直线方程为

x ? 3 ? y ? 2 ? x ?1 ? ?4 2 1
?x ? y ? z ?1 3? 用对称式方程及参数方程表示直线 ? ? ?2x ? y ? z ? 4

解 平面 x?y?z?1 和 2x?y?z?4 的法线向量为 n1?(1? ?1? 1)? n2?(2? 1? 1)? 所求直线的方向向量为

i j k s ? n1 ? n2 ? 1 ?1 1 ? ?2i ? j ? 3k ? 2 1 1
?x ? y ? z ?1 ?x ? z ?1 在方程组 ? 中? 令 y?0? 得 ? ? 解得 x?3? z??2? ?2x ? y ? z ? 4 ?2x ? z ? 4 于是点(3? 0? ?2)为所求直线上的点?

所求直线的对称式方程为 x ?3 ? y ? z ? 2 ? ?2 1 3 参数方程为 x?3?2t? y?t? z??2?3t?
?x ? 2 y ? 4 z ? 7 ? 0 4? 求过点(2? 0? ?3)且与直线 ? 垂直的平面方程? ?3x ? 5 y ? 2z ?1? 0

解 所求平面的法线向量 n 可取为已知直线的方向向量? 即

i j k n ? (1, ? 2, 4)?(3, 5, ? 2) ? 1 ? 2 4 ? ?16i ?14 j ?11k ? 3 5 ?2
所平面的方程为 ?16(x?2)?14(y?0)?11(z?3)?0? 即 16x?14y?11z?65?0?
?5x ? 3 y ? 3z ? 9 ? 0 ?2x ? 2 y ? z ? 23 ? 0 5? 求直线 ? 与直线 ? 的夹角的 ?3x ? 2 y ? z ? 0 ?3x ? 8 y ? z ?18 ? 0 余弦?

解 两直线的方向向量分别为

i j k s1 ? 5 ? 3 3 ? 3i ? 4 j ? k ? 3 ?2 1 i j k s2 ? 2 2 ?1 ?10i ? 5 j ?10k ? 38 1
两直线之间的夹角的余弦为
cos(s1, s2 ) ?
^

s1? s2 | s1 |?| s2 |

?

3?10 ? 4?(?5) ? (?1)?10 ?0 ? 3 ? 42 ? (?1)2 10 2 ? (?5)2 ?10 2
2

?x ? 2 y ? z ? 7 ?3x ? 6 y ? 3z ? 8 6? 证明直线 ? 与直线 ? 平行? ?? 2x ? y ? z ? 7 ?2x ? y ? z ? 0

解 两直线的方向向量分别为

i j k s1 ? 1 2 ?1 ? 3i ? j ? 5k ? ?2 1 1 i j k s2 ? 3 6 ? 3 ? ?9i ? 3 j ?15k ? 2 ?1 ?1
因为 s2??3s1? 所以这两个直线是平行的? 7? 求过点(0? 2? 4)且与两平面 x?2z?1 和 y?3z?2 平行的直线方程? 解 因为两平面的法线向量 n1?(1? 0? 2)与 n2?(0? 1? ?3)不平行? 所以两平面相交于一直线? 此直线的方向向量可作为所求直线的方 向向量 s? 即

i j k s ? 1 0 2 ? ?2i ? 3 j ? k ? 0 1 ?3

所求直线的方程为

x ? y ?2 ? z ?4 ? ?2 3 1 y ?3 z 8? 求过点(3? 1? ?2)且通过直线 x ? 4 ? ? 的平面方程? 5 2 1 y ?3 z 解 所求平面的法线向量与直线 x ? 4 ? ? 的方向向量 s1?(5? 5 2 1 2? 1)垂直? 因为点(3? 1? ?2)和(4? ?3? 0)都在所求的平面上? 所以所求 平面的法线向量与向量 s2?(4? ?3? 0)?(3? 1? ?2)?(1? ?4? 2)也是垂直的? 因此所求平面的法线向量可取为

i j k n ? s1 ? s2 ? 5 2 1 ?8i ? 9 j ? 22k ? 1 ?4 2
所求平面的方程为 8(x?3)?9(y?1)?22(z?2)?0? 即 8x?9y?22z?59?0?
?x ? y ? 3z ? 0 9? 求直线 ? 与平面 x?y?z?1?0 的夹角? ?x ? y ? z ? 0

解 已知直线的方向向量为

i j k s ? (1, 1, 3)?(1, ?1, ?1) ? 1 1 3 ? 2i ? 4 j ? 2k ? 2(i ? 2 j ? k) ? 1 ?1 ?1
已知平面的法线向量为 n?(1? ?1? ?1)? 因为 s?n?2?1?4?(?1)?(?2)?(?1)?0? ?x ? y ? 3z ? 0 所以 s ?n? 从而直线 ? 与平面 x?y?z?1?0 的夹角为 0? ?x ? y ? z ? 0 10? 试确定下列各组中的直线和平面间的关系?

y?4 z (1) x ? 3 ? ? 和 4x?2y?2z?3? ? 2 ?7 3 解 所给直线的方向向量为 s?(?2? ?7? 3)? 所给平面的法线向量 为 n?(4? ?2? ?2)?
因为 s?n?(?2)?4?(?7)?(?2)?3?(?2)?0? 所以 s?n? 从而所给直线 与所给平面平行 ? 又因为直线上的点 (?3? ?4? 0) 不满足平面方程 4x?2y?2z?3? 所以所给直线不在所给平面上?

y (2) x ? ? z 和 3x?2y?7z?8? 3 ?2 7 解 所给直线的方向向量为 s?(3? ?2? 7)? 所给平面的法线向量为 n?(3? ?2? 7)?
因为 s?n? 所以所给直线与所给平面是垂直的?

y ? 2 z ?3 (3) x ? 2 ? 和 x?y?z?3? ? 3 1 ?4 解 所给直线的方向向量为 s?(3? 1? ?4)? 所给平面的法线向量为 n?(1? 1? 1)?
因为 s ?n?3?1?1?1?(?4)?1?0? 所以 s?n? 从而所给直线与所给平 面平行? 又因为直线上的点(2? ?2? 3)满足平面方程 x?y?z?3? 所以所给 直线在所给平面上?
?x ? 2 y ? z ?1? 0 ?2 x ? y ? z ? 0 11? 求过点(1? 2? 1)而与两直线 ? 和? ?x ? y ? z ?1? 0 ?x ? y ? z ? 0

平行的平面的方程? 解 已知直线的方向向量分别为

i j k s1 ? (1, 2, ?1)?(1, ?1, 1) ? 1 2 ?1 ? i ? 2 j ? 3k ? 1 ?1 1 i j k s1 ? (2, ?1, 1)?(1, ?1, 1) ? 2 ?1 1 ? ? j ? k ? 1 ?1 1

所求平面的法线向量可取为

i j k n ? s1 ? s2 ? 1 ? 2 ? 3 ? ?i ? j ? k ? 0 ?1 ?1
所求平面的方程为 ?(x?1)?(y?2)?(z?1)?0? 即 x?y?z?0? 12? 求点(?1? 2? 0)在平面 x?2y?z?1?0 上的投影? 解 平面的法线向量为 n?(1? 2? ?1)? 过点(?1? 2? 0)并且垂直于已 知平面的直线方程为

x ?1 ? y ? 2 ? z ? 1 2 ?1 将此方程化为参数方程 x??1?t? y?2?2t? z??t? 代入平面方程 x?2y?z?1?0 中? 得
(?1?t)?2(2?2t)?(?t)?1?0? 解得 t ? ? 2 ? 再将 t ? ? 2 代入直线的参数方程? 得 x ? ? 5 ? y ? 2 ? z ? 2 ? 3 3 3 3 3 于是点(?1? 2? 0)在平面 x?2y?z?1?0 上的投影为点 (? 5 , 2 , 2) ? 2 3 3 ?x ? y ? z ?1? 0 13? 求点 P(3? ?1? 2)到直线 ? 的距离? ?2x ? y ? z ? 4 ? 0 解 已知直线的方向向量为

i j k s ? (1, 1, ?1)?(2, ?1, 1) ? 1 1 ?1 ? ?3 j ? 3k ? 2 ?1 1
过点 P 且与已知直线垂直的平面的方程为 ?3(y?1)?3(z?2)?0? 即 y?z?1?0?

5? 求下列各函数的定义域? (1)z ?ln(y2?2x?1)? 解 要使函数有意义? 必须 y2?2x?1?0? 故函数的定义域为 D?{(x? y)|y2?2x?1?0}? (2) z ? 1 ? 1 ? x? y x? y 解 要使函数有意义? 必须 x?y?0? x?y?0? 故函数的定义域为 D?{(x? y)|x?y?0? x?y?0}? (3) z ? x ? y ? 解 要使函数有意义? 必须 y?0? x ? y ? 0 即 x ? y ? 于是有 x?0 且 x2?y? D={(x? y)| x?0? y?0? x2?y}? (4) z ? ln( y ? x) ?
x ? 1? x ? y 2
2

故函数定义域为

解 要使函数有意义? 必须 y?x?0? x?0? 1?x2?y2?0? 故函数的定义域为 D={(x? y)| y?x?0? x?0? x2+y2?1}?

(5) u ? R 2 ? x2 ? y 2 ? z 2 ?

1 (R?r?0)? x ? y ? z2 ?r2
2 2

解 要使函数有意义? 必须 R2?x2?y2?z2?0 且 x2+y2+z2?r2?0? 故函数的定义域为 D={(x? y? z)| r2?x2+y2+z2?R2}? (6) u ? arccos 2z 2 ? x ?y 解 要使函数有意义? 必须 x2+y2?0? 且 | 故函数定义域为 D={(x? y? z)|z2?x2+y2? x2+y2?0}? 6? 求下列各极限?
lim (1) ( x, y ) ?(0,1) 1? xy ? x2 ? y 2

z |?1即 z2?x2+y2? 2 x ?y
2



1? xy 1? 0 ? ?1? ( x, y)?(0,1) x2 ? y 2 0 ?1 lim

ln( x ? e y ) lim (2) ( x, y ? )?(1,0) x2 ? y 2



ln( x ? e y ) ln(1? e0 ) ? 2 2 ? ln 2 ? ( x, y) ?(1,0) x2 ? y 2 1 ?0 lim

(3) ( x, ylim ) ?(0,0) 解
lim

2 ? xy ? 4 ? xy

2 ? xy ? 4 (2 ? xy ? 4)(2 ? xy ? 4) ? lim ( x, y) ?(0,0) ( x, y) ?(0,0) xy xy(2 ? xy ? 4)

? lim

?1 ?? 1 ? ( x, y) ?(0,0) (2 ? xy ? 4 ) 4

(4) ( x, ylim ) ?(0,0) 解
( x, y ) ?(0,0)

xy ? xy ?1 ?1

lim

xy( xy ?1 ?1) xy ? lim xy ?1 ?1 (x, y)?(0,0) ( xy ?1 ?1)( xy ?1 ?1)

? lim

xy( xy ?1 ?1) ? lim xy ?1 ?1) ? 2 ? ( x, y)?(0,0) ( x, y)?(0,0) xy

(5) lim 解

sin(xy) ? ( x, y)?(2,0) y sin(xy) sin xy ? lim ? x ?1?2 ? 2 ? ( x, y)?(2,0) xy ( x, y)?(2,0) y lim
1? cos(x 2 ? y 2 ) 2 2 ? ( x 2 ? y 2 )e x y
2 2

(6) ( x, ylim ) ? (0,0)

1 (x2 ? y2)2 1?cos(x ? y ) 解 lim lim 2 2 2 ? 2 2 ( x, y)?(0,0) ( x2 ? y 2 )e x y ( x, y)?(0,0) ( x2 ? y 2 )e x y

x2 ? y2 1 ? (x, y lim ? 0 (用等价无穷小代换)? 2 2 2 )?(0,0) ex y
习题 8?2 1? 求下列函数的偏导数? (1) z ?x3y?y3x? 解 ?z ? 3x2 y ? y3 ? ?x ?z ? x3 ?3xy2 ? ?y 2 2 (2) s ? u ? v ? uv 解 ?s ? ? (u ? v ) ? 1 ? v2 ? ?u ?u v u v u

?s ? ? (u ? v ) ? 1 ? u ? ?v ?v v u u v2 (3) z ? ln( xy) ? 1 1 ?1 ? 解 ?z ? ? ( ln x ? ln y ) ? 1 ? ? ?x ?x 2 ln x ? ln y x 2x ln( xy) ?z ? 1 同理 ? ?y 2 y ln( xy) (4) z?sin(xy)?cos2(xy)? 解 ?z ? cos(xy)? y ? 2cos(xy)?[?sin(xy)]? y ? y[cos(xy) ?sin(2xy)] ?x 根据对称性可知 ?z ? x[cos(xy) ?sin(2xy)] ? ?y (5) z ?ln tan x ? y 解 ?z ? 1 ?sec2 x ? 1 ? 2 csc 2x ? ?x tan x y y y y y ?z ? 1 ?sec2 x ? ? x ? ? 2x csc 2x ? ?y tan x y y2 y2 y y (6) z?(1?xy)y? 解 ?z ? y(1? xy) y ?1 ? y ? y 2 (1? xy) y ?1 ? ?x ?z ? ? e yln(1? xy) ?e yln(1? xy)[ln(1? xy) ? y? x ] ?y ?y 1? xy xy ? (1? xy) y[ l n 1? ( xy) ? ]? 1? xy

(7) u ? x ? ?1) y (y ? u 解 ? xz ? ?x z y y ?u ? x z ln x? 1 ? 1 x z ?ln x ? ?y z z

y z

y y ?u ? x z ln x(? y ) ? ? y x z ?ln x ? ?z z2 z2 (8) u?arctan(x?y)z? z( x ? y) z ?1 解 ?u ? ? ?x 1? ( x ? y)2 z ?u ? ? z( x ? y) z ?1 ? ?y 1? ( x ? y)2z ?u ? ( x ? y) z ln( x ? y) ? ?z 1? ( x ? y)2 z 2? 设 T ? 2? l ? 试证 l ?T ? g ?T ? 0 ? g ?l ?g 解 因为 ?T ?? ? 1 ? ?l g ?l

?T ? 2? ? l (? 1 )? g ? 3 1 ? 2 ? ?? ? ?g 2 g g

所以

l ?T ? g ?T ?? ? l ?? ? l ? 0 ? ?l ?g g g
?( 1 ? 1 ) x y

3? 设 z ? e

? 求证 x2 ?z ? y2 ?z ? 2z ? ?x ?y
1 1
1 1

?( ? ) ?z ? e?( x ? y ) ? 1 ? 所以 解 因为 ?z ? e x y ? 12 ? y2 ?x x ?y
?( ? ) ?( ? ) x ?z ? y 2 ?z ? e x y ? e x y ? 2z ?x ?y 4? 设 f ( x, y) ? x ? ( y ?1) arcsin x ? 求 f x (x, 1) ? y 2 1 1 1 1

解 因为

所以

f (x, 1) ? x ? (1?1) arcsin x ? x ? 1 f x (x, 1) ? d f (x, 1) ?1 ? dx

2 2 ? ?z ? x ? y 5? 曲线 ? 4 在点(2? 4? 5)处的切线与正向 x 轴所成的倾角 ? ?y ?4

是多少? 解 因为 ?z ? 2x ? x ? ?x 4 2 ?z ?1? tan? ? ?x (2,4,5) 故

? ?? ?
4

2 ?2z ?2z ? z 6? 求下列函数的 2 ? ? ? ?x ?y 2 ?x?y (1) z?x4?y4?4x2y2? 2 解 ?z ? 4x3 ?8xy2 ? ? z ?12 x2 ?8 y2 ? 2 ?x ?x ?z ? 4 y3 ?8x2 y ? ?2 z ?12 y 2 ?8x2 ? ?y ?y 2 ?2 z ? ? (4 y3 ?8x2 y) ? ?16 xy ? ?x?y ?y y (2) z ? arctan ? x 2 2xy y y ? 2 2 2? 解 ?z ? 1 2 ?(? 2 ) ? ? 2 2 ? ? z 2 y ?x ( x ? y ) ?x x x ?y 1? 2 x ?z ? 1 ?( 1 ) ? x ? ? 2 z ? ? 2xy ? y 2 x x2 ? y 2 ?y 2 ( x2 ? y 2 )2 ?y 1? 2 x ? 2 z ? ? (? y ) ? ? ( x2 ? y 2 ) ? 2 y 2 ? y 2 ? x2 ? ?x?y ?y x2 ? y 2 ( x 2 ? y 2 )2 ( x 2 ? y 2 )2 (3) z?yx? 2 ? y x ln 2 y ? 解 ?z ? y x ln y ? ? z 2 ?x ?x

?z ? xy x?1 ? ? 2 z ? x( x ?1) y x ? 2 ? ?y 2 ?y ?2 z ? ? ( y x ln y) ? xy x?1 ln y ? y x ? 1 ? y x?1(x ln y ?1) ? ?x?y ?y y 7? 设 f(x? y? z)?xy2?yz2?zx2? 求 fxx(0? 0? 1)? fxz(1? 0? 2)? fyz(0? ?1? 0)及 fzzx(2? 0? 1)? 解 因为 fx?y2?2xz? fxx?2z? fxz?2x? fy?2xy?z2? fyz?2z? fz?2yz?x2? fzz?2y? fzzx?0? 所以 fxx(0? 0? 1)?2? fxz(1? 0? 2)?2? fyz(0? ?1? 0)?0? fzzx(2? 0? 1)?0?
3 3 8? 设 z?xln(xy)? 求 ?2 z 及 ? z 2 ? ?x ?y ?x?y ?z ? ln( xy) ? x ? y ? ln( xy) ?1 解 ? ?x xy ?2 z ? y ? 1 ? ?3 z ? 0 ? ?x2 xy x ?x 2?y 3 ?2 z ? x ? 1 ? ? z 2 ? ? 12 ? ?x?y xy y ?x?y y

习题 8?3 1? 求下列函数的全微分? (1) z ? xy ? x ? y 解 dz ? ?z dx ? ?z dy ?( y ? 1 )dx ? (x ? x2 )dy ? ?x ?y y y (2) z ? e ?
y x

y y x ? z ? z 解 dz ? dx ? dy ? ? 2 e dx ? 1 e y xdy ? ?x ?y x x y (3) z ? 2 2 ? x ?y

解 因为 xy ?z ? ? 1 y( x2 ? y 2 )? 3 2 ?? ? 2 ?x 2 ( x ? y 2 )3/ 2 y x2 ? y 2 ? y ? 2 2 x ?y ?z ? x2 ? ? ?y x2 ? y 2 (x2 ? y 2 )3/ 2 2 ? xy 所以 dz ? 2 2 3/ 2 dx ? 2 x 2 3/ 2 dy (x ? y ) (x ? y ) ? ? 2 x 2 3/ 2 ( ydx? xdy) ? (x ? y ) yz (4)u?x ? 解 因为 ?u ? yz? x yz?1 ? ?u ? zx yz ln x ? ?u ? yx yz ln x ? ?z ?x ?y 所以 du ? yzx yz?1dx ? zx yz ln xdy ? yx yz ln xdz ? 习题 8?4 1? 设 z?u2?v2? 而 u?x?y? v?x?y? 求 ?z ? ?z ? ? x ?y 解
?z ? ?z ? ?u ? ?z ? ?v ?2u?1?2v?1?2(u?v)?4x? ?x ?u ?x ?v ?x ?z ? ?z ? ?u ? ?z ? ?v ?2u?1?2v?(?1)?2(u?v)?4y? ?y ?u ?y ?v ?y

2? 设 z?u2ln v? 而 u ? x ? v?3x?2y? 求 ?z ? ?z ? ? x ?y y 解
?z ? ?z ? ?u ? ?z ? ?v ?x ?u ?x ?v ?x

2 3x2 ? ? 2u ln v? 1 ? u ?3 ? 2x ln( 3 x ? 2 y ) ? y v y2 (3x ? 2 y) y2

?z ? ?z ? ?u ? ?z ? ?v ?y ?u ?y ?v ?y
2 2 2x2 ? ? 2u ln v?(? x2 ) ? u (?2) ? ? 2x3 ln(3x ? 2 y) ? y v y (3x ? 2 y) y2

3? 设 z?ex?2y? 而 x?sin t? y?t3? 求 dz ? dt dy 解 dz ? ?z ? dx ? ?z ? ? ex?2y c o ts ?ex?2y ?(?2)?3t 2 dt ?x dt ?y dt

? ex?2 y (cost ? 6t 2) ? esint ?2t (cost ?6t 2) ?
3

4? 设 z?arcsin(x? y)? 而 x?3t? y?4t3? 求 dz ? dt dy 1 ?1 ? 3 ? ?12t 2 解 dz ? ?z ? dx ? ?z ? ? 2 2 dt ?x dt ?y dt 1? ( x ? y) 1? ( x ? y)
? 3(1? 4t 2 ) ? 1? (3t ? 4t 3)2

5? 设 z?arctan(xy)? 而 y?ex? 求 dz ? dx dy y x ?ex ? ex (1? x) ? 解 dz ? ?z ? ?z ? ? ? dx ?x ?y dx 1? x2 y 2 1? x2 y 2 1? x2e2x

eax( y ? z) 6? 设 u ? 2 ? 而 y?asin x? z?cos x? 求 du ? dx a ?1 dy 解 du ? ?u ? ?u ? ? ?u ? dz dx ?x ?y dx dz dx aeax( y ? z) eax eax ?(?sin x) ? ? ? a cos x ? a2 ?1 a2 ?1 a2 ?1 ax ? e (a2 sin x ? a cos x ? a cos x ? sin x) ? eax sin x ? 2 a ?1

习题 8?5 1? 设 sin y?ex?xy2?0? 求

dy ? dx

解 令 F(x? y)?sin y?ex?xy2? 则 Fx?ex?y2? Fy?cos y?2xy?
dy Fx e2 ? y2 y2 ? ex ?? ?? ? ? dx Fy cos y ? 2xy cos y ? 2xy

y dy 2? 设 ln x2 ? y 2 ? arctan ? 求 ? dx x
y 解 令 F (x, y) ? ln x2 ? y2 ? arctan ? 则 x
y x? y 1 ? 2x ? 1 ?(? 2 ) ? 2 2 ? 2 2 2 x ?y x ? y 2 x ? y 1? ( y )2 x x 2y 1 ?1 ? y? x ? Fy ? 21 2 ? ? x ? y 2 x2 ? y 2 1? ( y )2 x x2 ? y 2 x F x? y dy ?? x ? ? dx Fy x ? y Fx ?
2

3? 设 x ? 2 y ? z ? 2 xyz ? 0 ? 求 ?z 及 ?z ? ? x ?y 解 令 F (x, y, z) ? x ? 2 y ? z ? 2 xyz ? 则
Fx ? 1? yz xy ? Fy ? 2 ? xz ? Fz ? 1? ? xyz xyz xyz

?z ? ? Fx ? yz ? xyz ? ?z ? ? Fy ? xz ? 2 xyz ? ?x Fz Fz xyz ? xy ?y xyz ? xy
4? 设 x ? ln z ? 求 ?z 及 ?z ? ? x ?y z y

解 令 F (x, y, z) ? x ? ln z ? 则 z y

z? Fx ? 1 ? Fy ? ? 1 ?(? z2 ) ? 1 ? Fz ? ? x2 ? 1 ? 1 ? ? x ? 2 z z y y z z y z y y
所以
?z ? ? Fx ? z ? ?z ? ? Fy ? z 2 ? ?x Fz x ? z ?y Fz y(x ? z)

6? 求下列函数的一阶和二阶偏导数? (1)z?ln(x?y2)? 解

1 ?z ? 1 ? ? 2 z ? ? ? 2 2 ?x x ? y ?x ( x ? y 2 )2
2(x ? y2) ? 4 y2 2(x ? y2) ?z ? 2 y ? ?2 z ? ? ? ? 2 ?y x ? y ?y2 ( x ? y 2 )2 ( x ? y 2 )2

?2 z ? ? ( 1 ) ? ? 2 y ?x?y ?y x ? y 2 ( x ? y 2 )2
(2)z?xy? 解

?z ? yx y ?1 ? ? 2 z ? y( y ?1) x y ? 2 ? ?x 2 ?x
?z ? x y ln x ? 2 z ? x y ln2 x ? ? ?y ?y 2

? 2 z ? ? ( yx y ?1) ? x y ?1 ? yx y ?1 ln x ? x y ?1(1? y ln x) ? ?x?y ?y
习题 9?2 1? 计算下列二重积分? (1) ?? ( x 2 ? y 2 )d? ? 其中 D?{(x? y)| |x|?1? |y|?1}?
D

解 积分区域可表示为 D? ?1?x?1? ?1?y?1? 于是

1 ?? (x2 ? y 2)d? ? ??1dx??1(x2 ? y2)d y ? ??1[x2 y ? 3 y3]?11d x D
1 1

1

1 1 ?8? ? ? (2x2 ? 1)d x ? [ 2 x3 ? 2 x]? ?1 3 3 1 3 3 (2) ?? (3x ? 2 y)d? ? 其中 D 是由两坐标轴及直线 x?y?2 所围成的闭区域?
D

解 积分区域可表示为 D? 0?x?2? 0?y?2?x? 于是

?? (3x ? 2 y)d? ? ?0 dx?0
D

2

2? x

xdx (3x ? 2 y)d y ? ? [3xy ? y2]2? 0 0

2

2 2 ? 20 ? ? ? (4 ? 2x ? 2x2)dx ?[4x ? x2 ? 2 x3]0 0 3 3 (3) ?? ( x3 ? 3x2 y ? y 2 )d? ? 其中 D?{(x? y)| 0?x?1? 0?y?1}?
D



dy 0 ?? (x3 ? 3x2 y ? y3)d? ? ?0 dy?0 (x3 ?3x2 y ? y3)dx ? ?0[ 4 ? x3 y ? y3x]1
D

1

1

1

x4

1 y y2 y4 ? 1 ? 1 ? 1 ?1 ? ? ? ( 1 ? y ? y3)dy ? [ ? ? ]1 0 4 4 2 4 0 4 2 4 (4) ?? x cos( x ? y)d? ? 其中 D 是顶点分别为(0? 0)? (?? 0)? 和(?? ?)的三角形闭区域?
D

解 积分区域可表示为 D? 0?x??? 0?y?x? 于是?
x dx ?? x cos( x ? y)d? ? ?0 xdx?0 cos(x ? y)dy ? ?0 x[sin(x ? y)]0
D

?

x

?

? ? x( s i 2 nx ?s i n x)dx ? ?? xd( 1 c o 2 sx ? c o x s) 0 0 2
? 1 ? ?x( 1 c o 2 sx ? c o x s) | ? ? ( cos2x ? cosx)dx ? ? 3 ? ? 0 ? 0 2 2 2 ? 2? 画出积分区域? 并计算下列二重积分? (1) ?? x y d? ? 其中 D 是由两条抛物线 y ? x ? y ? x2 所围成的闭区域?
D

?

?

解 积分区域图如? 并且 D?{(x? y)| 0?x?1? x2 ? y ? x }? 于是

1 2 1 2 3 1 x 2 6 ?? x y d? ? ?0 dx?x2 x ydy ? ?0 x[ 3 y 2 ]x2x dx ? ?0 ( 3 x 4 ? 3 x4)dx ? 55 ? D

7

(2) ?? xy 2 d? ? 其中 D 是由圆周 x2?y2?4 及 y 轴所围成的右半闭区域?
D

解 积分区域图如? 并且 D?{(x? y)| ?2?y?2? 0 ? x ? 4 ? y 2 }? 于是

?? xy2d? ? dy?
D ?2

2

4? y 2

0

xy2dx ?? [ 1 x2 y2]0 4? y dy ?2 2
2
2

2 64 ? ? ? (2 y2 ? 1 y4)dy ?[ 2 y3 ? 1 y5]2 ?2 ? ?2 2 3 10 15 x? y (3) ?? e d? ? 其中 D?{(x? y)| |x|?|y|?1}?
D

解 积分区域图如? 并且 D?{(x? y)| ?1?x?0? ?x?1?y?x?1}?{(x? y)| 0?x?1? x?1?y??x?1}? 于是

?? ex? yd? ? ??1exdx??x?1e ydy??0 exdx?x?1
D

0

x ?1

1

? x ?1

e ydy
1

x ?1 x y ? x?1 2x?1 ? ? ex[e y ]? ?e?1)dx?? (e ?e2x?1)dx x?1dx?? e [e ]x ?1 dy ? ? (e ?1 0 ?1 0

0

1

0

1 2x?1]1 ?e?e?1? ?[ 1 e2x?1 ?e?1x]0 ?1 ?[ex? e 0 2 2 (4) ?? ( x2 ? y 2 ? x)d? ? 其中 D 是由直线 y?2? y?x 及 y?2x 轴所围成的闭区域?
D

解 积分区域图如? 并且 D?{(x? y)| 0?y?2? 1 y ? x ? y }? 于是 2
2 2 3 2 2 y ( x ? y ? x)dx ? ? [ x ? y x ? x ] y dy ?? (x2 ? y2 ? x)d? ? ?0 dy?2 0 3 2 2 D 2 y 2

1

1

y

2 ? ? (19 y3 ? 3 y2)dy ? 13 ? 0 24 8 6

15? 选用适当的坐标计算下列各题? (1) ??
D

x2 dxdy,其中 D 是由直线 x?2,y?x 及曲线 xy?1 所围成的闭区域? y2

解 因为积分区域可表示为 D ?{(x, y) |1? x ? 2, 1 ? y ? x} ? 所以 x

??
D

2 x 1 2 x2 d x d? y ? x 2 dx?1 2 dy ? ? (x3 ? x)dx ? 9 ? 2 1 1 4 y x y

14? 利用极坐标计算下列各题? (1) ?? e x
D
2

? y2

d? ,其中 D 是由圆周 x2?y2?4 所围成的闭区域?

解 在极坐标下 D?{(?? ?)|0???2?? 0???2}? 所以 2 2 2 ?? ex ? y d? ? ?? e? ?d?d?
D D

? ? d? ? e? ?d? ? 2? ? 1 (e4 ?1) ?? (e4 ?1) ? 0 0 2 2 2 (2) ?? ln(1? x ? y )d? ,其中 D 是由圆周 x2?y2?1 及坐标轴所围成的在第一象限内
2
2

2?

D

的闭区域? 解 在极坐标下 D ?{(?,? ) | 0 ?? ? ? , 0 ? ? ?1 } ? 所以 2

?? ln(1? x2 ? y2)d? ? ?? ln(1? ? 2)?d?d?
D D

1 ? ? 2 d? ? l n1( ? ? 2)?d? ? ? ? 1 (2 l n2 ?1) ? 1 (2 l n2 ?1) 0 0 2 2 4

?

习题 12?2 1? 求下列微分方程的通解? (1)xy??yln y?0? 解 分离变量得

1 dy ? 1 dx ? y ln y x
两边积分得

? y ln y dy ? ? x dx ?
即 ln(ln y)=ln x+ln C, 故通解为 y=eCx . (2)3x2?5x?5y??0? 解 分离变量得 5dy?(3x2?5x)dx? 两边积分得

1

1

? 5dy ? ? (3x2 ? 5x)dx ?


5y ? x3 ? 5 x2 ?C1 ? 2

故通解为 y ? x3 ? x2 ? C ? 其中 C ? C1 为任意常数?

1 5

1 2

1 5

(3) 1? x2 y? ? 1? y 2 ? 解 分离变量得

dy ? dx ? 2 1? y 1? x2
两边积分得

?

dy ? ? dx 2 1? y 1? x2

即 arcsin y?arcsin x?C? 故通解为 y?sin(arcsin x?C)? (4)y??xy??a(y2?y?)? 解 方程变形为(1?x?a)y??ay2? 分离变量得

1 dy ? a dx ? 1? a ? x y2
两边积分得

? y2 dy ? ? 1? a ? x dx ?
? 1 ? ?a ln(1? a ? x) ? C1 ? y 1 故通解为 y ? ? 其中 C?aC1 为任意常数? C ? a ln(1? a ? x)
即 (5)sec2x tan ydx?sec2y tan xdy?0? 解 分离变量得
2 sec2 y y ? ? sec x dx ? tan y tanx

1

a

两边积分得

sec2 y sec2 x ? tan y y ? ?? tanx dx ?
即 ln(tan y)??ln(tan x)?ln C? 故通解为 tan x tan y?C ? (6)

dy ?10x? y ? dx

解 分离变量得 10?ydy?10xdx? 两边积分得

?10? y dy ? ?10 x dx ?

?y x ? 10 ? 10 ? C ? ln10 ln10 ln10

或 10?y?10x?C? 故通解为 y??lg(C?10x)? (7)(ex?y?ex)dx?(ex?y?ey)dy?0? 解 方程变形为 ey(ex?1)dy?ex(1?ey)dx? 分离变量得

e y dy ? e x dx ? 1? e y 1? e x
两边积分得

? 1? e y dy ? ? 1? e x dx ?
即 ?ln(e y)?ln(ex?1)?lnC? 故通解为(ex?1)(ey?1)?C ? (8)cos x sin ydx?sin x cos ydy?0? 解 分离变量得

ey

ex

cos y dy ? ? cos x dx ? sin y sin x
两边积分得

? sin y dy ? ?? sin x dx ?
即 ln(sin y)??ln(sin x)?ln C? 故通解为 sin x sin y?C ? (9) ( y ?1)2

cos y

cos x

dy 3 ?x ?0 ? dx

解 分离变量得 (y?1)2dy??x3dx? 两边积分得

? ( y ?1)2 dy ? ?? x3dx ?


1 ( y ?1)3 ? ? 1 x4 ?C ? 1 3 4

故通解为 4(y?1)3?3x4?C (C?12C1)? (10)ydx?(x2?4x)dy?0? 解 分离变量得

4 dy ? ( 1 ? 1 )dx ? y x 4? x
两边积分得

? y dy ? ? ( x ? 4 ? x )dx ?
即 ln y4?ln x?ln(4?x)?ln C ? 故通解为 y4(4?x)?Cx ? 2? 求下列微分方程满足所给初始条件的特解? (1)y??e2x?y? y|x?0?0? 解 分离变量得 e ydy?e2xdx? 两边积分得

4

1

1

? e ydy ? ? e2xdx ?
e y ? 1 e2x ?C ? 2 或 y ? ln(1 e2x ? C) ? 2 1 1 由 y|x?0?0 得 ln( ? C) ? 0 ? C ? ? 2 2 1 1 所以特解 y ? ln( e2x ? ) ? 2 2
即 (2)cos x sin ydy?cos y sin xdx? y |x ?0 ? 解 分离变量得 tan y dy?tan x dx? 两边积分得

??
4

? tan ydy ? ? tan xdx ?
即 或 ?ln(cos y)??ln(cos x)?ln C? cos y?C cos x ? 由 y |x ? 0 ?

? 得 cos? ? C cos0 ? C ? C ? 1 ?
4 4
2

所以特解为 2 cos y ? cosx ? (3)y?sin x?yln y? y x ? ? ? e ?
2

解 分离变量得

1 dy ? 1 dx ? y ln y sin x

两边积分得

? y ln y dy ? ? sin x dx ?
即 或

1

1

ln(lny) ? ln(tanx ) ? lnC ? 2
y ?e
C tan x 2

?
C tan ? 4

由 y x?? ? e 得 e ? e
2

? C?1?

所以特解为 y ? e

tan x 2

?

(4)cos ydx?(1?e?x)sin ydy?0? y |x ?0 ? 解 分离变量得

??
4

?

x sin y dy ? e x dx ? cos y 1? e

两边积分得

??
即 或

x sin y dy ? ? e x dx ? cos y 1? e

ln|cos y|?ln(ex?1)?ln |C|? cos y?C(ex?1)? 由 y |x ? 0 ?

? 得 cos ? ? C (e? 4 ?1) ? C ? 2 ?
4
4 4 2 (e x ?1) ? 4

所以特解为 cos y ?

(5)xdy?2ydx?0? y|x?2?1? 解 分离变量得

1 dy ? ? 2 dx ? y x
两边积分得

? y dy ? ?? x dx ?
即 或 ln y??2ln x?ln C? y?Cx?2? 由 y|x?2?1 得 C?2?2?1? C?4?

1

2

所以特解为 y ?

4 ? x2

1? 求下列齐次方程的通解? (1) xy? ? y ? y 2 ? x2 ? 0 ?

解 原方程变为 令u ?

dy y y ? ? ( )2 ?1 ? dx x x

y ? 则原方程化为 x 1 1 u ? x du ? u ? u2 ?1 ? 即 2 du ? dx ? x dx u ?1

两边积分得

ln(u ? u2 ?1) ? ln x ?lnC ? 即 u ? u2 ?1 ? Cx ?
将u ?

y 代入上式得原方程的通解 x
y y ? ( )2 ?1 ? Cx ? 即 y ? y 2 ? x2 ? Cx2 ? x x

dy y ? y ln ? dx x dy y y 解 原方程变为 ? ln ? dx x x y 令 u ? ? 则原方程化为 x 1 du ? 1 dx ? u ? x du ? u lnu ? 即 u(ln u ?1) x dx
(2) x 两边积分得 ln(ln u?1)?ln x?ln C? 即 u?eCx?1? 将u ?

y 代入上式得原方程的通解 x
y?xeCx?1?

(3)(x2?y2)dx?xydy?0? 解 这是齐次方程? 令 u ?

y ? 即 y?xu? 则原方程化为 x 1 (x2?x2u2)dx?x2u(udx?xdu)?0? 即 udu? dx ? x

两边积分得 u2?ln x2?C?

将u ?

y 代入上式得原方程的通解 x
y2?x2(ln x2?C)?

(4)(x3?y3)dx?3xy2dy?0? 解 这是齐次方程? 令 u ?

y ? 即 y?xu? 则原方程化为 x 3u 2 du ? 1 dx ? (x3?x3u3)dx?3x3u2(udx?xdu)?0? 即 x 1? 2u 3
? ? 1 ln( 1? 2u3) ? ln x ? ln C ? 即 2u3 ?1? C 2 x2

两边积分得

将u ?

y 代入上式得原方程的通解 x
x3?2y3?Cx ?

习题 12?4 1? 求下列微分方程的通解? (1)

dy ? y ? e? x ? dx

? dx dx 解 y ? e ? ( e? x ?e? dx? C) ? e? x ( e? x ?e xdx? C) ? e? x (x ? C) ?

?

?

(2)xy??y?x ?3x?2? 解 原方程变为 y? ?
1

2

1 y ? x ? 3? 2 ? x x
1

? dx dx y ? e ? x [? (x ? 3? 2 )?e? x dx? C] x

? 1 [? (x ?3? 2)xdx?C] ? 1 [? (x2 ? 3x ? 2)dx? C] x x x ? 1 (1 x3 ? 3 x2 ? 2x ? C) ? 1 x2 ? 3 x ? 2 ? C ? x 3 2 3 2 x
(3)y??ycos x?e?sin x?
? cosdx cos xdx 解 y ?e ? ( e?sin x ?e? dx? C)

?

? e?sin x (? e?sin x ?esin xdx ? C) ? e?sin x ( x ? C) ?
(4)y??ytan x?sin 2x?

? tan xdx tan xdx 解 y ?e ? ( sin 2x?e? dx? C)

?

? eln cos x (? sin 2x ?e?ln cos x dx ? C )

? cosx(? 2sin x cosx? 1 dx?C) cosx
?cos x(?2cos x+C)?C cos x?2cos2x ? (5)(x2?1)y??2xy?cos x?0? 解 原方程变形为 y? ?
2x

2x y ? cosx ? x2 ?1 x2 ?1
2x

? dx x ?e? x 2 ?1dxdx? C) y ? e ? x 2 ?1 (? cos 2 x ?1

x ?(x2 ?1)dx?C] ? 1 (sin x ?C) ? ? 21 [? cos x ?1 x2 ?1 x2 ?1
(6)

d? ?3? ? 2 ? d?

? 3d? 3d? 解 ? ? e ? ( 2?e? d? ? C)

?

? e?3? (? 2e3? d? ? C )

? e?3? ( 2 e3? ? C) ? 2 ? Ce?3? ? 3 3
(7)

dy ? 2xy ? 4x ? dx

? 2xdx 2xdx 解 y ?e ? ( 4x?e? dx? C)

?
2

? e? x (? 4x ?e x dx ? C )
2 2

? e?x (2ex ?C) ? 2?Ce?x ?
2 2

(8)yln ydx?(x?ln y)dy?0? 解 原方程变形为
? ? 1 dy y ln y (

dx ? 1 x ? 1 ? dy y ln y y
1

x?e

1 ?e? yln y dydy? C) ?y

? 1 (? 1 ?ln ydy ? C ) ln y y

? 1 ( 1 ln 2 y ? C ) ? 1 ln y ? C ? ln y 2 2 ln y

dy ? y ? 2(x ? 2)3 ? dx dy 1 解 原方程变形为 ? y ? 2(x ? 2)2 ? dx x ? 2
(9) (x ? 2)
dx ? dx y ? e? x?2 [? 2(x ? 2)2 ?e ? x?2 dx?C] 1 1

? (x ? 2)[? 2(x ? 2)2 ? 1 dx? C] x ?2
?(x?2)[(x?2)2?C]?(x?2)3?C(x?2)?

dy ? 2y ? 0 ? dx dx ? 3 x ? ? 1 y 解 原方程变形为 ? dy y 2
(10) ( y2 ? 6x)

x?e

? ? dy ? y dy [? (? 1 y)?e y dy? C] 2

3

3

? y3(? 1 ? y ? 13 dy ? C) 2 y

? y3( 1 ? C ) ? 1 y 2 ? Cy 3 ? 2y 2
2? 求下列微分方程满足所给初始条件的特解? (1)

dy ? y tanx ? sec x ? y|x?0?0? dx
tan xdx ? tan xdx (? sec x?e ? dx? C)

解 y ? e?

? 1 (? sec x?cosxdx?C) ? 1 (x ?C) ? cosx cosx
由 y|x?0?0? 得 C?0? 故所求特解为 y?xsec x ? (2)

dy y sin x ? y|x???1? ? ? dx x x
? ? 1 dx y ?e x (



sin x ?e? x dxdx? C) ? x

1

? 1 (? sin x ? xdx?C) ? 1 (?cosx ?C) ? x x x 1 由 y|x???1? 得 C???1? 故所求特解为 y ? (? ?1? cosx) ? x

(3)

dy ? y cot x ? 5ecosx ? y |x?? ? ?4 ? dx 2

? cot xdx cot xdx 解 y ?e ? ( 5ecos x ?e? dx? C)

?

? 1 (? 5ecosx ?sin xdx?C) ? 1 (?5ecosx ?C) ? sin x sin x 1 (?5ecosx ?1) ? 由 y | ? ? ?4 ? 得 C?1? 故所求特解为 y ? x? sin x 2
(4)

dy ? 3y ? 8 ? y|x?0?2? dx

? 3dx 3dx 解 y ? e ? ( 8?e? dx? C)

?

? e?3x (8? e3xdx?C) ? e?3x (8 e3x ?C) ? 8 ?Ce?3x ? 3 3 2 2 由 y|x?0?2? 得 C ? ? ? 故所求特解为 y ? (4 ? e?3x ) ? 3 3 2 dy 2 ? 3x ? y ? 1 ? y|x?1?0? (5) dx x3
解 y ?e
x dx ? ? 2 ?3 x3 (
2

? ?1?e
1

2 ?3x 2 dx x3 dx ? C )

? ? ? x3e x 2 (? 13 e x 2 dx? C) ? x3e x 2 ( 1 e x 2 ? C) ? 2 x

1

1

1

由 y|x?1?0? 得 C ? ?

1 ? 故所求特解为 y ? 1 x3(1? e x 2 ?1) ? 2 2e

1

习题 12?6 1? 求下列各微分方程的通解? (1)y???x?sin x? 解 y? ? (x ? sin x)dx ?

1 x2 ?cosx ? C ? 1 2 y ? ? ( 1 x2 ?cosx ?C1)dx ? 1 x3 ?sin x ?C1x ?C2 ? 2 6

?

原方程的通解为

y ? 1 x3 ?sin x ?C1x ?C2 ? 6
(2)y????xex? 解 y?? ? xe x dx ? xe x ? e x ? 2C1 ?

?

y? ? ? ( xe x ? e x ? 2C1)dx ? xe x ? 2e x ? 2C1x ? C2 ? y ? ? ( xe x ? 2e x ? 2C1x ? C2 )dx ? xe x ? 3e x ? C1x2 ? C2 x ? C3 ?
原方程的通解为

y ? xex ?3ex ?C1x2 ?C2 x ?C3 ?
1 ? 1? x2 1 dx ? arctanx ?C 解 y? ? ? 1 1? x2
(3) y?? ?

y ? ? (arctanx ?C1)dx ? x arctanx ? ? x 2 dx?C1x 1? x ? x arctanx ? 1 ln( 1? x2) ?C1x ?C2 ? 2
原方程的通解为

y ? xarctanx ?ln 1? x2 ?C1x ?C2 ?
(4)y???1?y?2? 解 令 p?y?? 则原方程化为 p??1?p2? 即

1 dp ? dx ? 1? p 2

两边积分得 arctan p?x?C1? 即 y??p?tan(x?C1)?

y ? ? tan( x ? C1)dx ? ? ln | cos( x ? C1) | ?C2 ?
原方程的通解为

y ? ? ln | cos(x ? C1) | ?C2 ?
(5)y???y??x? 解 令 p?y?? 则原方程化为 p??p?x? 由一阶线性非齐次方程的通解公式得
dx ? dx p ? e? (? x?e ? dx? C1) ? e x (? xe? xdx? C1) ? C1e x ? x ?1 ?

即 于是

y??C1ex?x?1?

y ? ? (C1ex ? x ?1)dx ? C1ex ? 1 x2 ? x ?C2 ? 2

原方程的通解为

y ? C1ex ? 1 x2 ? x ? C2 ? 2

习题 12?8 1? 求下列微分方程的通解? (1)y???y??2y?0? 解 微分方程的特征方程为 r2?r?2?0? 即(r?2)(r?1)?0? 其根为 r1?1? r2??2? 故微分方程的通解为 y?C1ex?C2e?2x? (2)y???4y??0? 解 微分方程的特征方程为 r2?4r?0? 即 r(r?4)?0? 其根为 r1?0? r2?4? 故微分方程的通解为 y?C1?C2e4x? (3)y???y?0? 解 微分方程的特征方程为 r2?1?0? 其根为 r1?i? r2??i? 故微分方程的通解为 y?C1cos x?C2sin x? (4)y???6y??13y?0? 解 微分方程的特征方程为 r2?6r?13?0? 其根为 r1??3?2i? r2??3?2i? 故微分方程的通解为 y?e?3x(C1cos2x?C2sin2x)?
2 x ? 20 dx ? 25 x ? 0 (5) 4 d 2 ? dt dt 解 微分方程的特征方程为

4r2?20r?25?0? 即(2x?5)2?0? 其根为 r1 ? r2 ? 5 ? 故微分方程的通解为 2

x ? C1e 2 ? C2 xe2 ? 即 x ? (C1 ? C2t)e 2 ?

5t

5t

5t

(6)y???4y??5y?0? 解 微分方程的特征方程为 r2?4r?5?0? 其根为 r1?2?i? r2?2?i? 故微分方程的通解为 y?e2x(C1cos x?C2sin x)? (7)y(4)?y?0? 解 微分方程的特征方程为 r4?1?0? 即(r?1)(r?1)(r2?1)?0 其根为 r1?1? r2??1? r1??i? r2?i? 故微分方程的通解为 y?C1ex?C2e?x?C3cos x?C4sin x? (8)y(4)?2y???y?0? 解 微分方程的特征方程为 r4?r2?1?0? 即(r2?1)2?0? 其根为 r1?r2??i? r3?r4?i? 故微分方程的通解为 y?(C1?C2x)cos x?(C3?C4x)sin x? (9)y(4)?2y????y???0? 解 微分方程的特征方程为 r4?2r3?r2?0? 即 r2(r?1)2?0? 其根为 r1?r2?0? r3?r4?1? 故微分方程的通解为 y?C1?C2x?C3ex?C4xex? (10)y(4)?5y???36?0? 解 微分方程的特征方程为 r4?5r2?36?0? 其根为 r1?2? r2??2? r3?3i? r4??3i? 故微分方程的通解为 y?C1e2x?C2e?2x? C3cos3x?C4sin3x? 2? 求下列微分方程满足所给初始条件的特解? (1)y???4y??3y?0? y|x?0?6? y?|x?0?10? 解 微分方程的特征方程为 r2?4r?3?0? 即(r?1)(r?3)?0? 其根为 r1?1? r2?3? 故微分方程的通解为 y?C1ex?C2e3x? 由 y|x?0?6? y?|x?0?10? 得

?C1 ? C2 ? 6 ?C ? 3C ?10 ? 2 ? 1

解之得 C1?4? C2?2? 因此所求特解为 y?4ex?2e3x? (2)4y???4y??y?0? y|x?0?2? y?|x?0?0? 解 微分方程的特征方程为 4r2?4r?1?0? 即(2r?1)2?0? 其根为 r1 ? r2 ? ? 1 ? 故微分方程的通解为 2

y ?e

?1 x 2 (C ? C x) ? 1 2

由 y|x?0?2? y?|x?0?0? 得

? ?C1 ? 2 ?? 1 C ? C ? 0 ? ? ? 2 1 2
解之得 C1?2? C2?1? 因此所求特解为
?1 x 2 (2 ? x) ?

y ?e

(3)y???3y??4y?0? y|x?0?0? y?|x?0??5? 解 微分方程的特征方程为 r2?3r?4?0? 即(r?4)(r?1)?0? 其根为 r1??1? r2?4? 故微分方程的通解为 y?C1e?x?C2e4x? 由 y|x?0?0? y?|x?0??5? 得
?C1 ? C2 ? 0 ?? C ? 4C ? ?5 ? 2 ? 1

解之得 C1?1? C2??1? 因此所求特解为 y?e?x?e4x? (4)y???4y??29y?0? y|x?0?0? y?|x?0?15? 解 微分方程的特征方程为 r2?4r?29?0? 其根为 r1? 2??2?5i? 故微分方程的通解为 y?e?2x(C1cos5x?C2sin5x)?

由 y|x?0?0? 得 C1?0? y?C2e?2xsin5x? 由 y?|x?0?15? 得 C2?3? 因此所求特解为 y?3e?2xsin5x? (5)y???25y?0? y|x?0?2? y?|x?0?5? 解 微分方程的特征方程为 r2?25?0? 其根为 r1? 2??5i? 故微分方程的通解为 y?C1cos5x?C2sin5x? 由 y|x?0?2? 得 C1?2? y?2cos5x?C2sin5x? 由 y?|x?0?5? 得 C2?1? 因此所求特解为 y?2cos5x?sin5x? (6)y???4y??13y?0? y|x?0?0? y?|x?0?3? 解 微分方程的特征方程为 r2?4r?13?0? 其根为 r1? 2?2?3i? 故微分方程的通解为 y?e2x(C1cos3x?C2sin3x)? 由 y|x?0?0? 得 C1?0? y?C2e2xsin3x? 由 y?|x?0?3? 得 C2?1? 因此所求特解为 y?e2xsin3x?
习题 11?2 1? 用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收 敛性? (1) 1? ? ? ? ? ? ?

1 1 3 5

1 ? ??? ? (2n ?1)

1 ? 2 n ?1 ? 1 ? 而级数 1 发散? 故所给级数发散? 解 因为 lim ? 2 n?? 1 n ?1 n n
(2) 1?

1? 2 ? 1?3 ? ? ? ? ? 1? n ? ? ? ? ? 1? 22 1? 32 1? n2 1? n ? 1? n ? 1 ? 而级数 ? 1 发散? ? 1? n2 n ? n2 n n ?1 n

解 因为 un ? 故所给级数发散?

(3)

1 ? 1 ? ??? ? 1 ? ??? ? 2?5 3?6 (n ?1)( n ? 4)

1 ? 2 (n ?1)(n ? 4) ? lim 2 n ? 1 ? 而级数 ? 12 收敛? 解 因为 lim 1 n ?? n?? n ? 5n ? 4 n ?1 n 2 n
故所给级数收敛? (4) sin

? ?sin ? ?sin ? ? ? ? ? ?sin ? ? ? ? ? ? 2 3 n
2 2 2 2

sin ?n sin ?n ? 2 2 ? ? ? 而级数 ? 1 收敛? 解 因为 lim ? ? lim n 1 n?? n?? ? n ?1 2 2n 2n
故所给级数收敛? (5) ?

1 (a ? 0) ? n n ?11? a

?

解 因为

? 0 0 ? a ?1 1 n n ? lim 1? a ? lim a n ? l ? ? 1 a ?1 ? 1 n?? n?? 1? a ?2 n a ? 1 a ?1
1 收敛? 当 0?a?1 时级数 ? 1 发散? ? n n n?1 a n?1 a
?

而当 a?1 时级数 ?
?

所以级数 ?

1 当 a?1 时收敛? 当 0?a?1 时发散? n n ?11? a

2? 用比值审敛法判定下列级数的收敛性?

3 ? 32 ? 33 ? ? ? ? ? 3n ? ? ? ? ? 1? 2 2? 22 3? 23 n ? 2n 3n 解 级数的一般项为 un ? ? 因为 n ? 2n
(1)
n?1 n un?1 ? lim 3 n?1 ? n?2 ? lim 3 ? n ? 3 ?1 ? n n?? un n?? (n ?1)? 2 n?? 2 n ?1 2 3

lim

所以级数发散?

(2) ?

n2 ? n n ?1 3 un?1 (n ?1)2 n ? lim n?1 ? 32 ? lim 1 ?( n ?1)2 ? 1 ?1 ? 3 n?? un n?? 3 n n?? 3 n

?

解 因为 lim 所以级数收敛? (3) ?

2n ?n! ? n n ?1 n un?1 2n?1?(n ?1)! nn ? lim ? ? 2 lim ( n )n ? 2 ?1 ? e n?? un n?? (n ?1)n?1 2n ? n! n?? n ?1

?

解 因为 lim 所以级数收敛? (3) ? n tan
n ?1 ?

2

? ? n ?1

(n ?1) tan n?2 un?1 2 ? lim n ?1? 2n?2 ? 1 ?1? 解 因为 lim ? lim ? 2 n?? un n?? n?? n n tan ? n?1 2 2n?1
所以级数收敛? 3? 用根值审敛法判定下列级数的收敛性? (1) ? (
n?1 ?

?

?

n )n ? 2n ?1
n??

解 因为 lim n un ? lim (2) ?

n ? 1 ?1? 所以级数收敛? n?? 2n ?1 2

1 ? n ?1)]n n?1[ln(
n ??

?

解 因为 lim n un ? lim (3) ? (
n?1 ?

1 ? 0 ?1 ? 所以级数收敛? n ?? ln( n ?1)

n )2n?1 ? 3n ?1

解 因为

lim n un ? lim ( n ) n ?? n?? 3n ?1

2n ?1 n

? lim

1 n ?? 2? 1 (3 ? 1 ) n n

? lim
所以级数收敛? (4) ? (
n ?1 ?

1 1 3n
2? 1 ) n

n?? 2? 1 3 n ?(1?

? 21 3 ?1? 3 ?e

b )n ? 其中 a ?a(n??)? a ? b? a 均为正数? n n an
n ??

解 因为 lim n un ? lim

b ?b? a n?? an

所以当 b?a 时级数收敛? 当 b?a 时级数发散? 4? 判定下列级数的收敛性?

3 4 3 解 这里 un ? n( )n ? 因为 4

(1) ? 2( )2 ? 3( )3 ? ? ? ? ? n( )n ? ? ? ? ?

3 4

3 4

3 4

(n ?1)(3)n?1 un?1 4 lim ? lim ? lim n ?1? 3 ? 3 ?1 ? 3 n?? un n?? n?? n 4 4 n( )n 4
所以级数收敛?

14 ? 24 ? 34 ? ? ? ? ? n4 ? ? ? ? ? 1! 2! 3! n! n4 解 这里 un ? ? 因为 n!
(2)

un?1 (n ?1)4 n! ? lim ? 4 ? lim 1 ?( n ?1)3 ? 0 ?1 ? u ( n ? 1 )! n?? n n?? n n?? n n lim
所以级数收敛? (3) ?

n ?1 ? n ( n ?1 n ? 2)

?

n ?1 ? n(n ? 2) ? lim n ?1 ? 1 ? 而级数 ? 1 发散? 解 因为 lim 1 n ?? n ?? n ? 2 n ?1 n n
故所给级数发散?

(4) ? 2n sin
n?1

?

3n

? ?

2n?1 sin ? 2n?1? ? n?1 3 ? lim 3n?1 ? 2 ?1 ? 解 因为 lim 3 n?? n?? 2n sin ?n 2n ? ?n 3 3
所以级数收敛?

(5) 2 ?

3 ? ? ? ? ? n ?1 ? ? ? ? ? 2 n n ?1 ?1 ? 0 ? n

解 因为 lim un ? lim
n ??

n ??

所以级数发散? (6)

1 ? 1 ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? (a ? 0, b ? 0) ? a ?b 2a ?b na?b 1 ? 1 ? 1 ? 而级数 ? 1 发散? ? na?b a n n ?1 n

解 因为 un ?

故所给级数发散? 5? 判定下列级数是否收敛?如果是收敛的? 是绝对收敛还是 条件收敛? (1) 1?

1 ? 1 ? 1 ? ??? ? 2 3 4
? ?

解 这是一个交错级数 ? (?1)n?1un ? ? (?1)n?1
n ?1 n ?1

1 ? 其中 u ? 1 ? n n n

因为显然 un?un+1? 并且 lim un ? 0 ? 所以此级数是收敛的?
n ??
?

又因为 ?| (?1)n?1un | ? ?
n ?1

?

n ?1

1 是 p?1 的 p 级数? 是发散的? n

所以原级数是条件收敛的? (2) ? (?1)n?1
n ?1 ?

3

n ?1

n ?



? n n?1 n | ( ? 1 ) | ? ? ? 3n?1 ? n?1 3 n?1 n?1

?

n ?1 ? n 1 n 因为 lim 3 ? ?1 ? 所以级数 ? n ?1 是收敛的? 3 n?? n 3 n ?1 3n?1
从而原级数收敛? 并且绝对收敛? (3) ? ? ?

1 1 1 1 ? 1? 1 ? 1? 1 ? ? ? ? ? 3 2 3 22 3 23 3 24
?

解 这是交错级数 ? (?1)n?1 ?
n?1 ?

1 1 ? 并且 ? | (?1)n?1 1 ? 1 | ? ? 1 ? 1 ? ? ? 3 2n 3 2n n?13 2n n?1

因为级数 ? ? (4)

1 1 是收敛的? 所以原级数也收敛? 并且绝对收敛? n n ?13 2

1 ? 1 ? 1 ? 1 ? ??? ? ln 2 ln3 ln 4 ln5
?

解 这是交错级数 ? (?1)n?1un ? ?
n?1

(?1)n?1 1 ? 其中 un ? ? ln( n ?1) n?1 ln(n ?1)

?

因为 un?un+1? 并且 lim un ? 0 ? 所以此级数是收敛的?
n ??
? 1 ? 1 1 发散? ? 而级数 ? ln(n ?1) n ?1 n n ?1 ?1

又因为
?

故级数 ?| (?1)n?1un |??
n?1

1 发散? 从而原级数是条件收敛的? n?1 ln(n ?1)

?

(5) ? (?1)n?1
n ?1

?

2n ? n!
2

2

2n ? n! 2 2n ? lim (2n ) ? lim 2n ? 2n ? 2n ? ? ? 2n ? 2n ? 2n ? ? ? 因为 lim | un |? lim 3 2 1 n ?? n?? n! n?? n! n?? n n ?1 n ? 2
解 级数的一般项为 un ? (?1)n ?1 所以级数发散? 习题 11?3 1? 求下列幂级数的收敛域?

(1)x?2x2?3x3? ? ? ? ?nxn? ? ? ?? 解 lim |
n??

an?1 |? lim n ?1 ?1 ? 故收敛半径为 R?1? an n?? n
?

因为当 x?1 时? 幂级数成为 ? n ? 是发散的?
n ?1 ?

当 x??1 时? 幂级数成为 ? (?1)n n ? 也是发散的?
n ?1

所以收敛域为(?1? 1)? (2) 1? x ?

x 2 ? ? ? ? ? (?1)n x n ? ? ? ? ? 22 n2

1 2 an?1 (n ?1)2 |? lim ? lim n 2 ?1? 故收敛半径为 R?1? 解 lim | n?? an n ?? n?? (n ?1) 1 2 n
因为当 x?1 时? 幂级数成为 ? (?1)n
n?2 ?

1 ? 是收敛的? 当 x??1 时? 幂级数成为 1? ? 1 ? 也是 ? 2 n2 n ?1 n

收敛的? 所以收敛域为[?1? 1]? (3)

x ? x 2 ? x3 ? ? ? ? ? xn ? ??? ? 2 2? 4 2? 4?6 2?4 ? ? ? (2n)
n an?1 ?n! ? ? lim 1 ? 0 ? 故 收 敛 半 径为 R???? 收 敛 域 为 (??? |? lim n?2 1 n ? ? an 2 ?(n ?1)! n?? 2(n ?1)

解 lim |
n??

??)? (4)

x ? x 2 ? x3 ? ? ? ? ? x n ? ? ? ? ? 1?3 2?32 3?33 n ?3n
n?? n an?1 |? lim n?3 n?1 ? lim 1 ? n ? 1 ? 故收敛半径为 R?3? n?? 3 n ?1 3 an n?? (n ?1)?3

解 lim |

因为当 x?3 时? 幂级数成为 ? 的? 所以收敛域为[?3? 3)? (5)

1 ? 是发散的? 当 x??3 时? 幂级数成为 ? (?1)n 1 ? 也是收敛 ? n n ?1 n ?1 n

?

2 x ? 22 x 2 ? 23 x3 ? ? ? ? ? 2n x n ? ? ? ? ? 2 5 10 n2 ?1

解 lim |
n??

n ?1 2 an?1 1 ? 2 lim n2 ?1 ? 2 ? 故收敛半径为 |? lim 2 2 ? n ? R? 1 ? n n?? (n ?1)2 ?1 an n?? (n ?1) ?1 2 2

因为当 x ?

1 时? 幂级数成为 ? 1 ? 是收敛的? 当 x??1 时? 幂级数成为 ? (?1)n 1 ? ? 2 ? n2 ?1 2 n ?1 n ?1 n ?1
1 1 2 2

也是收敛的? 所以收敛域为 [? , ] ? (6) ? (?1)n
n ?1 ?

x2n?1 ? 2n ?1
x 2n ?1 ? 2n ?1

解 这里级数的一般项为 un ? (?1)n 因为 lim |
n??

2n?3 un?1 ?1 |? x2 ? 由比值审敛法? 当 x2?1? 即|x|?1 时? 幂级数绝对收 |? lim | x ? 2n 2 n un n?? 2n ? 3 x ?1

敛? 当 x2?1? 即|x|?1 时? 幂级数发散? 故收敛半径为 R?1? 因 为 当 x?1 时 ? 幂 级 数 成 为
?

n ?1

? (?1)n 2n ?1 ?

?

1

是 收 敛 的 ? 当 x??1 时 ? 幂 级 数 成 为

n ?1

? (?1)n?1 2n ?1 ?
(7) ?
?

1

也是收敛的? 所以收敛域为[?1? 1]?

2n ?1 x2n?2 ? n n ?1 2

解 这里级数的一般项为 un ? 因 为 lim |
n??

2n ?1 x2n?2 ? 2n

un?1 (2n ?1)x2n 2n |? lim | ? |? 1 x2 ? 由 比 值 审 敛 法 ? 当 1 x2 ?1 ? 即 n ? 1 2 n ? 2 n ? ? un 2 2 2 (2n ?1)x

| x |? 2 时? 幂级数绝对收敛? 当 1 x2 ?1? 即 | x |? 2 时? 幂级数发散? 故收敛半径为 R ? 2 ? 2
因为当 x ? ? 2 时? 幂级数成为 ?
? n ?1

2n ?1 ? 是发散的? 所以收敛域为 (? 2, 2) ? 2

(8) ?

(x ? 5)n ? n n ?1

?

解 lim |
n??

an?1 |? lim n ?1 ? 故收敛半径为 R?1? 即当?1?x?5?1 时级数收敛? 当|x?5|?1 时 an n?? n ?1

级数发散? 因为当 x?5??1? 即 x?4 时? 幂级数成为 ?
?

(?1)n ? 是收敛的? 当 x?5?1? 即 x?6 时? 幂级数成 n n ?1
?

为?

n ?1

1 ? 是发散的? 所以收敛域为[4? 6)? n

7? 求下列幂级数的收敛域? (1)

3 ? n ?1

?

n

? 5n xn ? n

3( 3)n ? 5 n?1 n?1 an?1 3 ? 5 n n 解 lim | |? lim ? n n ? lim ? 5 ? 5 ? 所以收敛半径为 R ? 1 ? n?? an n?? n ?1 3 ? 5 n?? n ?1 ( 3)n ?1 5 5
因为当 x ?

1 时? 幂级数成为 ? 1[(3)n ?1] ? 是发散的? ? 5 n?1 n 5
(?1)n 3 n [( ) ?1] ? 是收敛的? ? 5 n?1 n
?

当 x ? ? 时? 幂级数成为

1 5

所以幂级数的收敛域为 [? , ) ?

1 1 5 5

(2)

(1? 1 )n xn ? ? n n?1
2

?

解 un ? (1? )n xn ? 因为 lim n | un | ? lim (1? )n | x |? e | x | ? 由根值审敛法 ? 当 e|x|?1? 即
2

1 n

n??

n??

1 n

? 1 ? x ? 1 时? 幂级数收敛? 当 e|x|?1? 时幂级数发散? e e
当 x ? ? 时? 幂级数成为

1 e

(1? 1 )n (1)n ? ? n e n?1
2

?

当 x?

1 时? 幂级数成为 ? (?1)n (1? 1 )n2 (1)n ? ? n e e n?1

因为

ln( 1? 1 ) ? 1 1? t) ?t x x ? lim ln( lim [x2 ln( 1? 1 ) ? x] ? lim ??1 ? ? x??? x??? 1 t ?0 x 2 t2 2 x
所以
n 2 ln(1? ) ? n ? 2 n lim (1? 1 )n (1)n ? lim e ? e 2 ? 0? n?? n?? n e 1 1

因此级数

(?1)n (1? 1 )n (1)n 和 ?(1? 1 )n (1)n 均发散? 从而收敛域为 (? 1 , 1) ? ? n e n e e e n?1 n?1
2

?

?

2

(3)

n( x ?1)n ? ? n ?1

?

解 un?n(x?1)n ? 因为
n??

lim |

un?1 |? lim n ?1 | x ?1|?| x ?1| ? un n?? n

根据比值审敛法? 当|x?1|?1? 即?2?x?0 时? 幂级数收敛? 当|x?1|?1 时? 幂级数发散? 又当 x?0 时? 幂级数成为 所以幂级数的收敛域为(?2? 0)? (4)

? n ? 是发散的? 当 x??2 时? 幂级数成为 ?(?1)n n ? 也是发散的?
n ?1
n?1

?

?

n x2n ? ? n n?1 2

?

解 un ?

n x2n ? 因为 2n
un?1 ?1 ? 2n ? x2 ? 1 x2 ? |? lim nn un n?? 2 ?1 n 2

n??

lim |

根据比值审敛法? 当

1 x2 ?1 ? 即 ? 2 ? x ? 2 时? 幂级数收敛? 当 1 x2 ?1时? 幂级数发散? 2 2
n ? 是发散的? 所以收敛域为 (? ? n ?1
?

又当 x ? ? 2 时? 幂级数成为

2, 2) ?

? ? 1 0 ? ? 2 3? ? 例 2-2 求 ? ? 1 2? ??? ? ? ? ? ? 4 5?

分析:因为两个矩阵都是 2×2 阶矩阵,所以可进行加法运算. 解:

? ? 1 0 ? ? 2 3 ? ? ? 1 ? 2 0 ? 3? ? 1 3 ? ? ? ? 1 2? ??? ? 4 5? ??? ?1 ? 4 ??? ?5 7? ? 2 ? 5 ? ? ? ? ? ? ? ?

例 1-14 求阶行列式的值

1 0 a 1 0 ?1 b ?1 . D? ?1 ?1 c ?1 ?1 1 d 0
解 将行列式按第 3 列展开得

0 D ? a (?1)
1? 3

?1 ?1
2?3

1

0

1

? 1 ? 1 ? 1 ? b(?1) ?1 1 0 1 0 1

?1 ?1 ?1 ?1 1 0 1 0 1

? c(?1)

3? 3

0 ? 1 ? 1 ? d (?1) ?1 1 0
1 0 1
1

2?3

0 ?1 ?1 ?1 ?1 ?1
1 1 0 1

0

?1 ?1

0

? a ?1 ?1 ?1 ? b ?1 ?1 ?1 ? c 0 ?1 ?1 ? d 0 ?1 ?1 ?1 1 0 ?1 1 0 ?1 1 0 ?1 ?1 ?1

? a?b?d

例 1-16

3 1 ?1 2 ?5 1 3 ?4 计算四阶行列式 的值. 2 0 1 ?1 1 ?5 3 ?3

分析 为了计算的简便,我们往往选择含零比较多的行或列将行列式展开 .在此题中第三行只有三个非零元

素,可以考虑按第三行展开.如果先用行列式的性质,将第三行化成只有一个非零元素,那就更好了. 解 设

3 1 ?1 2 ?5 1 3 ?4 D? 2 0 1 ?1 1 ?5 3 ?3
欲按第三行展开. 将第 3 列的-2 倍加到第 1 列,将第 3 列直接加到第 4 列

3 1 ?1 2 5 1 ?1 1 ?5 1 3 ? 4 ? 11 1 3 ?1 D? ? 2 0 1 ?1 0 0 1 0 1 ?5 3 ?3 ?5 ?5 3 0
按第三行展开得

5 D ? 1 ? (?1)
3? 3

1

1

5

1

1

? 11 1 ? 1 ? ? 11 1 ? 1 ?5 ?5 0 ?5 ?5 0 5 1 1 5 1 1

第 2 行加第 1 行后得

D ? 1 ? (?1)

3? 3

? 11 1 ? 1 ? ? 6 2 0 ?5 ?5 0 ?5 ?5 0

? 1 ? (?1)1?3

?6 2 ? 40 ?5 ?5
1 0 2 ?1 1 0 ?1 0 2 1 0 2 1 0 3 1

例 1-18

计算行列式

解: 方法一

按一行(列)展开

按照第 2 列展开

1 0 2 ?1 A? 1 0 ?1 0

2 1 0 2

1 1 2 1 0 ? (?1) ? (?1) 2? 2 1 0 3 3 ?1 2 1 1

1
提取第二列上的公因子 2 得 A

1 1 0 3

? ?2 1

?1 1 1 1
第三行减第一行得

1 0

1 3

A ? ?21

?2 0 0
按照第二列展开得

A ? ?2 ? 1? (?1)1? 2

1 3 ? 2[1? 0 ? 3 ? (?2)] ? 12 ?2 0

方法二

化特殊行列式

将第 2 行与第 1 行交换,再将第 2 列与第 1 列交换得

1 0 2 ?1 A? 1 0 ?1 0

2 1 0 2

1 2 ?1 0 1 0 ?? 3 1 0 1 ?1 0

1 2 0 2

0 ?1 2 1 0 1 ? 3 0 1 1 0 ?1

1 2 0 2

0 1 3 1

在用第 3 行减第 2 行,用第 4 行加第 2 行得

?1 2 0 1 A? 0 1 0 ?1

1 2 0 2

0 ?1 1 0 ? 3 0 1 0

2 1 1 2 0 ?2 0 4

0 1 2 2

用第 4 行加上第 3 行得 2 倍得

?1 A? 0 0 0

2 1 1

1 0

?1 2

1

0

?1 2

1

0

2 1 0 ? 0 3 0 0

1 2 1 0 ? 0 ?2 2 0 0 4 2 0

1 2 1 0 ?2 2 0 0 6

?1 2 1

? (?1) ? 1 ? (?2) ? 6 ? 12

? 2 1? ? ?1 ? 2 ? 0 ? (?2) ? 3 ? 0 ? 1 0 3 ?? ? ? 2 ?1 0? ?? ? 2 4 ? ? ? ? ? ?? 0 1 ? ? 2 ? 2 ? (?1) ? (?2) ? 0 ? 0 ? ? ?2 4 ? ?? ? 6 ? 2? ? ? ?

1?1 ? 0 ? 4 ? 3 ?1 ? ? 2 ? 1 ? (?1) ? 4 ? 0 ? 1? ?

例 2-13

判断下列二阶矩阵是否可逆,若可逆,求其逆矩阵:

?a b ? A?? ?c d ? ? , ad ? bc ? 0 ? ?
解 因为

A?

a b ? ad ? bc ? 0 ,所以 A 可逆. c d

A11 ? d , A12 ? ?c, A21 ? ?b, A22 ? a

A ?1 ?

1 * 1 ? d ? b? ? ? A ? ? A ad ? bc ? ?? c a ?

例 2-21

0 ?1 ?1 2 ? ?0 ? ? 8 1 1 2 ? ?2 用初等行变换将 A ? 化为简化阶梯形. ?1 4 ?1 0 2 ? ? ? ? ?1 ? 4 2 1 ? 4? ? ?

?1 ? ?0 答案为 ? 0 ? ?0 ?

4 0 0 0

0 1 0 0

0 2 ? ? 0 0 ? 1 ? 2? ? 0 0 ? ?

例 2-22

?1 ? 1 0 ? ? ? ?1 设 A ? ?1 ? 1 ? 1? ,求 A . ? 1 0 ? 1? ? ?

?1 ? 1 1 ? ? ? 答案为 A ? ? 0 ? 1 1? ?1 ? 1 0 ? ? ?
?1

例 2-23

?1 2 3? ? ? ?1 设 A ? ? 2 1 2 ? ,求 A . ?1 3 4? ? ?

?? 2 1 1 ? ? ? 答案为 A ? ? ? 6 1 4 ? . ? 5 ? 1 ? 3? ? ?
?1

例 3-11 求矩阵的秩
3 4? ? 1 2 ? ? A ? ? ?1 ?1 ? 4 ? 2? ? 3 4 11 8 ? ? ?
答案为所以矩阵

例3-12

A 的秩等于 2,即 r(A)=2. 求矩阵的秩

? 1 0 1? ? ? ? 2 ?1 1? A?? ? 2 3 ? 2? ? ? ? 0 1 5? ? ? 所以矩阵的秩等于 3,即 r(A)=3. 例 3-13 求矩阵的秩

? ?1 3 ? A ? ? 4 ?1 ? 2 ?2 ?

0 1 0

1 ? ? ? 2? 1? ?

所以矩阵 A 的秩等于 3,即 r(A)=3.

例 3-21 求解齐次线性方程组:
? x1 ? x2 ? x3 ? 4 x4 ? 3 x5 ? 0, ? x ? 3 x ? x ? 2 x ? x ? 0, ? 1 2 3 4 5 ? ?2 x1 ? 3x2 ? x3 ? 5 x4 ? 5 x5 ? 0, ? ?3x1 ? 5 x2 ? x3 ? 6 x4 ? 7 x5 ? 0.

?1 ? ?1 A?? 2 ? ?3 ?

1 1 4 ?3? ? 3 ?1 ? 2 ?1 ? 3 1 5 ? 5? ? 5 1 6 ?7? ?

? 2 x3 ? 7 x4 ? 4 x5 ? 0, ? x1 ? x2 ? x3 ? 3x4 ? x5 ? 0. ?

? x1 ? ? 2 x3 ? 7 x4 ? 4 x5 , ? ? x2 ? x3 ? 3 x4 ? x5 .

? ? 2? ?? 7? ? 4? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 3 ? ? ? 1? 解 ? ?1 ? 1 ? ? ?2 ? 0 ? ? ?3 ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? 0? ? 1 ? ? 0? ? 0? ? 0? ? 1? ? ? ? ? ? ?

例 3-22 求解齐次线性方程组:
? x1 ? x2 ? x3 ? 2 x4 ? x5 ? 0, ? x3 ? 3 x4 ? x5 ? 0, ? ? 2 x3 ? x4 ? 2 x5 ? 0. ?

解:已知方程的系数矩阵 A 为
?1 1 ? A ? ?0 0 ?0 0 ? ? x1 ? x 2 ? ? ? ? ? 0, x3 x4 ? x5 ? 0 ? 0. ?1 1 2 1? ? 3 ?1? 1 ? 2? ? 2 ? x1 ? ? x2 , ? ? x3 ? x5 , ? x ? 0. ? 4

? ? ?1?1 ? ?2?2
0 ? ? ? ?1 ? ? ? ? 0 ? ? ?1 ? 1 ? ? ? ?2 ? ? ? ? 0? ? 0 ? ? ? 1? ? ? ?2 ? 例 3-23 求解齐次线性方程组: ? ? 1? ? ? ? ? ? 1? ? ? ? 解 ? ?1 0 ? ?2 ? ? ? ? ? 0? ? ? 0? ? ? ? ?
? x1 ? 2 x2 ? x4 ? 2 x5 ? 0, ?2 x ? 4 x ? 2 x ? 2 x ? 5 x ? 0, ? 1 2 3 4 5 ? ?? x1 ? 2 x2 ? x3 ? 3x4 ? 8 x5 ? 0, ? ?3x1 ? 6 x2 ? x4 ? 2 x5 ? 0.

?

?

?

解:已知方程的系数矩阵 A 为

2 ? 1 ? 4 ? 2 A?? ?1 ? 2 ? ? 3 6 ?
? x1 ? 2 x2 ? 0, ? x ? 0, ? 5 ? ? x3 ? 0, ? ? x4 ? 0.

0 2 1 0

1 2 3 1

? 2? ? 5? 8? ? ?2 ? ?
? ? 2 ? ? ? 2? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? 解 ? ?? 0 ? ? ? 0 ? ? ? ? ? ? 0? ? 0 ? ? 0? ? 0 ? ? ? ? ?

? x1 ? ?2 x2 , ? x ? 0, ? 5 ? ? x3 ? 0, ? ? x4 ? 0.

例 3-24 求解线性方程组:
? x1 ? 2 x2 ? x3 ? 3x4 ? x5 ? 2, ? ?2 x1 ? 4 x2 ? 2 x3 ? 6 x4 ? 3 x5 ? 6, ?? x ? 2 x ? x ? x ? 3 x ? 4. 2 3 4 5 ? 1 ? x1 ? 2 x2 ? x3 ? 3, ? ? x5 ? 2, ? x ? ?1. ? 4 2 ? 1 ? 4 ? 2 ??1 ? 2 ? ?1 3 1 3 3 ?2 6 1 ?1 2? ? 6? 4? ?

? x1 ? 3 ? 2 x2 ? x3 , ? ? x5 ? 2, ? x ? ?1. ? 4

? ? 2? ?1 ? ? 3 ? ? ? 2?1 ? ?2 ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? 1 ? ?0? ? 0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 解 ? ?1 0 ? ?2 1 ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? 0? ? 0 ? ? ? 1? ? ? ? 0? ? 0? ? 2? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ?

例 3-25 求解线性方程组:
? x1 ? x2 ? 3 x3 ? x4 ? 1, ? ?3 x1 ? x2 ? 3 x3 ? 4 x4 ? 4, ? x ? 5 x ? 9 x ? 8 x ? 0. 2 3 4 ? 1 ?1 ? ?3 ?1 ? 1 ?1 5 ?3 ?3 ?9 ?1 4 ?8 1? ? 4? 0? ?

?3 ? ? 3? ? 5 ? ? ? ?? ? ? ? ?2 ? ? 4? ? 4 ? ?3 ? ? 7 ? ? 1? 解: ? ?1 ? ? ? ?2 ? ? ? ?? ? ?2 ? ? 4 ? ? 4? ? 1? ? 0 ? ? 0 ? ? 0? ? 1 ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ?

例 3-26 求解线性方程组:
? x1 ? 3 x2 ? 2 x3 ? 4 x4 ? x5 ? 7, ?2 x ? 6 x ? 5 x ? 2 x ? 5, ? 1 2 4 5 ? 4 x ? 11 x ? 8 x ? 5 x 2 3 5 ? 3, ? 1 ? ? x1 ? 3 x2 ? 2 x3 ? x4 ? x5 ? ?2.

3 ?1 ? ?2 6 ? 4 11 ? ?1 3 ?

?2 0 8 2

4 5 0 1

1 2 5 1

7? ? 5? 3? ? ?2? ?

19 71 ? ? x1 ? 2 ?1 ? 4?2 ? 2 , ? ? x2 ? ?4?1 ? ?2 ? 11, ? 3 9 ? 解 ? x3 ? ?1 ? , 4 4 ? x ? ? ? 4 1 ? ? x5 ? ?2 . ? ?

同步练习 1.求下列齐次线性方程组的基础解系:
? x1 ? 2 x2 ? x3 ? 3 x4 ? 2 x5 ? 0, ?2 x ? x ? x ? x ? 3 x ? 0, ? 1 2 3 4 5 (1) ? . x ? x ? 2 x ? 2 x ? 2 x ? 0 , 1 2 3 4 5 ? ? ?2 x1 ? 3 x2 ? 5 x3 ? 17x4 ? 10x5 ? 0. 答案(点击后显示) :

? ?1 ? ?9 ? ? ?? ? ? 3 ? ? ? 11? ? ? 2 ?, ? 5 ?. ? ?? ? ?1 ? ? 0 ? ?0 ? ?4 ? ? ?? ?
? x1 ? 2 x2 ? 3 x3 ? x4 ? 0, ? (2) ?2 x1 ? 4 x2 ? 5 x3 ? 3x4 ? x5 ? 0, . ? ? x ? 2 x ? 3 x ? 3 x ? 4 x ? 0. 2 3 4 5 ? 1

答案(点击后显示) : ? ? 2? ? ? 5 ? ? ?? ? ?1 ? ? 0 ? ? 0 ?, ?1 ?. ? ?? ? ?0 ? ? ? 2? ? 0 ? ?1 ? ? ?? ?
? x1 ? 6 x2 ? x3 ? 4 x4 ? 0, ? (3) ?? 2 x1 ? 12x2 ? 5 x3 ? 17x4 ? 0, . ?3 x ? 18x ? x ? 6 x ? 0. 2 3 4 ? 1

? ? 6 ? ?1 ? ? ?? ? ?1 ? ? 0 ? 答案(点击后显示) : ? ?, ? ?. 0 ?3 ? ?? ? ? 0 ? ?1 ? ? ?? ?
? x1 ? 2 x2 ? x3 ? x4 ? 0, ? (4) ? x1 ? 2 x2 ? x4 ? 0, . ?? x ? 2 x ? 2 x ? 4 x ? 0. 2 3 4 ? 1

答案(点击后显示) :
? ? 2? ? ? ?1 ? ? 0 ?. ? ? ?0 ? ? ?

? x1 ? x 2 ? 5 x3 ? x 4 ? 0 ? x ? x ? 2 x ? 3x ? 0 ? 1 2 3 4 (5) ? 3 x ? x ? 8 x ? x 2 3 4 ? 0 ? 1 ? ? x1 ? 3x 2 ? 9 x3 ? 7 x 4 ? 0 分析(点击后显示) :本题主要考察齐次线性方程组基础解系的求法. 3 7 答案(点击后显示) : ?1 ? (? , , 1 , 0) , ?2 ? (?1 , ? 2 , 0 , 1) 2 2

2.求下列线性方程组的解:
? x1 ? 2 x2 ? x3 ? x4 ? 0, ? (1) ? x1 ? 2 x2 ? x4 ? 4, . ?? x ? 2 x ? 2 x ? 4 x ? 5. 2 3 4 ? 1

答案(点击后显示) :

? ? 2? ?3 ? ? ? ? ? ?1 ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ?. 0 2 ? ? ? ? ? 0 ? ?1 ? ? ? ? ?
? x1 ? x2 ? x3 ? 3, ? (2) ?? 2 x1 ? 3 x2 ? x3 ? ?8, . ?4 x ? 2 x ? 10x ? 10. 2 3 ? 1

答案(点击后显示) :无解.
? x1 ? 2 x2 ? 6 x3 ? ?18, ? (3) ? x1 ? x2 ? 2 x3 ? ?5, . ?2 x ? 5 x ? 15x ? ?46. 2 3 ? 1

答案(点击后显示) :
? x1 ? 2, ? 有唯一解 ? x2 ? 1, ? x ? 3. ? 3

? x1 ? x2 ? 3x3 ? 6 x4 ? 24x5 ? 48x6 ? 112, ? , ?2 x1 ? 2 x2 ? 6 x3 ? 13x4 ? 52x5 ? 104x6 ? 241 ? (4) ? x3 ? 2 x4 ? 8 x5 ? 16x6 ? 37, . ?? x ? x ? 4 x ? 7 x ? 29x ? 58x ? ?136, 3 4 5 6 ? 1 2 ? ? x1 ? 2 x2 ? 5 x3 ? 11x4 ? 42x5 ? 84x6 ? 197.
答案(点击后显示) : ? 0 ? ? ? 1? ? ? ? ? ?0 ? ?2 ? ?0 ? ?3 ? ? ? ? ? ? ?. ? 0 ? ?1 ? ? ? 2? ? 4 ? ? ? ? ? ?1 ? ? 0 ? ? ? ? ?
? x1 ? x2 ? 2 x3 ? 7, ?2 x ? 2 x ? 2 x ? 4 x ? 12, ? 1 2 3 4 (5) ? . ?? x1 ? x2 ? x3 ? 2 x4 ? ?4, ? ?? 3 x1 ? x2 ? 8 x3 ? 10x4 ? ?29. 答案(点击后显示) :无解. ? x1 ? 3 x2 ? 6 x3 ? 2 x4 ? ?7, ?? 2 x ? 5 x ? 10x ? 3 x ? 10, ? 1 2 3 4 (6) ? . x ? 2 x ? 4 x ? 0 , 2 3 ? 1 ? ? x2 ? 2 x3 ? 3 x4 ? ?10. 答案(点击后显示) :

?0 ? ?2 ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? 1? ? ? ? ? ? ?. 1 0 ? ? ? ? ?0 ? ?3 ? ? ? ? ?

1.一个袋子中有 5 只黑球 3 只白球,从袋中任取两只球,若以 为白球”; 则 表示:“取到的两只球同色”; 3/28 ; 13/28

表示:“取到的两只球均

表示:“取到的两只球至少有一只白球”。 ; 9/14 。

4.一个袋子中有 5 个新球 3 个旧球,从中取球两次,每次取一个(无放回),若以 “取到的两个球均为旧球”; 个球至少有一个旧球”。 则 /14 。 5.一批产品共有 10 个正品 2 个次品,从中任取两次,每次取一个(有放回)。则 第二次取出的是次品的概率为 两次都取到正品的概率为 25/36 1/6 ; ; 5/36 5/36 ; ; 表示:“取到的两个球恰有一个旧球”; 3/28 ; 15/28

表示:

表示:“取到的两 ; 9

第一次取到正品,第二次取到次品的概率为 第一次取到次品,第二次取到正品的概率为 恰有一次取到次品的概率为 5/18 两次都取到次品的概率为 1/3 ; ; ;

恰有一次取到正品的概率为 5/18

已知第一次取到的是次品,第二次取到正品的概率为 已知第一次取到的是次品,第二次取到次品的概率为

24/25 1/25

; 。

7.袋中有 50 个乒乓球,其中 20 个黄球,30 个白球,今由两人依次随机地各取一球,取后 不放回,则: 第二个人取得黄球的概率是 两个人都取得黄球的概率是 至少有一人取得黄球的概率是 2/5 38/245 187/245 ; ; 。

8.设一批产品中一、二、三等品各占 50%、30%、20%,从中任取一件,结果不是一等品, 则取到的是二等品的概率为 取到的是三等品的概率为 3/5 ; 2/5 。

2.一个盒子中有 10 个球,其中有 3 个红球,2 个黑球,5 个白球,从中取球两次,每次取 一个(无放回),则: 第二次取到黑球的概率为 1/5 取到的两只球颜色相同的概率为 ; 14/45 ; 17/45 。 ;

取到的两只球至少有一个黑球的概率为 取到的两只球没有黑球的概率为

28/45

3.一盒子中黑球、红球、白球各占 50%、30%、20%,从中任取一球,结果不是红球,则: 取到的是白球的概率为 2/7;

取到的是黑球的概率为 ( 5/7 )
1.设事件 A 和 B 的概率为 P( A)

1 2 ? , P( B) ? 2 3


则 P ( AB ) 可能为(

1/6



2.一口袋中有 3 个红球和 2 个白球,某人从该口袋中随机摸出一球,摸得红球得 5 分,摸得白球得 2 分,则他 所得分数的数学期望为( 3.8 3.投掷两个均匀的骰子,已知点数之和是偶数,则点数之和为 6 的概率为( 4.设 A、B 是相互独立的随机事件,P(A)=0.5, P(B)=0.7, 则 P( A 5/18 ( 0.85 ) )

B) =

5.甲、乙两射手射击一个目标,他们射中目标的概率分别是 0.7 和 0.8.先由甲射击,若甲未射中再由乙射击。 设两人的射击是相互独立的,则目标被射中的概率( 0.94 )

6.同时掷两颗骰子,出现的点数之和为 10 的概率为(

1 12

)

7.随机变量ξ 的期望为 E (? )

? 5 ,标准差为 ? (? ) ? 2 ,则 E(? 2 ) =

(

29 )

三.(本题 10 分)将 4 个球随机地放在 5 个盒子里,求下列事件的概率 (1) 4 个球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有 2 个球. 三.把 4 个球随机放入 5 个盒子中共有 5 =625 种等可能结果 (1)A={4 个球全在一个盒子里}共有 5 种等可能结果,故
4

P(A)=5/625=1/125
(2) 5 个盒子中选一个放两个球,再选两个各放一球有
1 2 C5 C4 ? 30 种方法

4 个球中取 2 个放在一个盒子里,其他 2 个各放在一个盒子里有 12 种方法 因此,B={恰有一个盒子有 2 个球}共有 4×3=360 种等可能结果.故

360 72 ? ---------------625 125 1.已知 P( A) ? 0.4 , P( B) ? 0.3 , P( A ? B) ? 0.6 ,则 P( AB ) ? P( B) ?

0.3
19 , 27

2.在三次独立试验中,事件 A 出现的概率相等.若已知 A 至少出现一次的概率等于 则事件 A 在一次试验中出现的概率为

1/3
N(1,7)

3. 若 X ~ N (1,4) , Y ~ N (1,3) 且 X 与 Y 独立,则 X ? Y ~

4. 设 X 和 Y 是两个相互独立且服从同一分布的连续型随机变量 , 则 P{ X ? Y } ? 0.5 .

1.设 A, B 互为对立事件, 且 P(A)=0.4, 则 P(AB)=0.4 2 设 A, B 为随机事件, P(A)=0.6, P(B|A)=0.3, 则 P(AB)=0.18 12.设随机事件 A 与 B 互不相容, P(A)=0.6, P(A∪B)=0.8, 则 P(B)=__0.4_____

20.设 X 为随机变量, E(X+3)=5, D(2X)=4, 则 E(X2)=__5________ 二、 (10 分)在八个数字中 0, 1, 2, …,7 中不重复地任取四个,能排成一个四位偶数 的概率是多少? 解: p ?
7 ? 6 ? 5 ? 3? 6 ? 6 ? 5 ? 0.4464 8? 7? 6?5

三、 (10 分)袋中装有 30 个乒乓球,其中 20 个黄的,10 个白的,现有两人依次随 机地从袋中各取一次,取后不放回,试求第二次取得黄球的概率。 解: 设 Ai =第 i 次取得黄球, i ? 1,2
P( A2 ) ? P( A1 ) P( A2 | A1 ) ? P( A1 ) P( A2 | A1 ) ? 20 19 10 20 20 2 ? ? ? ? ? 30 29 30 29 30 3

四、 (10 分)设盒中有 5 个球,其中 2 个白球,3 个红球,现从中随机取 3 球, 设 X 为抽得白球数,试求 X 的数学期望与方差。解: P{ X ? 0} ?
1 2 C2 C3 6 ? ? 0.6 3 C5 10 3 C3 1 ? ? 0.1 , 3 C5 10

P{ X ? 1} ?

2 1 C2 C 3 P{X ? 2} ? 3 3 ? ? 0.3 C5 10

X pk

0 0.1

1 0.6

2 0.3

E ( X ) ? 0 ? 0.1 ? 1? 0.6 ? 2 ? 0.3 ? 1.2

E( X 2 ) ? 02 ? 0.1 ? 12 ? 0.6 ? 22 ? 0.3 ? 1.8

D( X ) ? E( X 2 ) ? [ E( X )]2 ? 1.8 ? (1.2)2 ? 0.36
一、 (10 分)对一个三人学习小组考虑生日问题 (1) 求三个人中恰有二人的生日在星期天的概率; (2) 求三个人中至多有一人的生日在星期天的概率; (3) 求三个人的生日不都在星期天的概率。 解:
1 1 6 18 ? ? ?3 ? ? 0.0525 7 7 7 343 6 6 6 1 6 6 324 ? 0.9446 (2) p2 ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 7 7 7 7 7 7 343 1 1 1 342 ? 0.9971 (3) p3 ? 1 ? ? ? ? 7 7 7 343

(1) p1 ?

例 1.20 20. 已知 5%的男人和 0.25%的女人是色盲,现随机地挑选一人,此人恰为色盲,问此人是男人 的概率(假设男人和女人各占人数的一半). 【解】 设 A={此人是男人},B={此人是色盲},则由贝叶斯公式

P( A B ) ?

P( A) P( B A) P( AB) ? P( B) P( A) P( B A) ? P( A) P( B A)
0.5 ? 0.05 20 ? 0.5 ? 0.05 ? 0.5 ? 0.0025 21

?

26. 将两信息分别编码为 A 和 B 传递出来,接收站收到时,A 被误收作 B 的概率为 0.02,而 B 被误收作 A 的概率为 0.01.信息 A 与 B 传递的频繁程度为 2∶1.若接收站收到的信息是 A, 试 问原发信息是 A 的概率是多少? 【解】 设 A={原发信息是 A},则={原发信息是 B} C={收到信息是 A},则={收到信息是 B} 由贝叶斯公式,得

P( A C ) ?
?

P( A) P(C A) P( A) P(C A) ? P( A) P(C A)

2 / 3 ? 0.98 ? 0.99492 2 / 3 ? 0.98 ? 1/ 3 ? 0.01

28.

某工厂生产的产品中 96%是合格品,检查产品时,一个合格品被误认为是次品的概率为

0.02,一个次品被误认为是合格品的概率为 0.05,求在被检查后认为是合格品产品确是合格 品的概率. 【解】 设 A={产品确为合格品},B={产品被认为是合格品} 由贝叶斯公式得

P( A B ) ?
?

P( A) P( B A) P( AB) ? P( B) P( A) P( B A) ? P( A) P( B A)

0.96 ? 0.98 ? 0.998 0.96 ? 0.98 ? 0.04 ? 0.05

4.一批产品共有 10 个正品 2 个次品,从中任取两次,每次取一个(不放回)。求: (1)至少取到一个正品的概率; (2)第二次取到次品的概率; (3)恰有一次取到次品的概率。 解:设 表示:“第 次取出的是正品”( =1,2),则

(1)至少取到一个正品的概率

(2)第二次取到次品的概率为

34. 甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击,设击中的概率分别是 0.4,0.5,0.7,若只有一人击中, 则飞机被击落的概率为 0.2;若有两人击中,则飞机被击落的概率为 0.6;若三人都击中,则 飞机一定被击落,求:飞机被击落的概率. 【解】设 A={飞机被击落},Bi={恰有 i 人击中飞机},i=0,1,2,3 由全概率公式,得

P( A) ? ? P( A | Bi )P( Bi )
i ?0

3

=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+ (0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.458

16.甲、乙两人各自同时向敌机射击,已知甲击中敌机的概率为 0.8,乙击中敌机的概率为 0.5,求下列事件的概率:( 1 ) 敌机被击中;(2)甲击中乙击不中;(3)乙击中甲击不中。 解:设事件 机被击中”。则 (1) 表示:“甲击中敌机”;事件 表示:“乙击中敌机”;事件 表示:“敌

(2) (3) 8.一盒子中黑球、红球、白球各占 50%、30%、20%,从中任取一球,结果不是红球,求: (1)取到的是白球的概率; (2)取到的是黑球的概率 解:设 求 (1) 分别表示:“取到的是黑球、红球、白球”( =1,2,3),则问题(1)化为 ;问题(2)化为求 。由题意 两两互不相容,所以,

。因此由条件概率公式得

(2)

5.一批产品共有 10 件正品 2 件次品,从中任取两件,求: (1)两件都是正品的概率; (2)恰有一件次品的概率; (3)至少取到一件次品的概率。 解:设 表示:“取出的两件都是正品是正品”; 表示:“取出的两件恰有一件次品”;

表示:“取出的两件至少取到一件次品”;则 (1)两件都是正品的概率

(2)恰有一件次品的概率

(3)至少取到一件次品的概率

3. 从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗, 假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事件是 相互独立的,且概率都是 2/5。设 X 表示途中遇到红灯的次数,求 X 的分布律、分布函数。

解:由题意知

服从二项分布

,从而



的概率分布列为 0 1 2 3

27/125 由分布函数定义得

54/125 36/125 8/125

4.一台设备有三大部件构成,在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为 0.10,0.20, 0.30,假设各部件的状态相互独立,以 解:设: 表示同时需要调整的部件数,试求 的概率分布。

表示:“部件 需要调整”。 ; ;



的概率分布列为 0 0.504 0.398 0.092 0.006 1 2 3

.一个盒子中有三只乒乓球,分别标有数字 1,2,2。现从袋中任意取球二次,每次取一只 (有放回),以 (1) 和 、 分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求:

的联合概率分布; 和 边缘分布;

(2)关于 (3) 和

是否相互独立?为什么? 的所有可能取值为(1,1)、(1,2)、 (2,1)、(2,2)。

解:(1)

于是(



)的概率分布表为

1 1 2 (2)关于 2/9 和 4/9 的边缘概率分布分别为 1/9 2/9

2

1

2

1

2 1/3 2/3

1/3 (3) 和

2/3 相互独立。因为 有


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