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常见函数的导数


沛县汉城国际学校

高二数学组选修 1-1 导学单

时间 : 12 月 20 日

备课人:

张允力

审核人:封心杰

3.2.1 常见函数的导数
【学习要求】 1 1.能根据定义求函数 y=c,y=kx+b,y=x,y=x2,y= 的导数. 2

.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数. x 【学法指导】 1.通过定义求导数的过程,培养归纳、探求规律的能力,提高学习兴趣. 2.本节公式是后面几节课的基础,记准公式是学好本章内容的关键.记公式时,要注意观察公式之间的联系,如公式 5 是公式 4 的特例,公式 7 是公式 6 的特例.公式 4 与公式 6 中 ln a 的位置的不同等.

课前预习 1.几个常用函数的导数 原函数 f(x)=kx+b f(x)=C(C 为常数) f(x)=x f(x)=x2 f(x)= 2.基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)=xα(α 为常数) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax f(x)=ex f(x)=logax f(x)=ln x 学生活动 活动一 几个常用函数的导数 问题 怎样利用定义求函数 y=f(x)的导数? 导函数 f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=________ f′(x)=______(a>0,且 a≠1) f′(x)=________ f′(x)=________(a>0 且 a≠1) f′(x)=________ 1 x 导函数 f′(x)=k f′(x)=____ f′(x)=____ f′(x)=____ f′(x)=______

例 1 已知 f(x)=x3,求 f′(x).

跟踪训练 1 已知 f(x)= x,利用定义求 f′(x).

1

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备课人:

张允力

审核人:封心杰

活动二 基本初等函数的导数公式 例 2 求下列函数的导数: π (1)y=sin ; 3 (2)y=5x; 1 (3)y= 3; x 4 (4)y= x3; (5)y=log3x.

跟踪训练 2 求下列函数的导数: 1 (1)y=x8; (2)y=( )x; 2

(3)y=x x;

(4)y=

log 1 x
3

.

π? ? π? π π 3 例 3 判断下列计算是否正确. 求 f(x)=cos x 在 x= 处的导数,过程如下:f′? ?3?=?cos3?′=-sin 3=- 2 . 3 1 3 x

跟踪训练 3 求函数 f(x)=

在 x=1 处的导数.

活动三 导数公式的综合应用 例 4 已知直线 x-2y-4=0 与抛物线 y2=x 相交于 A、 B 两点, O 是坐标原点, 试在抛物线的弧 使△ABP 的面积最大. 上求一点 P,

跟踪训练 4 点 P 是曲线 y=ex 上任意一点,求点 P 到直线 y=x 的最小距离.

课堂检测
3 1 3 3 1.给出下列结论:①若 y= 3,则 y′=- 4;②若 y= x,则 y′= x x x 3 ④若 f(x)=3x,则 f′(1)=3. 其中正确的序号是________.

1 - ; ③若 y= 2,则 y′=-2x 3; x

2.函数 f(x)= x,则 f′(3)等于________. 3. 设正弦曲线 y=sin x 上一点 P, 以点 P 为切点的切线为直线 l, 则直线 l 的倾斜角的范围是__________________. 4.曲线 y=ex 在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________.
课堂小结 1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数,其关键是牢记和运用好导数公式.解题时,能认真观察函数的结构 特征,积极地进行联想化归.2.有些函数可先化简再应用公式求导.3.对于正余弦函数的导数,一是注意函数的变化,二是 注意符号的变化.

自我检测 2

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张允力

审核人:封心杰

1.下列结论中正确的个数为________. 1 ①f(x)=ln 2,则 f′(x)= ; 2 1 2 ②f(x)= 2,则 f′(3)=- ; x 27 ③f(x)=2x,则 f′(x)=2xln 2; 1 ④f(x)=log2x,则 f′(x)= . xln 2 1 2.过曲线 y= 上一点 P 的切线的斜率为-4,则点 P 的坐标为________. x 3.已知 f(x)=xa,若 f′(-1)=-4,则 a 的值等于________. 4.函数 f(x)=x3 的斜率等于 1 的切线有________条. 5.若 f(x)=10x,则 f′(1)=________. 1 4 x
3

6.曲线 y=

在 x=1 处的切线的倾斜角的正切值为______.

7.求下列函数的导数: 1 5 (1)y=x x; (2)y= 4; (3)y= x3; x (4)y=log2x2-log2x; x x 1-2cos2 ?. (5)y=-2sin ? 4? 2?

1 1 8.若曲线 y=x- 在点(a,a- )处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为 18,则 a=________. 2 2 9.已知直线 y=kx 是曲线 y=ex 的切线,则实数 k 的值为________. 1 10.直线 y= x+b 是曲线 y=ln x(x>0)的一条切线,则实数 b=________. 2

3 11.求与曲线 y= x2在点 P(8,4)处的切线垂直于点 P 的直线方程.

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12.已知抛物线 y=x2,直线 x-y-2=0,求抛物线上的点到直线的最短距离.

13.设 f0(x)=sin x,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,fn+1(x)=f′n(x),n∈N,试求 f2 012(x).

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