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奥狐杯竞赛必修五与必修三拔高讲义


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奥狐杯竞赛必修五必修三拔高讲义 1.设正数 a1 , a2 ,? ? ? 构成等差数列,证明:

1 1 1 n ?1 ? ? ??? ? ? a1 ? a2 a2 ? a3 an?1 ? an a1 ? an

2.数列 ?

an ?按如下方式所定义:

a1 ? a2 ? 1, an? 2

2 an ?2 , n ? N ,证明:所有的 an 为正整数。 ? ?1 an

? 2 y2 x ? xy ? ? 25 ? 3 ? ? y2 3.正数 x, y , z 满足方程组: ? 求: xy ? 2 yz ? 3xz 的值。 ? x2 ? 9 3 ? ? z 2 ? xz ? x 2 ? 16 ? ?
解:将上式改写成:

y 2 y ? 2 ? 2 ? x ? ( 3 ) ? 2 x( 3 ) cos150 ? 5 ? ? y 2 2 2 ?( ) ? z ? 3 ? 3 ? z 2 ? x 2 ? 2 xz cos120? ? 4 2 ? ?
上述三式子联想到余弦定理和沟谷定理: 作一个三角形 ABC , p 为其内一点,使得: PA ? z, PB ?

y , PC ? x, ?APB ? 90? 3
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?APC ? 120? , ?BPC ? 150? , AB ? 3, AC ? 4, BC ? 5
这样有: 6 ? S?ABC ? S?APB ? S?APC ? S?BPC =

1 y 1 1 y z? ? xz ? cos120? ? x ? ? sin 150? 2 2 3 2 3

?

1 4 3

( xy ? 2 yz ? 3xz)

从而: xy ? 2 yz ? 3xz ? 24 3

4. 已 知 函 数 f ( x) ? sin 2 x ? 2 sin x , g ( x ) ? 3 x ?

1 . 若 对 任 意 x1 , x2 ? (0,??) 恒 有 4x

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? m ,试求 m 的最小值。
解:由均值不等式 g ( x) ? 3x ?

1 1 3 等号成立。而 ? 2 3x ? ? 3 ,当且仅当 x ? 4 4x 4x

x x f ( x) ? sin 2 x ? 2 sin x ? 2 sin x(cos x ? 1) ? 8 sin cos3 2 2
由均值不等式:

x x 3 sin 2 ? 3 cos2 3 x 1 3 x 2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 2 )4 ? 3 (sin cos ) ? sin ? cos ? cos ? cos ? ( 2 2 2 2 2 2 3 4 44
于是: f ( x) ? 8 ?

x x x 1 27 3 ? 3 ,等号当且仅当 3 sin 2 ? cos 2 ,即 tan 2 ? 2 3 2 2 16 2

若对任意 x1 , x2 ? (0,??) 恒有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? m ,则有: m ? f ( x) max ? g ( x) min 即: m ?

3 3 3 3 ? 3? ,故最小值为 2 2 2

2 2 5.设函数 f ( x) ? x ? ax ? b (其中 a , b 为实常数,已知不等式 f ( x) ? 2 x ? 4 x ? 30 对任

意 实 数 x 恒 成 立 , 定 义 数 列 ?an ? 和 ?bn ? 为 : a1 ?

1 ,2an ? f (an ?1 ) ? 15(n ? 2,3,? ? ?) , 2

bn ?

1 (n ? 1,2,3,? ? ?) ,数列 ?bn ?的前 n 项和记为 Sn ,其前 n 项和的乘积为 Tn 。 2 ? an

(1)求证: a ? 2, b ? ?15 (2)证明:对任意的正整数 n , 2
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n ?1

Tn ? Sn 为定值。
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2 解: ( 1 ) 因 为 2 x ? 4 x ? 30 ? 0 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 3 和 ? 5 , 于 是 在 已 知 条 件

f ( x) ? 2 x 2 ? 4 x ? 30 ,令 x ? 3 得: f (3) ? 0 ,即 f (3) ? 0 ,同理有 f (?5) ? 0 ,故

f ( x) ? x 2 ? ax ? b ? ( x ? 3)(x ? 5) ? x 2 ? 2x ?15
2 2 2 且易知 x ? 2 x ? 15 ? 2 x ? 2 x ? 15 ? 2 x ? 4 x ? 30 对 x ? R 成立,因此 a ? 2, b ? ?15

是唯一一组满足题设的值;
2 (2)由(1)知 f ( x) ? x 2 ? 2 x ?15,所以 2an ? f (an?1 ) ? 15 ? an ?1 ? 2an?1 ,从而:
2 a an 2a ? 2an 1 1 1 ? n ? ? n?1 ? ? 2 ? an 2an?1 2an?1an 2an an?1 an an?1

bn ?

因此, S n ? b1 ? b2 ? ? ? ? ? bn ? (

1 1 1 1 1 1 ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? ) a1 a2 a2 a3 an an?1

?

1 1 1 ? ? 2? a1 an ?1 an ?1

Tn ? b1b2 ? ? ? bn ?
n ?1

a a1 a2 a 1 ? ? ? ? n ? n 1 ? n?1 2a2 2a3 2an?1 2 ? an?1 2 an?1 1 1 ? (2 ? )?2 an?1 an?1
8 6 4

因此, 2

Tn ? S n ?
10

6. log2 ( x ? 3x ? 5x ? 3x ? 1) ? 1 ? log2 ( x ? 1)
12

【解】由 1 ? log2 ( x ? 1) ? log2 (2x ? 2) ,且 log 2 y 在 (0,??) 上为增函数,故原不等式等
4 4

价于:

x12 ? 3x10 ? 5x8 ? 3x 6 ? 1 ? 2 x 4 ? 2
即:

2 1 ? 6 ? x 6 ? 3x 4 ? 3x 2 ? 1 ? 2 x 2 ? 2 ? ( x 2 ? 1) 3 ? 2( x 2 ? 1) 2 x x 1 1 ( 2 ) 3 ? 2( 2 ) ? ( x 2 ? 1) 3 ? 2( x 2 ? 1) x x
3

令 g (t ) ? t ? 2t ,则不等式为: g (
3

1 ) ? g ( x 2 ? 1) 2 x 1 ? x2 ?1 2 x

显然 g (t ) ? t ? 2t 在 R 上为增函数,由此上面不等式等价于: 即: ( x ) ? x ?1 ? 0
2 2 2

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解得: x ?
2

5 ?1 ,故元不等式得解集为: (??,? 2

5 ?1 )?( 2

5 ?1 ,??) 2

【注意】与本题类似的构造: (1)设 x, y 为实数,且满足:
3 2 ? ? x ? 3x ? 2000 x ? 1997 ,则 x ? y ? ? 3 2 y ? 3 y ? 2000 y ? 1999 ? ?

x x x x (2)方程 log 5 3 ? 4 ? log 4 5 ? 3 的解集为?

?

?

?

?

( 3 ) 若 实 数 x, y 满 足 :

x? y ?

x ? 2 ? 5 3
1 0

y 1 2?

0

? 1 , 6 3

x 3 ?

1 0

? 5

3

y ? 3

? 1 , 则 1 0 6

3

.

(4)如果 cos

5

? ? sin 5 ? ? 7(sin3 ? ? cos3 ? ) , ? ? ?0,2? ? ,那么的取值范围是

(5). e

sin ?

? ln cos ? ? e

cos?

? ln sin ? , ? ? ? 0, 2? ? ,求 ? 的取值范围;

(6)解不等式 x6 ? ?x ? 2? ? ?x ? 2? ? x 2
3

(7).设 a ?

334 ? 1 333 ? 1 b ? , ,比较 a , b 的大小关系 335 ? 1 334 ? 1

(8)已知 x ? 19 ? 99 是 x ? bx ? c ? 0 的一个根,其中 b, c 为整数,求 b ? c 的值;
4 2

32 7.设 an 是(3? x) 的展开式中 x 项的系数(n=2, 3,4,…),则n→∞ lim (a 2
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33 3n +a +…+a ))=________. 3 n 解:an=3
n-2 2 Cn.∴

3k 2· 32 18 = = k-2 ak 3 n(n-1) n(n-1),故填 18.

8.等比数列 a+log23,a+log43,a+log83 的公比是____________. a+log43 a+log83 (a+log43)-(a+log83) log43-log83 1 解:q=a+log 3=a+log 3= = = .填 (a+log23)-(a+log43) log23-log43 3 2 4 1 3. Sn 9.设 Sn=1+2+3+…+n,n?N*,求 f(n)=(n+32)S 的最大值.
n+1

1 n(n+1) 解:Sn=2n(n+1),f(n)= (n+32)(n+1)(n+2) = 未指定书签。 .(n=8 时取得最大值).

1 1 ≤ 64 50错误! n+ n +34

10.设数列{a n}和{b n }满足 a0=1,a1=4,a2=49,且
?an+1=7an+6bn-3, ? n=0,1,2,…… ?bn+1=8an+7bn-4.

证明 a n(n=0,1,2,…)是完全平方数. 证明 ⑴× 7:7an+1=49an+42bn-21, ⑵× 6:6bn+1=48an+42bn-24. 两式相减得,6bn+1-7an+1=-an-3,即 6bn=7an-an-1-3. 1 1 1 代入⑴:an+1=14an-an-1-6.故 an+1-2=14(an-2)-(an-1-2). 其特征方程为 x2-14x+1=0,特征方程的解为 x=7±4 3. 1 故 an=α(7+4 3)n+β(7 - 4 3)n+ 2 , 现 a0=1 , a1=4 , a2=49 .解得
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1 α=β=4. 1 1 1 1 1 1 ∴ an=4(7+4 3)n+4(7-4 3)n+2=4(2+ 3)2n+4(2- 3)2n+2 1 1 =[2(2+ 3)n+2(2- 3)n]2. 1 1 由于[2(2+ 3)n+2(2- 3)n]是整数,故知 an 是整数的平方.即为 完全平方数.
11.若 log4 ( x ? 2 y) ? log4 ( x ? 2 y) ? 1 ,则|x|?|y|的最小值是 。

?x ? 2 y ? 0 ? x ? 2 | y |? 0 ? ?? 2 解: ? x ? 2 y ? 0 2 ?( x ? 2 y )(x ? 2 y ) ? 4 ? x ? 4 y ? 4 ?
由对称性只考虑 y≥0,因为 x>0,所以只须求 x?y 的最小值。 令 x?y=u 代入 x2?4y2=4 中有 3y2?2uy+(4?u2)=0 ∵y∈R ∴⊿≥0 ? u ? 3 ∴当 x ?

4 3 3, y ? 时,u= 3 ,故|x|?|y|的最小值是 3 3 3


12.使不等式 sin2x+acosx+a2≥1+cosx 对一切 x∈R 恒成立的负数 a 的取值范围是 解:∵sin2x+acosx+a2≥1+cosx ∴ (cos x ? ∵a<0, ∴当 cosx=1 时,函数 y ? (cos x ? ∴ (1 ?

a ?1 2 (a ? 1) 2 ) ? a2 ? 2 4
a ?1 2 a ?1 2 ) 有最大值 (1 ? ) 2 2

a ?1 2 (a ? 1) 2 ) ? a2 ? ? a2+a-2≥0 ? a≤-2 或 a≥1 2 4

∵a<0 ∴负数 a 的取值范围是(-∞,-2] 13.删去正整数数列 1,2,3,……中的所有完全平方数, 得到一个新数列. 这个新数列的第 2003 项是
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(A)2046
2

(B)2047
2

(C)2048

(D)2049

注意到 45 ? 2025, 46 ? 2116,故 a2003 ? 2003? 45 ? 2048

14.已知数列 a0 , a1 , a2 ,..., an ,..., 满足关系式 (3 ? an?1 )(6 ? an ) ? 18, 且a0 ? 3 ,则 是_________________________。 【解】设 bn ? 即 故数列 {bn ? } 是公比为 2 的等比数列,

?a
i ?o

n

1
i

的值

1 1 1 , n ? 0,1, 2,..., 则(3 ? )(6 ? ) ? 18, an bn?1 bn

1 3

1 1 1 3bn ?1 ? 6bn ? 1 ? 0. ? bn ?1 ? 2bn ? , bn ?1 ? ? 2(bn ? ) 3 3 3

1 1 1 1 1 1 bn ? ? 2n (b0 ? ) ? 2n ( ? ) ? ? 2n?1 ? bn ? (2n?1 ? 1) 。 3 3 a0 3 3 3
n n ? 1 1 1 i ?1 1 ? 2(2n ?1 ? 1) ? b ? (2 ? 1) ? ? (n ? 1) ? ? ? 2n ? 2 ? n ? 3? ? ? ? i ? 3 ? 2 ?1 i ? o ai i ?0 i ?0 3 ? 3 n

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