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高一数学必修4第一章 基本初等函数


第一章
课题:
编写:

基本初等函数
1。1。1 角的概念的推广 审核: 时间:

一、教学目标 1、知道正角、负角、零角及象限角 教学重点:理解概念。 二、问题导学 1、角的概念: (1)在初中我们把有公共顶点的 组成的 点叫做角的 ,这两条射线叫做角的 。 (2)角可以看成是一条射线绕着它的 所成的 三、

问题探究 1。正角、负角、零角: 一条射线绕着它的端点旋转有两个相反方向: 规定:按 照 线没有 方向旋转而成的角为正角;按照 时为零角。 方向和 。

叫做角,这个公共顶

从一个位置旋转到另一个位置

方向,习惯上

方向旋转而成的角为负角,当射

注意: (1)在画图时,常用带箭头的弧来表示旋转的 转生成的角,又常叫做 角。

和旋转的

,旋

(2)引入正角、负角的概念后,角的减法运算可以转化为角的加法运算,即α — β 可以化为 。 2.终边相同的角:设α 表示任意角,所有与α 终边相同的角以及α 本身组成一个集合,这个 集合可记为 S= 终边相同的角有 定 。 重合,角的始边与 重 个,相等的角终边一定 。 ,但终边相同的角不一 ,这就是说,各角和的旋转量等于各角旋转量的

3.象限角:在直角坐标系中讨论角,是使角的顶点与 合,角的终边在第几象限,就把这个角叫做 就认为这个角 典型例题: 1。自学 P4 、 P5 例 1、例 2、例 4 完成练习 A 2。自学 P5 例 3 完成下面填空: 终边落在 x 轴正半轴上角的集合表示为 属于任何象限。

,如果终边在坐标轴上,

终边落在 x 轴负半轴上角的集合表示为 终边落在 x 轴上角的集合表示为 终边落在 y 轴正半轴上角的集合表示为 终边落在 y 轴负半轴上角的集合表示为 终边落在坐标轴上角的集合表示为 .第一象限角的集合表示为 第二象限角的集合表示为 第三象限角的集合表示为 第四象限角的集合表示为 四、课堂练习 1、 已知 ? 是第一象限的角,判断 2、 P7 练习 B2、3、5 五、自主小结: 课外作业: 1.在“①160°②480°③-960°④-1600°”这四个角中属于第二象限角的是( A.① B.①② ) B.第一象限的角比第二象限的角小 D.锐角都是第一象限角 C.①②③ D.①②③④ ) 象限角

? 、 2? 分别是第几象限角? 2

2.下列命题中正确的是( A.终边相同的角都相等 C.第一象限角都是锐角

3.射线 OA 绕端点 O 逆时针旋转 120°到达 OB 位置,由 OB 位置顺时针旋转 270°到达 OC 位置,则∠AOC=( A.150° ) C.390° D.-390°

B.-150°

4.如果α 的终边上有一个点 P(0,-3) ,那么α 是( ) A.第三象限角 B.第四象限角 C.第三或四象限角 D.不属于任何象限角 5.与 405°角终边相同的角( A. k?360°-45° k∈z C. k?360°+45° k∈z 6.(2005 年全国卷Ⅲ)已知α 是第三象限角,则 A.第一或第二象限 B.第二或第三象限 ) B. k?360°-405° k∈z D. k?180°+45° k∈z

? 所在象限是( 2



C.第一或第三象限D.第二或第四象限

7.把-1050°表示成 k?360°+θ (k∈z)的形式,使 ? 最小的θ 值是 y 8.(2005 年上海抽查)已知角α 终边与 120°终边关于 y 轴对称, 则α 的集合 S= . 150° 0 x 30°

9.已知β 终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界) ,

那么β ∈

10。 在 0°到 360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并说明它们是哪个象限角: ①-45° ②760° ③-480°

课题 1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
编写: 审核: 时间: 一、教学目标: 1、理解弧度制。 2、会进行弧度制与角度制的换算。 教学重点:本节知识应用。 二、问题导入: 1、 (1)1 度角是指把圆周 等份,其中每一份所对的圆心角的度数。这种用 量角的制度叫角度制。 (2)设圆心角为 n 的圆弧长为 l ,圆的半径为 r,则 l = 2、自主学习:自学课本 P7 - P9 回答: 1) 弧度的角:长度等于 。1 的圆弧所对的圆心角。这种用 来度量角的制度 叫弧度制。 弧度记作 。 2) 。圆心角或弧长公式:在半径为 r 的圆中,弧长为 l 的弧所对的圆心角为 ? rad, 则? = ;l = 。 3) 。角度与弧度的换算: 360°= rad 1 rad= ≈ = ; ? rad= rad ;1800 = rad ; 1°= rad≈ rad; n°=
0

来度



l r

=



4).完成下面的填空: 度 弧 度 度 弧 度 三、问题探究: 1。角的集合与实数集 R 之间是 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°

对应关系。

2、. 设扇形的圆心角是 ? rad,弧长为 l ,半径为 r, 则扇形面积公式 S= =

3、典型例题:自学课本 P9 - P11 例 1-例 5

四、课堂练习:完成练习 A、B: 五、自主小结: 检测:1。 120 等于( 2.
0

)rad A.
0

5? 6

? 3
B。 60
0

B.

? 4

C. C。 120

? 2
0

D.

2? 3
0

等于 (

) A。 30

D。 150

3.α =-2rad,则α 终边在( A.第一象限 B.第二象限

) C.第三象限 D.第四象限 )

4.一条弦的长等于半径,则这条弦所对的圆周角的弧度数为( A. 1 B.

1 2 ? 3

C.

? 5 或 ? 6 6

D.

5? ? 或 3 3


5.扇形圆心角为 A.1:3 6。 240 =
0

,半径为 R,则扇形内切圆面积与扇形面积之比( B.2:3 rad; — C.4:3 = 度; 225 =
0

D.4:9

5? 3

? rad; = 8
弧度。

度。

7.一个扇形弧长为 5cm,面积为 5cm2,则这个扇形圆心角的弧度数 8.在 1 小时 15 分时,时针和分针所成最小正角是

课题: 1。1 任意角的概念及弧度制习题课
编写: 审核: 时间: 一、教学目标: 1、知道任意角的概念。 2、复习弧度制。 教学重点:任意角概念。 二、问题导学: 1。正角、负角、零角的概念 2。与 ? 终边相同的角表示 3。象限角定义 4。用弧度表示 终边落在 x 轴上的角的集合表示为 终边落在 y 轴上的角的集合表示为 终边落在坐标轴上的角的集合表示为 5。用弧度表示 终边落在第一象限的角的集合表示为 终边落在第二象限的角的集合表示为 终边落在第三象限的角的集合表示为 终边落在第四象限的角的集合表示为 6。 360 =
0

rad ; 1 =

0

rad ?

rad; ? =

度;n°=

rad

1rad=





; ? rad=

7。设扇形的圆心角是 ? rad,弧长为 l ,半径为 r, 则l = 三、问题探究: 例 1。 ;扇形面积公式 S= =

已知α =1680°

(1)把α 改写成 k?360°+β (k∈z,0°≤β <360°)的形式。 (2)把α 改写成β +2kπ (k∈z,0≤β <2π )的形式。 (3)求θ ,使θ 与α 终边相同且-360°<θ <360°并判断θ 属第几象限。

例 2 .若集合 A= ?? 2 k? ?

? ?

?
4

?? ? 2 k? ?

3?

? ,k ? Z?, 2 ?

B= ?? 2 k? ?

? ?

4?

? ?? ? 2 k? , k ? Z ? 3 ?

求 A∩B ;A∪B

例 3 如图扇形 AOB 的面积为 4cm2,周长为 10cm,求 AB 弧的长及扇形中心角α B

O

A

四、课堂练习: P12 习题 1-1A、B 补充: 1.已知下列各角①787°②-957°③-289°④1711°,其中在第一象限的角是( A.①② B.②③ C.①③ D.②④ )

2.已知集合 M={第一象限角} ,N={锐角} ,P={小于 90°的角} ,则下列关系式 中正确的是( A. M=N=P )

? B. M≠ P
B.900°与-1260°

C. M∩P=N )

D. N∪P ? P

3.下列各组两个角中,终边不相同的一组角是( A.-43°与 677° 960° 4.设集合 M= ?? ? ?

C.150°与 630° D.-120°与

? ?

k?

? ? ? ? , k ? Z ? ? ?? ? ? k? ? , k ? Z ? , 2 4 ? ? ?
) D.M∩N= ?

N= ? ? ? ?

? ?

k?

? , k ? Z ? ,则集合 M 与 N 关系是( 4 ?

? A.M≠ N

? B.M ≠N

C.M=N )

5.下列诸命题中,假命题是(

A.“度”与“弧度”是度量角两种不同的度量单位 B.一度的角是周角的

1 360

,一弧度的角是周角的

1 2?

C.根据弧度定义,180°一定等于π 弧度 D.不论是用角度制还是用弧度制度量角,它们都与圆的半径长短有关 6.三角形三个内角之比为 2:5:8 则各角的弧度数分别为 7。终边在直线 y= 3 x 上的角表示为 。 。

8。将下列各角化成 2kπ +α (k∈z,0≤α <2π )的形式,并确定其所在象限 ①

19 ? 6

②?

31 6

?

五、自主小结: 作业: 1.若α 、β 终边相同,则α -β 的终边在( ) A.x 轴正半轴 B.y 轴正半轴 C.x 轴负半轴 ) C.第一或第二象限角 D.第二或第四象 D.y 轴负半轴

2. 已知α 是第四象限角,则 A.第一象限角 限角 3. .若-

? 是( 2

B.第二象限角

? ? <α <β < ,则α -β 的范围是( 2 2



A.-π <α -β <0 C.-

? <α -β <π 2

? <α -β <0 2 ? D.-π <α -β < 2
B.-

4.终边在直线 y=x 上的角的集合为( A. ?? ? ? k? ?

) B. ?? ? ? k? ?

? ?

?

? ,k ? Z? 4 ? ? ?

? ?

3?

? ,k ? Z? 4 ?

C. ?? ? 2 k? ?

? ?

?

? ,k ? Z? 4 ? ?

D. ?? ? ? 2 k? ?

3?

? ,k ? Z? 4 ?


5.集合 M= ?? ? ?

? ?

k? 2

?

? ? , k ? Z ? ,N= ? ? ? ?? ?? ? ,则 M∩N 等于( 5 ?

A.{- {

? 3?
5 10


,



B.{ ?

3? 10

,?

7? 10

7? 4? } , 10 5

C.{ ?

? 3? 4?
5 10 , , 5

,?

7? 10



D.

6.一条弦的长等于半径,则这条弦所对的圆周角的弧度数为( A.1 B.

) D.

1 2

C.

? 5 或 ? 6 6

5? ? 或 3 3
;

7.扇形的圆心角为 72°,半径为 5cm,圆心角= 面积为 。 ;它是第

rad;它的弧长为

8.与-496°终边相同的角是 , 最大负角是 。

象限角,它们中最小正角是

9.(2005 吉林调研)如图动点 P、Q 从点 A(4,0)出发沿圆周运动,点 P 按逆时针方向 每秒钟转

? ? 弧度。点 Q 按顺时针方向每秒钟转 弧度,则 P、Q 第一次相遇时 P、Q 3 6
y 。 P O A Q x ,

点各自走过的弧度 为

课题:1.2.1 任意角的三角函数
编写: 一、教学目标: 审核: 时间:

1.了解三角函数的两种定义方法; 2.知道三角函数线的基本做法. 3.掌握并能初步运用公式一。 教学重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数 值在各象限的符号) ;终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一). 教学难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值 在各象限的符号) ;三角函数线的正确理解. 二、问题导学 1、复习:锐角三角函数的定义: 如图:设 P(x,y)是角 ? 终边上不同于原点的任意一点,PM⊥x 轴,∣OP∣= r, 当 ? 为锐角时 sin ? = ;cos ? = ;tan ? = .
y P r ? O x M x y

2、阅读 P14 - P16 完成下面的填空: 1) 。三角函数的定义:设 P(x,y)是角 ? 终边上不同于原点的任意一点,∣OP∣=r, (r= x ? y ,r>0)
2 2

则:sin ? = sec ? =

;cos ? = ;csc ? =

;tan ? = ;cot ? =

. .

思考:三角函数是函数吗? 2). 三角函数的定义域:完成下表

三角函数 sinα cosα tanα 3) 。三角函数符号: sinα =



义 域

y :若 y>0,则 sinα r
或在 若 y<0,则 sinα 上;

0;此时α 的终边在第

象限或第

象限

0;此时α 的终边在第

象限或第

象限

或在 若 y=0,则 sinα

上. 0;此时α 的终边在 轴上。 象限或第 象限

x cosα = :若 x>0,则 cosα r
或在 上; 若 x<0,则 cosα 或在 若 x=0,则 cosα 上.

0;此时α 的终边在第

0;此时α 的终边在第

象限或第

象限

0;此时α 的终边在

轴上。 象限或第 象限或第 象限 象限

y tanα = ,若 x、y x
若 x、y

号,则 tanα >0,此时α 的终边在第 号,则 tanα <0. 此时α 的终边在第 0;此时α 的终边在 轴上。

若 y=0, 则 tanα

若 x=0, 则 tanα 不存在,此时α 的终边在 记忆口诀: “一全正,二正弦,三正切,四余弦” 三、问题探究: 1。学习 P16 例 1、例 2,完成 P17 练习 A1、2、3 题 2。学习 P17 例 3、例 4,完成 P18 练习 A4 题、练习 B 四、 练习:

轴上。

1、已知角θ 的终边落在直线 y=3x 上,求 sinθ 、cosθ 和 tanθ 的值。 五、自主小结: 课堂检测: 1.已知α 的终边过点 P(4,-3) ,则下面各式中正确的是( )

4 3 3 B.cosα =C.tanα =D.cotα =5 4 4 3 4 2.若角α 的终边上有一点 P( k ,? k ) k ? 0 ) ( ,则 sinα ?tanα 的值是( ) 5 5 16 16 15 15 A. B.- C. D.- 15 15 16 16
3.已知角α 的终边经过点 P(a,b) ,其中 a<0,b<0,在α 的六个三角函数中,符号为 正的是( ) B.cosα 与 secα C.tanα 与 cotα D.secα 与 cscα

3 A.sinα = 5

A.sinα 与 cscα

4.若角α 的终边与直线 y=3x 重合,且 sinα <0,又 P(m,n)是α 终边上一点,且

OP ? 10 ,则 m-n=(
A.2 B.-2

) C.4 D.-4

5.已知点 P(3,y)在角α 的终边上,且满足 y<0,cosα =

3 5

,则 tanα 的值为(



A. ?

3 4

B.

4 3

C. 象限。

3 4

D.-

4 3

6 若 sinθ cosθ >0,则θ 在第
2

7.若 cos x ? cos x ,则 x 的取值范围是 8.已知 f(x)= cosπ x f(x-1)-1 (x<1) (x>1) 则 f(



1 3

)+f(

4 3

)=

9. 函数 y=

sin x sin x

?

cos x cos x

?

tan x tan x

?

cot x cot x

值域是

10. 5 sin

?
2

+2cos0+4tan0-3 sin

3? 2

+10cos ? -2tan ? =

.

11.已知θ 角的终边上一点 P(x,3)(x≠0),且 cosθ =

10 10

x . 求 sinθ ,tanθ

课题:1。2。2 单位圆与三角函数线
编写: 审核: 时间: 一、教学目标: 1、了解如何利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α 的正弦、余弦、正切函数值分别 用正弦线、余弦线、正切线表示出来; 2、掌握并能初步运用公式一; 3、 培养学生解题技能,提高运用公式的灵活性; 重点: 单位圆与三角函数线 难点: 三角函数线的正确理解. 二、问题导学: 1。 是向量。数轴上向量的坐标或数量何定义 如图:A(x)是数轴上一点,则 OA 的坐标 OA= ; AO 的坐标 AO=
2 2

2。设 P(x,y)是角 ? 终边上不同于原点的任意一点,∣OP∣=r,(r= x ? y ,r> 0) 则:sin ? = 当 r=1 时 sin ? = 3. sin ;cos ? = ;tan ? = 。 ; cos ? = ; tan ? = ; . ;cos ? = = ; sin ? = = ;

?

2 3? s in = 2

=

; cos

?
2

; cos

3? 2

4。三角函数在各象限的符号 5。单位圆:半径为 的圆叫单位圆。 6。正射影:如图示:单位圆的圆心在坐标原点 O,设角 ? 的顶点在圆心 O,始边与 x 轴的正半轴重合,终边与单位圆相交于点 P(x,y)过点 P 作 PM⊥x 轴于

点M, PN⊥y 轴于点 N, 作 则点M、 分别是点 P 在 x 轴、 轴上的 N y 称 ) y B(0,1) N A′(-1.0) P(cosα ,sinα ) A(1,0) α x 0 M y N 0 α M A(1,0) x T′ (2) 。 ;ON= 坐标和

(简

y′ T′(1,tanα )

l

B′(0,-1) (1) 由三角函数定义可知:sin ? = ;cos ? = 又 r=1,所以 sin ? = ;cos ? = 。 即 P 点的坐标为( , ) ,其中 OM= 由此可得:角α 的余弦和正弦分别等于角α 终边与单位圆交点的 。 三、问题探究 1、 三角函数线: 在上面图 2 中,向量 切线。 思考:当α =x(rad)且 0<x< 、 、

。 坐标。

分别叫做角α 的余弦线、正弦线和正

? , 则α 、sinα 、tanα 的大小关系是 2

2、例 1。在单位圆中画出适合下列条件的角α 终边的范围,并由此写出角α 的集合: (1)sinα ≥ 四、课堂练习: 1.已知角α 的正弦线的长度为单位长度,那么角α 的终边( A.在 x 轴上 B.在 y 轴上 ) B.单位圆中,有相同正弦线的角相等 D.具有相同正切线的两个角的终边在同 C.在直线 y=x 上 ) D.在直线 y=-x 上

3 2

; (2)cosα ≤ ?

1 2

.

2.下列判断中错误的是(

A.α 一定时,单位圆中的正弦线一定 C.α 和α +π 具有相同的正切线 一直线上

3.角α (0<α <2π )的正弦线与余弦线长度相等且符号相同,那么α 的值为(



3? 3? 7? 5? ? ? A. 或 B. 或 C. 或 4 4 4 4 4 4 ? 5? 4.已知 x∈( , ),则 sinx 与 cosx 的大小关系是( ) 4 4
A.sinx≥cosx B.sinx≤cosx C.sinx>cosx D.sinx<cosx

7? ? D. 或 4 4

5.若 2sinθ =-3cosθ ,则θ 的终边可能在( A.第一、二象限 B.第二、三象限 , 。

) C.第三、四象限 D.第二、四象限 y P M 0 A x

6.如图所,∠POx 的正弦线为 余弦线为 7.设 M= ?? sin ? ? ,正切线为

? ?

1

? , 且 ? ? ?0, ? ?? , 2 ?
.

N= ?? cos? ?

? ?

1

? , 且 ? ? ?0, ? ?? ,且 M∩N= 2 ?

T

8.在各坐标系内分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线. (1)

5 ? 5 3 ; (2) ? ; (3)- ? ; (4) ? . 3 3 6 4

9.利用三角函数线解答下列各题: (1)已知α ∈[0,2π ) ,且 tanα >sinα ,求α 角的范围。

(2)已知α ∈[0,2π ) ,且 sin

? ? <cos ,求α 角的范围。 2 2

10.利用三角函数线证明 sin ? ? cos ? ? 1 .

五、自主小结

课题:1。2。3 同角三角函数的基本关系式
编写: 审核: 时间: 一、教学目标: ⒈掌握同角三角函数的基本关系式,理解同角公式都是恒等式的特定意义; 2 会运用公式解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能 ; 二、问题导学 1、复习回顾三角函数定义和单位圆中的三角函数线:
王新敞
奎屯 新疆

2、 倒数关系:sinα cscα = 3、平方关系:sin2x+cos2x=

cosα secα = 4、商数关系;

tanα cotα =

sin x ? cos x

三、问题探究: 1。求值问题: (1)自学 P22 例 1、例 2、例 3 完成 P25 练习 A。1 (2) 思考:若把例 1 中“α 是第二象限的角”去掉,该题如何求解? 练习: P25 练习 B。1 (3) “1”的妙用: 例:已知 t a n ? 3 ,求下列各式的值。 ? (1)

3 sin ? ? cos ? ; 2 sin ? ? 3 cos ?

(2)sin2α -2sinα cosα +1.

2。化简:自学 P23 例 4、例 5 注意:化简时尽量减少角的种数,尽量减少三角函数种数,尽量化为同角、同名, 尽量化成最简形式等。 3.证明:自学 P23 例 6。 四、课题练习:1、 P25 练习 A。2、4 B。3 2、 P25 练习 A。3,练习 B 4、5 四、课堂练习; 1.已知 cosα =A.

4 3

3 ,α ∈(0,π ) ,则 tanα 等于( ) 5 4 4 3 B.C.± D.± 3 3 4
2 2

2.若β ∈(0,2π ) ,且 1 ? cos ? ? 1 ? sin ? ? sin ? ? cos ? ,则β 的取值范围 是( ) A.[0, π) 3。函数 y=

? ) 2

B.[

? ,π ] 2

C.[π ,

3? ) 2

D.[

3? ,2 2

cos x 1 ? sin x
2

?

sin x 1 ? cos x
2

?

tan x tan 2 x

的值域是(



A.{3,-1} 4。5.已知 sinθ = A.可取[ ? C.等于 8

B.{1,3}

C.{-3,-1,1}

D.{-1,1,3}

m?3 m?5

,cosθ =

4 ? 2m ,则 m( ) m?5
B.等于 0 D.等于 0 或 8

1 ,9]中的一切值 3

5. tanθ =2,那么,1+sinθ cosθ =(

) C.

5 A. 3 4 7.已知 sinα = 5

5 B. 4

7 5

D.

7 3
. . .

6. sinθ +cosθ =-1 则(sinθ )2006+(cosθ )2006= 且 tanα <0,则 cosα =

8.化简 sin2α +sin2β -sin2α sin2β +cos2α cos2β = 9。 已知 sinα =

3 ,求 cosα 、tanα 的值. 5 1 10。 已知 sinα +cosα = ,且 0°<α <180°,求 tanα 的值. 5
11。 已知 tan2α =2tan2β +1,求证:sin2β =2sin2α -1. 12.化简 ①若

?
2

?? ?? ,化简

1 ? sin ? 1 ? sin ? ? ; 1 ? sin ? 1 ? sin ?

②若

1 ? cos ? 1 ? cos ? 3? ? . ?? ? 2? ,化简 1 ? cos ? 1 ? cos x 2

课题:1.3.1 三角函数的诱导公式(一)
编写: 审核: 时间: 一、教学目标: 1、推导出正弦、余弦和正切的诱导公式, 解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明 问题 2、会用公式 。 3、分析问题和解决问题的能力。 重点:四组诱导公式的记忆、理解、运用。 难点:四组诱导公式的推导、记忆及符号的判断; 二、问题导学 1。思考: (1)α 终边与-α 终边关于 对称。 (2)α 终边与α + ( 2k ? 1)? , (k∈Z)的终边互为 (3)设α 终边与单位圆的交点为 P,则 P( , ) 。

P 若-α 终边、α + ( 2k ? 1)? , (k∈Z)的终边与单位圆分别角于 P1、 2 两点,
则 P 与 P1 关于 对称,因此 P1 ( , )

P 与 P2 关于

对称,因此 P2 (





2。诱导公式: (1)角α 与α +k?2π (k∈Z)的三角函数间的关系 cos(α +k?2π )= . 由三角函数定义可知: ;sin(α +k?2π )= ;tan(α +k?2π )=

P1 (cos(-α ),sin(-α )), P2 (cos(α + (2k ? 1)? ),sin(α + (2k ? 1)? ))
又由上面思考 3 可得: (2)角α 与-α 的三角函数间的关系 cos(-α )= ; sin(-α )= ; tan(-α )= .

(3)角α 与α +(2k+1)π (k∈Z) cos[α +(2k+1)π ]= . 三、问题探究 1、例题分析: 例 1 求下列三角函数值: (1) sin 960 ; (2) cos( ?
?

;sin[α +(2k+1)π ]=

;tan[α +(2k+1)π ]=

43? 6

).

例 2 化简

cot ? ? cos(? ? ? ) ? sin 2 (3? ? ? ) tan ? ? cos 3 ( ?? ? ? )



四、 课堂练习: (1) .若 sin(

?
2

? ? ) ? cos(? ? ? ) ,则 ? 的取值集合为
?
4 k ? Z}





A. {? | ? ? 2 k? ? C. {? | ? ? k? (2) .已知 tan(? ( A. )
|a| 1? a
2

B. {? | ? ? 2 k? ? D. {? | ? ? k? ? ?

?
4

k ? Z}
k ? Z}

k ? Z}

2

14 15

? ) ? a , 那么 sin 1992 ? ?

B.

a 1? a
2

C. ?

a 1? a
2

D. ?

1 1? a2

(3) .设角 ? ? ?

35 6

? , 则 2 sin(?2 ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) 的值等于 2
1 ? sin ? ? sin(? ? ? ) ? cos (? ? ? )





A.

3 3

B.-

3 3

C. 3 的值为

D.- 3 ( D.与 ? 取值有关 )

(4) .当 k ? Z 时, A.-1

sin( k? ? ? ) ? cos(k? ? ? ) sin[( k ? 1)? ? ? ] cos[(k ? 1)? ? ? ]

B.1

C.±1

( 5 ) 设 f ( x ) ? a sin(?x ? ? ) ? b cos(?x ? ? ) ? 4 .

( a , b, ? , ? 为 常 数 ) 且 ,

f ( 2000 ) ? 5,
那么 f ( 2004 ) ? A.1 B.3 C.5
?

D.7 .





(6) .已知 sin ? ? 3 cos ? ? 0, 则 五、自主小结

sin ? ? cos ? sin ? ? cos ?

课后作业 一、选择题 1.已知 sin( A.

?
4

??) ?

3 2

,则 sin( C.

3? 4

? ? ) 值为(
D. —



1 2

B. —

1 2 1 2


3 2

3 2


2.cos ( ? +α )= — A.

3 π 2

<α < 2? ,sin( 2? -α ) 值为(

3 2

B.

1

2 2 2 3.化简: 1 ? 2 sin(? ? 2) ? cos(? ? 2) 得( )
A. sin 2 ? cos 2 4.已知 tan ? ? B. cos 2 ? sin 2 C. sin 2 ? cos 2 D.± cos 2 ? sin 2 )

C. ?

3

D. —

3

3 ,? ? ? ?

3? 2

,那么 cos ? ? sin ? 的值是(

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A

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?

1? 3 2

B

?1? 3
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2

C

1? 3
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2

D

1? 3
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2
象限
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二、填空题 5.如果 tan ? sin ? ? 0, 且 0 ? sin ? ? cos ? ? 1, 那么 ? 的终边在第 6.求值:2sin(-1110?) -sin960?+ 2 cos(?225 ?) ? cos(?210 ?) = 三、解答题 7.设 f (? ) ?

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2 cos 3 ? ? sin 2 (? ? ? ) ? 2 cos(?? ? ? ) ? 1 2 ? 2 cos ( 7? ? ? ) ? cos(?? )
2

,求 f ( ) 的值.

?

3

8.已知方程 sin(? ? 3?) = 2cos(? ? 4?),求

sin(? ? ? ) ? 5 cos(2? ? ? ) 的值。 3? 2 sin( ? ? ) ? sin( ?? ) 2

课题:1.3.2 三角函数诱导公式(二)
编写: 审核: 时间: 一、教学目标: 1、掌握正弦、余弦和正切的诱导公式。 2、 理解公式的由来并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、 余弦和正切值的求解、 简单三角函数式的化简 学习重难点:

重点:诱导公式及诱导公式的综合运用. 难点:公式的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透.
二、问题导学 1.利用单位圆表示任意角 ? 的正弦值和余弦值;____________________ 2.诱导公式一及其用途:

______________________________ ______________________________ ______________________________ 3、 对于任何一个 ? 0 ? , 360 ? 内的角 ? , 以下四种情况有且只有一种成立 (其中 ? 为锐角) : ?

?

?? , 当 ? ? ? 0 ? , 90 ? ? ? ? ? ?180 ? ? , 当 ? ? ? 90 ? ,180 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?180 ? ? , 当 ? ? ?180 , 270 ? ? ? ? ? ? ?360 ? ? , 当 ? ? ? 270 , 360 ? ? ?

4、 诱导公式二: 5、诱导公式三: 6、诱导公式四:

7、诱导公式五:

8、诱导公式六: 三、 问题探究 问题 1:如图:设 的终边与单位圆相交于点 P,则 P 点坐标为 ,点 P 关于直线 y=x 的轴对称点为 M,则 M 点坐标为 , 点 M 关于 y 轴的对称点 N,则 N 的坐标为 , ∠XON 的大小与 的关系是什么呢?点 N 的坐标又可以怎么表示呢?

问题 2:观察点 N 的坐标,你从中发现什么规律了?

例 1 利用上面所学公式求下列各式的值:

(1)

(2)

(3)

(4)

变式训练 1: 将下列三角函数化为 (1) (2)

到 (3)

之间的三角函数:

思考:我们学习了

的诱导公式,还知道

的诱导公式,那么对于



又有怎样的诱导公式呢? 例 2 已知方程 sin(? ? 3?) = 2cos(? ? 4?),求

sin(? ? ? ) ? 5 cos(2? ? ? ) 的值 3? 2 sin( ? ? ) ? sin( ?? ) 2

变式训练 2:已知

,求

的值。

四、课堂练习 1.利用上面所学公式求下列各式的值: (1) (2) 到 之间的三角函数:

2.将下列三角函数化为 (1) 五、自主小结: (2)

课后练习与提高 1.已知 sin( A.

?
4

??) ?

3 2

,则 sin( C.

3? 4

? ? ) 值为(
D. —



1 2

B. —

1 2

3 2

3 2

2.cos ( ? +α )= — A.

1 2



3 π 2

<α < 2? ,sin( 2? -α ) 值为(



3 2

B.

1

2 2 2 3.化简: 1 ? 2 sin(? ? 2) ? cos(? ? 2) 得( )
A. sin 2 ? cos 2 4.已知 tan ? ? B. cos 2 ? sin 2 C. sin 2 ? cos 2 D.± cos 2 ? sin 2

C. ?

3

D. —

3

3 ,? ? ? ?

3? 2

,那么 cos ? ? sin ? 的值是 象限

5.如果 tan ? sin ? ? 0, 且 0 ? sin ? ? cos ? ? 1, 那么 ? 的终边在第 6.求值:2sin(-1110?) -sin960?+ 2 cos(?225 ?) ? cos(?210 ?) = 7.已知方程 sin(? ? 3?) = 2cos(? ? 4?),求

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sin(? ? ? ) ? 5 cos(2? ? ? ) 的值。 3? 2 sin( ? ? ) ? sin( ?? ) 2

课题:1.4.1 正弦函数,余弦函数的图象
编写: 一、 教学目标: 1、利用单位圆中的三角函数线作出 y ? sin x, x ? R 的图象,明确图象的形状; 2、根据关系 cos x ? sin( x ? ? ) ,作出 y ? cos x, x ? R 的图象;
2

审核:

时间:

3、用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图,并利用图象解决一些有关问题; 学习重难点:

重点:“五点法”画长度为一个周期的闭区间上的正弦函数图象; : 难点:运用几何法画正弦函数图象。

二、问题导学 1.正、余弦函数定义:____________________ 2.正弦线、余弦线:______________________________ 3. 1 .正弦函数 y=sinx, x∈[0, ]的图象中, 2π 五个关键点是: 、 20.作 y ? cos x 在 [0, 2? ] 上的图象时,五个关键点是
、 、 、
0

、 、





.

.

步骤:_____________,_______________,____________________. 三、问题探究 问题一:如何 作出 的图像呢?

问题二:如何得到

的图象?

“五点法”作图可由师生共同完成 小结作图步骤:

例 1、画出下列函数的简图:y=1+sinx ,x∈〔0,2π 〕 解析:利用五点作图法按照如下步骤处理 1、列表 2、描点 3、连线 变式训练:y=-cosx ,x∈〔0,2π 〕 四、课堂检测 画出下列函数的简图:(1) y=|sinx|,

(2)y=sin|x|

思考:可用什么方法得到 五、自主小结

的图像?

课后练习与提高 1. 用五点法作 y ? 2sinx, x ? [0,2? ] 的图象. 2. 结合图象,判断方程 sinx ? x 的实数解的个数.

3.分别利用函数的图象和三角函数线两种方法,求满足下列条件的 x 的集合:

(1) sin x ?

1 2

;

(2) cos x ?

1 2

, (0 ? x ?

5? 2

).

1.3.1 正弦函数的性质(一)

编写:

审核:

时间:

一、 教学目标: 1、会根据图象观察得出正弦函数、余弦函数的性质 学习重难点:正弦函数和余弦函数的性质及简单应用。 二、问题导学 1 是 。 , 作 正 弦 函 数 , , y=sinx , 。 图 。 3。Sin(2k ? +x)= (k∈Z) 象 的 五 个 关 键 点 分 别

2. 正弦函数的定义域是

3.定义域 4.值域 5 .周期性:一般地对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T 使得定义域内的每一个 x 值都满足 ,那么函数 f(x)就叫做 叫做这个函数的周期。 对于一个周期函数 f(x),如果在它的所有周期中存在一个最小的正数,那 么这个最小正数就叫做它的 期是 。 , 正弦函数 y=sinx 的最小正周 .

思考:是否所有的周期函数都有最小正周期? 6.奇偶性:y=sinx 是 三、问题探究: 例 1、求函数 y=sin(2x+ )的单调增区间. 解: 例 2:判断函数 f ( x ) ? sin( x ?
? 3

函数,正弦曲线关于

对称。

3 4

3? 2

) 的奇偶性

解 例 3. 比较 sin2500、sin2600 的大小 四、课堂练习 1. 求函数 y=sin(-2x+
? )的单调增区间 3
2

2. f ( x ) ? lg(sin x ? 1 ? sin x ) 3. cos
15? 8

、cos

14? 9

4、(1) 求下列函数的最大值和最小值,并写出函数取得最值时 x 的集合: (ⅰ)y=sin2x-2sinx+3 (ⅱ)y=cos2x-2sinx

(2)求函数 y=Asin( ?x ? ? ) (其中 A≠0, ? ? 0, x∈R)的周期。 五、自主小结 作业: 1.函数 y= 2 sin 2 x 的奇偶性为( A.奇 B.偶 )函数 D.非奇非偶

C.即奇且偶

2. (04′天津)定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数,若 f(x)的最小正周期 是π 且当 x ? ? 0,

5? ? ?? ? 时 f(x)=sinx 则 f( 3 )的值为( ? 2?



A.-

1 2
2 3

B.

1 2
15? 2
)是(

C.)

3 2

D.

3 2

3.函数 f(x)=7sin(

x?

A.周期为 3π 的偶函数 C.周期为 3π 的奇函数 4.在[0,2π ]上满足 sinx≥

B.周期为 2π 的奇函数 D.周期为

4? 3

的偶函数

1 2

的 x 的取值范围(



A. ?0,

? ?? ? ? 6?

B. ?

? ? 5? ? , ? ?6 6 ?

C. ?

? ? 2? ? , 3 ? ?6 ?

D. ?

? 5? ? , ?? ? 6 ? ?? ? ? 则函数 f(x)=2cos2x+sinx-1 的值域是( , 6 3? ? ?
B. [-2,0] C. ? )

5.若 x ? ?

A. [-1,2]

? 3 ?1 9? , ? 8? ? 2

D. ?

? 3 ?1 ? ,1? ? 2 ?

6.函数 y=2sin(

?
3

? ? x )的最小正周期是 4π 则ω =

7.若 f(x)是奇函数,当 x>0 时 f(x)=x2-sinx 则当 x<0 时,f(x)=

8。求函数 y=-sin2x-2sinx+1 的最大值、最小值及取得最大值、最小值时 x 的集合。

课题:1.3.1 正弦函数的性质(二)
编写: 一、教学目标: 知道函数 y=Asin( ?x ? ? ) (其中 A≠0, ? ? 0, x∈R)性质 二、问题导学 1.定义域 3.周期性:T= 2.值域 ;函数 y=Asin( ?x ? ? ) (其中 A≠0, ? ? 0, x∈R)的周期 T= 函数。 上都从-1 增大到 审核: 时间:

4.奇偶性:y=sinx 是

5。单调性:正弦函数 y=sinx 在每一个闭区间 1, 是 函数。 6。对称性: 正弦函数 y=sinx 的对称中心是 注:正弦函数 y=sinx 的对称中心是其图象与 其对称轴与其图象的交点是正弦函数的 三、问题探究: 1、 P42 例 5 2、 补充例题:求函数 y=3sin(2x+ ; 对称轴是 轴的交点; 点。 函数。在每一个闭区间

上都从 1 减小到-1,是



? )的最值、周期,单调区间、对称中心及对称轴。 3

四、课题练习: 1、 P43 练习 B 2、求函数 y=3sin(-2x+ 五、自主小结: 作业: 1.函数 y=sinx,

? )的最值、周期,单调区间、对称中心及对称轴。 3

? ? 2? x?? , ?6 3

? ? 则 y 的范围是( ?



A. [-1,1]

B. ?

?1 ? , 1? ?2 ?

C. ?

?1 ?2

,

3? ? 2 ?

D. ?

? 3

? , 1? ? 2 ?


2. (05′全国卷)的 0≤x<2π 且 1 ? sin 2 x ? sin x ? cos x 则( A.0≤x≤π C. B.

?
?
4
2

?x?
?x?

7? 4 3?
2
) D. x ? ? ?

?
4

?x?

5? 4

D.

3.已知: x , ? ? (0, A. x ? ? ?

?
2

) 且 cosx>sin ? 则 x+ ? 与
B. x ? ? ?

?
2

?
2

4.函数 y= sin( 2 x ? A.x= ?

5? 2

? 的大小关系是( 2 ? C. x ? ? ? 2


?
2

) 的图象的一条对称轴是(

?
2

B.x= ?

?
4

C.x= )对称

?

?
8

D.x= ?

5? 4

5.函数 y=4sin(2x+π )的图象关于( A.x 轴 6.若 x ? ? B.原点

C.y 轴

D.直线 x=

? 2


? ? 3? ? 2 ? 是 y=sin x-sinx+1 的最大值和最小值分别为 ?3 4 ?

? -3x)的单调增区间是 , 周期 T= 。 6 3 1 8.若函数 y=a-bsinx 的最大值为 ,最小值为 ? ,求函数 y=-4asinbx 的最值和最小 2 2
7.函数 y=2sin( 正周期

课题:1.3.1 正弦函数 y=Asin(ω x+ ? )(一)
编写: 一、教学目标: 1。y=f(x)与 y=f(x+a)(a≠0)的图象之间有何 关系。 2。Y=f(x)与 y=Af(x) 的图象之间 关系。 二、问题导学 1.正弦函数 y=Asin(ω x+ ? ) x ? R) ( (其中 A、ω 、 ? 为常数且 A≠0 ω >0) 审核: 时间:

(1)y=Asin(ω x+ ? )的周期 T= 。 2.函数 y=Asinx(A>0)的值域是 由此

,频率 f=



,初相为

;最大值为

,最小值是



可知, 的大小反映曲线 y=Asinx 的波动幅度的大小。因此 3。函数 y=sin(x+ ? )的图象与 y=sinx 的图象之间的关系: 函数 y=sin(x+ ? )的图象可由函数 y=sinx 的图象所有点(当 ? >0)向 <0 时)向 平移 个单位长度就得到函数 y=sin(x+ ? )的图象。

也称为振幅 或(当 ?

4。函数 y=sin(ω x)(ω >0)的图象与 y=sinx 的图象之间的关系: 函数 y=sin(ω x) (ω >0)的图象可以看作把 y=sinx 的图象上所有点的 坐标 (当ω >1) 或(当 0<ω <1) 到原来的 倍( 坐标不变)而得到的。 5。函数 y=Asin(ω x+ ? )(A>0,ω >0)的图象与 y=sinx 的图象之间的关系: 法 1。把 y=sinx 的图象上所有点(当 ? >0)向 或(当 ? <0 时)向 平 移 个单位长度就得到函数 y=sin(x+ ? )的图象;再把 y=sin(x+ ? )的图象上 所有点 的 坐标(当ω >1) 或(当 0<ω <1) 到原来的 倍 ( 坐标不变)而得到的 y=sin(ω x+ ? )的图象;再把 y=sin(ω x+ ? )的图 象上所有点 的 坐标 (当 A>1) 或 (当 0<A<1) 标不变)而得到的 y=Asin(ω x+ ? )的图象。 到原来的 倍 ( 坐

法 2。把 y=sinx 的图象上所有点的 坐标(当ω >1) 或(当 0<ω <1) 到原来的 倍( 坐标不变)而得到的 y=sin(ω x)的图象;再把 y=sin(ω x)的图象上所有点(当 ? >0)向 或(当 ? <0 时)向 平移 个 单位长度就得到函数 y=sin(ω x+ ? )的图象;再把 y=sin(ω x+ ? )的图象上所 有点的 坐标 (当 A>1) 或(当 0<A<1) 而得到的 y=Asin(ω x+ ? )的图象。 注意:法 1 与法 2 的区别 三、问题探究: 1。自学课本 P44 - P48 例 6-例 9 2。补充例题: 用“五点法”作出函数 y=2sin( 样的变换而得到? 到原来的 倍( 坐标不变)

x 2

?

?
3

)的图象,并说明由函数 y=sinx 的图象经过怎

四、学生练习: P49 练习 A 。1 、2 B。1、2、3 五、自主小结: 六、作业:

1.y=sinx 的图象向左平移 是( ) A. y ? sin( x ? C. y ? sin( x ?

? 个单位,再向上平移 2 个单位,所得图象的函数解析式 4
B. y ? sin( x ? D. y ? sin( x ?

? ?
4 4

)?2 )?2

? ?
4 4

)?2 )?2


2.函数 y=3sin3x 的图象可看成 y=3sinx 的图象按下列哪种变换得到( A.横坐标不变,纵坐标变为原来的 倍 C.横坐标不变,纵坐标变为原来的 3 倍 倍 3.为得到函数 y=sin(2x-

1 3



B.纵坐标不变,横坐标变为原来的

1 3

D.纵坐标不变,横坐标变为原来的 3

? 6 ? C.左移 6
A.右移

? )的图象可以将函数 y=cos2x 的图象( ) 6 ? 个单位长度 B.右移 个单位长度 3 ? 个单位长度 D.左移 个单位长度 3

4。 (05′天津)要得到函数 y= 2 cos x 的图象只需将函数 y= 2 sin( 2 x ? 上所有点的( )

?
4

) 的图象

? 个单位长度 2 8 1 ? B.横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)再向右平移 个单位长度 2 4 ? C.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)再向左平行移动 个单位长度 4 ? D.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)再向右平行移动 个单位长度 8 ? 5。把函数 y=sin3x 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象,再把 4
A.横坐标缩短到原来的

1

倍(纵坐标不变)再向左平移

所得函数的图象上所有点的横坐标变为原来的 2 倍得到函数 的图象 6。用“五点法”作出函数 y=2sin( 怎样的变换而得到?

x 2

?

?
4

)-2 的图象,并说明由函数 y=sinx 的图象经过

课题:

1.3.1 正弦函数 y=Asin(ω x+ ? )(二)
编写: 审核: 时间:

一、教学目标:

函数 y=Asin(ω x+ ? )(A>0,ω >0)的图象与 y=sinx 的图象之间的关系 二、问题导学 1。函数 y=Asin(ω x+ ? )(A>0,ω >0)的图象与 y=sinx 的图象之间的关系: 法 1。把 y=sinx 的图象上所有点(当 ? >0)向 或(当 ? <0 时)向 平 移 个单位长度就得到函数 y=sin(x+ ? )的图象;再把 y=sin(x+ ? )的图象上 所有点 的 坐标(当ω >1) 或(当 0<ω <1) 到原来的 倍 ( 坐标不变)而得到的 y=sin(ω x+ ? )的图象;再把 y=sin(ω x+ ? )的图 象上所有点 的 坐标 (当 A>1) 或 (当 0<A<1) 标不变)而得到的 y=Asin(ω x+ ? )的图象。 到原来的 倍 ( 坐

法 2。把 y=sinx 的图象上所有点的 坐标(当ω >1) 或(当 0<ω <1) 到原来的 倍( 坐标不变)而得到的 y=sin(ω x)的图象;再把 y=sin(ω x)的图象上所有点(当 ? >0)向 或(当 ? <0 时)向 平移 个 单位长度就得到函数 y=sin(ω x+ ? )的图象;再把 y=sin(ω x+ ? )的图象上所 有点的 坐标 (当 A>1) 或(当 0<A<1) 而得到的 y=Asin(ω x+ ? )的图象。 到原来的 倍( 坐标不变)

2。已知函数 y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0 ? ? 0 ,0 ? ? ? ? ) 的图象两个相邻的最值点为 (

?
6

, 2 ) 和(

2? ,?2) ,则 A= 3

;? =

;? =

;这个函数的表达式为

三、问题探究: 1。已知函数 y=Asin( ?x ? ? )+C(A>0,ω >0, ? ? 的坐标 为(2,2)最低点坐标为(8,-4)求 A、ω 、 ? 、C

?
2

)在同一周期中最高点

2. 已知函数 f(x)=Asin( ?x ? ? )(A>0, ? ? 0 , ? ? 象 如图所示, (1)求 A、ω 、 ? (2)求直线 y= 3 与函数 f(x)图象所有交点的坐标。

?
2

, x ? R )在一个周期内的图
y 2

-

1 2

0 1

3 2 2

-2

5 2

7 2

x

四、课堂练习练习: P49 练习 A。3、4;B。4、5 五、自主小结: 六、作业: 1. 已知函数 y ? A sin(?x ? ? ) 在一个周期内当 x= 取 得最小值-2 那么( A. y ? )

? 7? 时, 取得最大值 2, x= 当 时 12 12

1 2

sin( x ?

?
3

) )

B. y ? 2 sin( 2 x ? D. y ? 2 sin(

?
3

)

C. y ? 2 sin( 2 x ?

?
6

x 2

?

?

6

)

2。 (04′湖北) y=f(t)是某港口水的深度 y 设 (米) 关于时间 t (时) 的函数其中 t?[0, 24]下图是该港口某一天从 0 时到 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系: t y 0 12 3 15.1 6 12.1 9 9.1 12 11.9 15 14.9 18 11.9 21 8.9 24 12.1

经长期观察函数 y=f(t)的图象可近似的看成函数 y=k+Asin(ω t+ ? )的图象,在下面 的函数中最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( A. y ? 12 ? 3 sin C. y ? 12 ? 3 sin )

?
6

t t ? ?0,24 ? t t ? ?0,24 ?

B. y ? 12 ? 3 sin(

?
6

t ? ? ) t ? ?0,24 ?

?
12

D. y ? 12 ? 3 sin ?

? ? ?? t ? ? t ? ?0,24 ? 2? ?12

3.将函数 y=f(x)?sinx( x ? R )的图象向右平移 数 y=1-2sin2x 的图象则 f(x)可以是 4.已知函数 f(x)=sin(ω x+ ? ) 点 M(

? 个单位后,再作关于 x 轴对称变换得函 4

(ω >0 , 0≤ ? <π )是 R 上的偶函数其图象关于

3? 4

,0)对称且在区间 ?0,

? ?? ? 上是单调函数求 ? 和ω 的值。 ? 2?

5.如图所示,某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=Asin( ?x ? ? )+b (A>0, ? ? 0 ,0 ? ? ? ? )

(1)求这段时间的最大温差 (2)写出这段曲线的函数解析式

y 温度 (℃) 30 20 10 6 10 时间 14 x

6。 已知函数 y=Asin ?x ? ? ) ( (A>0

ω >0

? ?

?
2

) 的图象与 y 轴交于点 (0, , 1)

它在 y 轴右侧的第一个最高点和最低点的坐标分别为(x0,2)(x0+3π ,-2)求 f(x) 、 的解析式。

课题:§1.3.2 余弦函数图象和性质
编写:
—、教学目标: 1. 余弦函数的性质 2. 余弦函数的性质简单应用 学习重难点: 余弦函数的性质及简单应用 二、问题导学 1、sin(

审核: 时间

? +x)= 2

2. 正弦函数的图象及性质 3、用五点法作正弦函数的简图。 4、函数 y=cosx(x ? R)的图象可以通过将 y=sinx(x ? R)的图象向 个单位长度得到。 ( 做 1 ) 余 弦 函 数 y = cosx ( , 请画出余弦函数 y=cosx(0≤x≤2π )的图象。 x 平移

?

R











( 2 ) 在 上 述 图 象 上 有 五 个 点 起 关 键 作 用 , 这 五 个 点 是 、 、 、 、 。

6.余弦函数的性质: (1)定义域: (2)值域: ,当且仅当 x= 时,余弦函数取得最大值, 时,取得最小值。

当且仅当 x= (3)周期性: 。

( 4)奇偶性: y= cosx 是 是 , 对称轴是

,它 的图象关于

对 称,它的对称中心

。 ,单调递减区

(5)单调性:余弦函数 y=cosx 单调递增区间是 间是 。

7、一般地,函数 y=Acos(ω x+ ? ) ? R) (x ,其中 A、ω 、 ? 为常数且 A≠0,ω >0 的 周期为 三、问题探究 1、自学课本 52,53 页例 1.例 2.例 3。 。

2、 求函数 f(x)=cos( 四、课堂练习:53 页 A、B 补充: 1、函数 y=3cos( A、

1 3

x?

?
4

)的单调区间,周期,对称中心,对称轴。

2 5

x?

?
6

)的最小正周期为(

) D、5π

2 5

?

B、

5 2

?

C、2π

2、将函数 y=cosx 图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标缩小为原来的一半,再将 所得图象沿 x 轴向左平移

? 个单位长度。则与所 4


得新图象对应的函数解析式为( A、y=cos(2x+

? ) 4

B、y=cos( 2x-

? ) 4

C、y=sin2x

D、y=-sin2x

3、已知函数 y=2cosx(0≤x≤2π )的图象和直线 y=2 围成一个封闭的平面图形,那 么这个封闭图形的面积是( ) A、4 B、2π C、8 D、4π 4、已知-

m ?1 ? ? ≤x< ,cosx= ,则 m 取值范围为( m ?1 6 3
B. 3<m≤7+ 4 3 C. m>3

) D. 3<m<7+ 4 3 或 m<

A. m<-1 -1

5、函数 f(x)=4cos(2x- ? ) ? R)有下列命题: (x

5 6

①y=f(x+ ? )是偶函数

4 3

②要得到函数 g(x)=-4sin2x 的图象,只须将 f(x)的图象向右平移 ③y=f(x)的图象关于 x=-

?
12

? 个单位 3

对称

④y=f(x)在[0,2π ]内的单调递增区间是[0,

5 12

? ]和[

11 12

? , 2? ]

其中真命题的序号是
2



6、 (选作)求函数 y ? sin x ? 2 a cos x 的最大值。 五、自主小结

课题:§1.3.2 正切函数的图象与性质
编写: 审核:时间: 一、教学目标: 1、正切函数的图象与性质。. 2、会用本节知识解决简单问题。 教学重点:正切函数的图象与性质.

二、问题导学:
1、用单位圆中的三角函数线作正切曲线. 2、函数 y=tanx 的定义域是 3、由 tan(x+π )= 知 y=tanx 为 ,值域是 。 。

,最小正周期为 。 。 上单调递增。

4、y=Atan(ω x+ ? ) ,A>0,ω >0 的周期为 5、由 tan(-x)=-tanx 知 y=tanx 为 6、正切函数 y=tanx 在开区间 三、问题探究 1、自学课本 2。补充例题: 56 页 例 4. 例 5.

例 2、已知正切函数 y=Atan(ω x+ ? )(A>0,ω >0, ? ? 的两相邻点的坐标为( 为 。

?
2

)的图象与 x 轴相交

5 ? ,0)和( ? ,0 ) ,且过(0,-3) ,则它的表达式 6 6

例 3、已知函数 f(x)=x2+2xtanθ -1,x ? [-1, 3 ] ,其中θ ? (- ①当θ =-

? ?

? 时,求函数 f(x)的最大值与最小值。 6

。 , ) 2 2

②求θ 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-1, 3 ]上是单调函数。

四、课堂练习:56、57 页 A、B 五、自主小结:
课后作业: 1、函数 y=2tan( 3 x ? A.

?

)的最小正周期是( C.



? 6

B.

4 ? 3


? 2

D. ?

2 3

2、若 tanx≤0,则( A. 2 k? ? C. k? ?

?
2

<x<2kπ ,k? Z

B. 2 k? ?

?
2

≤x<(2k+1)π ,k? Z

?
2

<x≤kπ ,k ? Z

D. k? ? )

?
2

≤x≤kπ ,k? Z

3、函数 y ? tan( A. ? x x ?

?
4

? x ) 的定义域是(

?

?

? ? ? ? C. ? x x ? k? ? , k ? Z , x ? R ? 4 ? ?
4、函数 f(x)=lg(tanx+ 1 ? tan x )为(
2

? , x ? R? 4 ?

? , x ? R? 4 ? ? 3 ? ? D. ? x x ? k? ? ? , k ? Z , x ? R ? 4 ? ?
B. ? x x ? ? ) D.既不是奇函数也不

?

?

A.奇函数 是偶函数

B.偶函数 C.既是奇函数也是偶函数

5、下列各式正确的是( A.tan(- C.tan(- 6、函数 y ?



13 4 13 4

? )<tan(- ? )=tan(-
1

17 5 17 5

?) ?)

B.tan(-

13 4

? )>tan(-

17 5

?)

D.大小关系不确定 。

1 ? tan x

的定义域是

7、给出下列命题: ①函数 y=tanx 在定义域内是增函数 ③函数 y ? c o s x ? 2 ②函数 y=sin x 不是周期函数; ④y=sin( 。

1 2

的周期是

? ; 2

5? 2

? x )是偶函数。

其中正确的命题的序号是

? 8、求函数 y=tan(2x- )的定义域、周期和单调区间 3

课题:1.3.3 已知三角函数值求角
编写: 审核:时间: 一、教学目标: 1、复习巩固三角函数知识。

2、会用三角函数知识解题。 教学重难点:具体应用。 二、问题导学: 1、诱导公式: 2k? ? ? ( k ? z ), ? ? ? , ? ? ? ,2? ? ? 2、求下列三角函数值

sin

?
6

?

, ? sin

cos cos

?
6

=

, cos ? =
4

4

?

, ? sin

3

?



?
3

=
tan

?
6

?

, ? tan

4

?

,tan ?

3、一般地,对于正弦函数 y ? sin x ,如果已知函数值 y ( y ? [ ?1,1]) ,那么在 [ ? 上有唯一的 x 值和它对应, 记为 示 [?

? ?

3

?

, ] 2 2
)表



)即



? ?

, ] 上正弦等于 y 的那个角。 2 2

4、一般地,对于余弦函数 y ? cos x ,在区间 [ 0, ? ] 内取值,那么对区间 [?1,1] 上的

任意一个值 y, x 只有唯一值与之对应,在区间 [0, ? ]
上符合条件 cos x ? y ( ?1 ? y ? 1) 的角 x ,记为 5、一般地,如果 tan x ? y ( y ? R ) ,且 x ? ( ? 区间 ( ? 。

? ?

? ?

, ) ,那么对每一个正切值 y,在开 2 2

, ) 内,有且只有一个角 x ,使 tan x ? y , 2 2 符合上述条件的角 x ,记为





三、问题探究 1、已知正弦值,求角: 自学 P58,例 1 变式: (1)已知 sin x ?

1 3

,且 x ? [ ?

? ?

, ] ,求 x 的集合。 2 2

(2)已知 sin x ? ?

1 4

,且 x ? [0,2? ] ,求 x 的集合。

2、已知余弦值和正切值,求角:P59—60,例 2、例 3 变式: (1)已知 cos x ? ?

1 3

,且 x ? R ,求 x 的集合;

(2)已知 tan x ?

1 2

,且 x ? ( k? ?

?
2

, k? ?

?
2

) k ? z ,求 x 的集合。

3、思考:已知三角函数值,求角的步骤。

四、课题练习:60、61A、B 五、自主小结 课外作业 1、已知 sin x ? ? A、 arcsin

1 3

,且 x ? ( ?? ,?

?
2

) ,则 x 可以表示为(
B、 ?



1 3 1 3

C、 ? ? ? arcsin( ? )

1 ? arcsin( ? ) 2 3 1 D、 ? ? ? arcsin( ? ) 3


?

2、已知 cos ? ? ? , ? ? [0, ? ] ,则 ? 可表示为(

1

3

A、 arccos

1 3

B、 ? ? arccos

1 3

C、 ? ? arccos

1 3

D



? ? arccos(? )
3
3、设 A 是三角形的一个内角,当 tan A ? A、60° B、120°

1

3 3

时,A 等于( C、30°

) D、150°

4、 arcsin( ? ) 的值是(

1



2

A、

11 6

?

B、 ?

7

6

C、 ?

5

6

D、 ? 。

?
6

5、若 ? ? ( 0,2? ), tan ? ? ? 1, cos ? ? 6、求下列各式的值 (1) arccos(?

2 2

,则 ? =

3 2

)

(2) arctan(?1)

(3) arcsin( ?

2 2

)

7、求下列各式中的 x (1) sin x ?

3 ? ( < x <? ) 5 2

(2) sin x ? ?

1

3 (? < x < ? ) 4 2

8、 (选做)已知 tan ? ? ?2 ,若分别满足: (1) ? ? ( ? 各个角 ? 。

? ?

(2) ? ? [0,2? ] ,求 , ); 2 2

三角函数练习(一)
编写: 审核:时间: 一、教学目标:

检查学生知识掌握情况
二、检测内容: 一) 、选择题
1、要得到函数 y ? sin( 2 x ?

?
3

) 的图象,只需将 y ? sin 2 x 的图象(



? 3 ? C、向左平移 6
A、向左平移 2、函数 y ? sin( x ? A、关于 x 轴对称 C、关于原点对称

?
2

? 3 ? D、向右平移 6
B、向右平移 )

) 的图象对称性是(

B、关于 y 轴对称 D、关于直线 y ? ? ) B、 [ 2k? ? ? , 2k? ] ( k ? Z ) D、 [ 2 k? ?

?
2

对称

3、函数 y ? ? sin x 的单调递减区间是( A、 [ 2k? , 2k? ? ? ] ( k ? Z ) C、 [ 2 k? ? 4、函数 y ? A、[-3,3] 5、函数 y ? sin( 2 x ? 到( ) A、横坐标压缩到原来的 C、横坐标压缩到原来的

?
2

, 2 k? ?

3? 2 1

] (k ? Z )

?
2


, 2 k? ?

?
2

] (k ? Z )

9 ? x2 ?

的定义域为(

sin x B、 ( 0, 3]

C、 [ ?3, 0) ? (0, 3]

D、[0,3]

?
3

) 的图象可由函数 y ? sin( x ? 1 2 1

?
3

) 的图象经过怎样的变换而得



B、横坐标扩大到原来的 2 倍

倍后,再向右平行移动

2 ? D、向右平移 个单位 6 6、若函数 f ( x ) ? sin(?x ? ? ) 的图象(部分)如图所示,则 ? 和 ? 的取值是( ? A、 ? ? 1, ? ? 3 ? B、 ? ? 1, ? ? ? 3

? 个单位 3



C、 ? ? D、 ? ?

1 2 1 2

, ??

?
6

, ???

?
6

7、函数 y ? 3 cos(2 x ? A、 2 k? ? C、 k? ?

?
3

) ? 1 取得最大值时,x 的值应为(
B、 k? ?



?
3

, k?Z

?
6

, k?Z

?
3

, k?Z 5? 2

D、 k? ?

?
6

, k?Z


8、函数 y ? sin( A、 x ?

? 2 x ) 的图象的一条对称轴方程是(
B、 x ? ?

5? 4

?
4

C、 x ? ?

?
8

D、 x ? ?

?
2

9、定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数,又是周期函数。若 f(x)的最小正周期是 ? ,且 当 x ? [ 0, A、 ?

?

2

] 时, f ( x ) ? sin x, 则 f (
B、

5? 3

) 的值为(
C、 ?



1 2

1 2

3 2

D、

3 2

10、有下列四种变换方式:

1 1 ? ? ,再将横坐标变为原来的 ;②横坐标变为原来的 ,再向左平移 2 2 4 8 1 ? ③横坐标变为原来的 ,再向左平移 ; 2 4 1 ? ④向左平移 ,再将横坐标变为原来的 ; 2 8 ? 其中能将正弦曲线 y ? sin x 的图象变为 y ? sin( 2 x ? ) 的图象是( ) 4
①向左平移 A、①和② 二) 、填空题 B、①和③ C、②和③ D、②和④ . 。

11、函数 y ? cos( 3 x ? ? ) 的图象关于原点成中心对称图形,则 ? = 12、函数 y ? 2 sin(

?
3

? x ) ? cos(

?
6

? x )( x ? R ) 的最小值等于

13、已知函数 y=f(x),将 f(x)图象上的每一点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的 2 倍,然后把所得的图象沿着 x 轴向左平移 这样得到的图象与 y ? 是 。 14、已知扇形的周长是 6cm,面积是 2cm2,则扇形的圆心角 ? 的弧度数是 。

? 个单位, 2

1 2

sin x 的 图 象 相 同 , 那 么 已 知 函 数 f(x) 的 解 析 式

15、在半径为 30m 的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆锥形, 且其轴截面顶角为 120?,若要光源恰好照亮整个广场,

则其高应为 三) 、解答题

m.(精确到 0.1m)

16、已知函数 f ( x ) ? 2 sin( 的值。

k 3

x?

?

2 3 ) ,如果 f(x)的周期在区间 ( , ) 内,求正整数 k 4 3 4

17、函数 f ( x ) ?

3 sin( 2 x ? ? ) 对任意 x 都有 f (

?
3

? x) ? f (

?
3

? x) 。

(1)求 f ( ) 的值; (2)求 ? 的最小正值。

?

3

18、如图所示,它表示电流 I ? A sin(?t ? ? ) 在一个周期内的图象。 (1)试根据图象写出 I ? A sin(?t ? ? ) 的解析式; (2)在任意一段

3 100

秒的时间内,电流 I 既能取得最大|A|,又能取得最小值-|A|吗?

19、方程 2 sin x ? ( 2 a ? 3) sin x ? ( 4 a ? 2) ? 0 有实根,求实数 a 的取值范围。
2

20、 (1)已知周期函数 f(x)为奇函数,且它的一个周期为 3, f(0.4)=-1,求 f(11.6)的值; (2)若 f ( x ) ? ? sin x ? a cos x 的最小值为-6,求 a 的值。
2

三角函数练习(二)
编写: 审核:时间: 一、教学目标:

检查学生知识掌握情况
二、检测内容: 一) 、选择题
1、在△ABC 中,① sin( A ? B ) ? sin C ; ② cos(B ? C ) ? cos A; ③ tan ④ sin

A? B 2

tan

C 2



B?C 2

tan

A 2

,其中恒为定值的是( B、②③

) C、②④ ) D、③④

A、①②
2

2、函数 y ? log 1 sin( 2 x ? A、 ( k? ? C、 ( k? ?

?
4

) 的单调减区间为(
B、 ( k? ? D、 ( k? ?

?

, k? ? ]( k ? Z ) 8 8 8 8 2 sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) 35 3、设角 ? ? ? 的值等于( ?, 则 6 1 ? sin 2 ? ? sin(? ? ? ) ? cos 2 (? ? ? ) ]( k ? Z )
A、

4 3?

, k? )( k ? Z )
, k? ?

?
?
8

, k? ?

?
8 3?

)( k ? Z )

?



3 3

B、 ?

3 3

C、 3

D、 ?

3


4、 已知函数 f ( x ) ? sin( x ?

?
2

), g ( x ) ? cos(x ?

?
2

则下列结论中正确的是 ( ),

? 个单位后得到 g(x)的图象 2 ? B、将函数 y ? f (x ) 的图象向下平移 个单位后得到 g(x)的图象 2 ? C、将函数 y ? f (x ) 的图象向左平移 个单位后得到 g(x)的图象 2 ? D、将函数 y ? f (x ) 的图象向右平移 个单位后得到 g(x)的图象 2 ? 5、下列函数中,最小正周期为 ? ,且图象关于直线 x ? 对称的是( 3 ? ? A、 y ? sin( 2 x ? ) B、 y ? sin( 2 x ? ) 3 6
A、将函数 y ? f (x ) 的图象向上平移



6 2 6、函数 y ? cos x ? sin x 的值域是(
A、[-1,1] B、 (?? ,

C、 y ? sin(2 x ?

?

)

D、 y ? sin( )

x 2

?

?
3

)

5 4

]

C、[0,2]

D、 [?1,

5 4

]

7、已知 y ? cos x (0 ? x ? 2? ) 的图象和直线 y=1 围成一个封闭的平面图形,该图形的 面积是( ) A、4π B、2π C、8 D、4 8、 ? 是正实数,函数 f ( x ) ? 2 sin ?x 在 [ ? A、 0 ? ? ? C、 0 ? ? ?

?
3

,

?
4

] 上递增,那么(



3 2 12

B、 0 ? ? ? 2

D、 ? ? 2 7 9、若方程 | cos x |? ax ? 1 恰有两个解,则实数 a 的取值集合为( 2 2 2 2 2 2 A、 ( ? , ? B、 ( ? , 0) ? (0, )?( , ) ) ? 3? 3? ? ? ? 2 2 2 2 C、 [ ? , D、 {? , ] }



10、定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数,若 f(x)的最小正周期是 ? ,且当

?

?

?

?

x ? [ 0,

?

2

] 时, f ( x) ? sin x, 则 f (
1 2

5? 3

) 的值为(
3

) C、 ?

A、 ?

B、

3 2


2

D、

1 2

11、已知 sin ? ? cos ? ? ? A、 ?

1 5

,则 sin ? cos ? =(

12 25

B、

12 25
n n

C、

4 25

D、

?3 25

12、若 sin x ? cos x ? 1 ,则 sin x ? cos x ( n ? N ) 的值为( A、1 B、-1 C、1 或-1 二) 、填空题 13、函数 f ( x ) ? tan ?x (? ? 0) 的图象的相邻两支截直线 y ?

) D、不能确定

?
8

所得线段长为

14、若函数 f(x)是偶函数,且当 x<0 时,有 f ( x ) ? cos 3 x ? sin 2 x ,则当 x>0 时,f(x) 的表达式为 。 15、已知 f ( n ) ? cos 16、给出下列命题: ①存在实数 x,使 2 sin( x ?

f ( ) 的值是 8

?

? ,则 8



n? 4

( n ? N ? ) ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ... f (100 ) =

.

?
4

)?

?
3



②若 ? , ? 是锐角△ABC 的内角,则 sin ? ? cos ? ;

③函数 y ? sin( x ?

2 3

7? 2

) 是偶函数;

④函数 y=sin2x 的图象向右平移 三) 、解答题: 17、 tan ? ? (1) (3)

? ? 个单位,得到 y ? sin( 2 x ? ) 的图象。 4 4

1 4

求下列各值 (2) 2 sin 2 ? ?

4 sin ? ? cos ? 5 cos ? ? 3 sin ? 1 1 ? sin ? cos ?

3 2

sin ? cos ? ? 5 cos 2 ?

18、若

1 ? cos x 1 ? cos x

?

1 ? cos x 1 ? cos x

??

2 tan x

,求角 x 的取值范围。

19、已知函数 f ( x ) ?

3 sin( 2 x ?

?
4

) ? 1 试求:自变量 x 取何值时 f(x)取最值。

20、已知函数 f ( x ) ? A sin(?x ? ? )( x ? R , A, ? ? 0, ? 高点为 P ( 2,

?
2

?? ?

?
2

) 图象上的一个最

2 ) ,由这个最高点到相邻最低点的曲线 与 x 轴相交于 Q(6,0) 。求函数 f(x)的解析式及 f ( x ) ? 1 的解集。


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