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河北省冀州中学2016届高三数学上学期一轮复习检测试题一 文


一轮检测(一)数学试卷(文科)
一、选择题(本大题有 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题都有四个选项,其中有且只有一 个选项是正确的) 1.已知全集 M={﹣2,﹣1,0,1,2},N={x| <2
x+1

<8,x∈R},则 M∩N=(

)

A.{﹣1,0,1} B.{﹣2,﹣1,0,1,2} C.{0,1} D.{﹣1,0} 2.已知复数 z=1﹣i,则 =( )

A.2i B.﹣2i C.2 D.﹣2 3.某程序框图如图所示,现输入如下四个函数,则可以 输出 的函数是( ) C.f(x)=e
x

A.f(x)=x2 B.f(x)=

D.f(x)=sinx

4.设原命题:若 a+b≥2,则 a,b 中至少有一个不小于 1,则 原命题与其逆命题的真假情况是( A.原命题真,逆命题假 C.原命题与逆命题均为真命题 ) B.原命题假,逆命题真 D.原命题与逆命题均为假命题
7

5.公差不为零的等差数列{an}中,2a3﹣a72+2a11=0,数列{bn}是等比数列,且 b 则 b6 b8=( ) A.2 B.4 C.8 6 .函数 y=tan( =( ) x﹣ A.6

= a

7

D.16 )的部分图象如图所示,则( B.4 C.﹣4 D.﹣6 + )

7.已知 A 船在灯塔 C 北偏东 85°且 A 到 C 的距离为 2km,B 船在灯塔 C 西偏北 25°且 B 到 C 的距离为 A. km ,则 A,B 两船的距离为( B. km C. ) km D. km )

8.已知 a>0,直线 a2x+y+2=0 与直线 bx﹣(a2+1)y﹣1=0 互相垂直,则 ab 的最小值为( A.4 B.3 C.2 D.1

9.下列四个结论正确的是( ) A.若 n 组数据 ? x1 , y1 ?, ? ? x n , y n ? 的散点都在 y ? ?2 x ? 1 上,则相关系数 r ? ?1
1

B.回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 C.已知点 A(-l,0) ,B(l,0) ,若|PA|+|PB|=2,则动点 P 的轨迹为椭圆 D.设回归直线方程为 y ? 2 ? 2.5 x ,当变量 x 增加一个单位时, y 平均增加 2.5 个单位 10. 已知函数 f (x) = A.5 B.6 C.7 , 则方程 f (x) ﹣f (x) =0 的不相等的实根个数( D.8
2

?

?

)

11.已知 F 为椭圆

=1(a>b>0)的一个焦点,A1、A2 为椭圆长轴的两个端点,P 为椭圆上任 )

一点,分别以 PF、A1A2 为直径作圆,则两圆的位置关系为( A.相交 B.相切 C.相离 D.内含
2

12.已知函数 f(x)=

,函数 g(x)=x ﹣x+1,则函数 h( x)=g(x)﹣f(x)

有两个零点的充要条件为(

) A.a≤0

B.a≥0

C. a≤1

D.a≥1

二、填空题(本大题有 4 小题,每小题 5 分 ,共 20 分) 13.曲线 y=2x+sinx 在点(π ,2π )处的切线斜率为__________.

14. 在约束条件

下, 当 2≤t≤4 时, 则函数 z=3x+2y

的最大值的范围是__________. 15.图 2 中实线围成的部分是长方体(图 1)的平面展开图, 其中四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形.若向虚线围成的矩 形内任 意抛掷一质点, 它落在长方体的平面展开图内的概率 是 ,则此长方体的体积是__________.

16.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a3 ? 3 , S4 ? 10 ,则 a6 的最大值为 三、解答题: (本大题共有 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

.

17. (本小题满分 12 分)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A、B、C 的对边, m =(b,2a﹣c) , (cosB,cosC) ,且 m ∥ (1)求角 B 的大小;

=

2

(2)设 f(x)=cos(ω x﹣ 间[0,

? ]上的最大值和最小值. 2

B )+sinω x(ω >0) ,且 f(x)的最小正周期为 π ,求 f(x)在区 2

18. (本小题满分 12 分)如图 1 所示,在边长为 12 的正 方形 AA′A′1A1 中,BB1∥CC1∥AA1,且 AB=3,BC=4,AA1′ 分别交 BB1,CC1 于点 P,Q,将该正方形沿 BB1、CC1 折叠, 使得 A′A1′与 AA1 重合,构成如图 2 所示的三棱柱 ABC﹣ A1B1C1 中 (Ⅰ)求证:AB⊥PQ; (Ⅱ)在底边 AC 上是否存在一点 M,满足 BM∥平面 APQ, 若存在试确定点 M 的位置,若不存在请说明理由

19. (本小题满分 12 分)为了了解某年段 1000 名学生的百米成绩情 况,随机抽取了若干学生的百米成绩,成绩全部介于 13 秒与 18 秒 之间,将成绩按如下方式分成五组:第一组[13,14) ;第二组[14, 15) ;…;第五组[17,18].按上述分组方法得到的频率分布直方图 如图所示,已知图中从左到右的前 3 个组的频率之比为 3:8:19, 且第二组的频数为 8. (Ⅰ)将频率当作概率,请估计该年段学生中百米成绩在[16,17) 内的人数; (Ⅱ)求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩; (Ⅲ)若从第一、五组中随机取出两个成绩,求这两个成绩的差的绝对值大于 1 秒的概率.

x2 y2 3 2 20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 2 + 2 =1(a>b>0)的离心率为 ,且过点( 2 , ). a b 2 2
(1)求椭圆方程; (2)设不过原点 O 的直线 l : y ? kx ? m (k ? 0) ,与该椭圆交于 P 、 Q 两点,直线 OP 、 OQ 的

3

斜率依次为 k1 、 k2 ,满足 4k ? k1 ? k2 ,试问:当 k 变化时, m 2 是否为定值?若是,求出此定值, 并证明你的结论;若不是,请说明理由.

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=

+cx+d(a,c,d∈R)满足

f(0)=0,f ′(1)=0,且 f ′(x)≥ 0 在 R 上恒成立. (1)求 a,c,d 的值; (2)若 ,解不等式 f ′(x)+ h(x)<0;

(3)是否存在实数 m,使函数 g(x)= f′(x)﹣mx 在区间[m,m+2]上有最小值﹣5?若存在, 请求出实数 m 的值;若不存在 ,请说明理由.

22. (本小题满分 10 分)在平面直角坐标系中,以原点为极点, x 轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1 的方程为 ?

? ? x ? 2 cos ? ( ? 为参数) ,曲线 C2 的极坐标方程为 C2 : ? cos? ? ? sin ? ? 1 ,若曲线 C1 y ? sin ? ? ?

与 C2 相交于 A 、 B 两点. (1)求 | AB | 的值; (2)求点 M (?1, 2) 到 A 、 B 两点的距离之积.

4

一轮检测(一)数学试卷(文科)答案 一、选择题 A.B.D.A D 二、填空题 13. 1. 三、解答题: 17.解: (1)由 m m ∥ n ,得 bcosC=(2a﹣c)cosB,∴bcosC+ccosB=2acosB. 由正弦定理,得 sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB, ∴sin(B+C)=2sinAcosB.……..2 分 又 B+C=π ﹣A,∴sinA=2sinAcosB.又 sinA≠0,∴ 又 B∈(0,π ) ,∴ (2) 由已知 当 因此,当 当 ,
2

A.D.C.A C. B.A.

14.[6,8]. 15.3. 16.6

.……4 分

.………6 分

,∴ω =2.

……….8 分 ….10 分 时, ;……11 分 ……..12 分
2 2

18.解: (Ⅰ)证明:因为 AB=3,BC=4,所以 AC=5,从而 AC =AB +BC , 即 AB⊥BC.又因为 AB⊥BB1,而 BC∩BB1=B,所以 AB⊥平面 BC1, 又 PQ? 平面 BC1 所以 AB⊥PQ …………6 分 (Ⅱ)在底边 AC 上存在一点 M,使得 AM:MC=3:4,满足 BM∥平面 APQ, 证明:过 M 作 MN∥CQ 交 AQ 于 N,连接 PN, ∵AM:MC=3:4,∴AM:AC=MN:CQ=3:7 ∴MN=PB=3,∵PB∥CQ,∴MN∥PB,∴四边形 PBMN 为平行四边形, ∴BM∥PN,∴BM∥平面 APQ,∴BM∥平面 APQ,此时有 = .…..12 分

19.解: (Ⅰ)百米成绩在[16,17)内的频率为 0.32×1=0.32, 则共有 1000×0.32=320 人;… ……4 分 (Ⅱ)设图中从左到右前 3 个组的频率分别为 3x,8x,19x 依题意,得 3x+8x+19x+0.32+0.08=1,∴x=0.02 设调查中随机抽取了 n 个学生的百米成绩, ∴n=50∴调查中随机抽取了 50 个学生的百 米成绩.……8 分 (Ⅲ)百米成绩在第一组的学生数有 3×0.02×1×50=3,记他们的成绩为 a,b,c 百米成绩在第五组的学生数有 0.08×1×50=4,记他们的成绩为 m,n,p,q. 则从第一、五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有 {a,b},{a,c},{a,m},{a,n},{a,p},{a,q},{b,c}, {b,m},{b,n},{b,p},{b,q},{c,m},{c,n},{c,p},

5

{c,q},{m,n},{m,p},{m,q},{n,p},{n,q},{p,q},共 21 个 其中满足成绩的差的绝对值大于 1 秒所包含的基本事件有 {a,m},{a,n},{a,p},{a,q},{b,m},{b,n},{b,p}, {b,q},{c,m},{c,n},{c,p},{c,q},共 12 个, ∴P= ………….12 分

2 ? ? 2? 2 ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? a 2 ? b2 ? 1 ? 20.解: (1)依题意可得 ? c , 解得 a ? 2, b ? 1. 3 ? ? 2 ?a ? ? 2 2 2 ?a ? b ? c

? ?

x2 所以椭圆 C 的方程是 ? y 2 ? 1. 4
(2)当 k 变化时, m 2 为定值,证明如下:

…………..4 分



? y ? kx ? m ? 2 ?x 2 ? ? y ?1 ?4





?1 ? 4k ? x
2

2

2 ? 8kmx? 4( m ? 1) ? 0

.

4 ? m 2 ? 1? 8km 设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) . 则 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? , ????? ?*? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
? 直线 OP、OQ 的斜率依次为 k1 , k2 ,且 4k ? k1 ? k2 , ? 4k ?

…………..8 分

y1 y2 kx1 ? m kx2 ? m ,得 2kx1 x2 ? m ? x1 ? x2 ? , ? ? ? x1 x2 x1 x2
1 ,经检验满足 ? ? 0 . 2
x+c 及 f'(1)=0,有 恒 成立 是二次函数 …………..12 分

将 ?*? 代入得: m 2 ?

21.解: (1)∵f(0)=0,∴d=0 ∴

∵f'(x)≥0 在 R 上恒成立,即

显然 a=0 时,上式不能恒成立∴a≠0,函数 f'(x)=a

由于对一切 x∈R,都有 f'(x)≥0,于是由二次函数的性质可得

6



,即

,解得:a= ,

.……4 分

(2)∵

.∴



∴由 f '(x)+h(x)<0,即 即 当 (3)∵ ∴ 该函数图象开口向上,且对称轴为 x=2m+1. 假设存在实数 m 使函数 有最小值﹣5. ①当 m<﹣1 时,2m+1<m,函数 g(x)在区间[m,m+2]上是递增的. ∴g(m)=﹣5,即 解得 .∵ ,∴ 舍去 . 区间[m.m+2]上 <0,即 时,解集为( ,b) ,当 b< ,∴f'(x)= . 时,解集为(b, ) ,当 b= 时,解集为 ? .….8 分

②当﹣1≤m<1 时,m≤2m+1<m+2,函数 g(x)在区间[m,2m+1]上是递减的, 而在区间[2m+1,m+2]上是递增的,∴g(2m+1)=﹣5. 即 解得 或 m=﹣ ,均应舍去

③当 m≥1 时,2m+1≥m+2,函数 g(x)在区间[m,m+2]上递减的∴g(m+2)=﹣5 即 .

解得 或 m=﹣1+2 .其中 m=﹣1﹣2 应舍去. 综上可得,当 m=﹣3 或 m=﹣1+2 时,函数 g(x)= f '(x)﹣ mx 在区间[m,m+2]上有最小值﹣ 5.……..12 分 22. 解(1) 曲线 C1 的普通方程为

x2 ? y 2 ? 1, C2 : ? cos? ? ? sin ? ? 1 , 2

? ? x ? ?1 ? ? 则 C2 的普通方程为 x ? y ? 1 ? 0 ,则 C2 的参数方程为: ? ? y ? 2? ? ?

2 t 2 ? t为参数 ? 2 t 2

2分

7

代入 C1 得 3t ? 10 2t ? 14 ? 0 , AB ? t1 ? t2 ?
2

(t1 ? t2 )2 ? 4t1t2 ?

4 2 . 3

6分

(2) MA MB ? t1t2 ?

14 . 3

10 分

8


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