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2015年哈师大附中第三次模拟考试理科科数学答案


三校联考三模理科数学答案 2015.5
一.选择题:BADAC 二.填空题: 13. ABAAC BA

x乙 ?

97 ? 98 ? 99 ? 100 ? 101 ? 102 ? 103 ? 100 7

s甲 ?
0.35
14. 2 15. 0.882 16.

2

(?8,8 )

s乙

2

4 ? 4 ? 1 ? 1 ? 1 ? 4 ? 9 24 ? 7 7 9 ? 4 ? 1 ? 0 ? 1 ? 4 ? 9 28 ? ? 7 7

??10 分

三.解答题: 17.解: (1) 由已知: f ( x) ? 2 sin(? x ? ? ? 依题意:

?
6

由上面样本的数字特征可知:在平均值相等的情况下,甲的包装比乙的包装质量更稳定. ??12 分 19. (1)证明:在 ?ABC 中: AC ? BC 且 D 为 AB 中点,故 AB ? CD

)

?? 2 分

? A1C ? 平面 ABC

? A1C ? AB
? AB ? 平面 A1CD

2?

?

? 2 ?? ? ?

s i n? (?
?? 4 分

?
6

) ? ?1

且0 ? ? ?

?
2

?? ?

?
3

又? A1C ? DC ? C

故: f ( x) ? 2 cos(? x) 由 2k? ? ? ? ?x ? 2k?

? AB ? 平面 A1 AB

? 平面 A1CD ? 平面 A1 AB

?? 6 分

(k ? z) 得 f ( x) 的增区间 [2k ? 1,2k ] k ? z
??8 分

?? 6 分

(2)解:以 D 为原点,如图建立空间直角坐标系

1 ? ?A? (2)由 f ( ) ? 1 得 cos A ? ? 2 3 A
由余弦定理得: 49 ? 64 ? c ? 2 ? 8c ? cos
2

0 则: A ? 3, 0,

?

?

?
3

解得: c ? 5 或 c ? 3

A1 ? 0, 1 , 2 ?
??10 分

? 3,0,0? B ? 2 3, 1, 2?
B
1

C ? 0, 1 , 0 ?
C1

Z

?

3, 2 , 2

?

C1 A1 B1 Y

因为 ?ABC 为锐角三角形,所以: c ? 5 18 解: (1)这种抽样方法是系统抽样. (2)茎叶图如下: 甲 9988 123 9 10 乙 789 0123

??12 分

设 n ? ? x, y, z ? 为平面 A1 BC 的法向量

n? A ? 1 B?? ,x ,y ? z
?? 3 分

?

3 , ? 1 ,? 2 ?

?

3 x ? y ? 2z ? 0
A D

C B

n? A , ? 2 ? ? 2z ? 0 ?? 0 , 0 ? 1 C ?? ,x ,y ? z
取 x ? 3, y ? 3, z ? 0 ,故 n ?

X

?

3,3, 0

?

设 m ? ? x, y, z ? 为平面 C1BC 法向量

m ? C1 B ? ? 0, ?2, ?2 ? ? ? x, y , z ? ? ?2 y ? 2 z ? 0
?? 6 分

m ? C1C ? ? 3, ?1, ?2 ? ? x, y, z ? ? ? 3x ? y ? 2 z ? 0
取 y ? 3, z ? ? 3, x ? 1 .故 m ? 1, 3, ? 3

?

?

(3)由茎叶图可得:

98 ? 2 ? 99 ? 2 ? 101 ? 102 ? 103 x甲 ? ? 100 7

?

?

2 7 ? cos ? m, n ?? ? 7 3 ? 9 ? 1? 3 ? 3
故二面角 A1 ? BC ? C1 的余弦值为

4 3

21.解: (1) a ? 1 (2)由已知: f ( x) ? 2ax ?
/

?? 4 分

2 2ax2 ? 4ax ? 2 ? ( x ? 2) x?2 x?2

2 7 7

??12 分

当 0 ? a ? 1 时: ? ? 16a 2 ?16a ? 16a(a ?1) ? 0

x2 y2 20.解: (1)由已知:椭圆: 2 ? 2 ? 1 a b

(a ? b ? 0)

F (c,0), 直线 AB : y ? x ? c
?? 2 分

? f / ( x) ? 0 对 x ? (??,2 ) 成立,即: f ( x) 在 (??,2 ) 上递减.
又 f (1) ? 0 , f (2 ? e?2a ) ? a(2 ? e?2a )2 ? 2 ln e?2a ? 4a ? 4a ? 0 所以:此时 f ( x) ? 0 有且只有一根. 当 a ? 1 时:由 f '( x) ?

?? 6 分

?y ? x ? c ? 2 2 2 2 2 2 2 由 ? x2 y 2 得: (a ? b ) x ? 2a cx ? a (c ? b ) ? 0 ? 2 ? 2 ?1 b ?a
2a 2 c 设 A( x1 , y1 ) B( x2 , y2 ) ,则: x1 ? x2 ? 2 a ? b2 y1 ? y2 ? x1 ? x2 ? 2c ? ? 2b 2c a 2 ? b2
? a 2 ? 2b 2
2

??8 分

a 2 (c 2 ? b 2 ) , x1 x2 ? a 2 ? b2
?? 4 分

a ?1 2a( x ? 1)2 ? 2(a ? 1) ? 0 得: ( x ? 1) 2 ? a x?2

解得: 0 ? x1 ? 1 ? 列表如下:

a ?1 a ?1 ? 2 , x2 ? 1 ? ?2 a a

x
解得: e ?
2 2

依题意: 2( y1 ? y2 ) ? (?1)(x1 ? x2 ) (2)由(1)知: a ? 2b ? 2c
2 2 2

2 2

(??,1 ?
?? 6 分

a ?1 a ?1 a ?1 a ?1 a ?1 ) 1? (1 ? ,1 ? ) 1? a a a a a
0 极小值 + 0 极大值

(1 ?

a ?1 , 2) a


故椭圆方程为: x ? 2 y ? 2c

f '( x )
f ( x)



x0 ? 2 y0 ? 2c 2 [1] x1 ? 2 y1 ? 2c 2 [2]
设 M ( x0 , y0 ) 则: x2 ? 2 y2 ? 2c 2
2 2 2 2

2

2

[3] [4] [5]
2 2

??8 分

当: x ? 1 ?

x0 ? x1 ? ?x2 y0 ? y1 ? ?y2
2 2

a ?1 a ?1 2 a ?1 时: f ( x) ? a(1 ? ) ? 2ln(1 ? )?0 a a a

(a ? 1 )

所以: x ? (??,1 ?

由 [1][2][3][4][5] 得: 2c ? ? ? 2c ? 2? ( x1 x2 ? 2 y1 y2 ) ? 2c 又: x1 x2 ? 0 , y1 y2 ? ( x1 ? c)(x2 ? c) ? ? 解得: ? ?

??10 分

a ?1 a ?1 ] 时, f ( x) ? 0 即: f ( x) ? 0 在 (??,1 ? ] 内无解; a a

c 3

2

令 2 ? x0 ? e?2a ,则 x0 ? 2 ? e?2a ? 2

??0
所以: f ( x0 ) ? ax0 ? 2ln e
2 ?2a

2 3

? 4a ? 4a ? 0 ,故 x0 ? (1 ?

??12 分

a ?1 , 2) a

又因为: f ( x) 在 [1 ?

a ?1 a ?1 , 2) 上是减函数,所以: f ( x) ? 0 在 [1 ? , 2) 内必有一根。 a a
??12 分

24. 解: (1)当 a ? 2 时: f ( x) ? x ? 2 ? 2x ? 2 ? ?4 等价于

综上所述: f ( x) ? 0 有且只有一根。 22.证明:(Ⅰ)连结 OC、OM、DN 因为 PC 与圆相切 所以 PC ? PM ? PN ?? ①
2

? x ? ?2 ?? 2 ? x ? 1 ? x ? 1 或? 或? ? ? x ? 4 ? ?4 ?3x ? ?4 ?? x ? 4 ? ?4
解得: ? (2)当 ? 2 ?

??3 分

4 ? x?8 3

故不等式的解集为 ? ? , 8?

? 4 ? 3

??5 分



?OCP ? 90?

又因为 ?CDP ? 90 所以

?

?CPO ? ?DPC
?? 2 分

a 即: a ? ?4 时: 2

PD PC 2 ? 所以 PC ? PD ? PO?? ② PC PO PN PD ? 由①、②得 PM ? PN ? PD ? PO 即 因为 ?OPM ? ?NPD PO PM 所以 ?OPM ? ?NPD 所以 ?NDP ? ?OMP ?NDP ? ?NDO ? ? 所以 ?OMP ? ?NDO ? ? ??5 分 所以 M、N、D、O 四点共圆
所以 ?CPD ? ?OPC (Ⅱ) 连结 MD、ON 因为 M、N、D、O 四点共圆 所以 ?MNO ? ?MDO 因为 OM ? ON 所以 ?MNO ? ?NMO 所以 ?MDO ? ?NMO 又因为 ?NDP ? ?NMO 所以 ?MDO ? ?NDP 又因为 ?MDO ? ?CDM ? 所以 ?MDC ? ?NDC

? ? x ? a ? 2, x ? ?2 ? a ? f ?x ? ? ?3x ? 2 ? a, ?2? x? 2 ? a ? ? x ? a ? 2, x ? ? 2 ?
a? ? ?a ? ? f ?x ? 在 ? ? ?, ? 上递增,在 ? ,?? ? 上递减 2? ? ?2 ?

??8 分

依题意: f ? 当? 2 ?

?
2

, ?NDP ? ?CDN ?

?
2
??10 分
2

?a? a ? ? ? 2 ? 4 解得: ? 4 ? a ? 4 ?2? 2

?? 7 分 ??8 分

23. 解 : ( 1 ) 直 线 l 的 普 通 方 程 为 y ? 2 x ? 2 ; 曲 线 C 的 直 角 坐 标 方 程 为 ?x ? 2? ? y 2 ? 4

?? 4 分
(2)由已知: C1 方程为: x ?
2

y2 ?1 4

?? 6 分

a ,即 a ? ?4 时: f ?x? ? ? x ? 2 ? 4 对 x ? R 恒成立 2 a ? x ? a ? 2, x ? ? 2 ? a a ? 当 ? 2 ? ,即 a ? ?4 时: f ? x ? ? ?? 3 x ? a ? 2, ? x ? ?2 2 2 ? ? x ? a ? 2 , x ? ?2 ? ? ?

设 M ?cos? ,2 sin ? ?为曲线 C1 上任意一点, M 到直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 的距离为

d?

2 cos? ? 2 sin ? ? 2 5

?? ? 2 2 cos?? ? ? ? 2 4? ? ? 5
??10 分

a? ? ?a ? ? f ?x ? 在 ? ? ?, ? 上递增,在 ? ,?? ? 上递减 2? ? ?2 ?
依题意: f ?

??8 分

?a? a ? ? ? 2 ? 4 ,解得: ? 12 ? a ? ?4 ?2? 2
??10 分

?? 3 2 3 10 ? ? 当 cos?? ? ? ? 1 时: d max ? ? 4? 5 ? 5

综上所求: a 的取值范围为 ?? 12,4?


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