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f12几个恒成立与存在性问题综合的


f(x)=2x^2-3x+1,g(x)=Asin(x-π/6)若对任意 x1=[0,3],总存在 x2=[0,3],使,f(x1)=g(x2),求实数 A 的取值范围 f(x)=2(x-3/4)^2-1/8 x=[0,3] => f(x)最小值=-1/8(x=3/4),最大值 10(x=3) x=[0,3] => g(x)最小值=-|A|/2 (x=0) 最大值|A|

(x=π/6+π/2) |A|>=10 -|A|/2<=-1/8 =>A>=10 或者 A<=-10

已知 f(x)=x^2,g(x)=(1/2)^x-m,若对于任意 x1∈[0,2],存在 x2∈[1,2],使得 f(x1)≥g(x2),求实数 m 的取值范围。】你的疑惑主要是:存在。存在即只要有就可以了,不一定要处处成立,只要 有一处成立就可以了。那么,既然是存在 x2,使得 f(x1)≥g(x2),也就只要 f(x)的最小值大于 等于 g(x)的最小值就可以了,既然 g(x)的最小值比 f(x)的最小值还要小,那就肯定存在 x2, 使得 g(x2)小于等于 f(x1)成立。 注意区分:存在和任意。 任意 x1∈[0,2],存在 x2∈[1,2],使得 f(x1)≥g(x2), g(x2)在[1,2]都存在值小于等于 f(x1)在[0,2]上的任意值, 所以只要 g(x2)有值小于等于 f(x)最小值就好了 所以只需要 g(x2)的最小值小于等于. f(x1)在[0,2]上单调增 f(x1)min=f(0)=0 f(x2)在[1,2]单调减 g(x2)min=g(2)=1/4-m 0≥1/4-m m≥1/4 不懂继续 hi~ 嗯,不小心错了。 f(x)=x^2 为增函数,g(x)=(1/2)^x-m 为减函数 x1∈[0,2]时 f(x)极小值=f(0)=0 x2∈[1,2]时 g(x)极小值=g(2)=1/4-m f(x1)≥g(x2), 0≥1/4-m m≥1/4

h(x)=x^2-mx+4,g(x)=2x-2/x-5lnx,X1 在区间(0,1),x2 在[1,2],有 g(x1)≥h(x2)成立,求 实数 m 的取值范围 应该是存在 x1∈(0,1) x2∈[1,2]使 g(x1)≥h(x2) g'(x)=2+2/x^2-5/x=(2x^2-5x+2)/x^2,h'(x)=2x-m, 当 0<x<1/2 时,g'(x)>0;当 1/2<x<1 时,g'(x)<0 所以 x=1/2 为(0,1)上的最大值 g(1/2)=5ln2-3 所以在 x∈[1,2]有 h(x)≤5ln2-3 1.若 m≤2,则 h'(x)≥0 恒成立,最小值 h(1)=5-m≤5ln2-3 m≥8-5ln2 不合题意 2.若 m≥4,则 h'(x)≤0 恒成立,最小值 h(2)=8-2m≤5ln2-3

m≥1/2(11-5ln2)<4 3.若 2≤m≤4,则当 x∈[1,m/2)时 h'(x)<0;当 x∈(m/2,2]时 h'(x)>0 最小值 h(m)=4>5ln2-3 不合题意 综上 m 的取值范围为[4,+∞) 若对任意 x1 属于【1,2】,存在 x2 属于(2,3),使 f(x1)小于等于 g(x2),是 gx2 的 最大值大于 fx1 的最大值就可以了 因为是存在 x2 属于(2,3),不是任意,所以必须是最大值满足即可

已知 f(x)=(1+lnx)/x,若 X1,X2 是区间[1/e,e]上的任意两个实数,求证 f(x1)-f(x2)的绝对值恒小 于等于 1 f(x)=(1+lnx)/x 求导 为 f~ (x)=-lnx/x^2 区间[1/e,e]上 x=1 时等于 0 所以 fx 在区间[1/e,1] 上单调增函数在区间[1,e]减函数 若 X1,X2 是区间[1/e,e]上的任意两个实数,求证 f(x1)-f(x2)的绝对值恒小于等于 1 即等价于 f (1)-f(1/e)小于等于 1 且 f(1)-f(1/e)小于等于 0 而俩式带入检测均成立 故得证

已知函数 f(x)=x-a/x-(a+1)lnx(属于 R)。(1)当 0<a 小于等于 1 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)是否存在实数 a,使 f(x)小于等于 x 恒成立,若存在求出实数 a 的取值范围,若不存在,说 明理由 解: 1. f'(x)=1+a/x^2-(a+1)/x=[x^2-(a+1)x+a]/x^2=[(x-1)(x-a)]/x^2,x>0,0<a≤1 令 f'(x)=0 得 0<a=x1<=x2=1 当 a=1,f'(x)=(x-1)^2/x^2>=0,且 f'(x)不恒为 0,得到 f(x)单调增区间为(0,+∞) 当 0<a<1,由 f'(x)>0 得 f(x)单调增区间为(1,+∞) 由 f'(x)<0 得 f(x)单调增区间为(0,1). 2. 若存在实数 a,使 f(x)≤x,x>0 恒成立 既 x-a/x-(a+1)lnx≤x,x>0 恒成立 整理即 a+(a+1)xlnx≥0,x>0 恒成立 注意到 a=-1 时,上式显然不成立,所以 a≠-1 该恒成立问题等价于 ming(x)≥0,x>0 其中 g(x)=(a+1)xlnx+a,x>0 求导并令 g'(x)=(a+1)(1+lnx)=0,得到 x=1/e, i)当 a>-1 时,有 x∈(0,1/e),g'(x)<0,g(x)单调递减,当 x∈(1/e,+∞),g'(x)>0,g(x)单调递增 知极小值 g(x)=g(1/e),该极小值必为最小值 由 ming(x)≥0 即 ming(x)=g(1/e)=-(a+1)/e+a≥0,a>-1.解得 a≥1/(e-1),此时恒有 f(x)≤x,x>0. ii)当 a<-1 时,有 x∈(1/e,+∞),g'(x)<0,g(x)单调递减,当 x∈(0,1/e),g'(x)>0,g(x)单调递增 知 g(x)无最小值,且有(x->+∞)limg(x)=-∞,因此 g(x)=(a+1)xlnx+a≥0,x>0 显然不恒成立. 综上,要使 f(x)≤x,x>0 恒成立,a 的取值范围为:a∈[1/(e-1),+∞)


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