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全国高中数学联赛模拟试题(五)


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全国高中数学联赛模拟试题(五)
(命题人:罗增儒)

第一试
一、 选择题: (每小题 6 分,共 36 分)
1、空间中 n(n≥3)个平面,其中任意三个平面无公垂面.那么,下面四个 结论 (1) 没有任何两个平面互相

平行; (2) 没有任何三个平面相交于一条直线; (3) 平面间的任意两条交线都不平行; (4) 平面间的每一条交线均与 n?2 个平面相交. 其中,正确的个数为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 2、若函数 y=f(x)在[a,b]上的一段图像可以近似地看作直线段,则当 c∈(a,b) 时,f(c)的近似值可表示为 (A)
f ?a ? ? f ?b ? 2
?a?b? (B) f ? ? ? 2 ?

(C)

?b ? c ? f ?a ? ? ?c ? a ? f ?b ? ?b ? a ?

(D) f ?a ? ?

c?a ? f ?b? ? f ?a ?? b?a

3、设 a>b>c,a+b+c=1,且 a2+b2+c2=1,则 (A)a+b>1 (B)a+b=1 (C)a+b<1 (D)不能确定,与 a、b 的具体取值有关 4、设椭圆 距离是
x2 y2 3 ? 3? ? 2 ? 1 的离心率 e ? , 已知点 P? 0, ? 到椭圆上的点的最远 2 2 a b ? 2?

7 ,则短半轴之长 b= 4 1 1 1 1 (A) (B) (C) (D) 4 16 8 2 5、S={1,2,…,2003},A 是 S 的三元子集,满足:A 中的所有元素可以组成等 差数列.那么,这样的三元子集 A 的个数是

(A) C 3 2003
2 2 (C) A1001 ? A1002

2 2 (B) C1001 ? C1002

(D) A 3 2003

6、长方体 ABCD?A1B1C1D1,AC1 为体对角线.现以 A 为球心,AB、AD、 AA1、AC1 为半径作四个同心球,其体积依次为 V1、V2、V3、V4,则有 (A)V4<V1+V2+V3 (B)V4=V1+V2+V3 (C)V4>V1+V2+V3 (D)不能确定,与长方体的棱长有关

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二、 填空题: (每小题 9 分,共 54 分)
1、已知
sin 3 ? cos3 ? ? ? k ,则 k 的取值范围为 sin ? cos ?



2、 等差数列{an}的首项 a1=8, 且存在惟一的 k 使得点(k,ak)在圆 x2+y2=102 上, 则这样的等差数列共有 个. a 3、在四面体 P?ABC 中,PA=PB=a,PC=AB=BC=CA=b,且 a<b,则 的取 b 值范围为 . 4、动点 A 对应的复数为 z=4(cos?+isin?),定点 B 对应的复数为 2,点 C 为 线段 AB 的中点,过点 C 作 AB 的垂线交 OA 与 D,则 D 所在的轨迹方程 为 . 5、 ? 3 k 被 8 所除得的余数为
k ?1 2003

. .

6、 圆周上有 100 个等分点, 以这些点为顶点组成的钝角三角形的个数为

三、 (20 分)
已知抛物线 y2=2px(p>0)的一条长为 l 的弦 AB.求 AB 中点 M 到 y 轴的最短距离,并求出此时点 M 的坐标.

四、 (20 分)
单位正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,正方形 ABCD 的中心为点 M,正方 形 A1B1C1D1 的中心为点 N,连 AN、B1M. (1)求证:AN、B1M 为异面直线; (2)求出 AN 与 B1M 的夹角.

五、 (20 分)
对正实数 a、b、c.求证:
a 2 ? 8bc b 2 ? 8ac c 2 ? 8ab ? ? ≥9. a b c

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第二试
一、 (50 分)
设 ABCD 是面积为 2 的长方形, 为边 CD 上的一点, 为△PAB 的 P Q 内切圆与边 AB 的切点.乘积 PA·PB 的值随着长方形 ABCD 及点 P 的 变化而变化,当 PA·PB 取最小值时, (1)证明:AB≥2BC; (2)求 AQ·BQ 的值.

二、 (50 分)
给定由正整数组成的数列
?a1 ? 1, a 2 ? 2 (n≥1) . ? ?a n ? 2 ? a n ?1 ? a n

(1)求证:数列相邻项组成的无穷个整点 (a1,a2),(a3,a4),…,(a2k-1,a2k),… 2 2 均在曲线 x +xy?y +1=0 上. (2)若设 f(x)=xn+xn-1?anx?an-1,g(x)=x2?x?1,证明:g(x)整除 f(x).

三、 (50 分)
我们称 A1,A2,…,An 为集合 A 的一个 n 分划,如果 (1) A1 ? A2 ? ? ? An ? A ; (2) Ai ? A j ? ? ,1≤i<j≤n. 求 最 小 正 整 数 m , 使 得 对 A = {1,2, … ,m} 的 任 意 一 个 13 分 划 A1,A2,…,A13,一定存在某个集合 Ai(1≤i≤13),在 Ai 中有两个元素 a、b 9 满足 b<a≤ b. 8

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参考答案
第一试
一、选择题: 题号 答案 二、填空题:
1? ?1 ? ? 1、 ? ? 1,? ? ? ? ,1? ; 2? ?2 ? ?

1 D

2 C

3 A

4 C

5 B

6 C

2、17;

3、 ? 2 ? 3 ,1? ; ? ? ? ? 5、4;
? l2 ? l2 ? ? ,0 ? l ? 2 p, M ? ,0 ? ?8p ? ? ? ?8 p 三、 ? . ? l ? p , l ? 2 p, M ? l ? p , pl ? p 2 ? ? ? ? 2 ? ? 2 2 ? ? ?

?x ? 1?2 4、
4

?

y2 ? 1; 3

6、117600.

四、 (1)证略; 五、证略.

2 (2) arccos . 3

第二试
一、 (1)证略(提示:用面积法,得 PA·PB 最小值为 2,此时∠APB=90°) ; (2)AQ·BQ=1. 二、证略(提示:用数学归纳法) . 三、m=117.

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