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2012届高三数学考前热点专题训练(1)(函数与导数、不等式)


2012 届考前热点专题训练(1) (函数与导数、不等式)
班级____ 学号_____姓名_______ 一、填空题
?2x, x>0 1. 已知函数 f(x)=? ,若 f(a)+f(-a)=2012,则实数 a 的值等于__±2011_____. ? x+1,x≤0

2 . 设 f ( x ) ? lg( 0) 3. 若函数 f(x

) = 1,0]___.

2 ? a ) 的 奇函数 ,则 使 f ( x) ? 0 的 X 的 取值范 围是 1? x


(一 1 ,

4x 在区间 (m,2m + 1) 上是单调递增函数,则 m 的取值范围为 ____ (- x2+1

4.已知函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) (其中 a ? b , a , b 为常数) ,若 f ( x ) 的 图象如右图所示,则函数 g ( x) ? a x ? b 在区间[-1,1]上的最大值是

1 ?b a



5.函数 y ?| log1 x | 的定义域为 [ a, b] ,值域为[0,2],则区间 [ a, b] 的长 b ? a 的最大值是
2

15 4



M 6. 已 知 函 数 y ? 1 ? x ? x ? 3 的 最 大 值 为 M , 最 小 值 为 m , 则 m 的 值 为
___ 2 ___. 7.设正实数 x, y, z 满足 x ? 2 y ? z ? 1 ,则

1 9( x ? y ) ? 的最小值为_____ 7 ___. x? y y?z

8. 已 知 函 数 f ( x) ?| x2 ? 6 | , 若 a ? b ? 0 , 且 f (a) ? f (b) , 则 a 2 b 的 最 小 值 是 _ - 16_________. 9.已知 x ? 0, y ? 0,x ? y ? 1 ,则

1 1 ? 的最小值为 x 2y

3 ? 2 2

.

10. 已知函数 f(x ) = ln(x + x2+1) ,若实数 a , b 满足 f(a) + f(b - 1) = 0 ,则 a + b 等于 _____1_____. 11.已知 x 是实数且 x ? 2,3 .若 S ? min{

1 1 5 , } ,那么 Smax =_2_,此时 x = __. 2 | x ? 2| | x ?3|

12.设函数 h( x) ?

a 1 1 ? x ? b ,对任意 a ? [ ,2] ,都有 h( x) ? 10 在 x ? [ ,1] 恒成立, x 2 4

1

则实数 b 的取值范围是____ b ?

7 ______. 4

?2 x ? y ? 0 ? 13.已知实数 x、y 满足 ? x ? y ? 5 ? 0 ,若不等式 a( x2 ? y 2 ) ? ( x ? y)2 恒成立,则实数 a ?y ? 4 ? 0 ?
的最小值是____

9 ______. 5

14.已知定义域为 D 的函数 f ( x) ,对任意 x ? D ,存在正数 K,都有 | f ( x) |? K 成立,则 称 函 数 f ( x) 是 D 上 的 “ 有 界 函 数 ” . 已 知 下 列 函 数 : ① f ( x) ? 2 sin 2 x ? 1 ; ②

f ( x) ? 1 ? x 2 ;③ f ( x) ? 1 ? log 2 x ;④ f ( x) ?
②④ 二、解答题

x ,其中是“有界函数”的是 x ?1
2



. (写出所有满足要求的函数的序号)

15. 设函数 f ? x ? ? a x ? ? k ?1? a? x ? a ? 0且a ? 1? 是定义域为 R 的奇函数. (1)求 k 值;
2 (2)若 f ?1? ? 0 ,试判断函数单调性并求使不等式 f x ? tx ? f ? 4 ? x ? ? 0 恒成立的的

?

?

取值范围; (3)若 f ?1? ?

3 ,且 g ? x ? ? a2 x ? a?2 x ? 2mf ? x ? ,在 ?1, ?? ? 上的最小值为 ?2 ,求 m 的 2

值. 15.解:(1)∵f(x)是定义域为 R 的奇函数,∴f(0)=0, ∴1-(k-1)=0,∴k=2, (2) f ( x) ? a x ? a ? x (a ? 0且a ? 1),

1 ? 0, 又a ? 0, 且a ? 1,? 0 ? a ? 1 a ? a x 单调递减, a ? x 单调递增,故 f(x)在 R 上单调递减。 不等式化为 f ( x 2 ? tx) ? f ( x ? 4) ? f (1) ? 0,? a ?

? x 2 ? tx ? x ? 4,即x 2 ? (t ? 1) x ? 4 ? 0 恒成立,

? ? ? (t ? 1) 2 ? 16 ? 0 ,解得 ? 3 ? t ? 5
3 1 3 2 (3)∵f(1)= ,? a ? ? ,即 2a ? 3a ? 2 ? 0, 2 a 2 1 ? a ? 2或a ? ? (舍去)。 2 ∴g(x)=2 +2 -2m(2 -2 )=(2 -2 ) -2m(2 -2 )+2. x -x 令 t=f(x)=2 -2 , 3 x -x 由(1)可知 f(x)=2 -2 为增函数,∵x≥1,∴t≥f(1)= , 2
2x -2x x -x x -x 2 x -x

2

令 h(t)=t -2mt+2=(t-m) +2-m

2

2

2

3 (t≥ ) 2

3 2 若 m≥ ,当 t=m 时,h(t)min=2-m =-2,∴m=2 2 3 3 17 25 3 若 m< ,当 t= 时,h(t)min= -3m=-2,解得 m= > ,舍去 2 2 4 12 2 综上可知 m=2. 16. 已知函数 f ( x) ? x ? a ?

4 (a ? R ) . (1)若 a ? 0 ,求不等式 f ( x) ? 0 的解集; x

(2)当方程 f ( x) ? 2 恰有两个实数根时,求 a 的值; (3)若对于一切 x ? (0, ??) ,不等式 f ( x) ? 1 恒成立,求 a 的取值范围. 16.解: (1)由 a ? 0 得 f ( x ) ? x ? 当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? ∴x ?0 当 x ? 0 时, f ( x ) ? ? x ? ∴ x ? ?2 所以不等式 f ( x) ? 0 的解集为 (??, ?2] ? (0, ??) (2)由 f ( x) ? 2 得 x ? a ? 2 ? 令 y1 ? x ? a , y2 ? 2 ?

4 x

4 ? 0 恒成立 x 4 ? 0 得 x ? 2 或 x ? ?2 又 x ? 0 x

4 x

4 x

由函数图象知两函数图象在 y 轴右边只有一个交点时满足题意,

4 x ? a ? 2 ? 即 x2 ? (a ? 2) x ? 4 ? 0 x
由 ? ? 0 得 a ? 2, ?6 由图知 a ? 2 时方程 f ( x) ? 2 恰有两个实数根

4 ? 1( x ? 0) x 4 4 当 a ? 0 时, x ? a ? ? 1( x ? 0) , x ? ? 1 ? a ( x ? 0) , a ? 3 , 所以 a ? 0 x x 当a ? 0时
(3) x ? a ?

4 ? x? ?a x ? a ? ? x f ( x) ? ? ?? x ? 4 ? a 0 ? x ? a ? x ?

3

①当 x ? a 时, x ?

4 4 4 ? a ? 1 ,即 a ? x ? ? 1 ? ( x ? 0) ,令 g ( x) ? x ? ? 1 x x x

0 ? a ? 2 时, a ? g (2) ? 3 ,所以 0 ? a ? 2 a ? 2 时, a ? g (a ) ? a ?
所以 0 ? a ? 4 ②当 0 ? x ? a 时, ? x ? 所以 a ? a ?

4 ? 1 ,所以 a ? 4 , 2 ? a ? 4 a

4 4 ? a ? 1,即 a ? x ? ? 1( x ? 0) x x

4 ? 1, a ? 4 a

综上, a 的取值范围是 (??, 4] 17. 已知集合 D ? ?( x1 , x2 ) x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 ? k (1)设 u ? x1 x2 ,求 u 的取值范围.

? .其中 k 为正常数.

1 1 k 2 (2)求证:当 k ? 1 时不等式 ( ? x1 )( ? x2 ) ? ( ? ) 2 对任意 ( x1 , x2 ) ? D 恒成立; x1 x2 2 k
(3)求使不等式 ( 1 ? x1 )( 1 ? x2 ) ? ( k ? 2 ) 2 对任意 ( x1 , x2 ) ? D 恒成立的 k 的范围. x1 x2 2 k 17.解: (1) x1 x2 ? (

x1 ? x2 2 k 2 k ) ? ,当且仅当 x1 ? x2 ? 时等号成立, 2 2 4

故 u 的取值范围为 (0,

k2 ]. 4

(2) 变形,得 (

x x 1 1 1 ? x1 )( ? x2 ) ? ? x1 x2 ? 1 ? 2 x1 x2 x1 x2 x2 x1

? x1 x2 ?

2 x2 ? x2 1 k 2 ?1 k 2 ?1 ? 1 ? x1 x2 ? ?2?u? ?2. x1 x2 x1 x2 x1x2 u

由0 ? u ?

k2 k 2 ?1 k2 2 ? 2 在 (0, ] 上是增函数, ,又 k ? 1 , k ? 1 ? 0 ,∴ f (u ) ? u ? u 4 4

所以 (

k 2 ?1 k 2 k 2 ?1 k2 4 2 k 1 1 ?2 ? ? 2 ?2? ? 2 ? 2 ? ( ? )2 . ? x1 )( ? x2 ) ? u ? k u 4 4 k k 2 x1 x2 4
1 1 k 2 ? x1 )( ? x2 ) ? ( ? ) 2 成立. x1 x2 2 k

即当 k ? 1 时不等式 (

4

(3)令 (

1? k 2 k 2 k2 1 1 ? 2 ? f (u ) ,则 ( ? ) 2 ? f ( ) , ? x1 )( ? x2 ) ? u ? u 2 k 4 x1 x2 k2 k2 ) 对 u ? (0, ] 恒成立的 k 的范围. 4 4

即求使 f (u ) ? f (

由 (2) 知, 要使 (

1 1 k 2 必有 0 ? k ? 1 , ? x1 )( ? x2 ) ? ( ? ) 2 对任意 ( x1 , x2 ) ? D 恒成立, x1 x2 2 k
2

因此 1 ? k 2 ? 0 ,∴函数 f (u ) ? u ? 1 ? k ? 2 在 (0, 1 ? k 2 ] 上递减,在 [ 1 ? k 2 , ??) 上递
u

增, 要使函数 f (u ) 在 (0,

k2 k2 k2 ] 上恒有 f (u ) ? f ( ) ,必有 ? 1 ? k 2 , 4 4 4
5?2 .

4 2 即 k ? 16k ? 16 ? 0 ,解得 0 ? k ? 2

18.对于函数 f ( x ) ,若存在实数对( a, b ),使得等式 f (a ? x) ? f (a ? x) ? b 对定义域中的 每一个 x 都成立,则称函数 f ( x ) 是“( a, b )型函数”. (1)判断函数 f ( x) ? 4x 是否为“( a, b )型函数” ,并说明理由; (2)已知函数 g ( x) 是 “(1,4)型函数” , 当 x ? [0, 2] 时,都有 1 ? g ( x) ? 3 成立,且当 x ? [0,1] 时, g ( x) ? x ?m( x ? 1) ? 1 (m ? 0) ,若,试求 m 的取值范围.
2

18.解: (1)函数 f ( x) ? 4 是“( a, b )型函数”
x
a 因为由 f (a ? x) ? f (a ? x) ? b ,得 16 ? b ,所以存在这样的实数对,如 a ? 1, b ? 16

(2) 由 题 意 得 , g (1 ? x) g (1 ? x) ? 4 , 所 以 当 x ? [ 1 , 2时 ] , g ( x) ? ,] 2? x? [ 0 , 1

4 ,其中 g (2 ? x)

而 x ? [0,1] 时, g ( x) ? x ? m(1 ? x) ? 1 ? x ? mx ? m ? 1 ? 0 ,且其对称轴方程为 x ?
2 2

m , 2

①当

m ? 1 , 即 m ? 2 时 , g ( x) 在 [0,1] 上的值域为 [ g (1), g (0)] , 即 [2, m ? 1] , 则 g ( x) 在 2

?m ? 1 ? 3 4 4 ? , 2] ? [ , m ? 1] ,由题意得 ? 4 ,此时无解 [0, 2] 上的值域为 [2, m ? 1] ? [ m ?1 m ?1 ?1 ? ? m ?1

5

②当

m2 1 m m ? ? 1 ,即 1 ? m ? 2 时, g ( x) 的值域为 [ g ( ), g (0)] ,即 [m ? 1 ? , m ? 1] , 2 2 2 4
m2 4 , m ? 1] ? [ , 4 m ?1 4 m2 m ?1? 4 ],

所以则 g ( x) 在 [0, 2] 上的值域为 [m ? 1 ?

4 ? ? m2 ? 3 m ?1? ?1 ? ? m2 ? ? 4 则由题意得 ? m ? 1 ? 且? ,解得 1 ? m ? 2 4 4 ? ? ?1 ? m ?1 ? ? ? m ?1 ? 3
③当 0 ?

m2 m 1 m ? , 即 0 ? m ? 1 时 , g ( x) 的值域为 [ g ( ), g (1)] , 即 [m ? 1 ? , 2] , 则 g ( x) 2 2 2 4
m2 , 2] ? [2, 4 4 ] = [m ? 1 ? 2 m2 , 4 4 m2 m ?1? 4 ],

在 [0, 2] 上的值域为 [m ? 1 ?

m m ?1? 4

? m2 m ? 1 ? ?1 ? 4 ? 2 6 则? ,解得 2 ? ? m ? 1. 4 ?3 3 2 ? m ? m ?1? ? 4
综上所述,所求 m 的取值范围是 2 ?

2 6 ?m?2 3

2 19. 已知函数 g ( x) ? ax ? 2ax ? 1 ? b( a ? 0 ) 在区间 [2 , 3] 上有最大值 4 和最小值1 . 设

g ( x) . x (1)求 a 、 b 的值; f ( x) ?
(2)若不等式 f (2 ) ? k ? 2 ? 0 在 x ? [?1 , 1] 上有解,求实数 k 的取值范围;
x x

(3)若 f | 2 x ? 1 | ? k ?

?

?

2 ? 3k ? 0 有三个不同的实数解,求实数 k 的取值范围. | 2 ?1|
x

19.解: (1) g ( x) ? a( x ? 1) ? 1 ? b ? a ,
2

因为 a ? 0 ,所以 g ( x) 在区间 [2 , 3] 上是增函数,故 ?

?a ? 1 ? g (2) ? 1 ,解得 ? . ?b ? 0 ? g (3) ? 4

6

1 ?2, x 1 x x 所以 f (2 x ) ? k ? 2 x ? 0 可化为 2 ? x ? 2 ? k ? 2 , 2
(2)由已知可得 f ( x) ? x ?

1 1 ?1 ? ? 1 ? 化为 1 ? ? x ? ? 2 ? x ? k , 令t ? x , 则 k ? t 2 ? 2t ? 1 , 因 x ? [?1 , 1] , 故 t ? ? , 2? , 2 2 ?2 ? ?2 ?
记 h(t ) ? t 2 ? 2t ? 1 ,因为 t ? ? 所以 k 的取值范围是 (?? , 1] . (3)原方程可化为 | 2 x ? 1 | 2 ?(3k ? 2)? | 2 x ? 1 | ?(2k ? 1) ? 0 , 令 | 2 x ? 1 |? t ,则 t ? (0 , ? ?) ,t 2 ? (3k ? 2)t ? (2k ? 1) ? 0 有两个不同的实数解 t1 , t 2 , 其中 0 ? t1 ? 1, t 2 ? 1 ,或 0 ? t1 ? 1, t 2 ? 1 . 记 h(t ) ? t 2 ? (3k ? 2)t ? (2k ? 1) ,则 ?

2

?1 ? , 1? ,故 h(t ) max ? 1, ?2 ?

?2k ? 1 ? 0 ① ?h(1) ? ?k ? 0

? ?2 k ? 1 ? 0 ? 或 ?h(1) ? ? k ? 0 ? 3k ? 2 ?0 ? ?1 2 ?



解不等组①,得 k ? 0 ,而不等式组②无实数解.所以实数 k 的取值范围是 (0 , ? ?) .

7


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