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2.1不等式的基本性质(课件)


§2.1不等式的基本性质
在日常生活中,我们常常会说这样的话: 我比你高. 甲的摸底考成绩比乙的好. 我家房子的面积没你家的大. A食堂的人气比B食堂的旺. 什么是不等式? 表示不等关系的式子叫做不等式. 不等关系

两个数大小的定义
给定两个实数a和b,什么叫a?b?

定义. 设a和b两个实数,如果 (1)a?b?

0,则称a大于b,记作a?b; (2)a?b?0,则称a小于b,记作a?b; (3)a?b?0,则称a等于b,记作a?b.
给定两个数a和b,如何说明a?b? 要说明两个数a?b,只要说明a?b是正数即可.

回顾
解下列不等式:
3x ? 5 ? 8 ? 解:3 x ? 8 ? 5 ? 3x ? 3
?3 x ? 5 ? 8 ? ?3 x ? 8 ? 5 ? ?3 x ? 3

依据?

依据?

? x ?1 以上求解的依据是什么?

? x ? ?1

不等式的基本性质
性质1. 如果a?b,b?c,那么a?c. 思考:如何去证明?

怎么说明a?c?a?b,b?c分别是什么意思?
证明:左边?右边?a?c?(a?b)?(b?c)?0; 即a?c. 性质1的证明直接应用了大小关系的定义, 这种方法称为作差法. 性质1被称为不等式的传递性.

不等式的基本性质
性质2. 如果a?b,那么a?c?b?c. 证明:左边?右边?a?c?(b?c)?a?b?0;

即a?c?b?c.
性质2被称为不等式的加法性质. 性质2是解不等式中“移项”的依据所在.

不等式的基本性质
性质3. 如果a?b,c?0,那么ac?bc; c?0,那么ac?bc. 证明:c?0,左边?右边?ac?bc?c(a?b)?0; 即ac?bc. c?0,左边?右边?ac?bc?c(a?b)?0; 即ac?bc. 性质3被称为不等式的乘法性质. 性质3是解不等式中“约分”的依据所在.

练习A
1. 设a?b,c?d,那么下列不等式中一定成立的有: A. a?c?b?d; B. a?d?b?c; C. a?c?b?d;D. a?d?b?c. 2. 设a?b,c?d,求证: (1)a?c?b?d; (2)a?d?b?c. 性质4. 若a?b, c?d, 则a?c?b?d. 性质4被称为不等式的同向相加性. 3. 设a?b?0,那么下列不等式中一定成立的有: A. ac2?bc2; B. c?d, ac?bd; C. c?d?0, ac?bd;

不等式的基本性质
求证: 若a?b?0, c?d?0, 则ac?bd. 证明: ? a?b, d?0; ? ad?bd; ? c?d, a?0; ? ac?ad; 由性质1, ac?bd. 性质5. 若a?b?0, c?d?0, 则ac?bd. 性质6. 若a?b?0, 则an?bn. 性质5如何证明? 性质6被称为不等式的乘幂性.

不等式的基本性质
1 1 设a?b, 那么: ? 一定成立吗?为什么? a b 1 1 求证: a?b?0, 则 ? . a b 1 1 b?a ? 0. 证明: 左边?右边? ? ? a b ab 1 1 即: ? . a b 1 1 性质7. a?b?0, 则 ? . a b

性质7被称为不等式的倒数改向性.

不等式的基本性质
求证: a?b?0, 则 n a ? n b. 证明: 反证法: 假设结论不成立, 即 n a ? n b ,
则由性质6, 两边作n次方, 得: a ? b, 矛盾! 因此假设不成立, 即 n a ? n b.

性质8. a?b?0, 则n a ? n b.

课堂互动讲练

考点突破
利用不等式性质判断命题真假 运用不等式的性质判断时,要注意不等式成立的 条件,不要弱化条件,尤其是不能凭想当然随意 捏造性质.解有关不等式选择题时,也可采用特

殊值法进行排除,注意取值一定要遵循如下原则:
一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证

计算.

对于实数 a,b,c,下列命题中的真命题 是( ) A.若 a>b,则 ac2>bc2 1 1 B.若 a>b>0,则a>b b a C.若 a<b<0,则 > a b 1 1 D.若 a>b,a>b,则 a>0,b<0
【思路点拨】 本题可利用不等式性质直接判断 命题的真假,也可以采用特殊值法判断.

例1

【解析】 法一:∵c2≥0,∴c=0 时,有 ac2= 2 bc ,故 A 为假命题; a b 1 1 由 a>b>0,有 ab>0?ab>ab?b>a, 故 B 为假命题; 1 1 ? a<b<0?-a>-b>0?- >- >0? a b b a ?? > , ? b a a<b<0?-a>-b>0 ? 故 C 为假命题; a>b?b-a<0
? ? b-a ??ab<0. 1 1 1 1 >b?a-b>0? ab >0? a ?

∵a>b,∴a>0 且 b<0,故 D 为真命题. 法二:特殊值排除法. 取 c=0,则 ac2=bc2,故 A 错; 1 1 1 1 1 取 a=2,b=1,则a= ,b=1,有a<b,故 B 错; 2 b 1 a 取 a=-2,b=-1,则 = , =2, a 2 b b a 有 < ,故 C 错. a b
【答案】 D

利用不等式性质证明简单不等式 利用不等式性质证明简单的不等式的实质就是根

据性质把不等式进行变形,要注意不等式性质成
立的条件.如果不能直接由不等式性质得到,可

先根据需要证明的不等式的结构,再利用不等式
性质进行转化.

e 例2 已知 a>b>0,c<d<0,e<0.求证: a-c e > . b-d
【思路点拨】 e e 要证明 > ,由于 e<0, a-c b-d

1 1 所以只需证明 < .如果 a-c 与 b-d 同号, a-c b-d 只需证明 a-c>b-d.从已知条件可以得到这个 不等式,因此本题得证.

【证明】 ∵a>b>0,c<d<0, ∴-c>-d>0,a-c>b-d>0, 1 1 ∴0< < . a-c b-d e e 又∵e<0,∴ > . a-c b-d

a b 互动探究 若将本例中“e<0”去掉,试证d<c.

证明:∵c<d<0,∴-c>-d>0. 1 1 ∴0<- <- .又 a>b>0, c d a b ∴- >- >0. d c a b ∴ < . d c

不等式性质的综合应用 不等式有广泛的应用,在应用时应严格依据不

等式的基本性质和运算法则,做题时要有理有
据,这是正确解答此类题目的保证.
例3 已知-6<a<8,2<b<3,分别求 a+b,2a

a -b,b的取值范围.

【思路点拨】
解.

利用不等式的可加性和可乘性求

【解】 ∵-6<a<8, 2<b<3,∴-4<a+b<11. 又∵-3<-b<-2,-12<2a<16, 1 1 1 ∴-15<2a-b<14.又 < < , 3 b 2
a ∴①当 0≤a<8 时,0≤b<4; a a ②当-6<a<0 时,-3< <0.由①②得-3< <4. b b

a 变式训练 已知 2<a≤5,3≤b<10, a-b、 的 求 b 取值范围.

解:∵3≤b<10,∴-10<-b≤-3, 又∵2<a≤5, ∴-8<a-b≤2. 1 1 1 1 a 5 又 < ≤ ,∴ < ≤ . 10 b 3 5 b 3

练习1:已知 2 ? a ? 3, ?4 ? b ? ?3 ,求
1 ? 解:( ) 2 ? a ? 3,

a b2 a ? b, a ? b, , ab, 的取值范围。 b a
? 4 ? b ? ?3

? -2 ? a+b ? 0

(加法法则-同向可加性)
( ) ?4 ? b ? ?3 2 ?

? 3 ? -b ? 4 (乘法单调性) ?2 ? a ? 3

?5 ? a ? b ? 7 (加法法则)

例1:已知 a ? 0,?1 ? b ? 0 ,那么在
a, ab, ab 2 这三个数中,最小的数是

a ab ____,最大的数是_______
用于简单判断或填空题

解法1:特殊值法
解法2:作差比较法

例2:(1)已知 0 ? a ? b, a ? b ? 1,则 1 a, b, , 2ab, a 2 ? b 2 从小到大的顺序是 2
1 2 2 a ? 2ab ? ? a ? b ? b ______________________ 2 1 3 特殊值法: 取 a ? , b ? 4 4


例2:(2)已知 2 x ? 4 y ? 1 ,比较 x ? y
2 2

1 x ?y ? 的大小__________ 注:特殊值 20 1 2 2 法容易漏“=” 作差比较法: ? x ? y ? 20 1 1 2 1 2 ? x ? ( ? x) ? (条件 2x ? 4y =1 的应用) 4 2 20 5 2 1 1 5 2 1 1 ? (x - x+ ) ? x - x+ 5 100 4 4 80 4 5 1 2 ? (x- ) (配方)? 0 4 10

1 与 20

2

2

解:法一:作差比较法

作差

c ? a b ? c cb ? ab ? (ab ? ac) c(b ? a) ∵ 变形 ? ? ? a b ab ab
∵ a ? b ? 0,? a ? b ? 0, ab ? 0 ∵ c ? 0 c(b ? a) ∴ ?0 ab c?a b?c ∴ ? a b

定符号
确定大小

c?a b?c 练习:已知 a ? b ? 0 , c ? 0 ,求证: ? a b

解:法二:巧用不等式的性质(综合法)
∵ a ? b ? 0 , c ? 0 ,∴ ab ? 0

从已知出发
运用不等式 的性质变形

1 1 a? ? b? 即 1 ? 1 ∴ ab ab b a

c c ∴ ? (两边同乘以一个负数不等号方向要改变) b a c c c c ∴ ? ∴ ?1 ? ?1 继续变形 a b a b c?a b?c ∴ ? a b 这里的关键是活用各种变形,那么有哪些变形是要熟记的?

小结:

作差比较两数大小的步骤
(1)作差; (2)变形; 常用手段:配方法,因式分 解法 (3)定号; (4)下结论;

? 1.设x<a<0,则下列不等式一定成立的是(

)

? A.x2<ax<a2
? C.x2<a2<ax

B.x2>ax>a2
D.x2>a2>ax

? 2.已知a>b,c>d,且cd≠0,则( ? A.ad>bc ? C.a+c>b+d ? 解析: ∵a>b,c>d, B.ac>bc

)

D.a-c>b-d

? ∴a+c>b+d,故选C.
? 答案: C

a b 3.已知 c>a>b>0,则 与 的大小关系为 c-a c-a ________. 解析: ∵c>a,∴c-a>0, a b 又∵a>b,∴ > . c-a c-a

a b 答案: > c-a c-a

a 4.已知 12<a<60,15<b<36,求 a-b,b的取值范围.
解析: -b<45 1 1 1? < < ? 1 a 15<b<36? 36 b 15??3<b<4. 12<a<60? ?
?1 ? a ∴a-b, 的取值范围分别为(-24,45)、?3,4?. b ? ?

-36<-b<-15? ? ??-24<a ∵15<b<36? ? 12<a<60 ?

对于实数 a、b、c,下列命题中正确的个数为( ①若 a>b,则 ac>bc ②若 ac2>bc2,则 a>b b a ③若 a<b<0,则a<b; 1 1 ④若 a>b,a>b,则 a>0>b A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

)

? 利用不等式的性质或者举反例进行判断.

[解题过程] 对于①,令 c=0,则有 ac=bc,①错; 对于②,ac2>bc2,则 c2≠0 且 c2>0, ∴a>b,②对; 对于③,a<b<0,则 ab>0,a2>b2, a2 b2 a b 则 > 即 > ,③对; ab ab b a 对于④, ④对. 综上,正确的为②③④,故选 C. a>b?a-b>0? ? ab<0? ? ??a>0,b<0, 1 1 b-a ?? a>b ? >b? ab >0? ? a ?

? 答案:

C 运用不等式的性质判断时,要注意不等式成

? [题后感悟]

立的条件,不要弱化条件,尤其是不能凭想当然随意捏造性 质,解有关不等式选择题时,也可采用特殊值法进行排除,

注意取值一定要遵循以下原则:一是满足题设条件;二是取
值要简单,便于验证计算.

1.下列命题正确的是(

)

A.若 a>b,则(a-b)c>(b-a)c B.若 a>b,c>d,则 ac>bd 1 1 C.若 a>b,则a<b a b D.若 ac>bc,则 c>c

解析: 对 A,当 c=0 时,不成立; 对 B 由于不具备性质 6 的条件,因而结论不成立; 1 1 对 C,由于 ab 的符号不定,故a<b不一定成立; 对 D,∵ac>bc,∴c≠0, ac bc a b ∴ c2 > c2 ,即 c>c.
答案: D

已知:a>b>0,c<d<0,e<0, e e 求证: > . a-c b-d

[规范作答] 证明:∵c<d<0, ∴-c>-d>0.3 分 ∵a>b>0, ∴a-c>b-d>0,6 分 1 1 ∴0< < .10 分 a-c b-d 又∵e<0, e e ∴ > .12 分 a-c b-d

e e 2.本例条件不变,将问题改为“试比较 和 ?a-c?2 ?b-d?2 的大小”,则结论如何?
解析: ∵c<d<0,

∴-c>-d>0. ∵a>b>0,∴a-c>b-d>0, ∴(a-c)2>(b-d)2>0, 1 1 ∴ 2< 2, ?a-c? ?b-d? e e 又∵e<0,∴ 2> 2. ?a-c? ?b-d?

a 已知-6<a<8,2<b<3,分别求 a+b,2a-b, 的取值范围. b

由题目可获取以下主要信息: ①-6<a<8,2<b<3; a ②求 a+b,2a-b 及b的取值范围. 解答本题可利用不等式的可加性和可乘性求解.

[解题过程] ∵-6<a<8,2<b<3, ∴-12<2a<16, ∴-4<a+b<11 又∵-3<-b<-2, ∴-15<2a-b<14, 1 1 1 又3<b<2, a (1)当 0≤a<8 时,0≤b<4;

a (2)当-6<a<0 时,-3<b<0. a 由(1)(2)得-3<b<4.

? [题后感悟]

解决此类问题,要注意题设中的条件,充分

利用已知求解,否则易出错,同时在变换过程中要熟练掌握 ,准确使用不等式的性质,不能出现同向不等式相减、相除 的错误。

? 3.若题目条件不变,试求2a+b,a-b的取值范围. ? 解析: 因为-6<a<8,所以-12<2a<16.

? 又因为2<b<3,所以-12+2<2a+b<16+3, ? 即-10<2a+b<19.

? 因为2<b<3,所以-3<-b<-2.
? 又-6<a<8,所以-6+(-3)<a-b<8+(-2),

? 所以-9<a-b<6.

不等式性质小结
性质1. 如果a?b,b?c,那么a?c. 性质2. 如果a?b,那么a?c?b?c. 性质3. 如果a?b,c?0,那么ac?bc; c?0,那么ac?bc. 性质4. 若a?b, c?d, 则a?c?b?d. 性质5. 若a?b?0, c?d?0, 则ac?bd. 性质6. 若a?b?0, 则an?bn. 1 1 性质7. 若 a?b?0, 则 ? . a b

性质8. 若a?b?0, 则n a ? n b.


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