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磁场


磁场力

1。如图圆环半径为R,质量为m,均匀 带电Q,磁感强度为B. 当它以ω转动起 来之后,环中张力增加多少?

解:

2?T sin

?
2

? f ? ?m? 2 R

? 2?T ? ? BI ?l ? m? 2 R 2 2? R?

?QB ? m? ? ?T ? 2?

?

2。如图(a)所示,半径为R的圆筒形真空管中有两个隔板A 和A',其中心有小孔,相距L.区域I中有水平方向的电场, 区域Ⅱ中有水平方向的匀强磁场,区域Ⅲ中无电场、磁 场.由阴极K发出的电子由电场加速后穿过小孔A成发散 电子束进入区域Ⅱ,设所有电子穿过小孔A时的水平分速 度都为v.调节区域Ⅱ中的磁感应强度使之为能使电子束 穿过A'小孔的最小值B,从这时开始计时且保持此值不变, 但使B的方向做周期为T的周期性变化(图(b)所示).设真 空管中碰到管壁的电子均不弹回. ? 1)求有电子束穿过A'时T'的最小值T0; ? 2)设T=2T0,哪些时间内有电子束穿过A'? ? 3)进入区域Ⅲ的电子中,运动方向与管轴间的最大夹角为 多少?

解: 这是一个典型的磁聚焦问题.题中所谓将区域Ⅱ中的磁 场调节到能使电子束穿过A‘的最小值,就是使电子在磁 场中经过一个螺距后到达A’,即T’=L/v,如果这些电子 在区域Ⅱ中运动的时间不到T',它们将不能穿过A',因 此要使电子穿过A'的最小周期T0=2T’=2L/v 如果T=2T0,那么每一次改变磁场方向后前T0/2, A'穿过 A的电子将能穿过A',即在图中时间轴上波纹线部分所 表示的时间内,有电子穿过. 设斜入射到区域Ⅱ中的 电子在垂直于管轴方向 上的速度为 v ? ,则电子 做圆周运动的半径r和周 期T分别为


m v? r? eB

2?m T'? eB

只有2r<R的那些电子才能不与管壁碰撞而到达A',即 eBR m v? B ? , v? ? eB 2 2m 2?m L ? Rv ? ,可消去B得到 v? ? 利用 T ' ? eB v L 因此穿过A'后的电子运动方向与管轴间的最大夹角为 ?1 ?R ? ? tg L

3。如图所示的磁流体发电机,是霍耳效应的一种实际的 应用.已知横截面积为矩形的管道长为l,宽为a,高为b, 上下两个侧面是绝缘体,前后两个侧面是电阻可忽略的导 体,分别与负载电阻RL的一端相连.整个装置放在垂直于 上、下两个侧面的匀强磁场B中.含有正、负带电粒子的 电离气体持续匀速地流经管道.假如横截面上各点流速相 同,已知流速与电离气体所受的摩擦力成正比,且无论有 无磁场存在时,都维持管两端电离气体的压强差为p,如 果无磁场存在时电离气体的流速为v0,那么有磁场存在时 此磁流体发电机的 电动势ε的大小是多少? 已知电离气体的平均电 阻率为ρ.

解1。从力的角度来解:设有磁场存在时电离气体(相 当于长度为a的导体)的流速为 v,其产生的横向感生电 动势为ε=vaB。当电离气体匀速流动时,管两端的压力 差给气体一个向前的力,而感应电流(当外电路接通时 存在)受到的安培力和摩擦力给气体一个向后的力,这 两部分力应该相互平衡.由欧姆定律可知 I=ε/R=ε/(ρa/lb+RL) 管内气体所受安培力 F=IBa=Baε/(ρa/lb+RL) 当管周围无磁场时,用f表示摩擦力,应有 pab=f 当管周围有磁场时,用f‘表示摩擦力,应有 pab=F+f' 因为流速与摩擦力成正比,所以v0/v=f/f’=pab/(pab-F) 由以上诸式可解得

? Ba pb ? ? ? ? pab/? ? ? R ? ?a / lb v B ? 0 ? L ?

解2。从能量守恒的角度来考虑: 无磁场时,外界压力的功率=克服摩擦力的功率 pabv0=kv0· v0(k为比例系数) ① 有磁场时,外界压力的功率=克服摩擦力的功率+消耗 在磁流体本身及负载电阻上的功率

pabv0 ? kv ? v ?

?2

当气体稳定时,应有 qvB ? q ①、③代入②可得 同样可得

?a / lb ? RL
?
a pb? 2



Ba pb? ?2 ? ? 2 B RL ? ?a / lb v0 aB

v?

?



? Ba pb ? ? ? pab/? ? R ? ?a / lb ? v B ? ? 0 ? L ?

4。A1和A2是两块面积很大、互 相平行又相距较近的带电金属 板,相距为 d.两板问的电势 差为U.同时,在这两板间还 有方向与均匀电场正交而垂直 纸面向外的均匀磁场.一束电 子通过左侧带负电的板A1上的 小孔,沿垂直于金属板的方向 射入,为使该电子束不碰到右 侧带正电的板A2,问所加磁场 的磁感应强度至少要多大?设 电子所受到的重力及从小孔进 入时的初速度均可不计.

解:按题意,电子在刚进入两板间时,初速度为零.我们 设想:此时电子具有沿如图所示的y(平行于板)方向的 速度+v和-v,使+v这个速度所引起的磁场力正好与电子板 间所受的电场力相平衡,即v的大小满足 evB=eE=eU/d,或写成 v=U/(Bd) ①’ ①'式表明,这个正值是恒定的. 照此设想,电子在其后的运动过程中将受到三个力, 一个是沿x方向的电场力,一个是由于电子沿y轴向上 运动而产生的-x方向的磁场力,另一个是电子向下运动 产生的x方向的磁场力.这第三个力所相应的加速度引 起电子速度的改变,它和原来电子向下运动的速度的 合成正是一种匀速率圆周运动模式,而电子向上运动 这个分速度没有改变,也就是说,它所引起的磁场力 和电场力始终保持平衡.于是,电子的运动综合 起来,

可视为是一个速度为v的向上运动和一个速率为v的匀速 圆周运动的合成.对匀速圆周运动,有evB=mv2/R ②’ 而要求电子不碰到A2板,则必须 R<d/2 ③’ 将②’和①’式代入③’式,

d / 2 ? R ? mv/?eB? ? mU / eB2 d


B ? 2mU / ed 2

? ?

?

?


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