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【高考第一轮复习数学】三角函数专题


专题一:三角函数
一、三角函数
1、同角三角函数的基本关系: sin ? ? cos ? ? 1
2 2

tan ? ?

sin ? cos ?
tan(360?k ? ? ) ? tan?

2、 诱导公式 (一)sin(360?k ? ? ) ? sin ? 诱导公式(二) sin(?? ) ? ? sin ?


cos(360?k ? ? ) ? cos?

cos(?? ) ? cos? tan(?? ) ? ? tan? 。 诱导公式(三) sin(180 ? ? )=-sin ? ;cos(180 ? ? ) ? cos ? ; tan(180。? ? ) ? tan ? sin(180? ? ? ) ? sin ? cos(180? ? ? ) ? ? cos? tan( ? ? ? ) ? ? tan? 180 ? ? sin( ? ? ) ? cos ? cos( ? ? ) ? sin ? 诱导公式(四) 2 2 ? ? sin( ? ? ) ? cos ? cos( ? ? ) ? ? sin ? 2 2
3、两角和与差的余弦公式: cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
两角和与差的正弦公式: sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ?

sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
两角和与差的正切公式: tan ?? ? ? ? ? 注意: ? ? ? ? 4、辅助角公式:

tan ? ? tan ? tan ? ? tan ? ; tan ?? ? ? ? ? 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan ? tan ?
2 ? k? , ? ?

?
2

? k? , ? ?

?

?
2

? k? ( k ? z )

a sin x ? b cos x ? a 2 ? b2 (

a a ?b
2 2

sin x ?

b a ?b
2 2

cos x) ? a 2 ? b 2 sin( x ? ? )

a ? cos ? ? ? a 2 ? b2 ? 其中辅助角 ? 由 ? 确定,即辅助角 ? 的终边经过点 ( a, b) b ? sin ? ? ? a 2 ? b2 ? 5、二倍角正弦、余弦和正切公式: sin 2? ? 2sin ? cos ?
cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? 2sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1
tan 2? ?
升幂公式: cos ? ?
2

2 tan ? ? ? 注意: 2? ? ? k? ,? ? ? k? 2 1 ? tan ? 2 2

?k ? z?

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? ;sin 2 ? ? 2 2

降幂公式: 1 ? cos 2? ? 2cos2 ? ;1 ? cos 2? ? 2sin 2 ? 7、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: 性 函 质 数

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图 象

定 义 域 值 域 当

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?

??1,1?
x ? 2 k? ?

??1,1?
当 x ? 2k? ? k ??? 时, , 当

R

?
2

? k ???
最 值

时 ;

ymax ? 1
x ? 2 k? ? ?



当 既无最大值也无最 小值

ymax ? 1
x ? 2 k? ?

?
2

? k ???






? k ???



ymin ? ?1.

ymin ? ?1.
周 期 性 奇 偶 性 单 调 性 在
2? 2?

?

奇函数

偶函数

奇函数





? ?? ? ? 2k? ? 2 , 2k? ? 2 ? ? ?

?2k? ? ? , 2k? ?? k ???
上是增函数;在

? ?? ? ? k? ? , k? ? ? 2 2? ?

?2k? ,2k? ? ? ?
? k ??? 上 是 增 函
数;在

? k ??? 上 是 增 函
数.

? k ??? 上 是 减 函
数.

? 3? ? ? ?2k? ? 2 , 2k? ? 2 ? ? ?

? k ??? 上 是 减 函
数. 对 对 称 性 称 中 心 对 称 中 心 对 称 中 心
? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?

? k? ,0?? k ???
对 称 轴 ? x ? k? ? ? k ? ? ? 2

? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?
对 称 轴

x ? k? ? k ???

无对称轴

8、常用特殊角的三角函数值表: 角度 函数 角 a 的弧度 sin cos tan 0 0 0 1 0 30 π /6 1/2 45 π /4 60 π /3 90 π /2 1 0 120 2π /3 135 3π /4 150 5π /6 1/2 180 π 0 -1 0 270 3π /2 -1 0 360 2π 0 1 0

2 2 2 2
1

3 2
1/2

3 2
-1/2

2 2 ? 2 2
-1

3 2

3 2

3 3

3

? 3

? 3 3

二、解三角形
1、正弦定理:在 ??? C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, R 为 ??? C 的外接

a b c ? ? ? 2R . sin ? sin ? sin C 2、正弦定理的变形公式:① a ? 2 R sin ? , b ? 2 R sin ? , c ? 2 R sin C ; a b c ② sin ? ? , sin ? ? , sin C ? ; 2R 2R 2R ③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; a?b?c a b c ? ? ? ④ . sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C
圆的半径,则有

3、三角形面积公式: S ???C ?

1 1 1 bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? . 2 2 2
2 2 2 2 2 2

4、余弦定理:在 ??? C 中,有 a ? b ? c ? 2bc cos ? , b ? a ? c ? 2ac cos ? ,

c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .
5、余弦定理的推论: cos ? ?

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 , cos ? ? , cos C ? . 2bc 2ab 2ac
2 2 2

6、设 a 、 b 、 c 是 ??? C 的角 ? 、 ? 、 C 的对边,则:①若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ;
?

②若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ;③若 a ? b ? c ,则 C ? 90 .
2 2 2

?

2

2

2

?


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