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2初等函数、经济中的常用函数


经济数学

数学家名言
我们欣赏数学,我们需要数学。 ——陈省身

学生感言
学习数学,使自己更理性地去思考问题,也帮 助解决了一些专业课上遇到的问题。

经济数学

2.2 初等函数
1.基本初等函数 (1) 常数函数 y ? C
有何特性?

r />有界、是偶函
数。

图1-7

经济数学 1.基本初等函数 (2) 幂函数
y ? x?
当?

当 ? 为奇数时,函数为奇函数;
当 ? 为偶数时,函数为偶函数 当? 当? ? 0 时, 函数有何特性?

?0 时
(1,1)

?0 时

图1-8

(在第一象限是 单调减少的。)
图1-9

当 ? ? 0 时, 函数有何特性?

(在第一象限是 单调增加的。)

经济数学 1.基本初等函数
x (3) 指数函数 y ? a

(a ? 0且a ? 1)

0<a <1

y a >1
指数函数的图象有何特性?

1

?
o x
共性:函数图象均在某 x 轴上方,均经过 点 (0 ,1)。 不同点:当 a ? 1时,是增函数; 当 0 ? a ?1 时,是减函数。

经济数学

1.基本初等函数 (4) 对数函数 y ? log a x (a ? 0且a ? 1)
y
a >1 对数函数的图象有何特性?

o

1

x
0<a <1 共性:函数图象均在某 y 轴右侧,均经过 点 (1, 0)。 不同点:当 a ? 1 时,是增函数; 当 0 ? a ? 1时,是减函数。

?

经济数学 1.基本初等函数 (5) 三角函数
正弦函数:y ? sin x

正弦函数的图象有何特性?

?函数图象关于原点对称,是奇函数; ?是周期函数,周期为 2? ; ? ? ?当 x ? (2k? ? , 2k? ? ), k ? Z 时,是单 2 2 调增加的,当 x ? (2k? ? ? , 2k? ? 3? ), k ? Z 2 2 时,是单调减少的; ? sin x ? 1 ,是有界函数。

?

经济数学 1.基本初等函数 (5) 三角函数
余弦函数:y ? cos x

?函数图象关于 y 轴对称,是偶函数; ?是周期函数,周期为 2? ; ?当 x ? (2k? , 2k? ? ? ), k ? Z 时,是单 调减少的,当 x ? (2k? ? ? , 2k? ? 2? ), k ? Z 时,是单调增加的; ? cos x ? 1,是有界函数。

余弦函数的图象有何特性?

?

经济数学 1.基本初等函数 (5) 三角函数
正切函数:y ? tan x 正切函数的图象有何特性?

?

?函数图象关于原点对称,是奇函数; ?是周期函数, 周期为 ? ; ?当 x ? (k? ? ? , k? ? ? ), k ? Z 时,是单 2 2 调增加的。

经济数学 1.基本初等函数

(5) 三角函数
余切函数:y ? cot x
余切函数的图象有何特性?

?

?函数图象关于原点对称,是奇函数; ?是周期函数,周期为 ? ; ?当 x ? (k? , k? ? ? ), k ? Z 时,是单调减少的。

经济数学 1.基本初等函数 (6) 反三角函数
反正弦函数: y ? arcsin x

反正弦函数的图象有何特性?

?
?反函数图象关于原点对称,是奇函数; ?是单调增函数; ? arcsin x ? ? ,是有界函数。

2

经济数学

1.基本初等函数 (6) 反三角函数
反余弦函数:y ? arc co s x

反余弦函数的图象有何特性?

?
?是单调减函数; ? 0 ? arccos x ? ? ,是有界函数。

经济数学

1.基本初等函数 (6) 反三角函数
反正切函数: y ? arctan x 反正切函数的图象有何特性?

?
?反正切函数图象关于原点对称,是奇函数; ?是单调增函数; ? arctan x ? ? ,是有界函数。

2

经济数学 1.基本初等函数 (6) 反三角函数
反余切函数:y ? arccot x

反余切函数的图象有何特性?

?

?是单调减函数; ? 0 ? arccot x ? ? ,是有界函数。

经济数学 2. 复合函数 (1) 定义

给定一个 x0 ,通过函数 u ? sin x 可以计算出 u0 以算出 y

? sin x0
0

再通过函数 y ? eu 可以计算出 y0 ? eu0 ,于是由 x ,可
0

。这种计算方式是通过两个函数 y ? eu 与函

数 u ? sin x 而来的,我们把这种合成新的函数 y ? esin x 称为复合函数

经济数学 2. 复合函数 (1) 定义 定义1· 6
u ? ? ( x)是 x 的函数.如果 u ? ? ( x) 设 y ? f (u )是 u 的函数, 的值域或其部分是y ? f (u )的定义域的子集,则 y 通过 u 构成 x 的函数称为的复合函数,记为

y ? f [? ( x)]

其中 u 称为中间变量。

经济数学 2. 复合函数 (1) 定义
中间变量

u
f y
y ? f [? ( x)]

?
x
自变量

若 u ? ? ? x ?的值域或其部分包含在 y ? f ?u ?的 定义域中

经济数学 2. 复合函数 (2) 复合
例3 将下列函数复合成新的函数

(1)设 y ? ln u , u ? cos x ;

u ? arctan x; (2)设 y ? u ,

x 2 v ? x3 ? 1 (3)设 y ? u ,u ? sin v,v ? e ;(4)设 y ? tan u, u ? arcsin v,

解:(1)y ? ln cos x (2)y ? arctan x
2 x (3) y ? sin (e )
3 (4) y ? tan(arcsin( x ? 1))

经济数学 2. 复合函数 (3) 分解
例4
指出下列复合函数的复合过程 (2) y ? arctan x ; (4) y ? ln arccos 1 ? x 。

2 (1) y ? cos x ;

( 3) y ? e

arc cot x



解:(1) y (2)y

? cos u , u ? x2
? arctan u , u ? x
? ln u ,u ? arccos v ,v ? w ,w ? 1 ? x

u y ? e ( 3) ,u ? v ,v ? arc cot x

(4)y

经济数学 3. 初等函数 (1) 定义 定义1· 7
由基本初等函数经过有限次加、减、乘、除或复合而成的函 数称为初等函数。

y?e 如 y ? 3x ? cos x 、
2

x

ln x ? x sin x ? tan x

等都是初等函数。

经济数学 3. 初等函数 (1) 定义
表达式 定义域 图形 性质










指 数 函 数

对 数 函 数

三 角 函 数

反 三 角 函 数
有限次四则运算

有限次复合步骤

基本初等函数

初等函数

(用一个式子表示)

经济数学

课堂调节

甲、乙两个在圆桌上放杯子,一人一次放一个,交 替进行,规定最后放下的为胜 (也即某人放下一个 杯子时,另一人不能再放下杯子时为胜)。请问是 先放杯子的胜,还是后放杯子的胜?

经济数学 1.需求函数与供应函数 (2) 供应函数
某种商品的市场供给量也受商品价格的制约,价格上涨将刺 激生产者向市场提供更多的商品,供给量增加;反之,价格下跌 将使供给量减少.在假定其它因素不变的条件下,供给量 S 也可 看成价格 p 的函数,称为供给函数,记作
S ? S ( p)

常见的供应函数有以下几种类型:
?线性供应函数

Q ? c ? dp (c ? 0, d ? 0)

2 ? 二次供应函数 Q ? a ? bp ? cp (a ? 0, b ? 0, c ? 0)

?指数供应函数

Q ? Aebp

( A ? 0, b ? 0)

经济数学

2.3 经济中常用的函数
1.需求函数与供应函数

(1) 需求函数
市场对某种商品的需求量,主要受到该商品的价格的影响, 通常降低商品的价格会使需求量增加,提高商品的价格会使需求 量减少.在假定其它因素不变的条件下,市场需求量 Q 可视为该 商品价格 p 的函数,称为需求函数,记作
Q ? Q( p)

常见的需求函数有以下几种类型:
?线性需求函数 ? 二次需求函数

Q ? a ? bp (a ? 0, b ? 0)
Q ? a ? bp ? cp 2 (a ? 0, b ? 0, c ? 0)

?指数需求函数

Q ? Ae?bp

( A ? 0, b ? 0)

经济数学 1.需求函数与供应函数 (3) 均衡价格与均衡数量
一般地,需求函数是价格的单调减函数,供给函数是价格的单调增 函数.当市场上某种商品的需求量与供给量相等时,需求量与供给量持 平,此时该商品市场处于平衡状态,称为供需平衡,这时商品的价格称 为市场平衡价格或均衡价格,记为 p 0 ,对应的需求量称为均衡量,记
为 Q0 。

经济数学 1.需求函数与供应函数
例1
(1)设某电子产品的月销售量是价格的线性函数.当价格为580元时, 每月售出800件;当价格为680元时,每月售出600件,试求需求函数 ; (2)该电子产品开发商每月向商场供给量是价格的线性函数.当价格 为580元时,每月提供800件;当价格为680元时,每月多提供100件, 试求供给函数; (3)求出该电子产品的均衡价格。

解 (1)设需求量为 Q,价格为 p,由题意得
?a ? 580 b ? 800 ? ?a ? 680 b ? 600
?800 ? c ? 580 d ? ?900 ? c ? 680 d
(3)由题意得

?

a ? 1960 , b ? 2

所以需求函数为 Q ? 1960 ? 2 p

(2)设供应量为 S ,价格为 p,由题意得

?

c ? 220, d ? 1

所以供应函数为

S ? 220 ? p

220 ? p ? 1960 ? 2 p 解得 p ? 580 ,所以均衡价格为580元。

经济数学 2. 成本函数、收入函数、利润函数 (1) 成本函数 总成本 C (q) 由固定成本 C 0 和可变成本C1 (q) 两部分组成:
C (q) ? C0 ? C1 (q)

q 个单位产品时的平均成本为:
C (q) C 0 C1 (q) C? ? ? q q q



经济数学 2. 成本函数、收入函数、利润函数 (1) 成本函数
例2
某企业生产某种产品的日固定成本为300元,生产一个单位产品的 变动成本为250元,求当生产200个单位产品时的总成本和平均成本。 解
总成本函数为:C (q) ? 300 ? 250q

当生产200个单位产品时的总成本为:
C (200) ? 300 ? 250 ? 200 ? 50300( 元)

当生产200个单位产品时的平均成本为: C (200) C (200) ? ? 251.5( 元 / 每单位) 200

经济数学 2. 成本函数、收入函数、利润函数 (2) 收入函数
总收入函数 R(q)与产品的单价 p 和产量或销售量 q 有关 ,其式子为:

R(q) ? qp(q)
: q 个单位产品时的平均收入为:

R?

R(q) q

经济数学 2. 成本函数、收入函数、利润函数

(1) 成本函数
例3 某商品的市场需求规律为 q ? p ? 6 ,求销售100个商品时的总收入和 平均收入。 解
总收入函数为:R(q) ? pq ? (q ? 6)q ? q 2 ? 6q

当销售100个商品时的总收入为:
R(100) ? 1002 ? 6 ?100 ? 10600

当生产200个单位产品时的平均成本为: R(100) R (100) ? ? 106 100

经济数学 2. 成本函数、收入函数、利润函数 (3) 利润函数
总利润 L(q ) 等于总收入 R(q) 与总成本 C (q) 的差,所以总利润函数为 :

L(q) ? R(q) ? C (q)

q 个单位产品时的平均利润为:
L? L( q ) R ( q ) ? C ( q ) ? q q



经济数学

小结

? 函数的概念,函数的定义域、函数值的求法
? 函数简单性质的了解,会判断奇偶性、单调性 ? 基本初等函数的表达式、图像

? 复合函数的分解
? 初等函数有概念 ? 经济函数模型的建立

经济数学

作业
P9 练习题2.1 1 3

P10 练习题2.2 P14 练习题2.3 1 2


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