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专题14 导数与函数的单调性、极值(解析版)


专题十四 导数与函数的单调性、极值 【高频考点解读】 1.了解函数单调性和导数的关系; 能利用导数研究函数的单调性, 会求函数的单调区间(其 中多项式函数一般不超过三次). 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件; 会用导数求函数的极大值、 极小值(其 中多项式函数一般不超过三次). 【热点题型】 题型一 利用导数研究函数的单调性

例 1、(2013

年高考全国新课标卷Ⅱ)已知函数 f(x)=ex-ln(x+m). (1)设 x=0 是 f(x)的极值点,求 m,并讨论 f(x)的单调性; (2)当 m≤2 时,证明 f(x)>0.

【方法技巧】 1.当 f(x)不含参数时,可以通过解不等式 f′(x)>0(或 f′(x)<0)直接得到单调递增(或递减) 区间.

2.导数法证明函数 f(x)在(a,b)内的单调性的步骤: (1)求 f′(x); (2)确认 f′(x)在(a,b)内的符号; (3)作出结论:f′(x)>0 时为增函数;f′(x)<0 时为减函数. 【提分秘籍】 1.求函数 f(x)的单调区间,也是求不等式 f′ (x)>0(或 f′(x)<0)的解集,但单调区间不能脱 离定义域而单独存在,求单调区间要坚持“定义域优先”的原则. 2.由函数 f(x)在区间[a,b]内单调递增(或递减),可得 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)在该区间恒成立, 而不是 f′(x)>0(或<0)恒成立,“=”不能少. 【举一反三】 1 a 设函数 f(x)= x3- x2+bx+c,曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y=1. 3 2 (1)求 b,c 的值; (2)若 a>0,求函数 f(x)的单调区间; (3)设函数 g(x)=f(x)+2x,且 g(x)在区间(-2,-1)内存在单调递减区间,求实数 a 的取值 范围.

【热点题型】 题型二 利用导数研究函数的极值

例 2 (2013 年高考重庆卷)设 f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中 a∈R,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))

处的切线与 y 轴相交于点(0,6). (1)确定 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值.

【提分秘籍】 利用导数研究极值需注意以下几点 (1)首先考虑定义域 . (2)判断函数的单调性时要注意分类讨论. (3)导数值为 0 的点不一定是函数的极值点. 【举一反三】 设函数 f(x)的定义域为 R,x0(x0≠0)是 f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是( A.?x∈R,f(x)≤f(x0) B.-x0 是 f(-x)的极小值点 C.-x0 是-f(x)的极小值点 D.-x0 是-f(-x)的极小值点 )

【热点题型】 题型三 利用导数研究方程根的问题

x3 例 3、已知函数 f(x)=ln(2ax+1)+ -x2-2ax(a∈R). 3 (1)若 x=2 为 f(x)的极值点,求实数 a 的值; -x3 b 1 (2)当 a=- 时,方程 f(1-x)= + 有实根,求实数 b 的最大值. 2 3 x

【提分秘籍】 1.利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式方程解的个数问题的一般思路 (1)将问题转化为函数的零点问题, 进而转化为函数的图象与 x 轴(或直线 y=k)在该区间上 交点问题; (2)利用导数研究出该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质,进而画出其图 象; (3)结合图象求解.

2.证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤 第一步:利用导数证明该函数在该区间上单调; 第二步:证明端点值异号. 【高考风向标】 1. (2014· 安徽卷) 设函数 f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中 a>0. (1)讨论 f(x)在其定义域上的单调性; (2)当 x∈[0,1]时 ,求 f(x)取得最大值和最小值时的 x 的值.

2. (2014· 安徽卷) 设实数 c>0,整数 p>1,n∈N*.

(1)证明:当 x>-1 且 x≠0 时,(1+x)p>1+px; p-1 1 c - 1 (2)数列{an}满足 a1>c ,an+1= a + a1 p,证明:an>an+1>c . p p n p n p

p-1 c 1-p 1 方法二:设 f(x)= x+ x ,x≥c ,则 xp≥c, p p p 所以 f′(x)= p-1 c p-1? c - 1- p?>0. + (1-p)x p= p p p ? x?

1 1 1 1 由此可得,f(x)在[c ,+∞)上单调递增,因而,当 x>c 时,f(x)>f(c )=c . p p p p 1 ①当 n=1 时,由 a1>c >0,即 ap 1>c 可知 p

3. (2014· 福建卷) 已知函数 f(x)=ex-ax(a 为常数)的图像与 y 轴交于点 A,曲线 y=f(x)在点 A 处的切线斜率为-1. (1)求 a 的值及函数 f(x)的极值; (2)证明:当 x>0 时,x2<ex; (3)证明:对任意给定的正数 c,总存在 x0,使得当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x2<cex.

(3)证明:①若 c≥1,则 ex≤cex.又由(2)知,当 x>0 时,x2<ex.

故当 x>0 时,x2<cex. 取 x0=0,当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x2<cex.

4. (2014· 广东卷) 曲线 y=e

-5x

+2 在点(0,3)处的切线方程为________.

5. (2014· 江西卷) 若曲线 y=e x 上点 P 处的切线平行于直线 2x+y+1=0,则点 P 的坐标


是________.

6. (2014· 江西卷) 已知函数 f(x)=(x2+bx+b) 1-2x(b∈R). (1)当 b=4 时,求 f(x)的极值; 1? (2)若 f(x)在区间? ?0,3?上单调递增,求 b 的取值范围.

7. (2014· 全国卷) 曲线 y=xex A.2e B.e C.2 D.1

-1

在点(1,1)处切线的斜率等于(

)

8. (2014· 新课标全国卷Ⅱ)设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a =( ) A.0 B.1 C.2 D.3 1 【答案】D 【解析】 y′=a- ,根据已知得,当 x=0 时,y′=2,代入解得 a=3. x+1 9. (2014· 陕西卷) 设函数 f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0,其中 f′(x)是 f(x)的导函数. (1)令 g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,求 gn(x)的表达式; (2)若 f(x)≥ag(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)设 n∈N+,比较 g(1)+g(2)+…+g(n)与 n-f(n)的大小,并加以证明.

1 2 n (3)由题设知 g(1)+g(2)+…+g(n)= + +…+ , 2 3 n+1 比较结果为 g(1)+g(2)+…+g(n)>n-ln(n+1). 证明如下:

由①②可知,结论对 n∈N+成立.

方法三:如图,?n

x x 1 dx 是由曲线 y= ,x=n 及 x 轴所围成的曲边梯形的面积,而 2 x+1 ?0x+1

2 n + +…+ 是图中所示各矩形的面积和, 3 n+1

1 2 n x ∴ + +…+ > n dx= 2 3 n+1 ? x + 1 ?
0

1 ? n?1- ? x + 1?dx=n-ln(n+1), ? ?0 结论得证. 10. (2014· 四川卷)设等差数列{an}的公差为 d, 点(an, bn)在函数 f(x)=2x 的图像上(n∈N*). (1)若 a1=-2,点(a8,4b7)在函数 f(x)的图像上,求数列{an}的前 n 项和 Sn; (2)若 a1=1,函数 f(x)的图像在点(a2,b2)处的切线在 x 轴上的截距为 2- 的前 n 项和 Tn. 1 ?an? ,求数列?b ? ln 2 ? n?

2n 1-n-2 所以,Tn= . 2n


?-x2+2x,x≤0, ? 11. (2013· 新课标全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)=? 若|f(x)|≥ax,则 a 的取 ?ln(x+1),x>0. ?

值范围是(

)

A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.[-2,1] D.[-2,0]

12. (2013· 广东卷) 若曲线 y=kx+ln x 在点(1, k)处的切线平行于 x 轴, 则 k=________. 1 【答案】-1 【解析】 ∵y′=k+ ,∴y′|x=1=k+1=0,故 k=-1. x 13. (2013· 江西卷) 设函数 f(x)在(0,+∞)内可导,且 f(ex)=x+ex,则 f′(1)=________. 1 【答案】2 【解析】 f(ex)=x+ex,利用换元法可得 f(x)=ln x+x,f′(x)= +1,所以 f′(1) x =2.

14. (2013· 北京卷) 设 L 为曲线 C:y= (1)求 L 的方程;

ln x 在点(1,0)处的切线. x

(2)证明:除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 L 的下方.

1 1 ,+∞?是增函数, 15. (2013· 全国卷)若函数 f(x)=x2+ax+ 在? 则 a 的取值范围是( ? x ?2 A.[-1,0] B.[-1,+∞) C.[0,3] D.[3,+∞)

)

【随堂巩固】 1.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是( A.y=x3 C.y=-x2+1 B.y=|x|+1 D.y=2
-|x|

)

2.下列函数 f(x)中,满足“对任意 x1,x2∈(0,+∞),当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2)”的是( 1 A.f(x)= x C.f(x)=ex B.f(x)=(x-1)2 D.f(x)=ln(x+1)

)

解析:由题意可知,函数 f(x)在(0,+∞)上为减函数. 答案:A
? ?-x+3a, x<0, 3. 函数 f(x)=? x (a>0 且 a≠1)是 R 上的减函数, 则 a 的取值范围是( ?a , x≥0, ?

)

A.(0,1) 1 C.(0, ] 3

1 B.[ ,1) 3 2 D.(0, ] 3

4.下列区间中,函数 f(x)=|ln(2-x)|在其上为增函数的是( A.(-∞,1] 3 C.[0, ) 2 4 B.[-1, ] 3 D.[1,2)

)

解析:由 2-x>0,得 x<2,即函数定义域是(-∞,2).作出函数 y=|ln(-x)|的图象,再将 其向右平移 2 个单位,即函数 f(x)=|ln(2-x)|的图象,由图象知 f(x)在[1,2)上为增函数.

答案:D 1 5.函数 y=( )2x2-3x+1 的递减区间为( 2 A.(1,+∞) 1 C.( ,+∞) 2 3 B.(-∞, ) 4 3 D.[ ,+∞) 4 )

6.已知函数 f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,在(0,+∞)上单调递减,且 1 f( )>0>f(- 3),则方程 f(x)=0 的根的个数为( 2 A.0 C .2 B.1 D.3 )

7.函数 f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是________.

1,x>0 ? ? 8.函数 f(x)=?0,x=0 ,g(x)=x2f(x-1),则函数 g(x)的递减区间是________. ? ?-1,x<0

9.已知函数 f(x)= ________.

3-ax (a≠1),若 f(x)在区间(0,1]上是减函数,则实数 a 的取值范围是 a-1

10.已知函数 f(x)对任意的 a,b∈R 恒有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x>0 时,f(x)>1. (1)求证:f(x)是 R 上的增函数; (2)若 f(4)=5,解不等式 f(3m2-m-2)<3.

x 11.已知 f(x)= (x≠a). x-a (1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)内单调递增; (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)内单调递减,求 a 的取值范围.

12.设奇函数 f(x)在[-1,1]上是增函数,f(-1)=-1.若函数 f(x)≤t2-2at+1 对所有的 x∈[-1,1],a∈[-1,1]都成立,求 t 的取值范围.

设 g(a)=2at-t2(-1≤a≤1),欲使 2at-t2≤0 恒成立,
?g- ? 则? ?g ?

?t≥2 或 t=0 或 t≤-2.

即所求 t 的取值范围是(-∞,-2]∪{0}∪[2,+∞).


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