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2015备战中考数学总复习 专题(五) 三角形的有关计算与证明


小专题(五) 三角形的有关计算与证明 三角形的有关计算和证明是中考的必考内容之一,这类试题解法比较灵活,通常以全等三角形、等腰三角形、 等边三角形和直角三角形的性质和判定为考查重点,以计 算题、 证明题的形式出现,解答这类问题时,不仅要熟 练掌握有关的公式定理,更要注意它们之间的相互联系. 例 (2014·重庆 B 卷)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC,E

为 AC 边的中点,过点 A 作 AD⊥AB 交 BE 的延 长线于点 D.CG 平分∠ACB 交 BD 于点 G,F 为 AB 边上一点,连接 CF,且∠ACF=∠CBG. 求证:(1)AF=CG;(2)CF=2DE. 【思路点拨】(1)要证明 AF=CG,可以利用“ASA”证明△ACF≌△CBG 来得到; (2)要证明 CF=2DE,由(1)得 CF=BG,则只要证明 BG=2DE,又利用△AED≌△CEG 可得 DG=2DE,故证明 DG=BG 即可. 【解答】证明:(1)∵∠ACB=90°,CG 平分∠ACB,AC=BC. ∴∠BCG=∠CAB=45°. 又∵∠ACF=∠CBG,AC=BC, ∴△ACF≌△CBG(ASA), ∴CF=BG,AF=CG. (2)延长 CG 交 AB 于点 H. ∵AC=BC,CG 平分∠ACB, ∴CH⊥AB,H 为 AB 中点. 又∵AD⊥AB,∴CH∥AD, ∴G 为 BD 中点,∠D=∠EGC. ∵E 为 AC 中点,∴AE=EC. 又∵∠AED=∠CEG, ∴△AED≌△CEG(AAS), ∴DE=EG,∴DG=2DE,∴BG=DG=2DE. 由(1)得 CF=BG,∴CF=2DE. 方法归纳:解答与线段或角相等的有关问题时,通常将它转化为全等三角形问题来求解. 1.(2014·长沙)如图,四边形 ABCD 是矩形,把矩形沿对角线 AC 折叠,点 B 落在点 E 处,CE 与 AD 相交于点 O. (1)求证:△AOE≌△COD; (2)若∠OCD=30°,AB= 3 ,求△AOC 的面积. 2.(2014·滨州)如图,已知正方形 ABCD,把边 DC 绕 D 点顺时针旋转 30°到 DC′处,连接 AC′,BC′,CC′.写出 图中所有的等腰三角形,并写出推理过程. 3.如图,在△ABC 中,∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为 D、E,F 为 BC 中点,BE 与 DF、DC 分别交于点 G、H, ∠ABE=∠CBE. (1)线段 BH 与 AC 相等吗?若相等给予证明,若不相等请说明理由; (2)求证:BG2-GE2=EA2. 4.在等边△ABC 中,点 E 是 AB 上的动点,点 E 与点 A、B 不重合,点 D 在 CB 的延长线上,且 EC=ED. (1)当 BE=AE 时,求证:BD=AE; (2)当 BE≠AE 时, “BD=AE”还成立吗?若你认为不成立,请直接写出 BD 与 AE 数量关系式,若你认为成立,请给予 证明. 5.(2014·重庆 A 卷)如图,△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC,垂足是 D,AE 平分∠BAD,交 BC 于点 E.在△ ABC 外有一点 F,使 FA⊥AE,FC⊥BC. (1)求证:BE=CF; (2)在 AB 上取一点 M,使 BM=2DE,连 接 MC,交 AD 于点 N,连接 ME. 求证:①ME⊥BC;②DE=DN. 参考答案 1.(1)证明:由折叠的性质可得:AE=AB,∠E=∠B=90°. ∵四边形 ABC

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