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2014届高三数学解析几何部分综合测试题


2014 届高三数学解析几何综合测试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.若直线 l 与直线 y=1、x=7 分别交于点 P、Q,且线段 PQ 的中点坐标为(1,-1), 则直线 l 的斜率为( 1 A. 3 ) 1 B.- 3 3 C.- 2 2 D. 3 a+7 1+b? ? 2 , 2 ?,则

解析:设 P

点坐标为(a,1),Q 点坐标为(7,b),则 PQ 中点坐标为?

?a+7=1, 2 ?1+b ? 2 =-1,
率为 kPQ= 答案:B

?a=-5, ? 解得? 即可得 P(-5,1),Q(7,-3),故直线 l 的斜 ? ?b=-3,

1+3 1 =- . 3 -5-7

2.若直线 x+(a-2)y-a=0 与直线 ax+y-1=0 互相垂直,则 a 的值为( A.2 C.1 B.1 或 2 D.0 或 1

)

1 解析:依题意,得(-a)×?-a-2?=-1,解得 a=1.

?

?

答案:C π 3.已知圆(x-1)2+(y-3 3)2=r2(r>0)的一条切线 y=kx+ 3与直线 x=5 的夹角为 , 6 则半径 r 的值为( A. C. 3 2 3 3 3 或 2 2 ) 3 3 B. 2 D. 3 或 3 2

π 3 解析:∵直线 y=kx+3 与 x=5 的夹角为 ,∴k=± 3.由直线和圆相切的条件得 r= 6 2 3 3 或 . 2 答案:C 4.顶点在原点、焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y=x+1 截得的弦长是 10,则抛物线 的方程是( ) B.y2=-x D.y2=5x
1

A.y2=-x,或 y2=5x C.y2=x,或 y2=-5x

解析: 由题意, 可知抛物线的焦点在 x 轴上时应有两种形式, 此时应设为 y2=mx(m≠0), 联立两个方程,利用弦长公式,解得 m=-1,或 m=5,从而选项 A 正确. 答案:A 5.已知圆的方程为 x2+y2-6x-8y=0,若该圆中过点 M(3,5)的最长弦、最短弦分别为 AC、BD,则以点 A、B、C、D 为顶点的四边形 ABCD 的面积为( A.10 6 C.30 6 B.20 6 D.40 6 )

解析:已知圆的圆心为(3,4),半径为 5,则最短的弦长为 2 52-12=4 6,最长的弦为 1 圆的直径为 10,则四边形的面积为 ×4 6×10=20 6,故应选 B. 2 答案:B x2 y2 6.若双曲线 2- 2=1 的一个焦点到其对应准线和一条渐近线的距离之比为 2∶ 3, a b 则双曲线的离心率是( A.3 C. 3
2

) B.5 D. 5

a b2 bc b 2 解析:焦点到准线的距离为 c- = ,焦点到渐近线的距离为 2 ,e 2=b,c = c c 3 a +b = 3. 答案:C 7.若圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上,则圆 C 的方 程为( ) B.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2

A.(x+1)2+(y-1)2=2 C.(x-1)2+(y+1)2=2

解析:如图,据题意知圆的直径为两平行直线 x-y=0,x-y-4=0 之间的距离 2 ,故圆的 半径为 ,又 A(2,-2),故圆心 C(1,-1),即圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2. 答案:C 8.已知抛物线 y2=2px(p>0),过点 E(m,0)(m≠0)的直线交抛物线于点 M、N,交 y 轴 → → → → 于点 P,若PM=λME,PN=μNE,则 λ+μ =( )

2

A.1 C.-1

1 B.- 2 D.-2

解析:设过点 E 的直线方程为 y=k(x-m).代入抛物线方程,整理可得 k2x2+(-2mk2 -2p)x+m2k2=0.设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1+x2= → → ?PM=λME, ? 由? 可得 → → ?PN=μNE, ?
? ?x1=λ(m-x1), x1(m-x2)+x2(m-x1) m(x1+x2)-2x1x2 x1 x2 ? 则 λ+μ= + = = 2 m-x1 m-x2 (m-x1)(m-x2) m +x1x2-m(x1+x2) ? ?x2=μ(m-x2),

2p+2mk2 ,x1x2=m2. k2

m(x1+x2)-2m2 = 2 =-1. 2m -m(x1+x2) 答案:C x2 y2 9.直线 MN 与双曲线 C: 2- 2=1 的左、右支分别交于 M、N 点,与双曲线 C 的右准 a b → → 线相交于 P 点,F 为右焦点,若|FM|=2|FN|,又NP=λPM(λ∈R),则实数 λ 的值为( 1 A. 2 C.2 B.1 1 D. 3 )

解析:如图所示,分别过点 M、N 作 MB⊥l 于点 B,NA⊥l 于点 A.

由双曲线的第二定义,可得 = =e, 则 = =2. ∵△MPB∽△NPA,∴ = = ,即 = 答案:A 10.在平面直角坐标系内,点 P 到点 A(1,0),B(a,4)及到直线 x=-1 的距离都相等,如 果这样的点 P 恰好只有一个,那么 a=( A.1 C.2 或-2 ) B.2 D.1 或-1 .

解析:依题意得,一方面,点 P 应位于以点 A(1,0 )为焦点、直线 x=-1 为准线的抛物

3

a-1? a+1? 线 y2=4x 上;另一方面,点 P 应位于线段 AB 的中垂线 y-2=- 上. x- 4 ? 2 ? 由于要使这样的点 P 是唯一的,

?y =4x, ? 因此要求方程组? a-1? a+1? 有唯一的实数解. ?y-2=- 4 ?x- 2 ? ?
结合选项进行检验即可.当 a=1 时,抛物线 y2=4x 与线段 AB 的中垂线有唯一的公共
2 ?y =4x, ? 1 点,适合题意;当 a=-1 时,线段 AB 的中垂线方程是 y= x+2,易知方程组? 1 2 ?y=2x+2 ?

2

有唯一实数解. 综上所述,a=1,或 a=-1. 答案:D X k b 1 . c o m
[来 ]

x 11. 已知椭圆 C: +y2=1 的焦点为 F1、 2, F 若点 P 在椭圆上, 且满足|PO|2=|PF1|· 2|(其 |PF 4 中 O 为坐标原点),则称点 P 为“★点”.下列结论正确的是( A.椭圆 C 上的所有点都是“★点” B.椭圆 C 上仅有有限个点是“★点” C.椭圆 C 上的所有点都不是“★点” D.椭圆 C 上有无穷多个点(但不是所有的点)是“★点” x2 解析:设椭圆 C: +y2=1 上点 P 的坐标为(2cosα,sinα),由|PO|2=|PF1|· 2|,可得 |PF 4 1 4cos2α+sin2α= (2cosα+ 3)2+sin2α· (2cosα- 3)2+sin2α,整理可得 cos2α= ,即可得 2 2 2 2 cosα=± ,sinα=± ,由此可得点 P 的坐标为?± 2,± ?,即椭圆 C 上有 4 个点是“★ 2 2 2? ? 点”. 答案:B x2 y2 12. 设双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的右顶点为 A, 为双曲线上的一个动点(不是顶点), P a b 若从点 A 引双曲线的两条渐近线的平行线,与直线 OP 分别交于 Q、R 两点,其中 O 为坐标 原点,则|OP|2 与|OQ|· |OR|的大小关系为( A.|OP|2<|OQ|· |OR| C.|OP|2=|OQ|· |OR| ) B.|OP|2>|OQ|· |OR| D.不确定 )

2

b b 解析:设 P(x0,y0),双曲线的渐近线方程是 y=± x,直线 AQ 的方程是 y= (x-a),直 a a abx0 aby0 b y0 线 AR 的方程是 y=- (x-a),直线 OP 的 方程是 y= x,可得 Q?bx -ay ,bx -ay ?, a x0 ? 0 0 0 0?
4

abx0 aby0 R?bx +ay ,bx +ay ?. ? 0 0 0 0? 又 x02 y02 - =1,可得|OP|2=|OQ|· |OR|. a2 b2

答案:C 第Ⅱ卷 (非选择 共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.若两直线 2x+y+2=0 与 ax+4y-2=0 互相垂直,则其交点的坐标为__________. 解析:由已知两直线互相垂直可得 a=-2,
?2x+y+2=0, ? 则由? 得两直线的交点坐标为(-1,0). ? ?-x+2y-1=0

答案:(-1,0) 14.如果点 M 是抛物线 y2=4x 的一点,F 为抛物线的焦点,A 在圆 C:(x-4)2+(y-1)2 =1 上,那么|MA|+|MF|的最小值为__________. 解析: 如图所示, 过点 M 作 MB⊥l 于点 B.由抛物线定义, 可得|MF|=|MB|, 则|MA|+|MF| =|MA|+|MB|≥|CB|-1=4+1-1=4.

答案:4 15.若过原点 O 且方向向量为(m,1)的直线 l 与圆 C:(x-1)2+y2=4 相交于 P、Q 两点, → → 则OP· =__________. OQ → → 解析: 可由条件设出直线方程, 联立方程运用韦达定理可求解, 其中OP· =x1x 2+y1y2 OQ 是引发思路的关键. 答案:-3 x2 16.如果 F1 为椭圆 C: +y2=1 的左焦点,直线 l:y=x-1 与椭圆 C 交于 A、B 两点, 2 那么|F1A|+|F1B|的值为__________. x2 解析:将 l:y=x-1 代入椭圆 C: +y2=1,可得 x2+2(x-1)2-2=0,即 3x2-4x=0, 2 4 解之得 x=0,或 x = . 3 4 1 可得 A(0,-1),B?3,3?.又 F1(-1,0),则|F1A|+|F1B|= (-1)2+12+ ? ?

?4+1?2+?1?2 ?3 ? ?3?

5

8 2 = . 3 8 2 答案: 新 课 标 第 一 网 3
[

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. x2 y2 17.(10 分)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的长轴长为 4. a b (1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线 y=x+2 相切,求椭圆焦点坐标; (2)若点 P 是椭圆 C 上的任意一点,过原点的直线 L 与椭圆相交于 M、N 两点,记直线 1 PM、PN 的斜率分别为 kPM、kPN,当 kPM·PN=- 时,求椭圆的方程. k 4 解析:(1)由 b= 2 ,得 b= 2, 1+1

又 2a=4,a=2,a2=4,b2=2,c2=a2-b2=2, 故两个焦点坐标为( 2,0),(- 2,0). (2)由于过原点的直线 L 与椭圆相交的两点 M、N 关于坐标原点对称, 不妨设 M(x0,y0),N(-x0,-y0),P(x,y). 点 M、N、P 在椭圆上,则它们满足椭圆方程, x02 y02 x2 y2 即有 2 + 2 =1, 2+ 2=1, a b a b y2-y02 b2 两式相减,得 2 2=- 2. a x -x0 由题意它们的斜率存在,则 kPM= kPM·PN= k y-y0 y+y0 ,k = , x-x0 PN x+x0

y-y0 y+y0 y2-y02 b2 · = 2 =- 2, a x-x0 x+x0 x -x02

b2 1 则- 2=- . a 4 由 a=2,得 b=1. x2 故所求椭圆的方程为 +y2=1. 4 → → → → 18. 分)已知两点 M(-1,0), (12 N(1,0), P 为坐标平面内的动点, 点 满足|MN|· |=MN· . |NP MP (1)求动点 P 的轨迹方程; (2)若点 A(t,4)是动点 P 的轨迹上的一点,K(m,0)是 x 轴上的一动点,试讨论直线 AK 与 圆 x2+(y-2)2=4 的位置关系. → → 解析:(1)设 P(x,y),则MN=(2,0),NP=(x-1,y), → MP=(x+1,y).
6

→ → → → 由|MN|· |=MN· , |NP MP 得 2 (x-1)2+y2=2(x+1), 化简,得 y2=4x. 故动点 P 的轨迹方程为 y2=4x. (2)由点 A(t,4)在轨迹 y2=4x 上, 则 42=4t,解得 t=4,即 A(4,4). 当 m=4 时,直线 AK 的方程为 x=4, w w w .x k b 1.c o m
[

此时直线 AK 与圆 x2+(y-2)2=4 相离. 4 当 m≠4 时,直线 AK 的方程为 y= (x-m), 4-m 即 4x+m(m-4)y-4m=0, 圆 x2+(y-2)2=4 的圆心(0,2)到直线 AK 的距离 d= 令 d= 令 d= 令 d= <2,解得 m<1; 16+(m-4)2 =2,解得 m=1; 16+(m-4)2 >2,解得 m>1. 16+(m-4)2 |2m+8| |2m+8| |2m+8| |2m+8| 16+(m-4)2 ,www.xkb1.com
]

综上所述,当 m<1 时,直线 AK 与圆 x2+(y-2)2=4 相交; 当 m=1 时,直线 AK 与圆 x2+(y-2)2=4 相切; 当 m>1 时,直线 AK 与圆 x2+(y-2)2=4 相离.

x2 y2 19.(12 分)如图,已知直线 L:x=my+1 过椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点 F, a b 且交椭圆 C 于 A、B 两点,若抛物线 x2=4 3y 的焦点为椭圆 C 的上顶点. (1)求椭圆 C 的方程; → → → → (2)若直线 L 交 y 轴于点 M,且MA=λ1AF,MB=λ2BF,当 m 变化时,求 λ1+λ2 的值. 解析:(1)易知 b= 3,得 b2=3. 又∵F(1,0), ∴c=1,a2=b2+c2=4,

7

x2 y2 ∴椭 圆 C 的方程为 + =1. 4 3
?x=my+1, ? (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由? 2 2 ? ?3x +4y -12=0,

得(3m2+4)y2+6my-9= 0,Δ=144(m2+1)>0, 1 1 2m 于是 + = .(*) y1 y2 3 1 → → ∵L 与 y 轴交于点 M?0,-m?,又由MA=λ1AF, ? ? 1 ∴?x1,y1+m?=λ1(1-x1,-y1), ? ? 1 1 ∴λ1=1- .同理 λ2=-1- . my1 my2 1 1 1 2 8 从而 λ1+λ2=-2- ?y +y ?=-2- =- . m? 1 2? 3 3 8 即 λ1+λ2=- . 3 → → 20. 分)设 G、 分别为△ABC 的重心与外心, (12 M A(0, -1), B(0,1), 且GM=λAB(λ∈R). (1)求点 C 的轨迹方程; → → (2)若斜率为 k 的直线 l 与点 C 的轨迹交于不同两点 P、Q,且满足|AP|=|AQ |,试求 k 的取值范围. x y 解析:(1)设 C(x,y),则 G?3,3?. ? ? → → ∵GM=λAB,(λ∈R),∴GM∥AB. x ∵点 M 是三角形的外心,∴M 点在 x 轴上,即 M?3,0?. ? ? → → 又∵|MA|=|MC|, ∴

?x?2+(0+1)2= ?3?

?x-x?2+y2, ?3 ?

x2 整理,得 +y2=1,(x≠0),即为曲线 C 的方程. 3 → → (2)①当 k=0 时,l 和椭圆 C 有不同两交点 P、Q,根据椭圆对称性有|AP|=|AQ|. ②当 k≠0 时,可设 l 的方程为 y=kx+m,

?y=kx+m, ?2 联立方程组?x 消去 y, 2 ? ? 3 +y =1,
整理,得(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0.(*) ∵直线 l 和椭圆 C 交于不同两点,
8

∴Δ=(6km)2-4(1+3k2)×(m2-1)>0, 即 1+3k2-m2>0.(**) 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1,x2 是方程(*)的两相异实根, 6km 于是有 x1+x2=- . 1+3k2 则 PQ 的中点 N(x0,y0)的坐标是 x0= x1+x2 3km m =- ,y =kx0+m= , 2 1+3k2 0 1+3k2

3km m 即 N?-1+3k2,1+3k2?,

?

?

→ → → → 又∵|AP|=|AQ|,∴AN⊥PQ, m +1 1+3k2 1+3k2 ∴k·AN=k· k =-1,∴m= . 3km 2 - 2 1+3k 1+3k2 1+3k2?2 将 m= 代入(**)式,得 1+3k2-? 2 ? 2 ? >0(k≠0), 即 k2<1,得 k∈(-1,0)∪(0,1). 综合①②得,k 的取值范围是(-1,1). x2 y2 2 21.(12 分)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,它的一条准线方程为 x= a b 2 2. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若点 A、B 为椭圆上的两个动点,椭圆的中心到直线 AB 的距离为 小. c 2 a2 解析:(1)由题意,知 = , =2, a 2 c 得 a= 2,c=1,故 a2=2,b2=1, x2 故椭圆方程为 +y2=1. 2 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), 6 设直线 AB 的方程为 x=± ,或 y=kx+b. 3 6 x= , 3 6 当直线 AB 的方程为 x= 时,由 2 3 x +y2=1, 2 6 ,求∠AOB 的大 3

? ? ?

9

可求 A?

6 6? 6 6 ,B? ,- ?. , 3 3? 3 3? ? ?

π → → 从而OA· =0,可得∠AOB= . OB 2 同理可知当直线 AB 的方程为 x= - π 可得∠AOB= . 2 当直线 AB 的方程为 y=kx+b. 由原点到直线的距离为 3 即 1+k2= b2. 2 6 b 6 ,得 2= 3 . 3 1+k 6 时,和椭圆交得两点 A、B. 3

?y=kx+b, ? 又由?x2 2 消去 y,得(1+2k2)x2+4kbx+2b2-2=0. +y =1, ? ?2
2b2-2 4kb 得 x1+x2=- , 2,x1x2= 1+2k 1+2k2 从而 y1y2=(kx1+b)(kx2+b) b2-2k2 =k2x1x2+kb(x1+x2)+b2= . 1+2k2 2b2-2 b2-2k2 → → OA· =x1x2+y1y2= OB + 1+2k2 1+2k2 = 3b2-2(1+k2) , 1+2k2

3 → → 将 1+k2= b2 代入上式,得OA· =0, OB 2 ∠AOB=90° . y2 22. 分)已知动点 P 与双曲线 x2- =1 的两焦点 F1、 2 的距离之和为大于 4 的定值, (12 F 3 → → 且|PF1|· 2|的最大值为 9. xkb1.com |PF
[来

(1)求动点 P 的轨迹 E 的方程; → → (2)若 A、B 是曲线 E 上相异两点,点 M(0,-2)满足AM=λMB,求实数 λ 的取值范围. y2 解析:(1)双曲线 x2- =1 的两焦点 F1(-2,0)、F2(2,0). 3 → → 设已知定值为 2a,则|PF1|+|PF2|=2a,因此,动点 P 的轨迹 E 是以 F1(-2,0),F2(2,0) 为焦点,长轴长为 2a 的椭圆.

10

x2 y2 设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b → ? → → ? → ∵|PF1|· 2|≤?|PF1|+|PF2|?2=a2, |PF 2 ? ? → → 当且仅当|PF1|=|PF2|时等号成立, ∴a2=9,b2=a2-c2=5, x2 y2 ∴动点 P 的轨迹 E 的方程是 + =1. 9 5 → → (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则由AM=λMB, 得
? ?-x1=λx2, ? ? ?-2-y1=λ(y2+2),

且 M、A、B 三点共线,设直线为 l, ①当直线 l 的斜率存在时,设 l:y=kx-2,

?y=kx-2, ? 由?x2 y2 得(5+9k2)x2-36kx-9=0, + =1, ?9 5 ?
Δ=(-36k)2-4(5+9k2)(-9)>0 恒成立.

?x +x =5+9k , ? 由韦达定理,得? -9 ? ?x x =5+9k .
36k
1 2 2 1 2 2

(1-λ)2 144k2 将 x1=-λx2 代入,消去 x2 得 = . λ 5+9k2 当 k=0 时,得 λ=1; (1-λ)2 144 当 k≠0 时, = ,由 k2>0,得 λ 5 +9 k2 (1-λ)2 0< <16,得 9-4 5<λ<9+4 5,且 λ≠1. λ -2-y1 ②当直线 l 的斜率不存在时,A、B 分别为椭圆短轴端点,此时 λ= =9± 5. 4 2+y2 综上所述,λ 的取值范围是[9-4 5,9+4 5].

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