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高中数学


高中数学 必修 2 知识点 第一章 空间几何体 1.1 柱、锥、台、球的结构特征 1.2 空间几何体的三视图和直观图 1 三视图: 正视图:从前往后 侧视图:从左往右 俯视图:从上 往下 2 画三视图的原则: 长对齐、高对齐、宽相等 3 直观图:斜二测画法 4 斜二测画法的步骤: (1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴; (2).平行于 y 轴的线长度变半,平行于 x,z 轴的线长度不变; (3).画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤: (1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成 图 1.3 空间几何体的表面积与体积 (一 )空间几何体的表面积 1 棱柱、棱锥的表面积: 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积 S ? 2?rl ? 2?r 2 S ? ?rl ? ?r 2
2 2 4 圆台的表面积 S ? ?rl ? ?r ? ?Rl ? ?R

5 球的表面积 S ? 4?R

2

(二)空间几何体的体积 1 柱体的体积
1 V ? S底 ? h 3
V ? S底 ? h

2 锥体的体积

1 4 4 球体的体积 V ? ?R 3 V ? (S 上 ? S 上 S 下 ? S 下 ) ? h 3 3 第二章 直线与平面的位置关系 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 D 2.1.1 α 1 平面含义:平面是无限延展的 A 2 平面的画法及表示 (1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐 角画成 450,且横边画成邻边的 2 倍长(如图) (2)平面通常用希腊字母α 、β 、γ 等表示,如平面α 、平面β 等,也可以用 表示平面的平行 四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示, 如平面 AC、 平面 ABCD 等。 3 三个公理: (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 符号表示为

3 台体的体积

C

B

A∈L A B∈L => L α α · L A∈α B∈α 公理 1 作用:判断直线是否在平面内 A B (2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 α · C · · 符号表示为:A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α , 使 A∈α 、B∈α 、C∈α 。 公理 2 作用:确定一个平面的依据。 (3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过 该点的公共直线。 符号表示为:P∈α ∩β =>α ∩β =L,且 P∈L 公理 3 作用:判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 共面直线 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a∥b =>a∥c c∥b 强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 4 注意点: ① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为 简便,点 O 一 ? 般取在两直线中的一条上; ② 两条异面直线所成的角θ ∈(0,2 ); ③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记 作 a⊥b; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a α 来表示

β α
P

·

L

a α a∩α =A a∥α 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行, 则该直线与此平面 平行。 简记为:线线平行,则线面平行。 符号表示:a α b β => a∥α a∥b 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则 这两个平面平行。 符号表示 a β b β a∩b = P a∥α b∥α

β ∥α

2、判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质 1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线 与该直线平行。 简记为:线面平行则线线平行。 符号表示: a∥α a β a∥b α ∩β = b 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。 符号表示: α ∥β α ∩γ = a a∥b β ∩γ = b 作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 1、定义 如果直线 L 与平面α 内的任意一条直线都垂直, 我们就说直线 L 与平面α 互相垂 直,记作 L⊥α , 直线 L 叫做平面α 的垂线, 平面α 叫做直线 L 的垂面。 如图, 直线与平面垂直时, 它们唯一公共 点 P 叫做垂足。 L p α

2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平 面垂直。 注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转 化的数学思想。 2.3.2 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l β B α 2、二面角的记法:二面角α -l-β 或α -AB-β 3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平 面垂直。 2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 2 性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂 直。

本章知识结构框图

平面(公理 1、公理 2、公理 3、公理 4)

空间直线、平面的位置关系

直线与平面的位置关系

平面与平面的位置关系


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