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2013年广州二模数学理科试题


2013 年广州二模数学理科试题 考生须知: 1.全卷分试题卷Ⅰ、试题卷Ⅱ和答题卷.试题卷有三个大题,26 个小题.满分为 130 分, 考试时间为 120 分钟. 2.请用蓝、黑圆珠笔或水笔答题,并按要求将姓名、准考证号分别填写在试题卷和答题卷 的规定位置上.? 3.不允许使用计算器,没有近似计算要求的试题,结果都不能用近似数表示. 4.抛物线 的顶点坐标为 . 试 题 卷 Ⅰ

一.选择题(每小题 3 分,共 36 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求) 1. 的值等于 (▲) A.4 B. C. D.2 2.据媒体报道,我国因环境问题造成的经济损失每年高达 680 000 000 元,这个数用科学记 数法可表示为( ▲ ). A. B. C. D. 3.计算 的结果是( ▲ ) A. B. C. D. 4. 在 Rt△ABC 中, ∠C=90°, AC=3, BC=4, 那么 cosB 的值是????????? ▲ ) ( A. B. C. D. 5.如图,身高为 1.5 米的某学生想测量一棵大树的高度,她沿着树影 BA 由 B 向 A 走去 当走到 C 点时,她的影子顶端正好与树的影子顶端重合,测得 BC=3 米 , CA=1 米, 则树的 高度为( ▲ ) A. 4.5 米 B. 6 米 C. 3 米 D. 4 米 6.如图,在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片,使之恰好能围成一个圆锥模型,若圆的 半径为 r,扇形的圆心角等于 120°,则围成的圆锥模型的高为( ▲ ) A.r B.22 r C.10 r D.3r 7.小兰画了一个函数 的图象如图,那么关于 x 的 分式方程 的解是( ▲ ) A.x=1 B.x=2 C.x=3 D.x=4 8.从长度分别为 3、5、7、9 的 4 条线段中任取 3 条作边,能组成三 角形的概率为( ▲ ) A. B. C. D. 9. 如图,直线 l1∥l2,⊙O 与 l1 和 l2 分别相切于点 A 和点 B.点 M 和点 N 分别是 l1 和 l2 上的动点, 沿 l1 和 l2 平移. MN ⊙O 的半径为 1, ∠1=60°. 下列结论错误的是 ( ▲ ) . A. B.若 MN 与⊙O 相切,则 C.l1 和 l2 的距离为 2 D.若∠MON=90°,则 MN 与⊙O 相切 10. 如图,已知 A 点坐标为(5,0) ,直线 与 y 轴交于点 B,连接 AB,若∠a=75°,则 b 的值为 ( ▲ ) A.3 B. C. D. 11. 如图, OABC 是边长为 1 的正方形, 与 x 轴正半轴的夹角为 15°, B 在抛物线 (a OC 点 <0)的图象上,则 a 的值为 ( ▲ ) A. B. C. D. 12. 如图,一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳,若它停在奇数点上,则下次沿顺时针 方向跳两个点;若停在偶数点上,则下次沿逆时针方向跳一个点.若青蛙从 5 这点开始跳,

则经过 2012 次后它停在哪个数对应的点上 ( ) A.1 B.2 C.3 D.5 试 题 卷 Ⅱ 二、填空题(每小题 3 分,共 18 分) 13.在函数 y= 1 x-2 中,自变量 x 的取值范围是 ▲ . 14.已知关于 x 的方程 的一个根是 1,则 k= ▲ . 15. 如图,在长为 8 ,宽为 4 的矩形中,截去一个矩形,使得留下的矩形(图中阴影部分) 与原矩形相似,则留下矩形的面积是 ▲ . 16.抛物线 先向右平移 1 个单位,再向上平移 3 个单位,得到新的抛物线解析式是 ▲ 17.如图,在 中,AB=10,AC=8,BC=6,经过点 C 且与边 AB 相切 的动圆与 CA,CB 分别相交于点 P,Q,则线段 PQ 长度的最小值是 ▲ 18. 如图,已知点 A(0,2) 、B( ,2) 、C(0,4),过点 C 向右作平行于 x 轴的射线,点 P 是射线上的动点, 连结 AP,以 AP 为边在其左侧作等边△APQ ,连结 PB、BA.若四边形 ABPQ 为梯形,则 (1)当 AB 为梯形的底时,点 P 的横坐标是 ▲ ; (2)当 AB 为梯形的腰时,点 P 的横坐标是 ▲ . 三.解答题(第 19 题 6 分,第 20-22 题各 8 分,第 23-24 题 10 分,第 25 题 12 分,第 26 题 14 分,共 76 分) 19. (本题 6 分)计算: 20.先化简再求值: ,其中 . 21. (本题 8 分)某中学为了了解学生体育活动情况,随即调查了 720 名初二学生,调查 内容是: “每天锻炼是否超过 1 小时及未超过 1 小时的原因” 利用所得的数据制成了扇形统 , 计图和频数分布直方图.根据图示,解答下列问题: (1)若在被调查的学生中随机选出一名学生测试其体育成绩,选出的是“每天锻炼超过 1 小时”的学生的概率是多少? (2) “没时间”锻炼的人数是多少?并补全频数分布直方图; (3)2012 年宁波市区初二学生约为 2 万人,按此调查,可以估计 2012 年宁波市区初二学 生中每天锻炼未超过 1 小时的学生约有多少万人? (4)请根据以上结论谈谈你的看法. 22. (本题 8 分)如图,AB 为量角器(半圆 O)的直径,等腰直角△BCD 的斜边 BD 交量 角器边缘于点 G,直角边 CD 切量角器于读数为 60°的点 E 处(即弧 AE 的度数为 60°) , 第三边交量角器边缘于点 F 处. (1)求量角器在点 G 处的读数α (0°<α <90°) ; (2)若 AB=10cm,求阴影部分面积.

23.宁波滨海水产城一养殖专业户陈某承包了 30 亩水塘,分别养殖甲鱼和桂鱼.有关成本、 销售额见下表: (1) 2011 年,陈某养殖甲鱼 20 亩,桂鱼 10 亩.求陈某这一年共收益多少万元? (收益= 销售额-成本)

(2) 2011 年, 陈某继续用这 30 亩水塘全部养殖甲鱼和桂鱼, 计划投入成本不超过 70 万元. 若 每亩养殖的成本、 销售额与 2011 年相同, 要获得最大收益, 他应养殖甲鱼和桂鱼各多少亩? (3) 已知甲鱼每亩需要饲料 500kg,桂鱼每亩需要饲料 700kg.根据(2)中的养殖亩数,为了 节约运输成本, 实际使用的运输车辆每次装载饲料的总量是原计划每次装载总量的 2 倍, 结 果运输养殖所需全部饲料比原计划减少了 2 次. 求陈某原定的运输车辆每次可装载饲料多少 kg? 24. (1)动手操作: 如图①,将矩形纸片 ABCD 折叠,使点 D 与点 B 重合,点 C 落在点 处,折痕为 EF,若∠ ABE=20°,那么 的度数为 。 (2)观察发现: 小明将三角形纸片 ABC(AB>AC)沿过点 A 的直线折叠,使得 AC 落在 AB 边上,折痕 为 AD,展开纸片(如图②) ;再次折叠该三角形纸片,使点 A 和点 D 重合,折痕为 EF, 展平纸片后得到△AEF(如图③) .小明认为△AEF 是等腰三角形,你同意吗?请说明理由.

(3)实践与运用: 将矩形纸片 ABCD 按如下步骤操作:将纸片对折得折痕 EF,折痕与 AD 边交于点 E,与 BC 边交于点 F;将矩形 ABFE 与矩形 EFCD 分别沿折痕 MN 和 PQ 折叠,使点 A、点 D 都 与点 F 重合,展开纸片,此时恰好有 MP=MN=PQ(如图④),求∠MNF 的大小。

25.(本题 12 分)如图,在平面直角坐标系中,二次函数 y=ax2+6x+c 的图象经过点 A(4, 0) B 、(﹣1, , y 轴交于点 C, D 在线段 OC 上, 0) 与 点 OD=t, E 在第二象限, 点 ∠ADE=90°, tan∠DAE= ,EF⊥OD,垂足为 F. (1)求这个二次函数的解析式; (2)求线段 EF、OF 的长(用含 t 的代数式表示) ; (3)当△ECA 为直角三角形时,求 t 的值. 26. (本题 14 分)在半径为 4 的⊙O 中,点 C 是以 AB 为直径的半圆的中点,OD⊥AC, 垂足为 D,点 E 是射 线 AB 上的任意一点,DF//AB,DF 与 CE 相交于点 F,设 EF= ,DF= . (1) 如图 1,当点 E 在射线 OB 上时,求 关于 的函数解析式,并写出自变量 的取值范围; (2) 如图 2,当点 F 在⊙O 上时,求线段 DF 的长; (3) 如果以点 E 为圆心、EF 为半径的圆与⊙O 相切,求线段 DF 的长. 数学参考答案 一、选择题(每小题 3 分,共 36 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D A A B B A A B C C D 二、填空题(每小题 3 分,共 36 分) 13. x>2 14. ___ _ 15._8_________ 17.______4.8__ 16._ 18. (1)

(2) 0,

三.解答题 19. 解:原式=1+23 -1-33 -----------------------------------------4 分 =-3 -----------------------------------------6 分 20.解:原式= 2分 = 4分 = 6分 当 时,原式=3 8分 21 解:(1) ........2 分 (2)540-140=400 人 图略 (计算和作图各得 1 分 ).....4 分 (3)2× =1.5 万人...........6 分 (4)说明:内容健康,能符合题意可。......8 分 22. 解:连接 OE,OF, (1)∵CD 切半圆 O 于点 E∴OE⊥CD, ∵BD 为等腰直角△BCD 的斜边,∴BC⊥CD,∠D=∠CBD=45°, ∴OE∥BC∴∠ABC=∠AOE=60°,∴∠ABG=∠ABC-∠CBD=60°-45°=15° ∴弧 AG 的度数=2∠ABG=30°,∴量角器在点 G 处的读数α =弧 AG 的度数=30° 分) (2)∵OF=OB=0.5AB=5cm,∠ABC=60°,∴△OBF 为正三角形,∠BOF=60°, ∴S 扇形= (cm2) ,S△OBF= ∴S 阴影=S 扇形-S△OBF= - (8 分) 23. (1) (万元) 2 分 (2)设甲鱼养殖 亩,则养殖桂鱼 亩, 由题意知, 3分 解得 4分 设收益为 万元,则 5 分 当 时, 最大值 17.5 万元 6分 (3) 4000 千克, (分式方程不检验扣 1 分) 10 分 24. 解: (10 分)解: (1) 125° ???????2 分 (2)同意. ???????3 分 如图,设 AD 与 EF 交于点 G. 由折叠知,AD 平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD. 由折叠知,∠AGE=∠ DGE=90°, 所以∠AGE=∠AGF=90°, ???????5 分 所以∠AEF=∠AFE.所以 AE=AF, 即△AEF 为等腰三角形. ???????6 分 (3)过 N 作 NH⊥AD 于 H 设 由折叠知, ① ② ??7 分 ??8 分 ∴△MPF 为等边三角形 ∴∠MFE=30°,∴∠MFN=60°, 又∵MN=MF= ∴△MNF 为等边三角形

(4

??9 分

∴∠MNF=60°,??10 分

25. 解: (1)二次函数 y=ax2+6x+c 的图象经过点 A(4,0) 、B(﹣1,0) , ∴ ,解得 , ∴这个二次函数的解析式为:y=﹣2x2+6x+8;4 分 (2)∵∠EFD=∠EDA=90° ∴∠DEF+∠EDF=90°,∠EDF+∠ODA=90°,∴∠DEF=∠ODA ∴△EDF∽△DAO 5 分 ∴ . ∵ , ∴ = , ∴ ,∴EF= t. 同理 , ∴DF=2,∴OF=t﹣2.8 分 (3)∵抛物线的解析式为:y=﹣2x2+6x+8, ∴C(0,8) ,OC=8. 如图,过 E 点作 EM⊥x 轴于点 M,则在 Rt△AEM 中, ∴EM=OF=t﹣2,AM=OA+AM=OA+EF=4+ t, 当∠CEA=90°时,CE2+ AE2= AC2 10 分 当∠ECA=90°时, CE2+ AC2= AE2 即点 D 与点 C 重合. 12 分 26. 解: (1)联结 OC,∵AC 是⊙O 的弦,OD⊥AC,∴OD=AD. ∵DF//AB,∴CF=EF,∴DF= = . ∵点 C 是以 AB 为直径的半圆的中点,∴CO⊥AB. ∵EF= ,AO=CO=4,∴CE=2 ,OE= . ∴ .????????????4 分 自变量的取值范围为 .????????????????5 分 (2)当点 F 在⊙O 上时,联结 OC、OF,EF= ,∴OC=OB= AB=4. ∴DF=2+ =2+2 .?????????????????8 分 (3)当⊙E 与⊙O 外切于点 B 时,BE=FE.∵ , ∴ , ∴ , ) . ∴DF= .??????10 分 当⊙E 与⊙O 内切于点 B 时,BE=FE.∵ , ∴ , ∴ , ) . ∴DF= .???????12 分 当⊙E 与⊙O 内切于点 A 时,AE=FE.∵ , ∴ , ∴ , ) . ∴DF= .????????????????????14 分 (注:其他解法按步给分)


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