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2013高考数学(文)一轮复习课件:x4-4-2


第2讲 参数方程

【2013 年高考会这样考】 考查直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题. 【复习指导】 复习本讲时,应紧紧抓住直线的参数方程、圆的参数方程、圆 锥曲线的参数方程的建立以及各参数方程中参数的几何意义, 同时要熟练掌握参数方程与普通方程互化的一些方法.

基础梳理 1.参数方程的意义 在平面直角坐标系中,如果曲

线上的任意一点的坐标 x,y 都是
?x=f?t?, ? 某个变量的函数? ?y=f?t?, ?

并且对于 t 的每个允许值, 由方程组

所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上,则该方程叫曲线的参数 方程,联系变数 x,y 的变数 t 是参变数,简称参数.相对于参 数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.

2.常见曲线的参数方程的一般形式

(1) 经 过 点 P0(x0 , y0) , 倾 斜 角 为 α 的 直 线 的 参 数 方 程 为
?x=x +tcos α, ? 0 ? ?y=y0+tsin α ?

(t 为参数).

→ 设 P 是直线上的任一点,则 t 表示有向线段P0P的数量.
?x=rcos θ, ? (2)圆的参数方程? ?y=rsin θ ?

(θ 为参数).

(3)圆锥曲线的参数方程
?x=acos θ, ? x2 y2 椭圆a2+b2=1 的参数方程为? (θ 为参数). ?y=bsin θ ? ?x=asec φ, ? x2 y2 双曲线a2-b2=1 的参数方程为? (φ 为参数). ?y=tan φ ?

抛物线 y2=2px

?x=2pt2, ? 的参数方程为? ?y=2pt ?

(t 为参数).

双基自测 1.极坐标方程 ρ=cos θ 表示的图形分别是( A.直线、直线 C.圆、圆
?x=-1-t, ? 和参数方程? ?y=2+t ?

(t 为参数)所

). B.直线、圆 D.圆、直线

x x 解析 ∵ρcos θ=x,∴cos θ= 代入到 ρ=cos θ,得 ρ= , ρ ρ ∴ρ2=x,∴x2+y2=x 表示圆.
?x=-1-t, ? 又∵? ?y=2+t, ?

相加得 x+y=1,表示直线.

答案 D

?x=1-2t, ? 2.若直线? ?y=2+3t ?

(t 为实数)与直线 4x+ky=1 垂直,则常

数 k=________. 解析
?x=1-2t, ? 参数方程? ?y=2+3t, ?

所表示的直线方程为 3x+2y=7,

3 ? 4? 由此直线与直线 4x+ky=1 垂直可得-2×?-k?=-1,解得 k ? ? =-6. 答案 -6

?x=5cos θ, ? 3.二次曲线? ?y=3sin θ ?

(θ 是 参 数 ) 的 左 焦 点 的 坐 标 是

________. x2 y2 解析 题中二次曲线的普通方程为 + =1 左焦点为(-4,0). 25 9 答案 (-4,0)

4.(2011· 广州调研)已知直线 l

?x=2t, ? 的参数方程为:? ?y=1+4t ?

(t 为

参数),圆 C 的极坐标方程为 ρ=2 2sin θ,则直线 l 与圆 C 的 位置关系为________. 解析 将直线 l
?x=2t, ? ? 的参数方程: ?y=1+4t ?

化为普通方程得, y=1

+2x,圆 ρ=2 2sin θ 的直角坐标方程为 x2+(y- 2)2=2,圆 2-1 心(0, 2)到直线 y=1+2x 的距离为 , 因为该距离小于圆 1+4 的半径,所以直线 l 与圆 C 相交. 答案 相交

?x= 5cos ? 5. (2011· 广东)已知两曲线参数方程分别为? ?y=sin θ ?

θ,

(0≤θ

? 52 ?x= t , <π)和? 4 (t∈R),它们的交点坐标为________. ?y=t ? 解析
?x= 5cos ? 由? ?y=sin θ ?

θ,

x2 2 (0≤θ<π)得, +y =1(y≥0)由 5

? 52 ?x= t , 5 2 4 ? (t∈R)得,x=4y ,∴5y4+16y2-16=0. ?y=t ?

4 解得:y = 或 y2=-4(舍去). 5
2

? 5 2 2 5? ? ? 则 x= y =1 又 θ≥0,得交点坐标为?1, . 4 5 ? ? ?

答案

? 2 5? ? ? 1, ? 5 ? ? ?

考向一

参数方程与普通方程的互化

【例 1】?把下列参数方程化为普通方程:
?x=3+cos θ, ? (1)? ?y=2-sin θ; ?

1 ? ?x=1+2t, (2)? ?y=5+ 3t. 2 ?

[审题视点] (1)利用平方关系消参数 θ; (2)代入消元法消去 t.



?cos θ=x-3, ? (1)由已知? ?sin θ=2-y, ?

由三角恒等式 cos2 θ+sin2θ=1,

可知(x-3)2+(y-2)2=1,这就是它的普通方程. 3 (2)由已知 t=2x-2,代入 y=5+ t 中, 2 3 得 y=5+ 2 (2x-2), 3x-y+5- 3=0 就是它的普通方程. 即

参数方程化为普通方程: 化参数方程为普通方程的基 本思路是消去参数,常用的消参方法有代入消去法、加减消去 法、恒等式(三角的或代数的)消去法,参数方程通过代入消元 或加减消元消去参数化为普通方程,不要忘了参数的范围.

【训练

?x=cos α, ? 1】(2010· 陕西)参数方程? ?y=1+sin α ?

(α 为参数)化成普

通方程为________. 解析
?x=cos α, ? 由? ?y=1+sin α, ? ?x=cos α, ? 得? ?y-1=sin α, ?

① ②

①2+②2 得:x2+(y-1)2=1. 答案 x2+(y-1)2=1

考向二 直线与圆的参数方程的应用 【例 2】?已知圆
?x=2+tcos α, ? ? ?y= 3+tsin α ? ?x=1+cos ? C: ? ?y=sin θ ?

θ,

(θ 为参数)和直线 l:

(其中 t 为参数,α 为直线 l 的倾斜角).

2π (1)当 α= 3 时,求圆上的点到直线 l 距离的最小值; (2)当直线 l 与圆 C 有公共点时,求 α 的取值范围. [审题视点] (1)求圆心到直线 l 的距离,这个距离减去圆的半径 即为所求;(2)把圆的参数方程化为直角坐标方程,将直线的参 数方程代入得关于参数 t 的一元二次方程,这个方程的 Δ≥0.

2π 解 (1)当 α= 3 时, 直线 l 的直角坐标方程为 3x+y-3 3=0, 2 3 圆 C 的圆心坐标为(1,0),圆心到直线的距离 d= 2 = 3,圆 的半径为 1,故圆上的点到直线 l 距离的最小值为 3-1. (2)圆 C 的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1, 将直线 l 的参数方程 代入圆 C 的直角坐标方程,得 t2+2(cos α+ 3sin α)t+3=0, 这个关于 t 的一元二次方程有解,故 Δ=4(cos α+ 3sin α)2- 12≥0, sin 则
2

? π? 3 ?α+ ?≥ , 6? 4 即 ?

? π? sin?α+6?≥ ? ?

? π? 3 3 ?α+ ?≤- 或 sin . 6? 2 2 ?

又 0≤α<π, 故只能

? π? sin?α+6?≥ ? ?

3 π π 2π π π 即 即 2 , 3≤α+6≤ 3 , 6≤α≤2.

如果问题中的方程都是参数方程, 那就要至少把其中 的一个化为直角坐标方程.

【训练 2】 已知直线 l

?x=1+t, ? 的参数方程为? ?y=4-2t ?

(参数 t∈R),

圆C

?x=2cos θ+2, ? 的参数方程为? ?y=2sin θ ?

(参数 θ∈[0,2π]),求直线 l

被圆 C 所截得的弦长.



?x=1+t, ? 由? ?y=4-2t ?

消参数后得普通方程为 2x+y-6=0,

?x=2cos θ+2, ? 由? ?y=2sin θ ?

消参数后得普通方程为(x-2)2+y2=4,显

然圆心坐标为(2,0),半径为 2.由于圆心到直线 2x+y-6=0 的 |2×2+0-6| 2 5 距离为 d= = 5 , 2 2 +1 所以所求弦长为 2 2
2

?2 5? ? ?2 8 5 -? = 5 . 5 ? ? ?

考向三

圆锥曲线的参数方程的应用

x2 2 【例 3】?求经过点(1,1),倾斜角为 135° 的直线截椭圆 +y =1 4 所得的弦长. [审题视点] 把直线方程用参数表示,直接与椭圆联立,利用根 与系数的关系及弦长公式可解决. ? ?x=1- ? 解 由条件可知直线的参数方程是? ? ?y=1+ ?
? ? ?1- ?

2 t, 2 2 t 2

(t 为参数),

代入椭圆方程可得

2 ?2 ? t? ? 2 ? ? 2 ?2 +?1+ t? =1, 4 2 ? ? ?

52 即2t +3 2t+1=0.设方程的两实根分别为 t1、t2,则由二次方 ? 6 2 ?t1+t2=- 5 , 程的根与系数的关系可得? ?t1t2=2, 5 ? 弦长是|t1-t2|= ?t1+t2? -4t1t2=
2

则直线截椭圆的

? 6 2? 2 ? ?2 ?- 5 ? -4×5= ? ?

4 2 5 .

普通方程化为参数方程: 化普通方程为参数方程的基 本思路是引入参数,即选定合适的参数 t,先确定一个关系 x= f(t)(或 y=φ(t)),再代入普通方程 F(x,y)=0,求得另一关系 y =φ(t)(或 x=f(t)).一般地,常选择的参数有角、有向线段的数 量、斜率,某一点的横坐标(或纵坐标).普通方程化为参数方 程需要引入参数, 选择的参数不同, 所得的参数方程也不一样.

【训练 3】(2011· 南京模拟)过点 P(-3,0)且倾斜角为 30° 的直线 1 ? ?x=t+ t , 和曲线? ?y=t-1 t ? 的长.

(t 为参数)相交于 A、B 两点,求线段 AB

? 3 ?x=-3+ 2 s, 解 直线的参数方程为? ?y=1s ? 2 1 ? ?x=t+ t , 又曲线? ?y=t-1 t ?

(s 为参数),

(t 为参数)可以化为 x2-y2=4, 将直线的参

数方程代入上式,得 s2-6 3s+10=0, 设 A、 对应的参数分别为 s1, 2.∴s1+s2=6 3, 1s2=10.∴|AB| B s s =|s1-s2|= ?s1+s2?2-4s1s2=2 17.

如何解决极坐标方程与参数方程的综合问题
从近两年的新课标高考试题可以看出,对参数方程的考查重点 是直线的参数方程、圆的参数方程和圆锥曲线的参数方程的简 单应用,特别是利用参数方程解决弦长和最值等问题,题型为 填空题和解答题.

【示例】 (本题满分 10 分)(2011· ? 新课标全国)在直角坐标系 xOy 中,曲线
?x=2cos α, ? C1 的参数方程为? ?y=2+2sin α ?

(α 为参数).

→ → M 是 C1 上的动点,P 点满足OP=2OM,P 点的轨迹为曲线 C2. (1)求 C2 的方程; (2)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 θ π =3与 C1 的异于极点的交点为 A, C2 的异于极点的交点为 B, 与 求|AB|.

第(1)问:利用代入法;第(2)问把曲线 C1、曲线 C2 π 均用极坐标表示,再求射线 θ= 与曲线 C1、C2 的交点 A、B 的 3 极径即可.

[解答示范] (1)设 P(x,y),则由条件知

?x y? M?2,2?. ? ?

?x ?2=2cos α, 由于 M 点在 C1 上,所以? ?y=2+2sin α, ?2 从而
?x=4cos α, ? C2 的参数方程为? ?y=4+4sin α ?

?x=4cos α, ? 即? ?y=4+4sin α. ?

(α 为参数).(5 分)

(2)曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=4sin θ,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=8sin θ. π π 射线 θ= 与 C1 的交点 A 的极径为 ρ1=4sin , 3 3 π π 射线 θ=3与 C2 的交点 B 的极径为 ρ2=8sin 3. 所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2 3.(10 分)

很多自主命题的省份在选考坐标系与参数方程中的 命题多以综合题的形式命题,而且通常将极坐标方程、参数方 程相结合,以考查考生的转化与化归的能力.

【试一试】 (2011· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,求过椭圆
?x=5cos φ, ? ? ?y=3sin φ ?



?x=4-2t, ? 为参数)的右焦点,且与直线? ?y=3-t ?

(t 为参数)平行的直线的普通方程. [尝试解答] 由题设知, 椭圆的长半轴长 a=5, 短半轴长 b=3, 从 而 c= a2-b2=4,所以右焦点为(4,0).将已知直线的参数 1 方程化为普通方程:x-2y+2=0.故所求直线的斜率为2,因此 1 其方程为 y= (x-4),即 x-2y-4=0. 2

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