当前位置:首页 >> 数学 >>

高中不等式知识点总结


1、不等式的基本性质 ①(对称性) a ? b ? b ? a ②(传递性) a ? b, b ? c ? a ? c ③(可加性) a ? b ? a ? c ? b ? c (同向可加性) a ? b ,c ? d ? a ? c ? b ? d (异向可减性) a ? b ,c ? d ? a ? c ? b ? d ⑤(同向正数可乘性) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd
(异向正数可除性) a ? b ? 0, 0 ? c ? d ? a ? b c d

⑥(平方法则) a ? b ? 0 ? an ? bn (n ? N , 且n ? 1) ⑦(开方法则) a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? N , 且n ? 1) ⑧(倒数法则) a ? b ? 0 ? 2、几个重要不等式
2 2 ① a ? b ? 2ab ? a,b ? R ? , (当且仅当 a ? b 时取 " ? " 号) .

1 1 1 1 ? ;a ? b ? 0 ? ? a b a b

变形公式:ab ?

a 2 ? b2 . 2

②(基本不等式)

a?b ? ab 2

? a,b ? R ? ,(当且仅当 a ? b 时取到等号).
?

变形公式:

a ? b ? 2 ab

? a?b? ab ? ? ? . ? 2 ?

2

用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大) ,要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”.

③(三个正数的算术—几何平均不等式)

a?b?c 3 ? abc (a、b、c ? R? ) (当且仅当 3

a ? b ? c 时取到等号).
④ a ? b ? c ? ab ? bc ? ca ? a,b ? R ?
2 2 2

(当且仅当 a ? b ? c 时取到等号). ⑤ a ? b ? c ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0)
3 3 3

(当且仅当 a ? b ? c 时取到等号).

b a ? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号) a b b a 若ab? 0, 则 ? ? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号) a b b b?m a?n a ?1? ? ⑦ ? a a?m b?n b
⑥ 若ab ? 0, 则 其中 (a ? b ? 0,m ? 0,n ? 0) 规律:小于 1 同加则变大,大于 1 同加则变小. ⑧ 当a ? 0时, x ? a ? x2 ? a2 ? x ? ?a或x ? a;

x ? a ? x2 ? a2 ? ?a ? x ? a.
⑨绝对值三角不等式 a ? b ? a ? b ? a ? b .

3、几个著名不等式 ①平均不等式:
?

2 a?b a 2 ? b2 ? ab ? ? a ?1 ? b?1 2 2

? a,b ? R ? ,(当且仅当 a ? b 时取 " ? " 号).
(即调和平均 ? 几何平均 ? 算术平均 ? 平方平均).
变形公式:
2 2 ? a?b ? a ?b ab ? ? ? ; ? 2 ? 2 ? 2

a 2 ? b2 ?

( a ? b) 2 . 2

4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有:比较法(作差,作商法) 、综合法、分析法; 其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法,数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法: ①舍去或加上一些项,如 (a ? ) ?
2

1 2

3 1 ? (a ? ) 2 ; 4 2

②将分子或分母放大(缩小) ,如

1 1 ? , 2 k k (k ? 1) ( 2 2 k ?

1 1 ? , 2 k k (k ? 1)

2 1 2 ?) ? , k? k k k ? k ?1

1 2 ? (k ? N * , k ? 1) 等. k k ? k ?1
5、一元二次不等式的解法 求一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0(或 ? 0)
2

(a ? 0, ? ? b2 ? 4ac ? 0) 解集的步骤:
一化:化二次项前的系数为正数. 二判:判断对应方程的根. 三求:求对应方程的根. 四画:画出对应函数的图象.

五解集:根据图象写出不等式的解集. 规律:当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边. 6、高次不等式的解法:穿根法. 分解因式, 把根标在数轴上, 从右上方依次往下穿 (奇穿偶切) , 结合原式不等号的方向, 写出不等式的解集. 7、分式不等式的解法:先移项通分标准化,则

f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? 0 g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 0 f ( x) ?0?? g ( x) ? g ( x) ? 0

“? 或 ?” ( 时同理)

规律:把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 8、无理不等式的解法:转化为有理不等式求解 ⑴

? f ( x) ? 0 f ( x) ? a(a ? 0) ? ? 2 ? f ( x) ? a ? f ( x) ? 0 f ( x) ? a(a ? 0) ? ? 2 ? f ( x) ? a
? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 或? ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? g ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?









规律:把无理不等式等价转化为有理不等式,诀窍在于从“小”的一边分析求解. 9、指数不等式的解法:
f ( x) ⑴当 a ? 1 时, a ? a g ( x) ? f ( x) ? g ( x)

⑵当 0 ? a ? 1 时, a

f ( x)

? a g ( x) ? f ( x) ? g ( x)

规律:根据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法

? f ( x) ? 0 ? ⑴当 a ? 1 时, log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?

? f ( x) ? 0 ? . ⑵当 0 ? a ? 1 时, log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?
规律:根据对数函数的性质转化. 11、含绝对值不等式的解法: ⑴定义法: a ? ?

?a (a ? 0) . ??a (a ? 0)

⑵平方法: f ( x) ? g ( x) ? f 2 ( x) ? g 2 ( x). ⑶同解变形法,其同解定理有: ① x ? a ? ?a ? x ? a(a ? 0); ② x ? a ? x ? a或x ? ?a(a ? 0); ③ f ( x) ? g ( x) ? ?g ( x) ? f ( x) ? g( x) ( g( x) ? 0) ④ f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) 或f ( x) ? ? g ( x) ( g ( x) ? 0) 规律:关键是去掉绝对值的符号. 12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法: 规律:找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集,最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法 解形如 ax ? bx ? c ? 0 且含参数的不等式时,要对参数进行分类讨论,分类讨论的标
2

准有: ⑴讨论 a 与 0 的大小; ⑵讨论 ? 与 0 的大小; ⑶讨论两根的大小. 14、恒成立问题 ⑴不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是:
2

①当 a ? 0 时 ? b ? 0, c ? 0; ②当 a ? 0 时 ? ?
2

?a ? 0 ?? ? 0.

⑵不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是: ①当 a ? 0 时 ? b ? 0, c ? 0; ②当 a ? 0 时 ? ?

?a ? 0 ?? ? 0.

⑶ f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)max ? a; f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)max ? a; ⑷ f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)min ? a; f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)min ? a. 15、线性规划问题 ⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断: 取点定域法: 由于直线 Ax ? By ? C ? 0 的同一侧的所有点的坐标代入 Ax ? By ? C 后所得的实数的 符号相同.所以,在实际判断时,往往只需在直线某一侧任取一特殊点 ( x0 , y0 ) (如原点) , 由 Ax0 ? By0 ? C 的正负即可判断出 Ax ? By ? C ? 0 ( 或 ? 0) 表示直线哪一侧的平面区 域. 即:直线定边界,分清虚实;选点定区域,常选原点. ⑵二元一次不等式组所表示的平面区域: 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. ⑶利用线性规划求目标函数 z ? Ax ? By ( A, B 为常数)的最值: 法一:角点法: 如果目标函数 z ? Ax ? By ( x、 y 即为公共区域中点的横坐标和纵坐标)的最值存在, 则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得, 将这些角点的坐标代入目标函数, 得到一组 对应 z 值,最大的那个数为目标函数 z 的最大值,最小的那个数为目标函数 z 的最小值 法二:画——移——定——求: 第一步,在平面直角坐标系中画出可行域;第二步,作直线 l0 : Ax ? By ? 0 ,平移直线

l0 (据可行域,将直线 l0 平行移动)确定最优解;第三步,求出最优解 ( x, y ) ;第四步,将
最优解 ( x, y ) 代入目标函数 z ? Ax ? By 即可求出最大值或最小值 .

第二步中最优解的确定方法:利用 z 的几何意义: y ? ?

A z z x ? , 为直线的纵截距. B B B

①若 B ? 0, 则使目标函数 z ? Ax ? By 所表示直线的纵截距最大的角点处,z 取得最大 值,使直线的纵截距最小的角点处, z 取得最小值; ②若 B ? 0, 则使目标函数 z ? Ax ? By 所表示直线的纵截距最大的角点处,z 取得最小 值,使直线的纵截距最小的角点处, z 取得最大值.


赞助商链接
相关文章:
不等式知识点归纳大全
不等式知识点归纳大全_高三数学_数学_高中教育_教育专区。《不等式》知识点归纳一.(1)解不等式是求不等式的解集,最后务必有集合的形式表示;不等式解集的端点值...
高中《不等式》知识点总结
高中不等式知识点总结_数学_高中教育_教育专区。《不等式》知识点一、不等式及其解法: 1.一元二次不等式: 化标准式(即二次项系数为正) ? “大于取两边...
高考不等式知识点总结
高考不等式知识点总结_数学_高中教育_教育专区。第三章:不等式 1、不等式的基本性质 ①(对称性) a ? b ? b ? a ②(传递性) a ? b, b ? c ? a ...
必修五-不等式知识点总结
必修五-不等式知识点总结_高二数学_数学_高中教育_教育专区。不等式总结一、不等式的主要性质: (1)对称性: a ? b ? b ? a ? b ? a?c ? b?c (2)...
高中数学 不等式 知识点整理
高中数学 不等式 知识点整理_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档高中数学 不等式 知识点整理_数学_高中教育_教育专区。1.比较数的大小,...
高中数学不等式知识点总结
不等式知识点总结 1.不等式的基本性质: 对称性:a>b ? bb,b>c,则 a>c; 可加性:a>b ? a+c>b+c; 可乘性:a>b,当 c>0 时,ac>bc;当 c<0 ...
不等式知识点总结
不等式知识点总结_数学_高中教育_教育专区。初中高中数学不等式总结。包含知识、方法和经验汇总。初中预习,高中复习的掌中宝。与高考全国卷衔接。...
高中数学不等式知识点总结及练习教案-学生
高中数学不等式知识点总结及练习教案-学生_数学_高中教育_教育专区。高中数学不等式知识点总结及练习教案,不等式复习教案 明轩教育 您身边的个性化辅导专家 电话: ...
高中数学基本不等式知识点归纳及练习题
高中数学基本不等式知识点归纳及练习题_数学_高中教育_教育专区。高中数学基本不等式的巧用 a+b 1.基本不等式: ab≤ 2 (1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0...
不等式知识点归纳
不等式知识点归纳_数学_高中教育_教育专区。新课标——回归教材 不等式 1、不等式的性质: 名称 对称性 不等式 名称 传递性 不等式 a ? b ? b ? a (充要...
更多相关标签: