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2013届高考北师大版数学总复习课件:8.7空间向量及其运算


第 七 节 空间向量及其运算(理) 考纲解读 1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其 意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的 数量积判断向量的共线与垂直. 考向预测 1.以选择、填空的形式考查空间向量的概念、数量积及 其运算性质. 2.利用向量法判断或证明线面垂直、平行问题. 3.利用空间向量来求空间角、距离等问题. 4.运用空间向量的线性运算及数量积考查点共线、点共 面、线共面问题. 知识梳理 1.空间向量的概念及运算 空间向量的概念及运算同平面向量基本相同.加减运算遵 循 三角形法则和平行四边形法则 ,数乘运算和数量积运算与 平面向量的数乘运算和数量积运算相同;坐标运算与平面向量 的坐标运算类似,仅多出了一个竖坐标. 2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b≠ 0),a∥b 的充要条件是存在 唯一的实数 λ,使 a=λ b . 推论 如图所示,点 P 在 l 上的充要条件是: → → OP =OA + ta ① → 其中 a 叫直线 l 的方向向量,t∈ R,在 l 上取AB=a,则① → → → → → → 可化为OP = OA +tAB或OP = (1- t)OA + tOB . (2)共面向量定理的向量表达式为: p= x a+y b ,其中 x, y∈ R, a,b 为不共线向量,推论 → → → → → 的表达式为MP = xMA + yMB 或对空间任意一点 O 有,OP =OM → → → → → → +xMA +yMB 或OP = xOM + yOA + zOB ,其中 x+ y+ z=1. (3)空间向量基本定理 如果向量 e1, e2, e3 是不共面的向量, a 是空间任一向量, 那么存在唯一一组实数 λ1,λ2,λ3,使得 a= λ1e1+λ2e2+λ3e3 , 把 e1, e2, e3 叫做空间的一个基底. 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 → → 已知两个非零向量 a, b, 在空间任取一点 O, 作OA =a, OB 〈a,b〉 =b,则∠AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角,记作 ,其范围 π 0 ≤〈 a , b 〉≤ π 是 ,若〈a, b〉= ,则称 a 与 b互相垂直, 2 记作 a⊥b. ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量 a,b,则|a||b|cos〈a,b〉 叫做向量 a, b 的数量积,记作 a· . b=|a||b|cos〈a· b〉 b ,即a· (2)空间向量数量积的运算律 b) ; ①结合律:(λa)· b= λ(a· a; ②交换律:a· b= b· b+ a· c . ③分配律:a· (b+ c)= a· 4.空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 若 a= (a1, a2, a3), b= (b1, b2, b3), 则 a· b= a1b1+a2b2+a3b3 . (2)共线与垂直的坐标表示 设 a= (a1, a2, a3), b= (b1, b2, b3), ?a1=λb1 , ? b =0? 则 a∥b? a=λb?? a2=λb2 , a⊥ b? a· ? a =λb , 3 ? 3 a1b1+a2b2+a3b3=0 (a,b 均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式 设 a(a1, a2

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