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古典概型与几何概型


§3.2.1

古典概型

(第一课时)
【课标定向】
学习目标 基本事件;古典概型;基本事件的概率;古典 概型的概率公式. 提示与建议 通过实例,理解古典概型及其概率计算公式, 会用列举法计算一些随机事件所含基本事件数及 事件发生的概率. 和“反面朝上”组成,在掷骰子试验中,随机事件 “出现偶数点” 由基本事件 “2点

” 、“4点” 、“ 6 点”共同组成,相对于基本事件,由两个以上基本 事件组成的随机事件称为复杂事件. 注意:一次试验中的“可能结果”实际是针对 特定的观察角度而言的,例如,甲、乙、丙三名同 学站成一排,计算甲站在中间的概率时,若从三个 同学的站位来看,共“甲乙丙” 、“甲丙乙” 、 “乙甲丙” 、“乙丙甲” 、“丙甲乙” 、“丙 乙甲”六种结果,若仅从甲的站位看,则可能结果 只有三种,即站“1号位”、 “2号位”、 “3号位” . 2. 古典概型中基本事件的概率 一般地,对于古典概型,如果试验的 n 个基本 事件为 A1 , A2 ,?, An , 由于基本事件是两两互斥的, 所以有 P( A 1 ) ? P( A2 ) ? ? ? P( An ) ? P( A 1 ? A2

【互动探究】
自主探究 1.在一次试验中,我们常常要关心的是所有可能发 生的基本结果,它们是试验中不能再分的最简单的 _______ ,其他事件都可以用它们来描绘,这样 的事件称为 _______ ,如果每个结果都是等可能 发生的,称为 _______ . 2.基本事件的两个特点是: ⑴ _______________________ ; ⑵ _______________________ . 3.古典概型的两个特点是: ⑴ _______________________ ; ⑵ _______________________ . 4.在古典概型中,任何事件 A 的概率公式为: _______ . 其中 nA ? ______ ; n ? ______ . 剖例探法 ★讲解点一 基本事件及其概率 1.基本事件 一次试验所有可能出现的每一个结果称为基 本事件,如掷一枚质地均匀的骰子,所有可能的试 验结果只有6个,即出现 “1点”、 “2点”、 “3 点”、 “4点”、“ 5点”、“ 6点”,因此有6 个基本事件. 基本事件有如下特点: ⑴任何两个基本事件是互斥的%一次试验中, 只可能出现一种结果,即产生一个基本事件,如掷 骰子试验中,一次试验只能出现一个点数,任何两 个点数不可能在一次试验中同时发生,即基本事件 不可能同时发生,因而任何两个基本事件是互斥 的. ⑵任何事件都可以表示成基本事件的和.如掷 硬币的试验中,必然事件由基本事件“正面朝上”

??? An ) ? P( 必然事件 ) ? 1 .
又因为每个基本事件发生的可能性相等,即

P( A1 ) ? P( A2 ) ? ? ? P( An ) ,代入上式得 nP( A1 ) ? 1,即 P ( A1 ) ?
1 . n

所以,在基本事件总数为 n 的古典概型中,每 个基本事件发生的概率为 1/ n . 例题1 先后抛掷2枚均匀硬币. ⑴一共出现多少种可能结果? ⑵出现“一枚正面,一枚反面”的结果有多少 种? ⑶出现 “一枚正面, 一枚反面” 的概率是多少? ⑷有人说,一共出现“两枚正面”、“两枚反 面”、“一枚正面,一枚反面”三种结果,因此出 现“一枚正面,一枚反面”的概率是

1 ,这种说法 3

对不对? 【思维切入】由于只有两枚硬币,所以可把基 本事件一一列举出来. 【解析】⑴掷一枚硬币有正、反两种可能,我 们把两枚硬币标上1,2以便区分,由于1号硬币的 每一个结果都可与2号硬币的任意一个结果配对, 组成掷两枚硬币的一个结果,因此同时掷两枚硬币

的结果有2×2=4种,它们是(正 1 ,正 2 )、(正 1 , 反 2 )、(反 1 ,正 2 )、(反 1 ,反 2 ). ⑵出现 “一枚正面, 一枚反面”的结果有二种, 它们是(正 1 ,反 2 )、(反 1 ,正 2 ). ⑶出现 “一枚正面,一枚反面”的概率是:

P?

2 1 ? . 4 2
⑷这种说法认为(正 1 ,反 2 )、(反 1 ,正 2 )

⑵第一次抛掷,向上的点数为1,2,3,4,5, 6,这6个数中的某一个,第二次抛掷时都可以有两 种结果,使两次向上的点数和为3的倍数(例如第 一次向上的点数为4,则当第二次向上的点数为2或 5时,两次的点数之和都为3的倍数),于是共有6 ×2=12种不同的结果. ⑶因为抛掷2次得到的36种结果是等可能出现 的,记“向上的点数之和是3的倍数”为事件 A 则 事件 A 的结果有12种,故所求的概率为

P( A) ?

12 1 ? . 36 3

没有区别,作为一个基本事件,导致与“两正”、 “两反”可能性不等出现错误. 【规律技巧总结】 判断一次试验中的基本事 件,一定要从其可能性入手,加以区分. 思维拓展 同时掷三枚硬币,求事件 A 出现 “两个正面,一个反面”的概率. 【解析】掷一枚硬币有正、反两种结果,每一 枚硬币的一种结果都进行配对,组成同时掷三枚硬 币的一个结果,因此同时掷三枚硬币的结果有2×2 ×2=8种,出现两个正面,一个反面的结果有三种, 即第1枚出现反面、第2枚出现反面,第3枚出现反 面,故 P ?

3 . 8

【规律技巧总结】确定基本事件个数,能列举 的一一列举,不能列举的根据题意求出来. 思维拓展 任取两个一位数,观察结果,问: ⑴共有多少种不同的结果? ⑵两数之和等于3的结果有多少种? ⑶两数之和等于3的概率是多少? 【解析】⑴因为每次取出的数是0,1,2,?, 9这十个数字中的一个,从而每次取数都有10种可 能,所以两次取数共有等可能的结果总数为: n ? 10 ?10 ? 100 . ⑵记“两个数的和等于3”为事件 A ,则事件 A 的 可能取法有“第一次取的数分别为0,1,2,3,相 应的第二次取的数分别为3,2,1,0,即事件 A 包 含4种结果. ⑶事件 A 的概率为 P ( A) ?

例题2同时抛掷两枚骰子,计算所得点数之和 为3的概率. 【思维切入】抛掷一枚骰子出现的结果有6种, 因此抛掷的两枚骰子,一共出现6×6=36 种结果, 不易一一列举,事件所得点数之和为3的结果共有 两种, 即 “第一枚点数为1, 第二枚点数为2” 和 “第 一枚点数为2,第二枚点数为1”. 【解析】将骰子抛掷一次,它出现6种结果, 先后抛掷两枚骰子,第一枚骰子出现6种结果,对 每一种结果,第二枚又有6种可能结果,于是一共 有6×6=36种不同的结果.事件所得点数之和为3记 为 A ,共有两种结果“第一枚点数为1,第二枚点 数为2”和“第一枚点数为2,第二枚点数为1”, 故所求概率为 P ( A) ?

4 ? 0.04 . 100

讲解点二 古典概型的概率 1.古典概型的概率公式 如果随机事件 A 包含的基本事件数为 m , 由互 斥事件的概率加法公式可得

P( A) ?

1 1 1 1 m ? ? ? ? ( m 个 )? ,所以 n n n n n

在古典概型中,

P( A) ?

事件A包含的基本事件数 . 试验的基本事件总数

2 1 ? . 36 18

思维拓展 将一枚骰子先后抛掷2次,观察向 上的点数,问: ⑴共有多少种不同的结果? ⑵两次点数之和是3的倍数的结果有多少种? ⑶两次点数之和是3的倍数的概率是多少? 【解析】⑴共有36种不同的结果.

这一定义称为概率的古典定义,也是计算古典 概型概率的公式. 2.用集合的观点理解古典概率 在一次实验中,等可能出现的 n 个结果组成一 个集合 I ,这 n 个结果就是集合 I 的 n 个元素,包含 m 个结果的事件 A 对应于 I 的含有 m 个元素的子 集 A ,因此从集合的角度看,事件 A 的概率是子集

A 的元素的个数(记作 card ( A) )与集合 I 的元素

个数(记作 card ( I ) )的比值. 即 P( A) ?

card ( A) . card ( I )

注解:①用这个式子计算概率时,关键是求出 其中 n 为一次试验中等可能出现的结果数, m 、n . m 为某个事件所包含的结果数,求 n 时应注意这 n 种结果必须是等可能的. ②这个公式只适应于计算古典概率,而古典概 型中的“等可能性” 的判断是很重要的,如先后 抛掷两枚质地均匀的硬币,求“一枚出现正面,另 一枚出现反面” 的概率,因为先后抛掷2枚质地均 匀的硬币, 可出现(正,正)、(正,反)、(反, 正)、(反,反)这4种结果,而“一枚出现正面, 另一枚出现反面” 这一事件包括(正,反)、 (反, 正)两种结果因此“一枚出现正面,另一枚出现反 面” 的概率是 p ?

注意:不要忽略等可能性的判断. 思维拓展 把“每次取出后不放回”这一条件 换成“每次取出后放回”,其余不变,求取出的两 件中恰好有一件次品的概率. 【解析】有放回地连续取出两件,其一切可能 的结果有

(a1, a1 ),(a1, a2 ),(a1, b1 ),(a2 , a2 ),(a2 , a1 ), (a2 , b1 ),(b1, b1 ),(b1, a1 ),(b1, a2 ) ,由9个基本事件组
成.由于每一件产品被取到的机会均等,因此可以 认为这些基本事件的出现是等可能的. 用 A 表示 “取出的两件中,恰好有一件次品”这一事件,则 A 有4种可能结果

2 1 ? .但解答本题时,有时错误 4 2

(a1 , b1 ), (a2 , b1 ),(b1, a1 ),(b1, a2 ) .因而 P( A) ?

4 . 9

认为先后抛掷2枚质地均匀的硬币,只会出现“2个 正面”、“2个反面”、“1正1反”这3种情况,从 而得到 P ?

1 的结论,实际上上述3种情况不是等 3

可能的,所以在等可能不成立的条件下应用公式求 出的结果是错误的. 例题3 从含有两件正品 a1 , a2 和一件次品 b1 的3件产品中每次任取1件,每次取出后不放回,连 续取两次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概 率. 【思维切入】试验为从三件产品中不放回地抽 取两次,基本事件的出现是等可能的. 【解析】每次取一个,取后不放回地连续取两 次,其一切可能的结果有

例题4 一个口袋内装有大小相等的5个白球 和3个黑球,从中任意取出两个球,求取出的两个 球都是白球的概率. 【思维切入】作为一个等可能事件,求基本事 件的总数及事件 A 所含的基本事件数. 【解析】从袋中8个球中任取两个球,并按抽 取顺序 ( x, y ) 记录结果,由于是随机抽取的, x 有8 种可能,y 有7种可能, 但 ( x, y ) 与 ( y , x ) 是相同的, 所以抽取的所有结果有8×7÷2=28(种),记事件 A 为“取出的两个球都是白球”,按照上边的计算 方法,抽取的都是白球的所有可能结果有5×4÷ 2=10(种),所以 P ( A) ?

10 5 ? . 28 14

(a1 , a2 ),(a1 , b1 ),(a2 , a1 ), (a2 , b1 ),(b1, a1 ),(b1, a2 ) .
其中小括号内左边的字母表示第一次取出的产品, 右边的字母表示第二次取出的产品,共有6种可能 的结果,它们是等可能的,用 A 表示“取出的两件 中,恰好有一件次品”这一事件,则 A 有4种可能 结果 (a1 , b1 ), (a2 , b1 ),(b1 , a1 ),(b1 , a2 ) .因而

【规律技巧总结】在计算基本事件总数、一事 件 A 所包含的基本事件个数时,可利用分步的方 法,即按序 ( x, y ) 记录结果,再除以它本身的顺序. 思维拓展 一个口袋内装有大小相等的 m 个 白球和 (0 ? m ? n) , 从中任意取出两个球, 求取出 的两个球: ⑴都是白球的概率; ⑵一个白球,一个黑球的概率. 【解析】从袋中 n 个球中任取两个球,可分两 次抽取,并按抽取顺序 ( x, y ) 记录结果,由于是随 机抽取的, x 有 n 种可能, y 有 n ? 1 种可能,但

P ( A) ?

4 2 ? . 6 3

【规律技巧总结】古典概型事件概率求解的步 骤:⑴判断是否为等可能事件;⑵确定基本事件总 数及所求事件中所含基本事件个数;⑶代入公式求 概率.

( x, y ) 与 ( y , x ) 是相同的,所以抽取的所有结果有
(种). ⑴记事件 A 为 “取出的两个球都是白球” ,即 从 m 个白球中任取两球,按照上述运算,共有

A.

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

2 3

4.先后抛掷三枚均匀的硬币,至少出现一次正面的 概率为( ) A.

m(m ? 1) ? 2 (种)可能结果.
所以 P( A) ?

1 8

B.

3 8

C.

7 8

D.

5 8

m(m ? 1) ? 2 m(m ? 1) . ? n(n ? 1) ? 2 n(n ? 1)

5.从数字1,2,3中任取两个不同数字组成一个两位 数,则这个两位数大于21的概率是( ) A.

1 6

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2

⑵记事件 B 为“取出的两个球一个白球,一个 黑球”, 白球从 m 个白球中任取1球,黑球从

6.从编号为1到100的100张卡片中任取一张, 所得编 号是4的倍数的概率为 ____ . 7.将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同 样大小的小正方体,从这些小正方体中任取1个, 其中有两个面涂有颜色的概率是 ____ . 8.从1,2,3,4,5五个数字中, 任意有放回地连续抽取 三个数字,则三个数字完全不同的概率是 ____ .

(n ? m) 个黑球中任取1球,所以包含的基本事件个
数为 n(n ? m) . 所以 P( B) ?

n(n ? m) 2n(n ? m) . ? n(n ? 1) ? 2 n(n ? 1)

【拓展迁移】
思维提升 9.现有8名奥运会志愿者,其中志愿者 A1 , A2 , A3 通 晓日语, B1 , B2 , B3 通晓俄语,C1 , C2 通晓韩语,从 中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名,组 成一个小组. ⑴求 A1 被选中的概率; ⑵求 B1 和 C1 不全被选中的概率.

精彩反思 1.求古典概型概率的步骤: ①反复阅读题目,收集整理题目中各种信息; ②判断试验是否属于古典概型,(基本事件是 否有限?基本事件的概率是否相等?)并用字母表 示所有基本事件; ③计算基本事件的个数 n 及事件 A 中包含的基 本事件的个数 m ; ④计算事件 A 的概率 P ( A) ?

m . n

2.求基本事件个数 n 的方法有两种:树图法和 列表法.

【自我测评】
1.从 a, b, c, d 中任意选取3个字母的试验中, 所有可 能的基本事件数为( ) A.3 B.4 C.6 D.24 2.下列试验中,是古典概型的有( A.种下一粒种子观察它是否发芽



B. 从规格直径为 (250 ? 0.6) ㎜的一批合格产品中 任意抽一根,测量其直径 C.抛一枚硬币,观察其出现正面或反面 D.某人射击中靶或不中靶 3.一个口袋里装有2个白球和2个黑球, 这4个球除颜 色外完全相同,从中摸出2个球,则1个是白球,1 个是黑球的概率是( )

10.袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个,现依 次有放回地随机摸取3次,每次摸取一个球. ⑴试问:一共有多少种不同的结果?请列出所有可 能的结果; ⑵若摸到红球时得2分,摸到黑球时得1分,求3次 摸球所得总分为5的概率.

视野拓展 赵访熊 1922年考取北京清华学校,毕业后即到美国麻 省理工学院(MIT)电机系学习.他1930年在电机系 毕业,被哈佛大学数学系录取为研究生,且于1931 年获硕士学位.1933年他受聘回国在清华大学数学 系任教,1935年被聘为教授,从此一直在清华大学 任教,参与创办国内第一个计算数学专业.于1962 年和1978年先后两次出任清华大学副校长, 1980-1984年兼任新成立的应用数学系主任,并受 聘担任国务院学位委员会学科评议组委 员.1978-1989年担任第一、二届计算数学学会理事 长及第三届名誉理事长和《计算数学学报》主编等 一系列职务.他是我国最早提倡和从事应用数学与 计算数学的教学与研究的学者之一,自编我国第一 部工科《高等微积分》教材,在方程求根及应用数 学研究方面颇有建树.

§3.2.1

古典概型

(第二课时 习题课)
【课标定向】
学习目标 古典概型及其性质. 提示与建议 掌握利用概率的性质求古典概率的方法. 为 A. 故所求事件的概率为 p ( A) ? 1 ?

4 ? 0.6 . 10

【互动探究】
自主探究 1.同时掷两枚骰子, 计算向上的点数之和是5的概率 是 A.

2 21

B.

1 9

C.

5 36

D.

1 6

2. 3本不同的语文书,4本不同的数学书,从中任取 2本,取出的书恰好都是数学书的概率为( ) A.

1 7

B.

3 7

C.

2 7

D.

1 2

3.将一枚质地均匀的硬币连掷三次出现 “2个正面向 上,1个反面向上)的概率为 _____ . 4. 52张扑克牌 (无大小王) 中随机抽一张牌, 是 “方 片”的概率为 _____ . 剖例探法 ★讲解点一 古典概型条件下概率公式的 应用 例题1从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选 两台,其中两种品牌都齐全的概率是多少? 【思维切入】从5台彩电中任取2台是等可能事 件,两种品牌都齐全指的是一台甲型,一台乙型, 其对立事件是“都为甲型或都为乙型”. 【解析】从5台中任取2台,按顺序 ( x, y ) 记录 结果, x 有5种可能, y 有4种可能,但 ( x, y ) 和

【规律技巧总结】化为对立事件的概率来求较 为简单. 思维拓展 有3个人,每人都以相同的概率被分 配到4个房间中的一间,求至少有2人分配到同一房 间的概率. 【解析】3个人以相同的概率分配到4个房间中 的一间,第一个人有4种可能,第二个人有4种可能, 第三个人也有4种可能,故所有结果有4×4× 4=64(种) .记事件 A 为“至少有2人分配到同一房 间”,其对立事件是“一人入住一个房间”,给四个 房间编号为1、2、3、4,3个人记为甲、乙、丙,当 3人入住1、2、3房间时,共有(甲,乙,丙)、 (甲, 丙,乙)、 (乙,甲,丙)、 (乙,丙,甲)、 (丙, 乙,甲)、(丙,甲,乙)六种可能,同样3入住 (2、3、4),(1、3、4),(1、2、4) 时都有 6种可能结果,故对立事件共有6×4=24(种) 结果, 所以,所求事件的概率 P ( A) ? 1 ?

24 5 ? . 64 8

( y , x ) 是相同的,所以试验的所有结果有5×4÷
2=10(种). 解法1:记事件 A 为“ 一台甲型,一台乙型”, 甲型从3台中选1台,乙型从2台中选1台,故包含的 基本事件数为3×2=6(种). 所以,所求事件的概率为 p ( A) ?

6 ? 0.6 . 10

解法2:从3台甲型彩电中任选2台,有3种可能, 从2台乙型彩电中任选2台,有1种可能,故“都是甲 型或都是乙型”的基本事件数为3+1=4,其对立事件

讲解点二 列举法求古典概率 例题2 抛掷两枚骰子,求 ⑴点数之和出现7点的概率; ⑵出现两个4点的概率. 【思维切入】抛掷两颗骰子,基本事件总数为 36,但所求事件的基本事件个数不易把握,很容易 出现遗漏或重复,故可借助直观图形,以便更准确 把握基本事件个数. 【解析】作 图,从图中容易 看出基本事件 与所描点一一 对应,共36种. ⑴记“点数 之和出现7点” 的事件为 A , 从 图中可以看出, 事件 A 包含的基本事件共6个: (6,1)、 (5,2)、 (4,3)、(3,4)、(2,5)、(1,6),所以

P( A) ?

6 1 ? . 36 6

⑵记“出现两个4点”的事件为 B ,从图中可 以看出, 事件 B 包含的基本事件只有1个: (4, 4) , 所以 P ( A) ?

1 . 36

【规律技巧总结】在求概率时常常可以把全体 基本事件一一列举出来,以便我们准确地找出某事 件所含的基本事件数. 思维拓展 甲、乙两人做出拳游戏(锤子、剪刀、 布),求: ⑴平局的概率; ⑵甲赢的概率; ⑶乙赢的概率. 【思维切入】甲有 3种不同的出拳方 法,每一种出法是 等可能的,乙同样 有等可能的3种不 同出法,一次出拳 游戏共有3×3种 不同的结果,可以 认为这9种结果是 等可能,所以一次游戏( 试验)是古典概型,它 的基本事件总数为9.平局的含义是两人出法相同, 例如都出了锤,甲赢的含义是甲出锤且乙出剪,甲 出剪且乙出布,甲出布且乙出锤这3种情况,乙赢 的含义是乙出锤且甲出剪,乙出剪且甲出布,乙出 布且甲出锤这3种情况. 【解析】设平局事件为 A ,甲赢为事件 B ,乙 赢为事件 C ,由图容易得到: ⑴平局含3个基本事件(图中的△),

⑵利用一定的对称性解题; ⑶利用对立事件概率公式逆向思维; ⑷利用互斥事件加法公式化整为零. 同时判断等可能事件需要严谨思维,切忌想当 然,需注意问题的实际背景,如果题目中提到“任 意,或者结果之间具有对称性”,一般等可能性成 立.

【自我测评】
1.某部三册的小说,任意排放在书架的同一层上, 则各册从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册的 概率为( ) A.

1 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

2.一枚硬币连掷3次,只有一次出现正面的概率是 ( ) A.

3 8

B.

2 3

C.

1 3

D.

1 4

3.在第1、3、4、5、8路公共汽车都要停靠的一个站 (假定这个站只能停靠一辆汽车),有一位乘客等 候第4路或第8路汽车.假定当时各路汽车首先到站 的可能性相等,则首先到站正好是这位乘客所需乘 的汽车的概率等于( ) A.

1 2

B.

2 3

C.

3 5

D.

2 5

4.从全体3位正整数中任取一数,则此数以2为底的 对数也是正整数的概率为( )

1 225 1 C. 450
A.

B.

1 300

D.以上全不对

P ( A) ?

3 1 ? ; 9 3 3 1 ? ; 9 3 3 1 ? . 9 3

5.从分别写有 A, B, C , D, E 的5张卡片中, 任取2张, 这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率 为( ) A.

⑵平局含3个基本事件(图中的⊙),

P( B) ?

⑶平局含3个基本事件(图中的※),

1 5

B.

2 5

C.

3 10

D.

7 10

P (C ) ?

6.某小组共10名学生,其中女生3名,现选举2名代 表,至少有1名女生当选的概率为( ) A.

精彩反思 计算古典概率就要先计算基本事件总数及事 件3包含的基本事件个数,而这往往遇到计算搭配 个数这一困难,这是本节的难点之一.实际上本节 的重点不在于计数,而在于如何利用概率的性质求 古典概率,为此可参考如下办法: ⑴适当选取观察角度以减少甚至避免复杂计 数;

7 15

B.

8 15

C.

3 5

D.1

7.在5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5,然后 将它们混合,再任意排列成一行,则得到的数能被 2或5整除的概率是( ) A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8

8.柜子里有3双不同的鞋,随机地取2只,试求下列 事件的概率: ⑴取出的鞋不成对; ⑵取出的鞋都是左脚的; ⑶取出的鞋都是同一只脚的; ⑷取出的鞋一只是左脚的一只是右脚的,但不成 对.

11.现从5名优秀学生中选派2人去参加数学竞赛, 问 其中甲、乙两人至多有一人去参加比赛的概率是多 少?

12.同时抛掷两枚相同的骰子(每个面上分别刻有 1~6个点数,抛掷后,以向上一面的点数为准), 试计算出现点数和为6或7的概率为多少?

【拓展迁移】
思维提升 9.口袋里装有2个白球和2个黑球, 这4个球除颜色外 完全相同,4个人按顺序依次从中摸出一球,试计 算第二个人摸到白球的概率.

视野拓展 万哲先 1948年毕业于清华大学数学系,中国科学院数 学与系统科学研究院系统科学研究所研究员.从事 代数学、组合论研究,在典型群、矩阵几何、有限 几何和编码学等领域进行了系统研究,50年代和80 年代初解决了典型群的结构和自同构方面一系列 难题.1958年对解决运输问题的图上作业法给出理 论证明并进行了推广应用.60年代中和90年代初运 用华罗庚开创的中国典型群学派的矩阵方法研究 有限域上典型群的几何学,获得了系统的重要成 果,并利用它构造了一些结合方案、PBIB设计和认 证码并研究了有限域上型表型问题,典型群的子空 间轨道生成的格等.从90年代运用代数方法研究卷 积码,澄清了一系列疑问.最近证明了对称矩阵几 何及哈密尔顿矩阵几何的基本定理,是对华罗庚开 创研究的矩阵几何的重要贡献.

10.有 A, B, C , D, E 五人站成一排, A 在 B 的右边 ( A, B 可以不相邻)的概率为多少?

§3.2.2
【课标定向】

(整数值)随机数的产生
一列. 【思维切入】要把五位同学排成一列,就要确 定这五人所在的位置,可以赋给每位同学一个座 号,让他们按照座号排成一列即可. 【解析】 用计算器的随机函数RANDI(1,5)或 计算机的RANDBETWEEN(1,5)产生5个不同的1到5之 间的整数值的随机数,依次为 a, b, c, d , e 五名学生 的座号,按照座号由小到大的顺序排成一列. 【规律技巧总结】 此题的排序方法是给每人 一个座号,当人数很多(如按排考号)时,我们可 以用计算机给每名学生一个座号(即考号),然后 按考号排成一列,分到考场中去,此题还可以用座 位固定,把人直接放到座位上去的方法. 讲解点二 随机模拟法估计概率 例题3 随机模拟掷骰子试验,估计掷得1点的 概率. 【思维切入】掷骰子得到的结果共有6种可能: 1点,2点,?,6点,因而我们可以用计算器或计 算机产生1到6间的随机整数来表示每次所掷点数. 【解析】⑴用计算器的随机函数RANDI(1,6)或 计算机的RANDBETWEEN(1,6)产生1到5之间的整数 值的随机数,分别用1,2,3,4,5,6表示掷骰子 所得点数; ⑵统计试验总次数 N 及1的个数 N1 ; ⑶计算频率 f n ( A) ?

学习目标 随机数的产生;随机模拟试验. 提示与建议 了解随机数的意义,能运用模拟方法(包括计 算器产生随机数来进行模拟)估计概率.

【互动探究】
自主探究 1.随机(整)数 随机(整)数就是在一定范围内 ____ 产生的(整) 数, 并且得到这个范围内的每一个 (整) 数的 ____ 一样. 2.随机整数的产生 ⑴用计算器产生 ( a, b) 之间的取整数值的随机数的 过程如下: PRB → → → → RAND RANDI STAT DED ENTER RANDI ( a, b) STAT DEG 反复按 ENTER 键, 就可以不断 _____ 你需要的随机 _____ . ⑵用计算机软件产生随机函数,应先选定 _____ , 键入“RANDBET WEEN ( a, b) ”,按ENTER键,每按一 次“ENTER”键便产生一个所需的 _____ . 3.用计算器或计算机模拟试验的方法称为 _____ 或 _____ . 剖例探法 ★讲解点一 利用随机数进行简单随机抽 样 例题1一体育代表队共有21名水平相当的运 动员,现从中抽取11参加某场比赛,其中运动员甲 必须参加,写出利用随机数抽取的过程. 【思维切入】本题中,甲必须参加比赛,实际 上是20名运动员中抽取10名. 【解析】⑴把20名运动员编号(甲除外),实 际上是20名运动员中抽取10名; ⑵用计算器的随机函数RANDI(1,20)或计算机 的随机函数RANDBETWEEN(1,20)产生10个1到20之 间的整数随机数(如果有一个重复,重新产生一 个); ⑶以上号码对应的10名运动员就是要抽取的 对象. 讲解点二 用随机数进行排序 例题2 试用随机数把 a, b, c, d , e 五位同学排成

N1 即为掷骰子得1点的 N

概率的近似值. 【规律技巧总结】解决此题的关键是产生一组 随机数分别用数代表点数. 精彩反思 1.随机数的产生 我们可以用抽签法产生随机整数,但这种方法 费时费力,计算机或计算器产生的随机数是依照确 定算法产生的数,具有周期性(周期很长),它们 具有类似随机数的性质,并不是真正的随机数,, 我们称它们为伪随机数,这样的随机数可以用来进 行随机抽样排序和随机摸拟试验. ⑴利用随机数可以快速产生随机抽样中需要 抽取的样品的号码. ⑵利用随机数产生需要排序的样品的序号,然 后可以按照序号由小到大排列. ⑶随机模拟试验

用频率估计概率时,需做大量的重复试验,费 时费力,并且有些试验具有破坏性,有些试验无法 进行因而随机模拟试验就成为一种重要的方法,它 可以在短时间内多次重复. 2.用整数随机数模拟试验时,首先确定随机数 的范围和用哪个数代表哪个试验结果:⑴试验的基 本事件等可能时,基本事件总数即为产生随机数的 范围,每个随机数代表每一个基本事件;⑵研究等 可能事件的概率时,用按比例分配的方法确定表示 各个结果的数字个数及范围.

【拓展迁移】
思维提升 6.某校高一全年级共有20个班1200人,期末考试时 如何把学生分配到40个考场中去.

【自我测评】
1.天气预报在今后的三天中,每天下雨的概率均为 40%,问这三天中恰有两天下雨的概率是( ) A.25% B.40% C.50% D.87.5% 2.掷两粒骰子,随机摸拟试验200次,计算出点数和 为7的概率为( ) A.

1 3

B.

1 6

C.

5 36

D.

1 9

3.在在检测不合格的饮料包装时,随着检测次数的 增加,查出不合格产品的概率越来越 ______ . 4.在计算机模拟试验 “连续掷一枚硬币三次”中随 着次数增加,出现 “1个正面向上,2个反面向上” 的概率为 ______ . 5.随机模拟掷骰子试验,估计得1点的概率. 视野拓展 爱因斯坦 20世纪最伟大的科学家之一.爱因斯坦出生于德国 乌尔姆镇,青少年时曾在慕尼黑受教育,后来到瑞 士进入苏黎世理工学院,1900年毕业并取得瑞士 籍,发表了4篇重要论文:《根据分子运动论研究 静止液体中悬浮微粒的运动》一文从理论上解释了 布朗运动;《关于光的产生和转变的讨论》提出光 是由一个个的量子所组成,这种光量子除了有波的 形状外还有粒子的特性(后来称为光子),从而圆 满地解释了光电效应;《论动体的电动力学》即是 爱因斯坦的狭义相对论; 《物体惯量和能量的关系》 一文则是狭义相对论的数学说明,它确立了质量和 能量的相当性,即 E ?

1 2 mc .这4篇论文彻底改变 2

了人类对宇宙的观点.他的一生,在人类对宇宙认 识的贡献上是无与匹敌的,不愧为整个人类文明史 上的科学巨人.

§3.3.1

几何概型

【课标定向】
学习目标 几何概型;几何概率的计算. 提示与建议 初步体会几何概型的意义,会计算简单的几何概型的概率.

【互动探究】
自主探究 1.事件 A 理解为区域Ω 的某一区域 A , A 的概率只与子区域 A 的 ______ 或 ______ 成比 例,而与 A 的 ______ 无关,满足以上条件的试验称为几何概型. 2.在几何概型中,事件 A 的概率定义为 ______ ,习惯上,用 ? A 表示事件 A 的区域的几何 度量,用 ?n 表示试验的全部结果所构成区域的几何度量. 3.几何概型的两个特点是: ⑴ _______________________ ; ⑵ _______________________ . 剖例探法 ★讲解点一 长度型几何概率 例题1 取一根长度为3m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于 1m的概率有多大? 【思维切入】从每一个位置剪断绳子,都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3m 的绳子上的任意一点,基本事件有有限多个,而且每一个基本事件的发生都是等可能的,因 此事件发生的概率只与剪断位置所处的绳子段的长度有关,符合几何概型的条件. 【解析】如图,记 A ={剪得两段绳长都不小于1m },把绳子三等分,于是当剪断位置 时,事件 A 发生,由于中间一段的长 处在中间一段上 度为 3 ?

1 ? 1 m, 3

所以事件 A 发生的概率 P( A) ?

1 . 3

【规律技巧 总结】 判断基本事件应从“等可能” 的角度入手, 选择 好观察角度. 思维拓展 在长为12㎝的线段 AB 上任取一点 M ,并以线段 AM 为边作正方形,试求 这正方形的面积介于36㎝ 与81㎝ 之间的概率. 【思维切入】正方形的面积只由边长 AM 确定,此题可以转化为在12㎝长的线段上取 一点,使 AM 的长度介于之间的概率. 【解析】记 A ={在34上取一点 M 使 AM 的长度介于6㎝与9㎝之间},则 P ( A) 即为使
2 2 以 AM 为边的正方形面积介于36㎝ 与81㎝ 之间的概率, 在 AB 上取点 C 、 使 AC ? 6 D, 2 2

㎝, AD ? 9 ㎝,则 CD ? 3 ㎝. ∴ P( A) ? 讲解点二

3 1 ? . 12 4
角度型几何概率

例题2 如图,在直 上,任作一条射线 OA , 【思维切入】以 O 落在任何位置都是等可 ?xOT 的大小有关,符 【解析】记 A ={射 ∵ ?xOT ? 60? ∴

角坐标系内,射线 OT 落在60°的终边 求射线 OA 落在 ?xOT 内的概率. 为起点作射线是随机的,因而射线 OA 能的,落在 ?xOT 内的概率只与 合几何概型的条件. 线 OA 落在 ?xOT }.

P( A) ?

60? 1 ? . 360? 6

【规律技巧总结】 此题关键是搞清过 O 作射线 OA 可以在平面内任意作, 而且是均匀的, 因而基本事件的发生是 等可能的. 思维拓展 如图, 在圆心角为90°的扇形中,以圆心 O 为起点 OC , 求的概率. OC ,使 ?AOC 和 ?BOC 都不小于 【解析】作射线 30°},作射线 OD 、 ?AOE ? 60? .当 OC 都不小于30°. ∴

OE ,使 ?AOD ? 30? , 在 ?DOE 内时, 使 ?AOC 和 ?BOC

P( F ) ?

30 1 ? . 90 3

讲解点三 面积型几何概率 例题3 如图, 在墙上挂着 一块边长为16㎝的正方形木板,上面画 了小、中、大三个同心圆,半 径分别为2㎝、4㎝、6㎝,某人站在3m之 外向此板投镖,设投镖击中线 上或没有投中木板时都不算,可重投, 问: ⑴投中大圆内的概率是多 少? ⑵投中小圆是多少? ⑶投中大圆之外的概率是多少? 【思维切入】 投中正方形木板上每一点(投中线上或没投中都不算)都是一个基本事 件,这一点可以是正方形板上任意一点,因而基本事件有无限多个,且每个基本事件发生的 可能性都相等,所以投中某一部分的概率只与这部分的几何度量(面积)有关,这符合几何 概型的条件. 【解析】记 A ={投镖击中大圆内}, 记 B ={投镖击中小圆与中圆形成的圆环内}, 记 C ={投镖击中大圆外},

S正方形 ? 162 ? 256cm2

S大圆 ? ? ? 62 ? 36? cm2 S中圆 ? ? ? 42 ? 16? cm2 S小圆 ? ? ? 22 ? 4? cm2
∴ P( A) ?

S大圆 S正方形

?

36? 9 ? ?, 256 64

P( A) ?

S中圆 ? S小圆 16? ? 4? 12 3 ? ?? ?, ? 256 64 S正方形 256 S正方形 ? S大圆 S正方形 ? 256 ? 36? 256

P( A) ?
? 1?

9 ?. 64

【规律技巧总结】 投中线上或没投中不算, 因而投中正方形内各部分的任一点都可以是 等可能的. 思维拓展1 在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆架贮藏着石油,假如在海域中 任意一点钻探,钻到油层面的概率是多少? 【解析】记 A ={钻到油层面}. 则 P ( A) ?

40 ? 0.004 . 10000
长为3㎝的正方形内部画一个边长为2 投点, 求所投的点落入小正方形内的概 落入小正方形内}.

思维拓展2 如图, 在一个边 ㎝的正方形, 向大正方形内随机 率. 【解析】记 A ={所投的点 ∵ S小方形 ? 2 ? 4cm ,
2 2

S大方形 ? 32 ? 9cm2

∴ P( A) ?

S小正方形 4 ? . S大正方形 9

思维拓展3 如图,在一个边长为 a, b(a ? b ? 0) 的矩形内画一个梯形,梯形上、下底 分别为 a 与

1 3

1 a ,高为 2

b ,向该矩形内随机投一点,求所
率. 油层面所投的点落在梯形内部}.

投的点落在梯形内部的概 【解析】记 A ={钻到 ∵ S矩形 ? ab ,

S梯形 ?

1 1 1 5 ( a ? a)b ? ab , 2 3 2 12

5 S梯形 12 ab 5 ? ? . ∴ P ( A) ? S矩形 ab 12
讲解点四 体积型几何概率 例题3 在500ml的水中有一个草履虫,现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察,求 发现草履虫的概率. 【思维切入】由于草履虫在水中什么位置是随机的,而取水样也具有随机性,所以取哪

一部分水样的可能性相等, 所以取到草履虫的概率只与所取水样的体积有关, 这符合几何概 型的条件. 【解析】记 A ={在取出的水样中有草履虫}, 由几何概率公式,得 P( A) ?

2 ? 0.004 . 500

【规律技巧总结】基本事件所对应的几何变量需要根据实际情况灵活地选择观察角度. 思维拓展1在1L高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子,从中随机的概率是多少? 【解析】记 A ={取出10mL含有麦锈病种子}, 由几何概率公式,得 P ( A) ?

10 ? 0.01 . 1000

讲解点五 利用形数结合求几何概型的概率 例题3 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一人一刻 钟,过时即可离去,求两人能会面的概率. 【思维切入】甲、乙两人中每人到这会面地点的时刻都是6时到7时之间的任一时刻,如 果在平面直角坐标 系内用 x 轴表示甲到达约会地点的时 间,y 轴表示乙到达 约会地点的时间,用0分到60分表示6时 到7时的时间段,则 一点的坐标就表示 达的时间, 而能会面 横轴0到60与纵轴0到60的正方形中任 甲、乙两人分别在6时到7时时间段内到 的时间由 | x ? y | ≤15所对应的图中阴

影部分表示, 由于每 人到达的时间都是随机的,所以正方形 内每点都是等可能被取到的(即基本事件等可能发生).所以两人能会面的概率只与阴影部 分的面积有关,这就转化为面积型几何概率问题. 【解析】以 x 轴和 y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间,则两人能够会面的充 要条件是 | x ? y | ≤15.如图所示,平面直角坐标系下 ( x, y ) 的所有可能结果是边长为60的 正方形,而事件 A “两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示, 由几何概率公式,得 P( A) ?

S A 602 ? 452 7 ? ? . S 602 16

【规律技巧总结】 本题的难点是把两个时间分别用 x , y 两个坐标表示, 构成平面内的点

( x, y ) 从而把时间这个一维长度问题转化为平面图形的二维面积问题,转化成面积几何概率
问题. 思维拓展1 两艘轮船都要停靠同一个泊位, 它们可能在一昼夜的任意时刻到达, 设这两 艘船停靠泊位的时间都是2小时,求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率. 【思维切入】 有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间就是一艘船到达时另一艘船还停 在泊位中,这相当于例4中两人能够会面. 【解析】以 x 轴和 y 轴分别表示两船到达港口地点的时间,则有一艘船停靠泊位时必须 等待一段时间的充要 坐标系下 ( x, y ) 的所 条件是 | x ? y | ≤2.如图所示,平面直角 有可能结果是边长为24的正方形,而事件 位时必须等待一段时间”的可能结果由图

A “有一艘船停靠泊

中的阴影部分表示, 由几何概率公式,得 P( A) ?

S A 242 ? 222 23 ? ? . S 242 144

精彩反思 1.古典概型与几何概型的关系: 古典概型的基本事件是离散而有限的; 几何概型的基本事件是连续而无穷的, 这些基本 事件是一个区域中的点,可以是线(有长度),也可以是面(有面积),也可以是体(有体 积).所以,几何概型的基本事件通过其几何量(长度、面积、体积)的有限性同古典概型 的基本事件的有限性达成了一致;两种概型的基本事件都是等可能的,不过,几何概型的等 可能是通过下列方式赋予意义的: 点 (基本事件) 落在某区域的概率与该区域的测度 (长度、 面积、 体积) 成正比而与该区域的位臵和形状无关. 这样, 概率的这两种模型就得到了统一, 它们的计算公式本质是相同的. 2.利用几何概型,可以解释“概率为零的事件不一定是不可能事件,概率为1的事件不 一定是必然事件”.

【自我测评】
1.已知地铁列车每10min一班,在车站停1min,则乘客到达站台立即乘上车的概率是( A. )

1 10

B.

1 9

C.

1 11

D.

1 8


2.在区间 [1,3] 上任取一数,则这个数大于1.5的概率为( A.0.25 B.0.5 C.0.6 D.0.75

3.在面积为 S 的 ? ABC 的边 AB 上任取一点 P ,则 ? PBC 的面积大于 A.

S 的概率是( 4



1 4

B.

1 2

C.

3 4

D.

2 3


4.在区间 [10, 20] 内的所有实数中,随机取一个实数 a ,则这个实数 a ? 13 的概率是( A.

1 3

B.

1 7

C.

3 10

D.

7 10

5.如图,转盘上有8个面积相等的扇形,转动转盘,则转盘停止转动时,指针落在阴影部分 的概率为( )

1 8 3 C. 8
A.

B.

1 4 1 D. 2

6.如图,在平面直角坐标系 中, 射线 OT 为 60 ? 角的终边, 在任意角集 合中任取一个角,则该角终边落在 ?xOT 内的概率是( )

1 6 1 C. 4
A.

B.

1 3 1 D. 60
任取一点 P ,并以线段 AP 为边作正方

7.在长为10㎝的线段 AB 上

形,这个正方形的面积介于36㎝ 与49㎝ 之间的概率为( A.

2

2



1 10

B.

1 5

C.

3 10

D.

2 5
1 的正方形 ABCD ,向半圆内任投一点,落在正方 2

8.在半径为1的半圆内,放置一个边长为 形内的概率为( A. ) C.

1 2

B.

1 4

1 4?

D.

1 2?

9.下列命题中:①不可能事件的概率为0;②必然事件的概率为1;③概率为0的事件是不可 能事件;④概率为1的事件是必然事件.其中不正确的命题个数为( ) A. 0 B.1 C.2 D.3 10.一个游戏转盘上有四种颜色:红、黄、蓝、黑,并且它们所占面积的比为6︰2︰1︰4, 则指针停在红色或蓝色的区域的概率为( ) A.

6 13

B.

7 13

C.

4 13

D.

10 13

11.两根相距6m的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,则灯与两端距离都大于2m的概 率是 ____ . 12.一个路口的信号灯,红灯亮的时间为30秒,绿灯亮的时间为40秒,如果你到达路口时, 遇到红灯的概率为

2 ,那么黄灯亮的时间为 ______ 秒. 5

13.在平面直角坐标系中,设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值不大于2的点构成的区域, E 是 到原点的距离不大于1的点构成的区域,向 D 中随机投一点,则所投的点落在 E 中的概率是 ______ .

【拓展迁移】
思维提升 14.甲、乙两人街头约会,约定谁先到后须等待10分钟,这时若另一个还没来就可离开,现 在甲是1点半到达的, 假设乙在1点到2点内到达, 且乙在1点到2点之间何时到达是等可能的, 求甲、乙能会面的概率.

15.设有关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 .
2 2

⑴若 a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数, b 是从0,1,2三个数中任取的一个数,求 上述方程有实根的概率; ⑵若 a 是从区间 [0,3] 任取的一个数,b 是从区间 [0, 2] 任取的一个数, 求上述方程有实根的 概率.

视野拓展 动物中的数学“天才” 蜘蛛结的“八卦” 形网,是既复杂又美丽的八角形几何图案,人们即使用直尺和圆规

也很难画出像蜘蛛网那样匀称的图案. 冬天,猫睡觉时总是把身体抱成一个球形,这其间也有数学道理,因为球形使身体的表面积 最小,从而散发的热量也最少.


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